专题12 线段上的动点探究问题的四类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版七年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题12线段上的动点探究问题的四类综合题型 目录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、线段上含动点求线段长问题 题型二、线段上含动点求定值问题 题型三、线段上含动点求时间问题 题型四、线段上含动点的新定义型问题 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 同解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 ·题型特征：线段上动点按速度运动，求时间、线段长或位置关系，常涉及追及、相遇及分类讨论。 ·解题方法：设时间为t,用速度×时间表示动点路程：结合线段和差建立方程；相遇令路程和等于原距离， 追及令路程差等于原距离：按位置分类讨论。 ·易错提醒：忽略动点运动范围导致增根；未分类讨论（如点在另一点左右两侧）；速度方向符号混淆： 端点重合情形遗漏。 ◆◆ 夙题型归纳一精讲典型题法，赤失解题报基 题型一、线段上含动点求线段长问题 典例1：(25-26七年级上·重庆沙坪坝期末)点C在线段AB上满足AC=2BC,点D和点E是线段AB上 的两动点（点D在点E的左侧）满足DE=2lcm,AB=36cm, D E B 备用图 1/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)当点E是BC的中点时，求AD的长度： ②当4D-CE时，求CD的张度。 3 题型模版 1.特征：线段上有一动点，己知线段总长及动点分成的两段关系，求某段长度。 2方法：设动点分得的一段为x,用总长表示另一段，根据题中等量关系列一元一次方程求解。 变式1-1(25-26七年级上北京昌平·期末)己知点C为线段AB上一动点，点D,E分别是线段AC和BC 的中点 (I)若线段AB=10cm,点C恰好是AB的中点，则线段DE=一一cm: (2)如图，若线段AB=10cm,AC=4cm,求线段DE的长： A→DC E B (3)若线段AB的长为a,则线段DE的长为-一一（用含a的代数式表示）· 变式1-2(25-26七年级下·吉林阶段检测)已知：M是线段AB上一定点，C,D两点分别从M,B出发以 lcms,3cm/s的速度沿直线BA向A,M运动，运动方向如箭头所示.。 M D ()若AB=10cm,当点C,D运动2秒时，求AC+MD的值. (2)若C,D运动时，总有MD=3AC,则AM=_ AB MN 3)在(2)的条件下，N是直线AB上一点，且AN-BN=MN,AB的值为 变式1-3(25-26七年级上·全国期末)如图，M是线段AB上一点，AB=10cm,C,D两点分别从M,B 两点同时出发以lcms,3cm/s的速度沿线段BA向左运动.（假设C在线段AM上且不与点A重合，D在 线段BM上且不与点M重合) D B (1)【知识技能】当点C,D运动了ls时，这时图中有 条线段： (2)【数学思考】当点C,D运动了2s时，求AC+MD的值： (3)【思维延伸】当点C,D运动时，总有MD=3AC,求AM的长. 2/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型二、线段上含动点求定值问题 典例2(25-26七年级上·全国课后作业)如图，已知线段AB=16,C,D是线段AB上的两个动点（点 C在D的左侧，且都不与端点A,B重合)，CD=2,E为BC的中点， CD E B 图1 FC D E B 图2 (1)如图1，当AC=4时，求DE的长 (2)如图2，F为AD的中点，点C,D在线段AB上移动过程中，线段EF的长度是否会发生变化，若会， 请说明理由；若不会，请仅以图2为例求出EF的长 题型模版 1.特征：线段上动点分线段，相关线段和、差或比值在运动过程中保持不变，求该定值。 2方法：设动点位置为x,用x表示各线段，代入所求式子化简消去x,得常数即定值。 变式2-1(25-26七年级上·海南儋州期末)如图，线段AB=10,点C是线段AB上的一个动点，点C从点 A出发，以每秒2个单位的速度从点A运动到点B,再从点B运动到点A,然后停止，设点C运动的时间为 1(s) (①)当1=2时，AC=；1=7时，AC=_: (2)用含t的式子表示整个运动过程中AC的长度： (3)设点D是线段AC的中点，E是线段BC的中点，点C从点A向点B运动时，线段DE的长度是否变化？ 若不变，求出DE的长度：若变化，说明理由。 变式2-2(25-26七年级上江苏无锡阶段检测)如图，点P是定长线段AB上一定点，点C,D分别从点 P,B同时出发以acm/S,bCm/s的速度沿直线AB向左运动（点C在线段AP上，点D在线段BP上），其 中a、b满足条件： a-1+b-3=0 运动的时间为5，且点C,D运动到任一时刻，总有PD=3AC A CP D B 3/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)直接写出：a=,b=: (2)若AB=24cm,请求出AP的长： PO (3)若点Q是直线AB上一点，且AQ-B0=PQ,求AB的值： (④若C、D运动5秒后，恰好有AB=2CD,此时C点停止运动，D点继续运动(D点在线段PB上)， MN MN M、N分别是CD、PD的中点，问AB的值是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请求出AB 的值。 变式2-3(25-26七年级上福建漳州期末)如图线段AB=12,动点Q从点A出发，以2个单位长度/秒的 速度沿射线AB运动，点M为线段AQ的中点，点N为线段BQ的中点，设运动时间为t. AMO N B B 备用图 (1)当点Q在射线AB上运动时， ①当t=2时，线段MB的长度为 ②线段MN的长度为. (②)当点在线段AB上运动时，下列2个结论中：①2MB-B心为定值；②2MB+B2为定值.正确的结论 是 一，说明理由并求其值。 何若动点Q出发时，动点p也时时从点B出发，以1个单位长度秒端射按1运动.PQ+BM是香行在 最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由 题型三、线段上含动点求时间问题 典例3(25-26七年级上河南商丘·期末)如图①，已知线段AB=12,点C为线段AB上的一点，点D,E 分别是AC和BC的中点. AD C E B ① 4/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)若AC=4,则DE的长为 (2)若BC=m,求DE的长； (3)如图②，动点P,Q分别从A,B两点同时出发，相向而行，点P以每秒3个单位长度的速度沿线段 AB向右匀速运动，点Q以点P速度的两倍沿线段AB向左匀速运动，设运动时间为t秒，问当t为多少时， P,Q之间的距离为6？ 题型模版 1.特征：线段上动点按速度移动，求到达某位置或满足某距离关系所需时间。 2方法：设运动时间为t,用速度乘时间表示动点位置或移动距离，根据等量关系列一元一次方程求解。 变式3-1(25-26七年级上四川成都期末)A、D两地相距150km,B地位于A、D之间. A M B DA PB C O D 图1 图2 PB CO 备用图 (1)如图1，若M地恰好位于A,B中点处，N地恰好位于B、D中点，求M、N两地之间的距离. (2)如图2，已知B,C两地相距20km,P地恰好位于A,C中点处，Q地恰好位于B,D中点，求PQ两 地之间的距离。 (3)若AB两地相距5Okm,在(2)的条件下，甲从P地出发，以5km/h的速度步行去C地，甲中途不休息。 与此同时，乙从Q地出发，以15k/h的速度骑车去B地，B地休息2小时后以原速返回Q地，到达Q地后 (h) 停止运动.在运动过程中，甲的运动时间记为 ,两人相距Skm时，求出满足条件的'的值， 变式3-2(25-26七年级上河南郑州阶段检测)如图①，已知点C在线段AB上，线段AC=10厘米， BC=6厘米，点M,N分别是AC,BC的中点. M CN B A O B 图① 图② (1)求线段MN的长度： (2)根据第(I)题的计算过程和结果，设AC+BC=a,其他条件不变，求MN的长度； (3)动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2厘米/秒的速度沿AB向右运动，终点为B,点Q以1厘米 5/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 /秒的速度沿BA向左运动，终点为A,当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时： ①点P恰好为线段CQ的中点？ ②直接写出C、P、O三点中有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？（除①外） 变式3-3(25-26七年级上天津·期末)如图，在数轴上，数4、b所对应的点分别为A、B,点O表示原点， 且a.6清足a+10+b-1国-0，点P从有4片安.以每秒2个年位份速沿数销向右运动点Q以。 点出发，沿数轴向左运动，点P的速度是点Q速度的3，P、Q两点同时出发，相遇后即停止运动. 0 图1 A 图2 图3 (I)点A表示的数是一，点B表示的数是 (2)点Q的速度为每秒一个单位，当=秒时P、Q两点停止运动： 3)点C是线段OB的一个三等分点，点M是P吧的中点，设P、Q两点运动的时间为 (t>0) 秒，用含t的 式子表示线段CM的长，不用写出t的取值范围： (④)假设动点P,Q相遇后不停止运动，且只知P的速度小于O的速度，其余条件不变.E为AQ的中点，F 为BP的中点，当点P在线段AB上运动时，直接写出线段EF与PO的数量关系. 题型四、线段上含动点的新定义型问题 AC 典例4(25-26七年级上河南许昌期末)【概仑学习】点C在直线AB上，若4B=则称a是点C在直 6/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 线B上的“求真值”，记作Z(4B)=a AM 1 1 DB 1 例如，如图，若B3则点M在直线4B上的“求真值”是了记作OZ(1,B),3若AB3则 B号教点D在直骏AB上的“求充位”是子记作Qz(6。子 AD 2 2 A CM D B 【理解与应用】 (①已知点M在线段AB上，若AB=5,AM=25,则QZ(AB)M=:若BM=7,QZ(4B)w=了则 AB=. (2)如图，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以Icm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左 运动，运动方向如箭头所示(C在线段AM上，D在线段BM上)·.若点C、D运动时，总有MD=3AC, O求z(4B)的值， ②若N是直线4B上一点，且W-BN=MN,求Z(4,B的值 题型模版 1特征：定义与线段动点相关的新概念（如“好点”），按新规则求动点位置或时间。 2方法：读懂新定义，将其转化为线段长度关系式，设动点位置或时间为x,列方程求解并检验范围。 变式4-1(25-26七年级上·江苏盐城阶段检测)【新知理解】 如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB、AM和BM,若其中有一条线段的长度是另外一条线 段长度的2倍，则称点M是线段AB的“和谐点” M B 图① 图② B 图③ (1)线段的中点 这条线段的“和谐点”（填“是”或“不是”）： 【初步应用】 7/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图②，若CD=12cm,点N是线段CD的和谐点，则CN= cm; 【解决问题】 (3)如图③，已知AB=15cm,动点P从点A出发，以1c速度沿AB向点B匀速移动：点从点B出发， 以2cs的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的 时间为t,请直接写出t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的和谐点， 变式42(25-26七年级上辽宁本溪期末)对于数轴上A,B,M,N四点，给出如下定义：当点M在线段 AB上（不与点A,B重合），4=AM-BM 称为点M关于线段AB的“内差距”；当点N在线段AB外， d2=AN-BN 称为点N关于线段AB的“外差距”. 如图，点A表示的数为5，点B表示的数为4.若点M表示的数为1，则“内差距”4 ;若点N表示 d2=9 的数为5，则“外差距” A M BN -5 -1 45 (1)已知点A表示的数为-7，点B表示的数为3. ①若点M关于线段1B的“内差距： d=0 ,求证：点M是线段AB的中点： ②若点M表示的数为m,点M关于线段4B的“内差距”为，点V关于线段4B的“外差距”为，且 4+d2=12 ,求m的值； (2)点A表示的数为x, 点关于线段1B的“外差距，4=16 AQ=5 原点O关于线段MB的“内差 距”d,若4=24，求点0表示的数 变式43(25-26七年级上辽宁朝阳期末)如图，数轴上点A,B,C,D所表示的数分别为4，-2,3,10,0 为坐标原点，老师启发同学们根据所学知识先独立思考，再合作交流，探索并发现数学结论，解决问题. 8/14 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ABO C D 【独立思考】 (1)线段AB=」 CD= 若线段AB中点表示的数是m,线段CD中点表示的数 是n,则m= n= (2)若数轴上一条线段两个端点表示的数分别为a和b,则这条线段中点表示的数为 (用 含a,b的代数式表示) 【合作交流】 某学习小组经过探索给出如下新定义：在同一条直线上，两条线段中点之间的距离称为这两条线段的“平 均距离”，例如：线段B和CD的“平均距离”为：n-m 【探索解题】 (3)求线段AB和线段OD的“平均距离”， (4)若线段AB以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒v个单位长度的速度向左运动，点 0 D (t>0) 若线段1 CD 和点静止不动，设运动时间为 和线段的“平均距离”保持不变，求v的值. ◆ 同压轴挑战一支克高障压轴，突玻思维上保 一、单选题 1.如图，线段AB=20cm,O是线段AB上的中点，P、O是线段AB上的动点，点P沿A→B→A以 4cm/s B→A.,2cm/s OP=00 的速度运动，点Q沿 以 的速度运动.若P、Q点同时运动，当 时，运动时间为 )· P 5 10 A.0s10s或39 B.55s或3s 9/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10 20 510 C.0s35、35或10s D.0s5s、35或3s 2.定义：如图1，点C在射线AB上，图中共有三条线段AB,AC和BC,若其中有一条线段的长度是另 外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“美点”.如图2，已知AB=24cm,动点P,Q分别从点 A,B同时出发沿AB相向运动，速度分别为2cm/s,1cm/s,当点P到达点B时，运动停止.设点P的 运动时间为，当点P恰好是线段AQ的“美点”时，t最大值与最小值的差为() B OB 图1 图2 18 6 c. 24 60 A.5 B.5 D.7 3.如图，线段AB=24cm,动点P从A出发，以2cm/s的速度向点B运动，M为AP的中点，N为BP的 中点.以下说法正确的是() ①运动4s后，MN=12cm; ②在点P运动过程中，2BM-BP值随着点P位置的变化而变化： ③当AW=6PM时，运动时间为2.4s, AM P B A.①② B.②③ C.①②③ D.①③ 二、填空题 4.己知线段AB=24cm,动点P从点A出发，以每秒6cm的速度沿AB向右运动，同时，动点Q从点B出 发，以每秒4cm的速度沿BA向左运动，设运动时间为t秒 0<t<4) .在整个运动过程中，请你用t的式子 表示线段PQ的长=】 A 5.已知线段AB=12cm,动点P从点A出发，以3cm/s的速度沿A→B→A运动，同时动点Q从点B出发， 以lcm/s的速度沿B→A运动，其中一点到达终点时，另一点也停止运动.当点P出发_S时，P,Q两 点重合. 10/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.如图，线段AB=24cm,动点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB运动，M为AP的中点，N为BP的中 点 ①运动4s后，PB=2AM;②PM+MW的值随着运动时间的改变而改变；③2BM-BP的值不变；④当 AW=6PM时，运动时间为2.4s 以上说法正确的是 AM P W B 三、解答题 7.如图，线段AB=28,动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度向点B运动，M为AP的中点，N为 BP的中点. AM (1)点P出发 秒后，PB=2AM (2)在点P的运动过程中，有如下两个结论：①MN的长度不变；②2BM-BP的长度不变.请选择一个正 确的结论，并求出其值， 8.如图，已知数轴上点A表示的数为8，点B表示的数为-12.动点P从点A出发，以每秒5个单位长度 的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为(>0)秒. B -12 (I)线段AB的长为_单位长度，点P运动t秒后表示的数为（用含t的代数式表示）： (②)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运 动多少秒时与点Q相距4个单位长度？ (③)若M为AP的中点，N为PB的中点.点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请 说明理由；若不变，请求出线段W的长。 9.如图，点C为线段AB的中点，AB=8.动点P从点B出发，在线段AB上匀速运动，先以每秒2个单 位的速度从点B运动到点C,接着以每秒1个单位的速度运动到点A,最后以每秒4个单位的速度从点A 回到点B:同时，动点Q从点C出发，也在线段AB上匀速运动，先以每秒1个单位的速度从点C运动到 点A,接着以每秒2个单位的速度从点A回到点B.设点P的运动时间为t(S), y B 11/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)当点P与点C第二次重合时，求PQ的长： (2)当2≤t≤4时，求证：P0=2: (3)当点P、点Q相遇时，求t的值： (4当CP=2CQ时，直接写出t的值. 10.己知数轴上有三点A,B,C,它们对应的数分别a,b,c,且c-b=b-a,点C对应的数是20， c>b>a A B a (1)若BC=30,求a,b的值： (②)在(1)的条件下，动点P,Q分别从A,C两点同时出发向左运动，同时动点R从点B出发向右运动， 点P,R,O的速度分别为8个单位长度/秒、4个单位长度/秒、2个单位长度/秒，M为线段PR的中点，N 为线段R的中点，R,O相遇后三点同时停止运动，则在三点出发后多少秒时，恰好满足MR=4RN？ (3)在(1)的条件下，O为原点，动点P,Q分别从点A,C同时出发，点P向左运动，点向右运动，点 P的运动速度为8个单位长度/秒，点Q的运动速度为4个单位长度/秒，N为OP的中点，M为BQ的中点， 在点P,Q运动的过程中，P-2MN的值是否发生变化？若不变，求出其值：若变化，请说明理由. 11.如图，在数轴上点A表示数a,点B表示数b,点C表示数c,其中b是最大的负整数，a,c满足 la+2+(c-4)2=0 请回答下列问题： AB (1)a=,b= ，C= (2)若将数轴折叠，使得点A与点C重合，此时点B与表示某数的点重合，则此数为. (3)有一动点P从点A开始以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时另一动点Q从点C开始以 每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动.设运动时间为t秒 ①t为何值，点Q追上点P? 12/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②是否存在t值，使得PB=2QB?若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由。 12.如图①，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB、AC和BC,若其中有一条线段的长度是另外一 条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“奇点”， C B 图① 【新知理解】 (1)线段的中点」 这条线段的“奇点”；（填“是”或“不是”） 【问题解决】 (2)若点A和点B在数轴上表示的数分别是-10和14，点C是线段AB的“奇点”，求点C在数轴上表示 的数. 【应用拓展】 (3)如图②，已知AB=24cm.动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B 出发，以lCms的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设 移动的时间为s.当点P是线段AQ的“奇点”时，直接写出运动时间t的所有可能值. A B 图② 13.如图①，点M是线段AB上任意一点，图中共有三条线段ABAM和BM,若其中的两条较短线段中 有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“友好点”. B C D 图① 图② 图③ (I)若AB=12Cm,点M是线段AB上靠近点A的“友好点”，求BM的长： (②)如图②，若CD=24cm,点M是线段CD的“友好点”，点V是线段CD的中点，则MN+MC= cm (3)如图③，已知AB=24cm,动点P从点A出发，以2cms速度沿AB向点B匀速移动，点Q从点B出发， 以3cms的速度沿BA向点A匀速移动，点P,Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止.设移动的时 13/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 间为t,请求出t为何值时，AP、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“友好点”， 14/14 专题12 线段上的动点探究问题的四类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、线段上含动点求线段长问题 题型二、线段上含动点求定值问题 题型三、线段上含动点求时间问题 题型四、线段上含动点的新定义型问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：线段上动点按速度运动，求时间、线段长或位置关系，常涉及追及、相遇及分类讨论。 - 解题方法：设时间为t，用速度×时间表示动点路程；结合线段和差建立方程；相遇令路程和等于原距离，追及令路程差等于原距离；按位置分类讨论。 - 易错提醒：忽略动点运动范围导致增根；未分类讨论（如点在另一点左右两侧）；速度方向符号混淆；端点重合情形遗漏。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、线段上含动点求线段长问题 典例1 （25-26七年级上·重庆沙坪坝·期末）点C在线段上满足，点D和点E是线段上的两动点（点D在点E的左侧）满足，． (1)当点E是的中点时，求的长度； (2)当时，求的长度． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查线段的和差，线段的中点． （1）由，可得，，由点E是的中点，得到，从而，； （2）设，则，，分两种情况讨论：①点D，E在点C的两侧，②点D，E在点C的左侧，根据结合线段的和差列出方程，求解即可解答． 【详解】（1）∵，， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）设，则， ， 分两种情况讨论： ①如图，若点D，E在点C的两侧， ∵， ∴， 解得， ∴； ②如图，若点D，E在点C的左侧， ∵， ∴， 解得， ∴． 综上所述，的长为或． 题型模版 1.特征：线段上有一动点，已知线段总长及动点分成的两段关系，求某段长度。 2.方法：设动点分得的一段为x，用总长表示另一段，根据题中等量关系列一元一次方程求解。 变式1-1（25-26七年级上·北京昌平·期末）已知点C为线段上一动点，点D，E分别是线段和的中点． （1）若线段，点C恰好是的中点，则线段______； （2）如图，若线段，，求线段的长； （3）若线段的长为a，则线段的长为______（用含a的代数式表示）． 【答案】（1）5（2）（3） 【分析】（1）根据题意分别求得，根据即可求解； （2）先求得，进而根据中点的性质求得，再根据即可求解； （3）根据（1）的方法求解即可 【详解】（1），是的中点， 点D，E分别是线段和的中点 故答案为： （2），， cm 点D，E分别是线段和的中点 （3）， 点D，E分别是线段和的中点 故答案为： 变式1-2（25-26七年级下·吉林·阶段检测）已知：M是线段上一定点，C，D两点分别从M，B出发以，的速度沿直线向A，M运动，运动方向如箭头所示． (1)若，当点C，D运动2秒时，求的值． (2)若C，D运动时，总有，则____________ (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，的值为__________． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据题意算出 ，，再由，即可解题． （2）设运动时间为t，则，，根据，，结合，即可解题． （3）根据N是直线 上一点，且，可分为以下两种情况讨论，当点N在线段 上时和当点N在线段 的延长线上时，结合线段之间的和差关系，得出与 的数量关系，即可解题． 【详解】（1）解：当点C、D运动了时，，， ，，， ． （2）解：设运动时间为t， 则，， ，， 又， ， 即， ， ， ． （3）解：当点N在线段 上时，如图 ， 又， ， ，即． 当点N在线段 的延长线上时，如图： ， 又， ，即． 综上所述的值为或． 变式1-3（25-26七年级上·全国·期末）如图，M是线段上一点，，C，D两点分别从M，B两点同时出发以，的速度沿线段向左运动．（假设C在线段上且不与点A重合，D在线段上且不与点M重合） (1)【知识技能】当点C，D运动了时，这时图中有______条线段； (2)【数学思考】当点C，D运动了时，求的值； (3)【思维延伸】当点C，D运动时，总有，求的长． 【答案】(1)10； (2)； (3)． 【分析】本题考查线段的和与差，以及动点问题， （1）确定运动1秒后点C、D的位置，以A、C、M、D、B为端点，依次找出所有线段，统计线段数量即可． （2）根据题意算出，，再由，即可解题． （3）设运动时间为t，则，，根据，，结合，即可解题． 【详解】（1）运动时，点C从M向左移动，点D从B向左移动． 此时图中的线段有：、、、、、、、、、，共10条． 故答案为：10； （2）解：当点C、D运动了时，，， ， ． （3）解：设运动时间为t， 则，， ，， 又， ， 即， ， ， ； ∵， 题型二、线段上含动点求定值问题 典例2 （25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知线段，，是线段上的两个动点（点在的左侧，且都不与端点，重合），，为的中点， (1)如图，当时，求的长. (2)如图，为的中点，点，在线段上移动过程中，线段的长度是否会发生变化，若会，请说明理由；若不会，请仅以图为例求出的长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了线段的和差计算以及有关线段中点的计算问题．解题的关键是正确分析题目中线段之间的数量关系． （1）首先根据题意求出的长度，然后由为的中点求出的长度，最后即可求出的长； （2）由题意可得，由为的中点和为的中点表示出，代入，即可求出长． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴； （2）线段的长度不会发生变化，， ∵，， ∴， ∵为的中点，为的中点， ∴， ∴ ． 题型模版 1.特征：线段上动点分线段，相关线段和、差或比值在运动过程中保持不变，求该定值。 2.方法：设动点位置为x，用x表示各线段，代入所求式子化简消去x，得常数即定值。 变式2-1（25-26七年级上·海南儋州·期末）如图，线段，点C是线段上的一个动点，点C从点A出发，以每秒2个单位的速度从点A运动到点B，再从点B运动到点A，然后停止，设点C运动的时间为． (1)当时， ；时， ； (2)用含t的式子表示整个运动过程中的长度； (3)设点D是线段的中点，E是线段的中点，点C从点A向点B运动时，线段的长度是否变化？若不变，求出的长度；若变化，说明理由． 【答案】(1)4，6； (2)当时，；当时， (3)5． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，线段的和差以及线段中点的有关计算，分情况计算是解题关键． （1）根据题意先得出当时，点运动到点处，时，点从点处返回点，然后求出以及时的结果即可； （2）由（1）分析可知：当点从运动到点时以及当点从运动到点时，两种情况下的长度； （3）根据线段中点的相关计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知当时，点运动到点处，时，点从点处返回点， ∴ 当时，， 当时，（厘米）， 故答案为： 4，6． （2）解：由题意可知时，点C从点A运动到点B，，点C从点B处返回点A， ∴时，， 当点C从B运动到点A时，即时，； （3）解：当点C从点A向点B运动，线段的长度不变化， ∵D是线段的中点，E是线段的中点， ∴，， ∴． 变式2-2（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，点是定长线段上一定点，点，分别从点P，B同时出发以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），其中、满足条件：．运动的时间为，且点，运动到任一时刻，总有． (1)直接写出：_____，_____； (2)若，请求出的长； (3)若点是直线上一点，且，求的值； (4)若、运动5秒后，恰好有，此时点停止运动，点继续运动（点在线段上），、分别是、的中点，问的值是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请求出的值． 【答案】(1)1，3 (2) (3)的值为或1 (4)不变， 【分析】本题考查了两点间的距离，能够根据点的运动情况，进行分类讨论是解题的关键． （1）非负性求出的值即可； （2）根据题意，得到，进而求解即可； （3）分两种情况：当点Q在线段上时，当点Q在线段的延长线上时，分别求解即可； （4）先求出的值，进而求出的值，再分两种情况求出的值，进而求出的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，； （2）由（1）和题意可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：当点Q在线段上时， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（2）知：， ∴ ∴， ∴； 当点Q在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∴； 综上，的值为或1； （4）不变； 当时，点C停止运动，此时，， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∴； ①如图，当M，N在点P的同侧时    ； ②如图，当M，N在点P的异侧时    ． ， 当点C停止运动，D点继续运动时，的值不变， ∴，值不变． 变式2-3（25-26七年级上·福建漳州·期末）如图线段，动点从点出发，以个单位长度/秒的速度沿射线运动，点为线段的中点，点为线段的中点，设运动时间为． (1)当点在射线上运动时， ①当时，线段的长度为________； ②线段的长度为________． (2)当点在线段上运动时，下列个结论中：①为定值；②为定值．正确的结论是________，说明理由并求其值． (3)若动点出发时，动点也同时从点出发，以个单位长度/秒沿射线运动．是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2) 解：正确结论①，为定值，理由如下： 依题意， 点为中点， 为定值． (3)存在，的最小值为 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，涉及线段中点的性质、代数式表示线段长度以及绝对值函数的最值求解，熟练运用中点公式和绝对值的几何意义是解答本题的关键． （1）①根据动点运动速度和时间求出线段长度，结合中点性质计算线段的长度； ②利用中点性质分别表示出和，再通过线段和差求出的长度； （2）用含时间的代数式分别表示和，代入两个结论的表达式进行化简，判断是否为定值； （3）建立数轴模型，用绝对值表示和，将目标表达式转化为绝对值函数，通过分段讨论或利用绝对值的几何意义，求出函数的最小值． 【详解】（1）解：①当时，， ， ； ②， ， ， ． （2）略 （3）解：存在最小值．以点为原点，射线的方向为正方向，建立数轴； 点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为 点为中点 点表示的数为 ，， 当时，； 当时，； 当时，， 综上所述，的最小值为． 题型三、线段上含动点求时间问题 典例3 （25-26七年级上·河南商丘·期末）如图①，已知线段，点C为线段AB上的一点，点D，E分别是AC和BC的中点． （1）若，则DE的长为_____________； （2）若，求DE的长； （3）如图②，动点P，Q分别从A，B两点同时出发，相向而行，点P以每秒3个单位长度的速度沿线段AB向右匀速运动，点Q以点P速度的两倍沿线段AB向左匀速运动，设运动时间为t秒，问当t为多少时，P，Q之间的距离为6？ 【答案】（1）6；（2）6；（3）或2 【分析】(1)根据图形，由AB= 12，AC=4得出BC= 8再根据点D，E分别时AC和BC中点，得出DC，EC，再根据线段的和求出DE， (2)根据图形，由AB= 12，BC=m得出AC=12-m 再根据点D，E分别时AC和BC中点，得出DC，EC，再根据线段的和求出DE， (3)用含t的式子表示AP，BQ，再画出两种图形，根据线段的和等于AB，得到两个一元一次方程，即可求出． 【详解】解：如图 (1)∵AB= 12，AC=4 ∴BC= 8 ∵点D，E分别时AC和BC中点， ∴DC=2，BC=EC=4 ∴DE=DC+CE=6 (2)∵AB= 12， BC= m ∴AC=12-m ∵点D， E分别时 AC和BC中点 ∴DC=6-m，BC=EC= ∴DE=DC+CE=6 (3)由题意得，如图所示， 或 AP=3t，BQ= 6t ∴AP+PQ+BQ=12或AP+ BQ- PQ= 12 ∴3t+6+ 6t= 12或3t + 6t- 6= 12 解得t=或t= 2 故当t=或t= 2时，P，Q之间的距离为6. 题型模版 1.特征：线段上动点按速度移动，求到达某位置或满足某距离关系所需时间。 2.方法：设运动时间为t，用速度乘时间表示动点位置或移动距离，根据等量关系列一元一次方程求解。 变式3-1（25-26七年级上·四川成都·期末）A、D两地相距，B地位于A、D之间． (1)如图1，若地恰好位于中点处，地恰好位于中点，求两地之间的距离． (2)如图2，已知两地相距地恰好位于中点处，地恰好位于中点，求两地之间的距离． (3)若AB两地相距，在（2）的条件下，甲从P地出发，以的速度步行去C地，甲中途不休息．与此同时，乙从地出发，以的速度骑车去B地，B地休息2小时后以原速返回地，到达地后停止运动．在运动过程中，甲的运动时间记为，两人相距时，求出满足条件的的值． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】本题考查了线段中点的性质、线段的和差计算，以及动态行程问题中的方程思想．掌握中点公式的运用，并能根据运动过程的不同阶段（相遇前、相遇后、追及等）准确建立方程是解题的关键． （1）直接利用M、N分别为和中点的条件，将的长度表示为与之和，再通过等量代换转化为的一半，即可求解； （2）本问在（1）的基础上增加了线段，解题关键在于将的长度通过中点公式转化为与之和，并注意减去重叠部分，经过代数化简最终得到； （3）本问为综合行程问题．核心是根据甲、乙不同的运动阶段（相向而行、相遇后、乙在B地休息后返回）及甲先到达终点C的情况，分类讨论两人相距的条件．需分别针对“未相遇”、“已相遇”、“乙返回后未追上甲”及“乙返回后追上甲”等多种情形建立方程求解，并检验解是否符合对应阶段的时空范围． 【详解】（1）解：∵地恰好位于A、B中点处， ∴， ∵地恰好位于B、D中点， ∴， ∴（）， 故答案为：． （2）解：∵P地恰好位于A、C中点处， ∴， ∵地恰好位于B、D中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴（）． 故答案为：． （3）解：∵甲从P地出发，以的速度步行去C地， ∴甲走的路程为， ∵乙从地出发，以的速度骑车去B地， ∴乙走的路程为， ① 若甲乙未碰面， 则有 解得 若甲乙已经碰面， ∵AB两地相距， 即， ∴， ∴， ∴， ∴甲从P地走到C地用时为（）， ∴乙从Q地走到B地用时为（）， ②   则有 解得； ③  若乙从B地再出发后未追上甲， ， 解得：； ④若乙从B地再出发后追上甲，甲乙之间相距， 即， 解得：， 综上所述，当或或或时，两人相距． 变式3-2（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）如图①，已知点C在线段上，线段厘米，厘米，点M，N分别是，的中点． (1)求线段的长度； (2)根据第（1）题的计算过程和结果，设，其他条件不变，求的长度； (3)动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2厘米/秒的速度沿向右运动，终点为B，点Q以1厘米/秒的速度沿向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时： ①点P恰好为线段的中点？ ②直接写出C、P、Q三点中有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？（除①外） 【答案】(1)厘米 (2) (3)①   ②或 【分析】本题考查了线段的中点和计算，利用线段中点的性质得出关于t的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏． （1）根据中点的定义、线段的和差，可得答案； （2）根据中点的定义、线段的和差，可得答案； （3）①分为为线段的中点和为线段的中点，利用线段中点的定义，可得方程，根据解方程，可得答案； ②分为C为线段的中点和点为线段的中点，利用线段中点的定义，可得方程，根据解方程，可得答案． 【详解】（1）解：∵线段 厘米， 厘米，点, 分别是, 的中点, 厘米， 厘米， 厘米； （2）∵点, 分别是的中点, ， ； （3）解：①当 时，为线段的中点，， 解得； ②当时，是线段的中点，得 解得 当 时，为线段的中点， 解得 当时，为线段的中点， 解得(舍) , 综上所述：或 变式3-3（25-26七年级上·天津·期末）如图，在数轴上，数a、b所对应的点分别为A、B，点O表示原点，且a、b满足，点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右运动，点Q从B点出发，沿数轴向左运动，点P的速度是点Q速度的，P、Q两点同时出发，相遇后即停止运动． (1)点A表示的数是_____，点B表示的数是______； (2)点Q的速度为每秒______个单位，当______秒时P、Q两点停止运动； (3)点C是线段的一个三等分点，点M是的中点，设P、Q两点运动的时间为秒，用含t的式子表示线段的长，不用写出t的取值范围； (4)假设动点P，Q相遇后不停止运动，且只知P的速度小于Q的速度，其余条件不变．E为的中点，F为的中点，当点P在线段上运动时，直接写出线段与的数量关系． 【答案】(1)，18； (2)3， (3)当点C表示6时，，当点C表示12时，； (4)或 【分析】本题主要考查线段的加减，整式的加减，列代数式，注意分类讨论是解题的关键． （1）根据完全平方式和绝对值的非负性得出结论即可； （2）根据题意求得点的速度，再计算点相遇时间即可； （3）分情况，即点是靠近点的三等分点或点是靠近点的三等分点，再表示出的长即可； （3）分情况，即两点相遇之前或两点相遇之后，设，，则，表示出即可解答． 【详解】（1）解：， ，， 解得，， 故点A表示的数是，点B表示的数是18； （2）解：由题意可得点Q的速度为每秒个单位， ， 则当秒时P、Q两点停止运动； （3）解：根据题意知，点表示的数为，表示的数为， 设表示的数为， 是的中点， ， ， ， 点是的三等分点，， 点表示6或12， 当点表示6时，， 当点表示12时，， 即当点表示6时，， 当点表示12时，； （4）解：当点相遇之前，如图， 设，，则， ，，， E为的中点，F为的中点， ，， ， ； 当点相遇之后，如图， 设，，则， ，，， E为的中点，F为的中点， ，， ， ； 综上，线段与的数量关系为或． 题型四、线段上含动点的新定义型问题 典例4 （25-26七年级上·河南许昌·期末）【概念学习】点C在直线上，若则称a是点C在直线上的“求真值”，记作 例如，如图，若则点M在直线上的“求真值”是记作若则故点D在直线上的“求真值”是记作 【理解与应用】 (1)已知点M在线段上，若，则若则 ． (2)如图，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1、3的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）．若点C、D运动时，总有， ①求的值； ②若N是直线上一点，且，求的值． 【答案】(1)， (2)①；②或 【分析】本题考查对新定义的理解，线段的和差计算； （1）由“求真值”的定义可得，据此即可求解； （2）①设运动时间为t秒，由，可得，进而得到，即可求出； ②分类讨论：当点N在线段上时，可得，即可求出；当点N在线段的延长线上时，，即可求出. 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴， ∴. 故答案为：，. （2）解：①设运动时间为t秒， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. ②当点N在线段上时，如图： ∵， ∴ ∴， ∴， 当点N在线段的延长线上时，如图： ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴. 综上:或. 题型模版 1.特征：定义与线段动点相关的新概念（如“好点”），按新规则求动点位置或时间。 2.方法：读懂新定义，将其转化为线段长度关系式，设动点位置或时间为x，列方程求解并检验范围。 变式4-1（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）【新知理解】 如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB、AM和BM，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“和谐点”． (1)线段的中点__________这条线段的“和谐点”（填“是”或“不是”）； 【初步应用】 (2)如图②，若CD＝12cm，点N是线段CD的和谐点，则CN＝_____________cm； 【解决问题】 (3)如图③，已知AB＝15cm，动点P从点A出发，以1cm/s速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t，请直接写出t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的和谐点． 【答案】(1)是 (2)6或4或8c (3)t为3或或或或或6 【分析】（1）若点M是线段AB的中点时，则AB＝2AM＝2BM，由此即可得到答案； （2）分①当N为中点时，CN＝＝6cm；②N为CD的三等分点，且N靠近C时，CN＝＝4cm；③N为CD的三等分点且N靠近D时，CN＝＝8cm． （3）分P为A、Q的和谐点，Q为A、P的和谐点，两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：若点M是线段AB的中点时，满足AB＝2AM＝2BM， ∴线段的中点是这条线段的“和谐点”， 故答案为：是； （2）解：①当N为中点时，CN＝＝6cm； ②N为CD的三等分点，且N靠近C时，CN＝＝4cm； ③N为CD的三等分点且N靠近D时，CN＝＝8cm． 故答案为：6cm或4cm或8cm； （3）解：∵AB＝15cm， ∴t秒后，AP＝t，AQ＝15﹣2t（0≤t≤7.5）， 由题意可知，A不可能为P、Q的和谐点，此情况排除； ①P为A、Q的和谐点，有三种情况： 1）P为中点，AP＝AQ，即t＝（15﹣2t）， 解得t＝； 2）P为AQ的三等分点，且P靠近A，AP＝AQ，即t＝（15﹣2t）， 解得t＝3； 3）P为AQ的三等分点，且P靠近Q，AP＝AQ，即t＝（15﹣2t）， 解得t＝； ②Q为A、P的和谐点，有三种情况： 1）Q为中点，AP＝AQ，即15﹣2t＝t， 解得t＝6； 2）Q为AP的三等分点，且P靠近A，AP＝AQ，即15﹣2t＝t， 解得t＝； 3）Q为AP的三等分点，且P靠近Q，AP＝AQ，即15﹣2t＝t， 解得t＝． 综上所述，t为3或或或或或6时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的和谐点． 变式4-2（25-26七年级上·辽宁本溪·期末）对于数轴上A，B，M，N四点，给出如下定义：当点M在线段上（不与点A，B重合），称为点M关于线段的“内差距”；当点N在线段AB外，称为点N关于线段的“外差距”． 如图，点A表示的数为，点B表示的数为4．若点M表示的数为，则“内差距”；若点N表示的数为5，则“外差距”． (1)已知点A表示的数为，点B表示的数为3． ①若点M关于线段的“内差距”，求证：点M是线段AB的中点； ②若点M表示的数为m，点M关于线段的“内差距”为，点N关于线段的“外差距”为，且，求m的值； (2)点A表示的数为x，，点Q关于线段的“外差距”，原点O关于线段的“内差距”，若，求点Q表示的数． 【答案】(1) ①证明：∵点M关于线段的“内差距”， ∴， ∴， ∴点M是线段的中点； ②或 (2)或 【分析】本题考查线段的和差关系，绝对值，掌握“内差距”“外差距”的定义是解题的关键． （1）①由可得，进而可得；②先根据“外差距”的定义求出，进而可得，再根据，求出，分和两种情况，分别计算即可； （2）根据，可得，根据，可得，进而可得或4，或，分点Q在点A右侧与左侧两种情况，分别计算即可． 【详解】（1）解：①略 ②∵点N关于线段的“外差距”为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点M关于线段的“内差距”为， ∴， 当时，，， ∴， 当时，，， ∴， 综上所述，m的值为或； （2）解：∵点Q关于线段的“外差距”， ∴， ∵原点O关于线段的“内差距”为，， ∴， ∴或， ∴或4， ∴或， 当点Q在点A右侧时，点A表示的数为x，点Q表示的数为，点B表示的数为， ∴或4， ∴点Q表示的数为9或17， 当点Q在点A左侧时，点A表示的数为x，点Q表示的数为，点B表示的数为， ∴或 ∴点Q表示的数为或， 综上所述，点Q表示的数为或. 变式4-3（25-26七年级上·辽宁朝阳·期末）如图，数轴上点A，B，C，D所表示的数分别为为坐标原点．老师启发同学们根据所学知识先独立思考，再合作交流，探索并发现数学结论，解决问题． 【独立思考】 （1）线段____________，___________，若线段中点表示的数是，线段中点表示的数是，则___________，___________． （2）若数轴上一条线段两个端点表示的数分别为和，则这条线段中点表示的数为____________．（用含a，b的代数式表示） 【合作交流】 某学习小组经过探索给出如下新定义：在同一条直线上，两条线段中点之间的距离称为这两条线段的“平均距离”．例如：线段和的“平均距离”为： 【探索解题】 （3）求线段和线段的“平均距离”． （4）若线段以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点以每秒v个单位长度的速度向左运动，点和点静止不动，设运动时间为．若线段和线段的“平均距离”保持不变，求v的值． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了数轴动点问题，掌握数轴上两点之间的距离，中点公式是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间距离的表示方法以及中点公式，即可解答； （2）根据中点公式即可解答； （3）先求出线段中点表示的数和线段中点表示的数，再根据“平均距离”的定义即可解答； （4）根据题意求出线段和线段的“平均距离”，根据线段和线段的“平均距离”保持不变，得出t的系数为0，则，即可解答． 【详解】（1）解：数轴上点A，B，C，D所表示的数分别为， ∴， 故答案为：；     （2）解：∵线段两个端点表示的数分别为和， ∴这条线段中点表示的数为， 故答案为：； （3）解：∵线段中点表示的数是，线段中点表示的数是， ∴线段和线段的“平均距离”为， （4）解：由题意，得点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴线段的中点所表示的数是，线段的中点所表示的数是， ∴线段和线段的“平均距离”为 ∵线段和线段的“平均距离”保持不变， ∴，解得． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．如图，线段，O是线段上的中点，P、Q是线段上的动点，点P沿以的速度运动，点Q沿以的速度运动．若P、Q点同时运动，当时，运动时间为（     ）． A．、或 B．、或 C．、、或 D．、、或 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题、一元一次方程的应用，学会根据两点间的距离列出方程是解题的关键．设运动时间为，分别表示出和的长，再结合列出方程，求出的值即可解答． 【详解】解：线段，O是线段上的中点， ， 设运动时间为，则， ， ， 点P沿以的速度运动， 分两种情况讨论： ①当点P沿运动时，点P到达点需要时间， 当时，， ， ， ， 或， 解得：或， ②当点P沿运动时，此时，， ， ， ， ， 或， 解得：或， 综上所述，当时，运动时间为、、或． 故选：C． 2．定义：如图1，点在射线上，图中共有三条线段，和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“美点”．如图，已知，动点，分别从点，同时出发沿相向运动，速度分别为，，当点到达点时，运动停止．设点的运动时间为，当点恰好是线段的“美点”时，最大值与最小值的差为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了几何新定义，一元一次方程的应用，线段的和差计算，根据题意，分别表示出，根据新定义可得或或，进而列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：动点，分别从点，同时出发沿相向运动，速度分别为，，设点的运动时间为， ∴，， 当时，相遇，即， 解得： 当时，， 当时，， ∴， 由新定义可知或或， 当时，则， 解得或（舍去） 当时，则， 解得； 当时，则， 解得或， ∴的最大值为，最小值为， ∴， 故选：D． 3．如图，线段，动点P从A出发，以的速度向点B运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（   ） ①运动后，； ②在点P运动过程中，值随着点P位置的变化而变化； ③当时，运动时间为． A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 【答案】D 【分析】本题考查两点间的距离，动点问题，线段的和差问题，根据题意，分别用代数式表示出的长，根据线段之间和差倍关系逐一判断即可． 【详解】解：运动后，， ∵为的中点，为的中点， ∴， ∴，故①正确； 设运动秒，则， ∵为的中点，为的中点， ， ∴， ， ∴的值不变，故②错误； ， ， 解得：，故③正确； 故选：D． 二、填空题 4．已知线段，动点P从点A出发，以每秒的速度沿向右运动，同时，动点Q从点B出发，以每秒的速度沿向左运动，设运动时间为t秒．在整个运动过程中，请你用t的式子表示线段的长 ． 【答案】或 【分析】本题考查两点间的距离，t秒后点P的路程是，点Q的路程是，再根据两点运动的方向和的长可得答案． 【详解】解：∵t秒后点P的路程是，点Q的路程是，， ∴在P与Q相遇前，； 在P与Q相遇后，． 故答案为：或． 5．已知线段，动点P从点A出发，以的速度沿运动，同时动点Q从点B出发，以的速度沿运动，其中一点到达终点时，另一点也停止运动．当点P出发 s时，P，Q两点重合． 【答案】3或6 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及两点间的距离，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 利用时间路程速度，可求出点，到达终点所需时间，设点的运动时间为 ，分及两种情况考虑，当时，，，根据，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值；当时，，，根据，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值． 【详解】解：，，． 设点的运动时间为 ， 当时，，， 根据题意得：， 解得：； 当时，，， 根据题意得：， 解得：． 综上所述，当点出发或时，，两点重合． 故答案为：3或6． 6．如图，线段，动点从出发，以的速度沿运动，为的中点，为的中点． ①运动后，；②的值随着运动时间的改变而改变；③的值不变；④当时，运动时间为．   以上说法正确的是 ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了线段的中点定义，线段的和差倍问题，一元一次方程的应用，根据题意分别用代数式表示出的长，根据线段之间和差倍关系逐一判断即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：运动后，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴，故①错误； 设运动，则，， ∵为的中点，为的中点， ∴，， ∴， ∴的值随着运动时间的改变而改变，故②正确； ∵，， ∴， ∴的值不变，故③正确； ∵，， 当时，则， 解得，故④正确； 综上，说法正确的是②③④， 故答案为：②③④． 三、解答题 7．如图，线段，动点从点出发，以每秒2个单位的速度向点运动，为的中点，为的中点． (1)点出发_____秒后，． (2)在点的运动过程中，有如下两个结论：①的长度不变；②的长度不变．请选择一个正确的结论，并求出其值． 【答案】(1)7 (2)选①的长度不变，；选②的长度不变， 【分析】本题考查了两点间的距离，解答本题的关键是用含时间的式子表示出各线段的长度． （1）根据题意分析，列出方程，解方程，求出t的值即可． （2）选①，由中点定义得，， 然后根据即可求解； 选②，，由中点定义得，进而可求出． 【详解】（1）解：设出发x秒后， ，，， 由题意得，， 解得：； 故答案为：7； （2）解：选①，的长度不变． 点为线段的中点，点为线段的中点， ，， 或选②，的长度不变． 点为线段的中点， ． 8．如图，已知数轴上点表示的数为8，点表示的数为．动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)线段的长为 单位长度，点P运动t秒后表示的数为 （用含t的代数式表示）； (2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时与点Q相距4个单位长度？ (3)若M为的中点，N为的中点．点P在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长． 【答案】(1)， (2)或 (3)不变，线段的长度为 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程，数轴上线段中点的表示方法，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）利用两点间的距离公式求得线段的长，然后结合路程速度时间求得点表示的数； （2）先用含有的式子表示点和点表示的数，然后根据、相距4个单位列出方程，再解方程求得的取值； （3）先利用中点公式求得点和点表示的数，再计算的线段长度． 【详解】（1）解：， 点运动的路程为个单位长度， 点运动秒后表示的数为：， 故答案为：，； （2）由题意得，点运动秒后表示的数为， 点与点相距4个单位， ， 解得：或， 点运动8秒或12秒时与点相距4个单位长度； （3）线段的长度不发生变化，理由如下， 为的中点，点表示的数为8，点表示的数为， 点表示的数为， 为的中点，点表示的数为，点表示的数为， 点表示的数为， ， 线段的长度为10． 9．如图，点C为线段的中点，．动点P从点B出发，在线段上匀速运动，先以每秒2个单位的速度从点B运动到点C，接着以每秒1个单位的速度运动到点A，最后以每秒4个单位的速度从点A回到点B：同时，动点Q从点C出发，也在线段上匀速运动，先以每秒1个单位的速度从点C运动到点A，接着以每秒2个单位的速度从点A回到点B．设点P的运动时间为t（s）． (1)当点P与点C第二次重合时，求的长； (2)当时，求证：； (3)当点P、点Q相遇时，求t的值； (4)当时，直接写出t的值． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)当点P、Q相遇时，t的值为或8； (4)当时，t的值为1或或． 【分析】（1）分别求出和的长，即可求出； （2）当时，点P在线段上，点Q在线段上，求出即可； （3）分段讨论，当时，当时，当时，当时，分别列方程求解即可； （4）分情况，利用列方程，求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵点C为线段的中点，． ∴ 点P从点B运动到点C时间为秒，从点C运动到点A时间为秒，从点A运动到点C时间为秒， ∴点P与点C第二次重合时时间为秒， 点Q从点C运动到点A时间为秒，则点Q运动秒时， ∵， ∴； （2）证明：当时，点P在线段上，点Q在线段上， 此时，， ∴ （3）解：当点P、Q相遇时， ①当时，点P在上，点Q在上，此时点P、Q不能相遇； ②当时，点P、Q都在线段上，当点P、Q相遇时，，方程无解； ③当时，点P从点C向点A运动，点Q从点A向点C运动， 此时， 当点P、Q相遇时，解得； ④当时，点P、Q均从点A向点B运动，此时，， 当点P、Q相遇时，，解得； 综上，当点P、Q相遇时，t的值为或8； （4）解：当时，，解得； 当时，，解得（舍）． 当时，， ∴，解得； 当时，，， ∴，解得； 当时，，， ∴，方程无解； 综上，当时，t的值为1或或． 10．已知数轴上有三点A，B，C，它们对应的数分别a，b，c，且，点C对应的数是20，． (1)若，求a，b的值； (2)在（1）的条件下，动点P，Q分别从A，C两点同时出发向左运动，同时动点R从点B出发向右运动，点P，R，Q的速度分别为8个单位长度/秒、4个单位长度/秒、2个单位长度/秒，M为线段的中点，N为线段的中点，R，Q相遇后三点同时停止运动，则在三点出发后多少秒时，恰好满足？ (3)在（1）的条件下，O为原点，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P向左运动，点Q向右运动，点P的运动速度为8个单位长度/秒，点Q的运动速度为4个单位长度/秒，N为的中点，M为的中点，在点P，Q运动的过程中，的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)2.5秒 (3)值不变；是定值10；理由见解析 【分析】（1）根据，得出，利用点对应的数是20，即可得出a，b的值； （2）设在三点出发后x秒时，Q在R右边时，恰好满足，表示出，，然后列方程求解即可； （3）设运动的时间为t，则，，表示出，然后根据中点的性质得到，，然后表示出，进而求解即可． 【详解】（1）解：如图，∵， ∴， ∵C点对应的数为20， ∴点A对应的数为：，点B对应的数为：， ∴，； （2）解：如图2，根据（1）可得， 设在三点出发后x秒时，Q在R右边时，恰好满足， ∵，， ∴当时，， 解得：， ∴在三点出发后2.5秒时恰好满足； （3）解：的值不变．理由如下： 如图3，设运动的时间为t，则，， 由（1）可得，点C表示20， ∴，，， ∴， ∵M为的中点，N为的中点， ∴，， ∴， ∴． 即的值不发生变化，是定值10． 11．如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，其中b是最大的负整数，a，c满足，请回答下列问题： (1)_____， _______， _____． (2)若将数轴折叠，使得点A与点C重合，此时点B与表示某数的点重合，则此数为______． (3)有一动点P从点A开始以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时另一动点Q从点C开始以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为t秒 ① t为何值，点Q追上点P？ ②是否存在t值，使得？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；；4； (2)3 (3)①3；②存在t值为或，使得． 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，非负数的性质： （1）根据非负数的性质，即可求解； （2）求得中点对应的数，即可求解； （3）①点P表示的数为，点Q表示的数为，当点Q追上点P时，，求解即可； ②根据运动方向和运动速度分别表示出t秒后，点P对应的数为，点Q对应的数为，然后分两种情况，结合，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∵b是最大的负整数， ∴， 故答案为：；；4； （2）解：由题意可得，中点对应的数为， ∵点B表示的数为， ∴点B与表示3的点重合； 故答案为：3； （3）①点P表示的数为，点Q表示的数为， 当点Q追上点P时， ， 解得， ∴t为3时，点Q追上点P； ②解：存在， 根据题意得：t秒后，点P对应的数为，点Q对应的数为， 当点B，Q重合时，，此时， 当点Q在点B的右侧时，此时， ∵， ∴， 解得：； 当点Q在点B的左侧时，此时， ∵， ∴， 解得：； 存在t值为或，使得． 12．如图①，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“奇点”． 【新知理解】 （1）线段的中点________这条线段的“奇点”；（填“是”或“不是”） 【问题解决】 （2）若点和点在数轴上表示的数分别是和，点是线段的“奇点”，求点在数轴上表示的数． 【应用拓展】 （3）如图②，已知．动点从点出发，以的速度沿向点匀速移动；点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当点是线段的“奇点”时，直接写出运动时间的所有可能值． 【答案】（1）是；（2）或或；（3）或或 【分析】本题考查新定义，数轴上两点间的距离和一元一次方程的应用， （1）根据“奇点”的定义即可求解； （2）设点在数轴上表示的数为，则，，，根据“奇点”的定义，分情况讨论，当或或，分别计算即可； （3）根据“奇点”的定义，分情况讨论，当或或，分别计算即可； 解题的关键是理解题意，利用分类讨论的思想解决问题． 【详解】解：（1）设点为线段的中点， ∴， ∵点在线段上， ∴中点是线段的“奇点”， 故答案为：是； （2）设点在数轴上表示的数为， ∵点和点在数轴上表示的数分别是和， ∴，， ∵点是线段的“奇点”， ∴点在线段上，且或或， 当时，得：， 解得：； 当时，得：， 解得：； 当时，得：， 解得：； 综上所述，点在数轴上表示的数为或或； （3）秒后，，，， ∵点是线段的“奇点”， ∴或或， 当时，得：， 解得：； 当时，得：， 解得：； 当时，得：， 解得：； ∴当为或或时，点是线段的“奇点”． 13．如图①，点M是线段上任意一点，图中共有三条线段和，若其中的两条较短线段中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段的“友好点”． (1)若，点M是线段上靠近点A的“友好点”，求的长； (2)如图②，若，点M是线段的“友好点”，点N是线段的中点，则__________； (3)如图③，已知，动点P从点A出发，以速度沿向点B匀速移动，点从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为t，请求出t为何值时， 三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“友好点”． 【答案】(1)； (2)或； (3)或4或或． 【分析】本题主要考查了线段中点和三等分点有关的计算，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想求解． （1）根据题目中所给的“友好点”的定义，进行求值即可． （2）根据“友好点”的定义可得或可求出的长，再由中点的定义可得的长，再求出的长即可得出结果． （3）由题意可知，A不可能是“友好点”，故此题分两大类情况，P或Q点是“友好点”，再分别当P点是“友好点”时，和Q点是“友好点”时，根据“友好点”的定义列方程求解即可． 【详解】（1）点M是线段上靠近点A的“友好点” 根据“友好点”的定义可得，， ， ， 解得， ． （2）由题意可知，点N是线段的中点， 不是线段的中点， 当点是靠近点的三等分点时， 有， ， ， ， ， ， 当点是靠近点的三等分点时， 有， ， ， ， ， ． （3）由题意可知，A点不可能是“三等分点”， 故P或Q点是“三等分点”． ， t秒后，，， 当P点是“三等分点”时，， 当时， 有， 解得 当时， 有， 解得， 当Q点是“三等分点”时，， 当时， 有， 解得 当时， 有， 解得 综上所述：或4或或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $