专题14 一元一次方程的解法的五类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版七年级上册

专题14 一元一次方程的解法的五类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、等式的基本性质 题型二、求解含括号的一元一次方程 题型三、求解含分母的一元一次方程 题型四、解一元一次方程错解复原问题 题型五、换元法求解一元一次方程 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：主要考查五步解法（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1），涵盖纯数字方程、含分数系数方程及简单实际应用列方程。 - 解题方法：严格按五步顺序执行；去分母时两边同乘各分母最小公倍数，去括号注意分配律，移项必变号，合并后系数化为1注意符号处理。 - 易错提醒：去分母漏乘不含分母的项；分子为多项式时去分母后未加括号；去括号时符号错误（尤其括号前是负号）；移项不变号；系数化为1时分子分母颠倒或忽略负号。建议每步验算，养成回头检查习惯。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、等式的基本性质 典例1 （25-26七年级下·福建泉州·期中）下列是根据等式的性质进行变形，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型模版 1.特征：等式两边同加同减同乘同除非零数，等式仍成立。 2.方法：先看目标，再选加减乘除，两边同步运算，注意除数不为零。 变式1-1（25-26七年级下·四川眉山·期中）下列运用等式性质进行的变形，正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 变式1-2（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）若、、为有理数，则下列推理错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 变式1-3（25-26七年级下·河南鹤壁·阶段检测）下列变形中，不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型二、求解含括号的一元一次方程 典例2（26-27七年级上·全国·课后作业）解方程： (1)； (2)． 题型模版 1.特征：方程含未知数且带括号，去括号后可化为ax+b=0形式。 2.方法：先去括号，再移项、合并同类项，最后系数化为1求解。 变式2-1（25-26七年级下·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2)． 变式2-2（25-26七年级上·河南濮阳·阶段检测）解方程 (1)； (2)． 变式2-3（25-26七年级下·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2)； (3)． 题型三、求解含分母的一元一次方程 典例3（26-27七年级上·全国·课后作业）解方程： (1)； (2)； (3)． 题型模版 1.特征：方程含分数形式，分子含未知数或常数，需去分母化简求解。 2.方法：找公分母，两边同乘去分母，去括号移项合并，系数化1求解。 变式3-1（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）解下列方程： (1) (2) 变式3-2（25-26七年级下·辽宁盘锦·开学考试）解方程： (1) (2)． 变式3-3（25-26七年级上·全国·期末）解方程： (1)； (2)=+． 题型四、解一元一次方程错解复原问题 典例4（26-27七年级上·全国·单元复习）下面是小颖同学解一元一次方程的过程： 解：去分母，得．    第一步 去括号，得．    第二步 移项，得．    第三步 合并同类项，得．    第四步 系数化为1，得．        第五步 (1)小颖的解答过程从第________步开始出错； (2)请写出正确的解答过程． 题型模版 1.特征：给出错误解答过程，要求找出错步并复原正确解法。 2.方法：逐步核对去分母、去括号、移项、合并、系数化1，定位错步并改正。 变式4-1（25-26七年级下·吉林长春·期末）在学习解一元一次方程后，小张对一道一元一次方程的解答过程如下： 解方程：． 解：去分母，得第一步 去括号，得第二步 移项，得第三步 合并同类项，得第四步 系数化为1，得第五步 (1)第________步开始出现错误；（填序号） (2)写出正确求解过程． 变式4-2（25-26七年级下·吉林长春·期中）下面是明明解方程的过程： 解：去分母得：（第一步） 去括号得：（第二步） 移项得：（第三步） 合并同类项得：（第四步） 系数化为1得：（第五步） 根据解答过程完成下列任务． 任务一：上述解答过程共出现________处错误；首次出现错误在第________步，这一步错误的原因是________． 任务二：请你写出解方程的正确过程． 变式4-3（2026七年级上·全国·专题练习）老师在黑板上出了一道解方程的题：．小明马上举起了手，要求到黑板上去做，他是这样做的： ．    第一步 ．        第二步 ．        第三步 ．        第四步 ．        第五步 老师说小明解一元一次方程的一般步骤都掌握了，但解题时有一步做错了． (1)请你指出他错在第________步（填序号） 细心地解下面的方程，相信你一定能做对． (2)； (3)； (4)． 题型五、换元法求解一元一次方程 典例5 （26-27七年级上·全国·单元复习）已知关于的方程的解是，那么关于的一元一次方程的解是________． 题型模版 1.特征：方程中含重复出现的代数式，整体换元后可简化结构。 2.方法：设重复部分为新元，解新方程后回代求原未知数。 变式5-1（26-27七年级上·全国·期末）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为________． 变式5-2（25-26七年级下·山西晋城·阶段检测）阅读与思考 阅读下列材料，完成任务． 用特殊方法解一元一次方程的研究报告 研究对象：方程的特殊解法． 研究思路：拆项→换元→整体代入 研究内容：①除了采用直接去分母的方法解该方程之外，我们也可以将方程转化为 即； ②这时我们可设，方程可化为， 解得； ③，，解得____▲______． 任务： (1)材料中“▲”处是_____． (2)利用材料中的方法解方程：． 变式5-3（25-26七年级上·广西梧州·期末）【阅读与思考】“整体思想”是数学中的重要思想，纵观全局，通过整体观察、整体设元、整体代入、整体构造等方式使问题化繁为简，化难为易、这种方法也可以应用在多项式的化简与求值中．例如：我们把看作是一个整体，则． 请你尝试用整体思想解决一下问题： (1)化简：___________； (2)若，求代数式的值； (3)解方程：． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．下列变形中，正确的是（    ） A．若，那么 B．若，那么 C．，那么 D．若，那么 2．下列方程变形正确的是（   ） A．方程，去括号，得 B．方程，移项，得 C．方程，未知数的系数化为1，得 D．方程，去分母，得 3．若关于的方程的解是方程的解的3倍，则的值是（   ） A． B． C． D． 4．若关于的方程的解为大于4的整数 ，则整数的值为（　　） A．3或5 B．3或7 C．5或7 D．以上答案都不对 5．定义一种新运算“&;”：当时，；当时，；当时，．例如：．已知，则x的值为（    ） A．或 B．或2 C．或2 D．或或2 二、填空题 6．根据等式的性质填空： （1）如果，那么 ； （2）如果，那么 ； （3）如果，那么 ． 7．已知和互为相反数，则的值为 ． 8．将方程中含小数的分母转化为整数，得 ． 9．若方程的解为，的解为： ． 10．若关于的方程的解为整数，则整数的取值个数为 个． 三、解答题 11．解方程： (1)； (2)． 12．解下列方程． (1)； (2)． 13．解方程： (1) (2) 14．小明在做数学作业时，解方程的步骤如下： ①去分母，得， ②去括号，得， ③移项，得， ④合并同类项，得， ⑤系数化为1，得． (1)小明解方程的步骤从第_______步（填序号）开始出现了错误，错误的原因是______________． (2)请你写出这道题正确的解答过程． 15．已知是关于x的一元一次方程． (1)求m的值； (2)若方程的解与关于x的一元一次方程的解互为相反数，求n的值． 16．对于有理数、定义一种新运算，如，；请按照这个定义完成下列计算： (1)若，求的值； (2)若，，且，求的值； (3)若和均为正整数，且满足，直接写出的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 一元一次方程的解法的五类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、等式的基本性质 题型二、求解含括号的一元一次方程 题型三、求解含分母的一元一次方程 题型四、解一元一次方程错解复原问题 题型五、换元法求解一元一次方程 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：主要考查五步解法（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1），涵盖纯数字方程、含分数系数方程及简单实际应用列方程。 - 解题方法：严格按五步顺序执行；去分母时两边同乘各分母最小公倍数，去括号注意分配律，移项必变号，合并后系数化为1注意符号处理。 - 易错提醒：去分母漏乘不含分母的项；分子为多项式时去分母后未加括号；去括号时符号错误（尤其括号前是负号）；移项不变号；系数化为1时分子分母颠倒或忽略负号。建议每步验算，养成回头检查习惯。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、等式的基本性质 典例1 （25-26七年级下·福建泉州·期中）下列是根据等式的性质进行变形，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据等式性质逐项判断即可． 【详解】解：对于A，∵，等式两边需同时加或减同一个数，等式才成立，∴应为，故A错误． 对于B，∵，等式两边同时加得，只有时才有，故B错误． 对于C，∵，当时，无论取何值等式都成立，无法推出，故C错误． 对于D，∵，，等式两边同乘可得，故D正确． 题型模版 1.特征：等式两边同加同减同乘同除非零数，等式仍成立。 2.方法：先看目标，再选加减乘除，两边同步运算，注意除数不为零。 变式1-1（25-26七年级下·四川眉山·期中）下列运用等式性质进行的变形，正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】本题考查等式的基本性质，根据等式的性质：等式两边同时加或减同一个数，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立，逐一判断即可. 【详解】解：A、，根据等式性质，等式两边应同时加或减同一个数，正确变形应为，故此选项错误； B 、，当时等式也成立，因此不能得到，故此选项错误； C 、，只有当时，才有，若变形无意义，故此选项错误； D 、，分母不为，可得，等式两边同乘得，等式两边同加1得，故此选项正确． 变式1-2（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）若、、为有理数，则下列推理错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据等式的基本性质逐一判断即可． 【详解】解：∵若，等式两边同时减，等式仍然成立，可得， ∴A正确，不符合题意； ∵若，等式两边同时乘，等式仍然成立，可得， ∴B正确，不符合题意； 当时，和分母为，无意义，该推理未限定， ∴C推理错误，符合题意； ∵为有理数，， ∴， 若，等式两边同时除以不为的，等式仍然成立，可得， ∴D正确，不符合题意． 变式1-3（25-26七年级下·河南鹤壁·阶段检测）下列变形中，不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】解：对于A选项，，等式两边同时加2， ，变形正确； 对于B选项，，分式有意义说明，等式两边同时乘， ，变形正确； 对于C选项，若，当时，无论取何值等式都成立，无法推出，变形错误； 对于D选项，，，等式两边同时除以， ，变形正确； 因此不正确的变形是选项C． 题型二、求解含括号的一元一次方程 典例2（26-27七年级上·全国·课后作业）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：去括号，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． （2）解：去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． 题型模版 1.特征：方程含未知数且带括号，去括号后可化为ax+b=0形式。 2.方法：先去括号，再移项、合并同类项，最后系数化为1求解。 变式2-1（25-26七年级下·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：去括号，得 移项及合并，得 ， 系数化为1，得 ； （2）解： 去括号，得 ， 移项及合并，得 系数化为1，得 ． 变式2-2（25-26七年级上·河南濮阳·阶段检测）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． （1）按去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可； （2）按去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 变式2-3（25-26七年级下·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据解一元一次方程的步骤计算即可得出结果； （2）根据解一元一次方程的步骤计算即可得出结果； （3）根据解一元一次方程的步骤计算即可得出结果． 【详解】（1）解：去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； （2）解：去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； （3）解：去括号得， 移项得， 合并同类项得． 题型三、求解含分母的一元一次方程 典例3（26-27七年级上·全国·课后作业）解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： 去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 系数化为1，得； （2）解： 去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 系数化为1，得； （3）解： 去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 系数化为1，得． 题型模版 1.特征：方程含分数形式，分子含未知数或常数，需去分母化简求解。 2.方法：找公分母，两边同乘去分母，去括号移项合并，系数化1求解。 变式3-1（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 系数化为1得：； （2）解：移项得：， 整理得：， 去括号得：， 移项并合并同类项得：． 变式3-2（25-26七年级下·辽宁盘锦·开学考试）解方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 变式3-3（25-26七年级上·全国·期末）解方程： (1)； (2)=+． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 去分母得： 去括号得： 移项合并同类项得： 系数化为得：； （2）解： 去分母得： 去括号得： 移项合并同类项得： 系数化为得：． 题型四、解一元一次方程错解复原问题 典例4（26-27七年级上·全国·单元复习）下面是小颖同学解一元一次方程的过程： 解：去分母，得．    第一步 去括号，得．    第二步 移项，得．    第三步 合并同类项，得．    第四步 系数化为1，得．        第五步 (1)小颖的解答过程从第________步开始出错； (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)一 (2) 去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 系数化为1，得． 【分析】（1）根据去分母法则判断即可； （2）根据解一元一次方程的步骤求解即可． 【详解】（1）解：由小颖的解答过程可知，第一步去分母时方程右边常数项1漏乘了6，故小颖的解答过程从第一步开始出错； （2）略 题型模版 1.特征：给出错误解答过程，要求找出错步并复原正确解法。 2.方法：逐步核对去分母、去括号、移项、合并、系数化1，定位错步并改正。 变式4-1（25-26七年级下·吉林长春·期末）在学习解一元一次方程后，小张对一道一元一次方程的解答过程如下： 解方程：． 解：去分母，得第一步 去括号，得第二步 移项，得第三步 合并同类项，得第四步 系数化为1，得第五步 (1)第________步开始出现错误；（填序号） (2)写出正确求解过程． 【答案】(1)二 (2)解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【分析】（1）由去括号法则验证即可得到第二步开始出现错误； （2）由一元一次方程的解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项及系数化为1求解即可． 【详解】（1）解：第二步中去括号符号错误， 故题目第二步开始出现错误； （2）略 变式4-2（25-26七年级下·吉林长春·期中）下面是明明解方程的过程： 解：去分母得：（第一步） 去括号得：（第二步） 移项得：（第三步） 合并同类项得：（第四步） 系数化为1得：（第五步） 根据解答过程完成下列任务． 任务一：上述解答过程共出现________处错误；首次出现错误在第________步，这一步错误的原因是________． 任务二：请你写出解方程的正确过程． 【答案】 任务一：2，一，去分母时常数项漏乘； 任务二：见解析 【分析】根据一元一次方程的解法解题即可． 【详解】解：任务一：上述解答过程共出现2处错误，分别是第一步和第三步；首次出现错误在第一步，这一步错误的原因是去分母时常数项漏乘； 任务二：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 变式4-3（2026七年级上·全国·专题练习）老师在黑板上出了一道解方程的题：．小明马上举起了手，要求到黑板上去做，他是这样做的： ．    第一步 ．        第二步 ．        第三步 ．        第四步 ．        第五步 老师说小明解一元一次方程的一般步骤都掌握了，但解题时有一步做错了． (1)请你指出他错在第________步（填序号） 细心地解下面的方程，相信你一定能做对． (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)一 (2) (3) (4) 【分析】（1）根据等式的基本性质即可解答； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1求解即可； （3）（4）先化简方程，再按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1求解即可． 【详解】（1）解：小明在第一步不含分母的项1未乘以分母的最小公倍数，所以第一步错误． （2）解：， 去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 解得． （3）解：可化为． 去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． （4）解：， 方程两边同乘7，得． 方程两边同乘5，得． 移项、合并同类项，得， 所以，解得． 题型五、换元法求解一元一次方程 典例5 （26-27七年级上·全国·单元复习）已知关于的方程的解是，那么关于的一元一次方程的解是________． 【答案】45 【分析】将关于的方程变形为与已知关于的方程结构相同的形式，利用整体代换即可求解． 【详解】解： 令，则方程变为 ∵关于的方程的解是， ∴，即， 解得． 题型模版 1.特征：方程中含重复出现的代数式，整体换元后可简化结构。 2.方法：设重复部分为新元，解新方程后回代求原未知数。 变式5-1（26-27七年级上·全国·期末）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为________． 【答案】 【分析】识别两个方程的结构特征，利用整体代换简化计算． 【详解】解：∵， ∴． 令，则． ∵的解为， ∴， ∴． 变式5-2（25-26七年级下·山西晋城·阶段检测）阅读与思考 阅读下列材料，完成任务． 用特殊方法解一元一次方程的研究报告 研究对象：方程的特殊解法． 研究思路：拆项→换元→整体代入 研究内容：①除了采用直接去分母的方法解该方程之外，我们也可以将方程转化为 即； ②这时我们可设，方程可化为， 解得； ③，，解得____▲______． 任务： (1)材料中“▲”处是_____． (2)利用材料中的方法解方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，读懂题意，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）根据题意求出即可得到答案； （2）模仿材料中的拆项和换元法，将复杂方程转化为简单方程求解即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ， 设， 则原方程可化为， 解得， ， 解得． 变式5-3（25-26七年级上·广西梧州·期末）【阅读与思考】“整体思想”是数学中的重要思想，纵观全局，通过整体观察、整体设元、整体代入、整体构造等方式使问题化繁为简，化难为易、这种方法也可以应用在多项式的化简与求值中．例如：我们把看作是一个整体，则． 请你尝试用整体思想解决一下问题： (1)化简：___________； (2)若，求代数式的值； (3)解方程：． 【答案】(1) (2)27 (3) 【分析】本题考查了整体思想在多项式化简与求值中的应用，将式子中的某一部分看成一个整体进行运算是解题的关键． （1）把看成一个整体，合并同类项即可求解； （2）把看成一个整体，利用分配律化简代数式为，然后代入化简即可求解； （3）化简代数式，把看成一个整体，即可求解． 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解：已知，可得． 把作一个整体代入： ； （3） 设 解得： ∴ 解得：． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．下列变形中，正确的是（    ） A．若，那么 B．若，那么 C．，那么 D．若，那么 【答案】D 【分析】本题考查等式的基本性质，绝对值的意义及平方的非负性，解题的关键是掌握等式的基本性质：性质1：等式的两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质2：等式的两边同时乘同一个数，或除以同一个不为的数，结果仍相等． 根据等式的基本性质，结合绝对值和平方的非负性进行判断． 【详解】解：A．若，那么，原变形不正确，故此选项不符合题意； B．若且，那么，原变形不正确，故此选项不符合题意； C，当，时，，但，原变形不正确，故此选项不符合题意； D．若，那么，原变形正确，故此选项符合题意． 故选：D． 2．下列方程变形正确的是（   ） A．方程，去括号，得 B．方程，移项，得 C．方程，未知数的系数化为1，得 D．方程，去分母，得 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次方程，等式的性质，根据去分母、去括号、移项、系数化为1这些变形解答即可． 【详解】解：A、方程，去括号，得，故此选项不符合题意； B、方程，移项，得，故此选项不符合题意； C、方程，未知数的系数化为1，得，故此选项不符合题意； D、方程，去分母，得，故此选项符合题意． 故选：D． 3．若关于的方程的解是方程的解的3倍，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的解，解一元一次方程． 求方程的解，即可得关于的方程的解，代入，解关于的一元一次方程即可． 【详解】解：由得， 根据题意可知，是方程的解， ∴， ∴， 故选：D． 4．若关于的方程的解为大于4的整数 ，则整数的值为（　　） A．3或5 B．3或7 C．5或7 D．以上答案都不对 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解法、含参数方程的变形技巧及整数解条件的综合分析，解题关键在于将方程整理为的标准形式．将方程整理为的形式，根据解且为整数，建立不等式并分析整数k的整除特性即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵都是整数， ∴为15的因数． ． 又，∴=1或3， ∴或5． 故选A． 5．定义一种新运算“&;”：当时，；当时，；当时，．例如：．已知，则x的值为（    ） A．或 B．或2 C．或2 D．或或2 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的解，分，，三种情况分别计算即可． 【详解】解：当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得（舍去）； 综上，或， 故选：C． 二、填空题 6．根据等式的性质填空： （1）如果，那么 ； （2）如果，那么 ； （3）如果，那么 ． 【答案】 2 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握等式两边同时进行相同的运算（加、减、乘、除同一个数，除数不为）等式仍然成立是解题的关键． （1）根据等式两边同时加同一个数等式仍然成立，已知，在等式两边同时加，所以． （2）根据等式两边同时乘同一个数等式仍然成立，已知，在等式两边同时乘，所以． （3）根据等式两边同时除以同一个不为的数等式仍然成立，已知，在等式两边同时除以，所以． 【详解】解：（1）∵ ∴ 故答案为：． （2）∵ ∴ 故答案为：． （3）∵ ∴ 故答案为：． 7．已知和互为相反数，则的值为 ． 【答案】2 【分析】此题考查了相反数的定义，解一元一次方程，利用互为相反数两数之和为0列出方程，求出方程的解即可得到m的值． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：2． 8．将方程中含小数的分母转化为整数，得 ． 【答案】 【分析】利用分数的基本性质对方程进行变形，掌握知识点是解题的关键． 分子分母同乘以10即可． 【详解】解： ∵ ∴， 即． 故答案为：． 9．若方程的解为，的解为： ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解，换元法，掌握相关知识是解决问题的关键．将第二个方程中看作一个整体换元，找到和第一个方程的关系，即可得到答案 【详解】解： 即，① 由题意此方程的解为， 令， 则第二个方程变形为：， 对照①可得，方程的解为， ∴， ∴． 故答案为：． 10．若关于的方程的解为整数，则整数的取值个数为 个． 【答案】 【分析】本题考查的是方程的解，熟练掌握解方程是解决此题的关键； 先计算方程的解，然后选取符合题意的解，即可求解； 【详解】解： ， ， ∵x，k为整数， ∴或． 故答案为：4． 三、解答题 11．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解法，正确掌握解方程的方法是解题关键． （1）直接移项合并同类项，进而系数化为1得出答案； （2）直接去分母，进而移项合并同类项，进而系数化为1得出答案． 【详解】（1）解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 12．解下列方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，步骤为:去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解． （1）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1即可求出解； （2）方程整理后，去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1即可求出解． 【详解】（1）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解： 原方程可化为． 去分母，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． 13．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握解法步骤是解本题的关键． （1）根据去括号，移项，合并同类项，再把未知数的系数化为“”解答即可； （2）根据去分母，再去括号，移项，合并同类项，再把未知数的系数化为“”解答即可． 【详解】（1）解： 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得； （2）解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得． 14．小明在做数学作业时，解方程的步骤如下： ①去分母，得， ②去括号，得， ③移项，得， ④合并同类项，得， ⑤系数化为1，得． (1)小明解方程的步骤从第_______步（填序号）开始出现了错误，错误的原因是______________． (2)请你写出这道题正确的解答过程． 【答案】(1)①；去分母时，1漏乘6 (2)见解析 【分析】此题考查了解一元一次方程，掌握解方程步骤：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，是解题关键． （1）检查小明解答过程，即可作出判断； （2）写出正确解答过程即可． 【详解】（1）小明解方程的步骤从第①步开始出现了错误，错误的原因是去分母时，1漏乘6； （2）正确的解答过程如下： ， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，． 15．已知是关于x的一元一次方程． (1)求m的值； (2)若方程的解与关于x的一元一次方程的解互为相反数，求n的值． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，方程的解和解一元一次方程，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据是关于x的一元一次方程，得到，，求得m的值即可； （2）分两种情况，先求得的解，根据一元一次方程的解与的解互为相反数，求得解，代入求得n的值即可． 【详解】（1）解：∵是关于x的一元一次方程， ∴，， 解得或且， ∴或； （2）解：当时， ∴变形为， 解得， ∵一元一次方程的解与的解互为相反数， ∴的解为， ∴， 解得； 当时， ∴变形为， 解得， ∵一元一次方程的解与的解互为相反数， ∴的解为， ∴， 解得； 综上所述，或． 16．对于有理数、定义一种新运算，如，；请按照这个定义完成下列计算： (1)若，求的值； (2)若，，且，求的值； (3)若和均为正整数，且满足，直接写出的值． 【答案】(1) (2)20 (3)3 【分析】本题考查整式的加减运算，理解新定义运算规则，注意分情况讨论是解题的关键． （1）分和两种情况，根据新定义运算得出关于x的方程，解方程，然后判断是否满足条件即可得； （2）先计算，得出，再根据新定义计算，得出，利用整体代入法求解即可； （3）先判断，根据新定义计算，得出，整理得，根据和均为正整数，可得的值． 【详解】（1）解：当时，， ， ， 解得，与矛盾，舍去； 当时，， ， ， 解得，符合题意； 综上可知，x的值为． （2）解：，， ，即， ， ， ； （3）解： 和均为正整数， ， ， ， 解得， 和均为正整数， 是5的因数，且只能是， 此时，，， 即k的值为3． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $