专题10 角的和与差及角平分线问题的四类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版七年级上册

专题10 角的和与差及角平分线问题的四类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、角的和与差的计算问题 题型二、角中单条角平分线的计算问题 题型三、角中双条角平分线的计算问题 题型四、角中多条角平分线的计算问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：常考角的和差计算、单/双角平分线求值，图形中射线位置不定。 - 解题方法：设未知数构建方程，利用角平分线定义进行等量代换；无图时务必分类讨论射线在内或在外。- 易错提醒：角平分线是射线而非线段；度分秒计算是六十进制，注意进位与退位。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、角的和与差的计算问题 典例1 （25-26七年级上·四川广元·期末）如图，若，，则的度数为________． 【答案】 / 【分析】根据平角的定义，进行计算即可. 【详解】解：∵，， ∴. 题型模版 1.特征：角可分割或组合，已知部分角求整体或差角。 2.方法：理清角的和差关系，用角的度数列式运算求解。 变式1-1（25-26七年级上·河南驻马店·期末）如图，，，则的度数为_____度． 【答案】 【分析】本题考查了角的计算，利用角的等量代换可求得，再求解的度数即可． 【详解】， ， ， ． 变式1-2（25-26八年级上·广东云浮·期末）如图，与都是直角，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了直角的定义及角的和差计算，结合图形找出数量关系是解答本题的关键． 由题可知，根据求出的值，再根据求出的值． 【详解】解：由题可知， 又因为， 所以， 所以． 故答案为：． 变式1-3（25-26七年级上·浙江丽水·期末）如图，点O在直线上，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先得出，再根据可得答案； （2）根据角的比例可得，再根据角的和差可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型二、角中单条角平分线的计算问题 典例2 （25-26六年级下·山东青岛·期中）如图，与的度数比为，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由与的度数比为，求出，再求出的度数，再结合角平分线的定义计算即可得出结果； （2）设，则，，由角平分线的定义可得；求出，可得，求解即可． 【详解】（1）解：∵与的度数比为，， ∴， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：∵与的度数比为， ∴设，则， ∴， ∵平分， ∴； ∵， ∴， ∴， ． 题型模版 1.特征：角内一条角平分线，分角相等，求角度或角的和差。 2.方法：设未知角，用平分得相等角，列方程或和差关系求解。 变式2-1（25-26七年级上·安徽阜阳·期末）如图，点在直线上，，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，求的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，角平分线的计算，正确的识图，理清角之间的和，差，倍数关系，是解题的关键． （1）先根据角的和差求出，再根据角平分线的定义求出，即可求解； （2）先求出，再根据角平分线的定义求出，再根据角的和差即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ， 平分， ， ； （2）解：， ， 平分， ， ． 变式2-2（25-26七年级上·山东临沂·期末）如图，在内部顺次有、、三条射线，，，平分． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查角的和与差，有关角平分线的计算，仔细观察图形找到数量关系，是解答关键． （1）根据解答即可； （2）先求出，再由角平分线的定义可得的度数，即可求解． 【详解】（1）解：， ． ． （2）解：， ， 平分， ． ． 变式2-3（25-26七年级下·广东中山·期末）如图，直线，相交于点，于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平角的定义求出的度数，根据角平分线的定义，求出的度数，进而求出的度数即可； （2）根据角的和差关系和数量关系，求出的度数，进而求出的度数，由角平分线的定义，求出的度数. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴. 题型三、角中双条角平分线的计算问题 典例3 （25-26七年级下·山东临沂·期中）直线与相交于点分别是的角平分线． (1)若，求和的度数； (2)试问射线与之间有什么特殊的位置关系？为什么？ 【答案】(1) (2)射线与互相垂直，理由见解析 【分析】根据平角的定义，得到，利用等量代换与角平分线的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：∵是平角，， ∴， ∵分别是的角平分线， ∴， ∴． （2）解：射线与垂直，理由如下： ∵分别是的角平分线， ∴， ∵是平角， ∴， 即， ∴， ∴射线与互相垂直． 题型模版 1.特征：一个角内两条角平分线，求夹角或相关角度关系。 2.方法：设角为未知数，用角平分线条件表示各角，列方程求解。 变式3-1（25-26七年级上·广东广州·期末）如图，已知，，，是内部的射线，平分，平分，，求和的度数． 【答案】， 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差计算． 由角平分线得到，则，再由角平分线得到，最后根据即可求解． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴ ∵平分， ∴， ∴． 变式3-2（25-26七年级下·河南南阳·开学考试）如图1，点A，O，B在同一条直线上，射线和射线分别平分和． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； (3)如图2，若点A，O，B不在同一条直线上（），是射线，且，，并求出的度数（用含α或β的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据角平分线的定义，得到和的度数，再根据计算即可求解； （2）根据角平分线的定义，得到，，又根据，可得，利用，求出的度数，即可的度数； （3）分情况画出图形，根据角平分线的定义和角的和差关系即可求解． 【详解】（1）解：∵点A，O，B在同一条直线上， ∴， ∵， ∴， ∵和分别平分和， ∴，， ∴， 则的度数为； （2）解：∵和分别平分和， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则的度数为； （3）解：∵和分别平分和， ∴，， 第一种情况如图， ∵， ∴， ∴，， ∴； 第二种情况如图， ∵， ∴， ∴，， ∴； 综上可知：的度数为． 变式3-3（2026七年级上·全国·专题练习）【问题背景】 如图，已知，是内的一条射线，且． 【问题再现】 (1)的度数为_____，的度数为_____°； 【问题推广】 (2)作射线平分，在内作射线，使得，求的度数； 【拓展提升】 (3)过点O作射线、，且平分，若，求的度数． 【答案】(1)40，80 (2) (3)或 【分析】（1）根据，结合，进行求解即可； （2）根据角平分线的定义，角的数量关系，以及角的和差关系进行求解即可． （3）分在的内部和的外部，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知：，， ∵平分，， ∴，， ∴； （3）解：当在的内部时， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 当在的外部时， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 综上：或． 题型四、角中多条角平分线的计算问题 典例4 （24-25七年级上·江西上饶·期末）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成的两个角的射线，叫作这个角的三分线，显然，一个角的三分线有两条．例如：如图①，若，则是的一条三分线． (1)已知：如图①，是的一条三分线，且，若，求的度数； (2)已知：，如图②，若是的两条三分线，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）是的一条三分线，且，即可得，从而求得的度数； （2）已知是的两条三分线，根据三等分线的定义即可得的度数． 本题考查了与角n等分线的有关计算，以及几何图形的角度的计算，通过几何图形得到角度的和差，从而解决问题，同时也考查了根据题目获取信息，用所获取的信息解题的能力． 【详解】（1）解：∵是的一条三分线，且 ∴ （2）解：∵，，是的两条三分线， ∴ ∴． 题型模版 1.特征：角内多条角平分线，形成倍分关系，求角度或比值。 2.方法：设最小角为未知数，用角平分线转化，列方程求解。 变式4-1（24-25七年级上·四川广安·期末）如图，已知，射线在的内部，射线是靠近的三等分线，射线是靠近的三等分线． (1)若平分，求的度数． (2)小明说：“不论射线在的内部哪个位置，的度数始终保持不变．”你认为小明的说法是否正确？请说明理由． 【答案】(1) (2)正确， ∵射线是靠近的三等分线，射线是靠近的三等分线， ∴，， ∴． 【分析】本题考查角平分线和角三等分线，角的和与差． （1）根据角平分线得到，再根据三等分线可得和的度数，最后利用可得答案； （2）正确，按照（1）的思路计算即可． 【详解】（1）∵，平分， ∴， ∵射线是靠近的三等分线，射线是靠近的三等分线， ∴， ， ∴； （2）略 变式4-2（25-26七年级上·湖北恩施·期末）如图，点在直线上，，． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，得出，，根据，即可得出结果； （2）根据，得出，，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点在直线上，， ∴，， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵ ∴ 变式4-3（25-26七年级上·河北沧州·期中）如图1，已知射线在的内部，若，和三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的奇妙线． (1)一个角的平分线________这个角的奇妙线；（填“是”或“不是”） (2)如图2，． ①若射线是的奇妙线，则的度数为________； ②若射线从位置开始，以每秒旋转的速度绕点按逆时针方向旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为．当为何值时，射线是的奇妙线？ 【答案】(1)是 (2)①或或；②或或 【分析】（1）根据其妙线的定义进行判断即可； （2）①根据奇妙线的定义分三种情况讨论计算即可； ②射线是的奇妙线，在的内部，在的内部，然后分三种情况求解即可． 【详解】（1）解：一个角的平分线中，大角是小角的2倍，满足奇妙线的定义， 故答案为：是； （2）解：①，射线是的奇妙线，根据奇妙线的定义分三种情况讨论： 当时， ∵， ∴； 当时， ∵ ∴； 当时， ∵， ∴； 故答案为：20或30或40； ②∵射线是的奇妙线， ∴在的内部， ∴在的外部； 分三种情况： （Ⅰ）如图，当时，如图所示： ∴ ∴； （Ⅱ）如图，当时，如图所示： ∴， ∴； （Ⅲ）当时，如图所示： ∵， ∴， ∴； 综上：当t为或或时，射线是的奇妙线． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（26-27八年级上·辽宁鞍山·开学考试）如图所示，已知，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的度数，再进行角度求和运算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 2．（25-26七年级上·河南平顶山·期末）如图，平分，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线，角的计算．熟练掌握角平分线的定义，角的和差倍分关系，是解答本题的关键． 由角平分线的定义得，再根据，得，结合，即可得出的度数． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． 故选：A． 3．（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，点O是直线上一点，，平分，若，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ． ， ． 平分， ． ． 4．（25-26七年级下·重庆·开学考试）已知，在同一平面内，，射线在的外部，平分，平分，若，则的度数为（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据射线在外部的两种不同位置分类讨论，利用角平分线的定义和角的和差关系计算即可得到结果． 【详解】解：由题意，分两种情况讨论： ①如图1，当和分别在两侧时， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴； ②如图2，当和分别在两侧时， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴； 综上，的度数为或． 5．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）定义：若两个角的度数差的绝对值等于，则称这两个角互为“优角”，其中一个角是另一个角的“优角”．如，，，则和互为“优角”．如图，，射线平分，在的内部．若，则图中互为“优角”的共有（   ） A．3对 B．7对 C．5对 D．9对 【答案】B 【分析】本题考查了新定义及角的和差关系，掌握角的和差是解题的关键．根据互为“优角”的定义进行解答即可． 【详解】解：∵，射线平分， ∴； ∵ ∴互为“优角”； ∵， ∴互为“优角”； ∵ ∴互为“优角”； ∵ ∴互为“优角”； ∵ ∴互为“优角”； ∵ ∴互为“优角”； ∵ ∴互为“优角”； 故共有7对角互为“优角” 故选∶B． 二、填空题 6．（2026七年级上·全国·专题练习）如图，是直线上一点，为任一条射线，平分，平分，，则________度． 【答案】56 【分析】先求出的度数，再根据角平分线的定义解答． 【详解】解：，，三点共线， ， 平分， ． 7．（25-26七年级下·天津和平·期末）如图，点是直线上一点，．平分，于点，则________度． 【答案】 【详解】解：点是直线上一点，， ． 平分， ． ， ． 8．（26-27七年级上·全国·课后作业）如图，点在直线上，过作射线和，，是的平分线，已知，则_______． 【答案】 【分析】由可得，将、用表示，列方程求解． 【详解】解：∵， ∴， ， ， 点在直线上， ， ， 是的平分线， ， ， 解得． 9．（25-26七年级上·广东佛山·阶段检测）定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，设，则用含的代数式表示为______． 【答案】或 【分析】本题考查角的计算．解题关键是做出图形，注意分类讨论． 分情况讨论，即或时，分别讨论即可． 【详解】解：根据射线是的三等分线，可分情况讨论， 如图，当时， ， ， 如图，当时， ， ， 故答案为：或． 10．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，在同一平面内，已知直角三角板一边在直线上，另外两边在直线上方，且，．过点作射线，使得，再过点作射线，使得，平分，则的度数为______． 【答案】或或或 【分析】根据题意求出的度数，进而得到的度数，再分射线在内部和外部及射线在直线上方和下方四种情况解答即可． 【详解】解：，， ， 当射线在内部时，则， ， ∴分两种情况讨论：①当射线在直线上方时，如图， 则， 平分， ， ； ②当射线在直线下方时，如图， 则， 平分， ， ； 当射线在外部时，则， ， ∴分两种情况讨论：①当射线在直线上方时，如图， 则， 平分， ， ； ② 当射线在直线下方时，如图， 则， 平分， ， ； 综上所述，的度数为或或或． 三、解答题 11．（25-26七年级下·四川绵阳·开学考试）如图，O是直线上一点，以O为顶点作，其中位于直线的两侧，平分． (1)若，求的度数． (2)请你猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) ，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ． 【分析】（1）求出的度数，角平分线求出的度数，再根据平角的定义求出的度数； （2）同（1）法进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）略 12．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，直线相交于点，把分成两个角，且． (1)若，则是否为定值？若是，请求出定值；若不是，求说明理由． (2)若平分，平分，求的度数． 【答案】(1)为定值， (2) 【分析】本题主要考查了角的有关运算，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的和差倍分关系． （1）根据已知条件设，，再把和用含有的式子表示出来，然后求出答案即可； （2）设，，然后根据已知条件把，，用表示出来，再根据列出关于的方程，解方程求出，从而求出即可． 【详解】（1）解：（1）为定值， ， 设，， ， ， ， ， ， ； （2）， 设，， ， 平分， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 13．（25-26七年级上·河南漯河·期末）【综合与探究】 (1)如图1，已知，，，分别平分和，求的度数； (2)①如图1，若，其他条件不变，求的度数； ②如图2，若，其他条件不变，求的度数； ③通过①、②你能得到什么结论？请直接写出． 【答案】(1) (2)①；②；③ 【分析】本题主要考查了角的和差，角平分线定义， （1）先求出，再根据角平分线定义求出，然后根据得出答案； （2）①，先表示出，再根据角平分线定义得，即可得出； ②由已知得，结合角平分线定义得，然后根据得出答案； ③先表示出，再根据角平分线定义得，然后根据得出答案 【详解】（1）解：， ． ∵分别平分和， ， ； （2）解：①若，其他条件不变， ， ， 分别平分和， ， ； ②若，其他条件不变， 分别平分和， ， ， ； ③通过①、②可以得到； 若其他条件不变， ， 分别平分和， ， ． 14．（25-26七年级上·安徽宿州·期末）已知是内部的一条射线，，分别为，上的点，线段以秒，以秒速度同时绕点O逆时针旋转，设旋转时间为秒． (1)如图1，若，，分别逆时针旋转到处． ①当时，_____； ②若平分平分，求的度数． (2)如图2，若，分别在，内部旋转时，请猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①，② (2) 解：．理由如下： 设， 则， 由题意，旋转秒后，， ∴，， ∴． 【分析】本题考查角的和差，与角平分线有关的计算，找准角的和差关系是解题的关键： （1）①求出时，的度数，再根据角的和差关系进行求解即可；根据角平分线的定义以及角的和差关系进行求解即可； （2）根据角的数量关系和和差关系求出和的度数，进而求出的度数，即可得出结果． 【详解】（1）解：①由题意，当时，， ∴， ∵， ∴； ②∵平分平分， ∴， ∴ ； （2）略 15．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）综合与实践 在数学活动课上，同学们用折纸探究角平分线．小明发现，当角内部有两条射线分别平分相邻的两个小角时，它们所成夹角的大小也有规律． 进一步地，小华提出：如果这两条射线不是平分，而是按固定比例分割相邻的两个小角，是否也有类似的规律?针对提出的疑问，他们小组合作抽象出了以下数学问题： (1)【基础探究】 如图1，已知内部有三条射线、、，其中平分，平分．若，，则的度数为_____． (2)【发现规律】 如图2，设，（），其中平分，平分．猜想的度数是否随的改变而改变?请证明你的猜想． (3)【拓展推广】 在（2）的假设条件下，若，．上述猜想是否还成立？若成立，求出；若不成立，请说明理由． 【答案】(1) (2) 解：猜想的度数不随的改变而改变，理由如下： 平分且， ， ，， ， 平分， ， ， 的度数不随的改变而改变； (3)上述猜想依然成立． 【分析】本题考查角平分线的定义，角的运算等知识点，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）根据角平分线的定义，求出，，计算即可求解； （2）根据角平分线的定义，求出，，计算即可求解； （3）根据角之间的关系，易得，，计算化简可得． 【详解】（1）解：，， ， 平分，平分， ，， 故答案为：； （2）略 （3）解：上述猜想依然成立，理由如下： ，， ，， ， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 角的和与差及角平分线问题的四类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、角的和与差的计算问题 题型二、角中单条角平分线的计算问题 题型三、角中双条角平分线的计算问题 题型四、角中多条角平分线的计算问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：常考角的和差计算、单/双角平分线求值，图形中射线位置不定。 - 解题方法：设未知数构建方程，利用角平分线定义进行等量代换；无图时务必分类讨论射线在内或在外。- 易错提醒：角平分线是射线而非线段；度分秒计算是六十进制，注意进位与退位。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、角的和与差的计算问题 典例1 （25-26七年级上·四川广元·期末）如图，若，，则的度数为________． 题型模版 1.特征：角可分割或组合，已知部分角求整体或差角。 2.方法：理清角的和差关系，用角的度数列式运算求解。 变式1-1（25-26七年级上·河南驻马店·期末）如图，，，则的度数为_____度． 变式1-2（25-26八年级上·广东云浮·期末）如图，与都是直角，若，求的度数． 变式1-3（25-26七年级上·浙江丽水·期末）如图，点O在直线上，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 题型二、角中单条角平分线的计算问题 典例2 （25-26六年级下·山东青岛·期中）如图，与的度数比为，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 题型模版 1.特征：角内一条角平分线，分角相等，求角度或角的和差。 2.方法：设未知角，用平分得相等角，列方程或和差关系求解。 变式2-1（25-26七年级上·安徽阜阳·期末）如图，点在直线上，，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，求的度数．（用含的代数式表示） 变式2-2（25-26七年级上·山东临沂·期末）如图，在内部顺次有、、三条射线，，，平分． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 变式2-3（25-26七年级下·广东中山·期末）如图，直线，相交于点，于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 题型三、角中双条角平分线的计算问题 典例3 （25-26七年级下·山东临沂·期中）直线与相交于点分别是的角平分线． (1)若，求和的度数； (2)试问射线与之间有什么特殊的位置关系？为什么？ 题型模版 1.特征：一个角内两条角平分线，求夹角或相关角度关系。 2.方法：设角为未知数，用角平分线条件表示各角，列方程求解。 变式3-1（25-26七年级上·广东广州·期末）如图，已知，，，是内部的射线，平分，平分，，求和的度数． 变式3-2（25-26七年级下·河南南阳·开学考试）如图1，点A，O，B在同一条直线上，射线和射线分别平分和． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； (3)如图2，若点A，O，B不在同一条直线上（），是射线，且，，并求出的度数（用含α或β的式子表示）． 变式3-3（2026七年级上·全国·专题练习）【问题背景】 如图，已知，是内的一条射线，且． 【问题再现】 (1)的度数为_____，的度数为_____°； 【问题推广】 (2)作射线平分，在内作射线，使得，求的度数； 【拓展提升】 (3)过点O作射线、，且平分，若，求的度数． 题型四、角中多条角平分线的计算问题 典例4 （24-25七年级上·江西上饶·期末）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成的两个角的射线，叫作这个角的三分线，显然，一个角的三分线有两条．例如：如图①，若，则是的一条三分线． (1)已知：如图①，是的一条三分线，且，若，求的度数； (2)已知：，如图②，若是的两条三分线，求的度数． 题型模版 1.特征：角内多条角平分线，形成倍分关系，求角度或比值。 2.方法：设最小角为未知数，用角平分线转化，列方程求解。 变式4-1（24-25七年级上·四川广安·期末）如图，已知，射线在的内部，射线是靠近的三等分线，射线是靠近的三等分线． (1)若平分，求的度数． (2)小明说：“不论射线在的内部哪个位置，的度数始终保持不变．”你认为小明的说法是否正确？请说明理由． 变式4-2（25-26七年级上·湖北恩施·期末）如图，点在直线上，，． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 变式4-3（25-26七年级上·河北沧州·期中）如图1，已知射线在的内部，若，和三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的奇妙线． (1)一个角的平分线________这个角的奇妙线；（填“是”或“不是”） (2)如图2，． ①若射线是的奇妙线，则的度数为________； ②若射线从位置开始，以每秒旋转的速度绕点按逆时针方向旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为．当为何值时，射线是的奇妙线？ 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（26-27八年级上·辽宁鞍山·开学考试）如图所示，已知，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·河南平顶山·期末）如图，平分，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，点O是直线上一点，，平分，若，则等于（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·重庆·开学考试）已知，在同一平面内，，射线在的外部，平分，平分，若，则的度数为（   ） A． B．或 C．或 D．或 5．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）定义：若两个角的度数差的绝对值等于，则称这两个角互为“优角”，其中一个角是另一个角的“优角”．如，，，则和互为“优角”．如图，，射线平分，在的内部．若，则图中互为“优角”的共有（   ） A．3对 B．7对 C．5对 D．9对 二、填空题 6．（2026七年级上·全国·专题练习）如图，是直线上一点，为任一条射线，平分，平分，，则________度． 7．（25-26七年级下·天津和平·期末）如图，点是直线上一点，．平分，于点，则________度． 8．（26-27七年级上·全国·课后作业）如图，点在直线上，过作射线和，，是的平分线，已知，则_______． 9．（25-26七年级上·广东佛山·阶段检测）定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，设，则用含的代数式表示为______． 10．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，在同一平面内，已知直角三角板一边在直线上，另外两边在直线上方，且，．过点作射线，使得，再过点作射线，使得，平分，则的度数为______． 三、解答题 11．（25-26七年级下·四川绵阳·开学考试）如图，O是直线上一点，以O为顶点作，其中位于直线的两侧，平分． (1)若，求的度数． (2)请你猜想与之间的数量关系，并说明理由． 12．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，直线相交于点，把分成两个角，且． (1)若，则是否为定值？若是，请求出定值；若不是，求说明理由． (2)若平分，平分，求的度数． 13．（25-26七年级上·河南漯河·期末）【综合与探究】 (1)如图1，已知，，，分别平分和，求的度数； (2)①如图1，若，其他条件不变，求的度数； ②如图2，若，其他条件不变，求的度数； ③通过①、②你能得到什么结论？请直接写出． 14．（25-26七年级上·安徽宿州·期末）已知是内部的一条射线，，分别为，上的点，线段以秒，以秒速度同时绕点O逆时针旋转，设旋转时间为秒． (1)如图1，若，，分别逆时针旋转到处． ①当时，_____； ②若平分平分，求的度数． (2)如图2，若，分别在，内部旋转时，请猜想与的数量关系，并说明理由． 15．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）综合与实践 在数学活动课上，同学们用折纸探究角平分线．小明发现，当角内部有两条射线分别平分相邻的两个小角时，它们所成夹角的大小也有规律． 进一步地，小华提出：如果这两条射线不是平分，而是按固定比例分割相邻的两个小角，是否也有类似的规律?针对提出的疑问，他们小组合作抽象出了以下数学问题： (1)【基础探究】 如图1，已知内部有三条射线、、，其中平分，平分．若，，则的度数为_____． (2)【发现规律】 如图2，设，（），其中平分，平分．猜想的度数是否随的改变而改变?请证明你的猜想． (3)【拓展推广】 在（2）的假设条件下，若，．上述猜想是否还成立？若成立，求出；若不成立，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 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