培优专题04 线段与角相关的9类热考模型（题型专练）（题型专练）数学新教材人教版七年级上册

**基本信息** 以线段与角的9类热考模型为核心，通过典例+变式构建模型化解题体系，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |线段中点规律探究|1典3变|归纳中点等分规律，建立递推关系|从静态中点到动态规律，培养抽象能力| |线段单/双中点模型|各1典3-4变|单中点用中点定义，双中点分相邻/相间计算|从单一中点到多点中点，构建线段和差关系| |角平分线及半角/叠角/夹角模型|各1典3-4变|角平分线定义转化，半角/叠角/夹角用整体思想|从单角平分线到复杂角关系，发展空间观念与推理意识|

培优专题04 线段与角相关的9类热考模型 （题型突破·举一反三） 题型01 与线段中点有关的规律探究问题 题型02 线段单中点模型 题型03 相邻双中点模型 题型04 相间双中点模型 题型05 单角平分线模型 题型06 双角平分线模型 题型07 半角模型 题型08 角叠角模型 题型09 角夹角模型 ▌题型01 与线段中点有关的规律探究问题 【典例1】（22-23七年级上·江苏淮安·期末）线段，是的中点，是的中点，是的中点，是的中点，依此类推……，线段的长为__________________． 【答案】 【分析】先分别求出、、的值，根据求出的结果得出规律，即可得出答案． 【详解】解：因为线段，是的中点， 所以； 因为是的中点， 所以； 因为是的中点， 所以； ， 所以， 所以， 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段中点的有关计算、求两点之间的距离、数字类规律探究，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键． 【变式1】（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）如图，数轴上的点为原点，点表示的数为，动点从点出发，按以下规律跳动：第1次从点跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，…，第次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点，，，…，处，那么点所表示的数为______． 【答案】 【分析】本题考查了线段中点的定义，两点间的距离，探究图形的规律，找到图形变化中线段的变化规律是解题的关键 根据题意，得第一次跳动到的中点处，即在离点的长度为，第二次从点跳动到处，即在离点的长度为，则跳动n次后，即跳到了离点的长度为，再根据线段的和差关系可得线段的长度，最后确定点的表示的数即可． 【详解】解：由题可知：， 此第一次跳动到的中点处时，， 同理，第二次从点跳动到处，， 同理，第三次从点跳动到处， 同理，跳动次后，， 故线段的长度为：， 当时，， ∵点在负半轴， ∴点表示的数是， 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·河南新乡·期末）若线段，在线段的延长线上取一点，使是的中点；在线段的延长线上取一点，使是的中点，在线段的延长线上取一点，使是的中点……，按这样操作下去，线段的长度为______． 【答案】 【分析】本题考查了线段中点的定义，找出题目中的规律是解题的关键．根据线段中点的定义，依次求出、、……，由此规律可得，得到和的长度，再根据线段和差即可解答． 【详解】解：，是的中点， ， ∵是的中点， ， ∵是的中点， ， …… 由此规律可得，， ，， ． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·贵州贵阳·期末）古希腊哲学家芝诺曾提出阿基里斯悖论“飞毛腿永远追不上乌龟”：如果阿基里斯让乌龟先跑一段，那么他每次跑到乌龟之前所在位置时，乌龟又向前移动了一小段，因此阿基里斯似乎永远追不上乌龟，受此启发，小红结合线段及其中点的有关知识，设计了以下问题：如图，为线段上一点，线段.第一次操作：分别取线段和的中点，记作，：第二次操作：分别取线段，，的中点，记作，：第三次操作：分别取线段，的中点，记作，；…，连续这样操作下去，当长度小于1时，的最小值为____________. 【答案】 【分析】本题考查了线段中点的定义，图形类规律探究．根据题意得出的长度为前一次的一半，则，进而根据长度小于1，即可求解． 【详解】解：设 ，则 ， 依题意，每次操作后， 的长度为前一次的一半， 当时，， 当时， ……， ∴ 当长度小于1时， ∵， ∴的最小值为 故答案为：． ▌题型02 线段单中点模型 【典例2】（22-23七年级上·河北沧州·期末）如图是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容，下列回答不正确的是（    ） 如图，点C在线段上，且，，P是的中点，求的长． 解：因为， 所以 ※ ． 又因为P是的中点， 所以 ☆ ▲ ， 所以 ◎ ． A．※代表 B．☆代表 C．▲代表18 D．◎代表 【答案】D 【分析】根据线段之间的数量关系和线段中点的定义分别求出的长即可得到答案． 【详解】解：因为， 所以． 又因为P是的中点， 所以， 所以． ∴四个选项中选项D的回答不正确， 故选D． 【点睛】本题主要考查了与线段中点有关的计算，正确理清线段之间的数量关系是解题的关键． 【变式1】（23-24七年级上·陕西西安·期末）如图，，点M是的中点，点N在上，，则的长为（　　） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】A 【分析】本题考查两点间的距离，解题的关键是根据线段中点的性质推出，注意数形结合的运用． 【详解】解：解：∵点M是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【变式2】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图，是线段的中点，点在线段上，．若，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查线段的和差关系，比例关系转化，一元一次方程的应用，通过线段间的等量关系建立方程是解题关键． 由推出，再结合是中点的性质，建立方程，求出进而算出． 【详解】解：， ， 是线段的中点，， ， ， ， ． 故选：． 【变式3】（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）直线上有三点、、，，，是的中点，则_____． 【答案】2或6 【分析】本题考查了线段中点的有关计算，线段的和与差，两点间的距离等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 根据点P、A、B在直线上的位置关系不同，分两种情况讨论：点P在点A、B之间或点A在点P、B之间． 【详解】解：设点P为参考点． 情况1：点P在点A和点B之间．此时． M为的中点， 则． 故． 情况2：点A在点P和点B之间．此时． M为的中点， 则． 故． 因此或6． 故答案为：2或6． 【变式4】（2025七年级上·广东深圳·专题练习）已知A，B，C在同一直线上，，D为的中点，，则___________． 【答案】9或 18 【分析】本题考查了线段的中点和两点间的距离的求法，解答关键是通过分类讨论思路画出不同情况的图形． 分别画出当点在点左侧和点在点右侧时的图形，分别利用中点定义、线段之间位置和数量关系计算即可． 【详解】解：当点在点左侧时，如图 ∵为的中点，， ， ， ， ， ； 当点在点右侧时，如图 ∵为的中点，， ， ， ， ， ； 故答案为：9或 18． ▌题型03 相邻双中点模型 【典例3】（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知点C为直线上的一点，且，其中点为的中点，点为中点，若线段，则线段的长为________． 【答案】4或12 【分析】本题考查了与线段中点有关的运算，正确分两种情况讨论是解题关键．先根据线段中点的定义可得，再分两种情况：①当点在线段上时，②当点在的延长线上时，求出的长，再根据线段中点的定义可得的长，然后根据线段的和差求解即可得． 【详解】解：∵点为的中点，线段， ∴． ①如图，当点在线段上时， ∴， ∵， ∴， 将代入得：， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴； ②如图，当点在的延长线上时， ∴， ∵， ∴， 将代入得：， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴； 综上，线段的长为4或12， 故答案为：4或12． 【变式1】（24-25七年级上·全国·期末）已知线段与在同一直线上，，M为的中点，N为的中点，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义．作出图形，分①点A、C在点B的两侧，根据线段中点的定义表示出、，再根据计算即可得解；②点C在线段上，根据线段中点的定义表示出、，再根据计算即可得解；③点A在线段上，根据线段中点的定义表示出、，再根据计算即可得解． 【详解】解：①如图1，点A、C在点B的两侧， ∵M为的中点，N为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴； ②如图2，点C在线段上， ∵M为的中点，N为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴； ③如图3，点A在线段BC上， ∵M为的中点，N为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴； 综上所述，的长为． 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）已知点是线段的一个三等分点，是线段的中点，是线段的中点，，则________． 【答案】24或12 【分析】本题考查了线段的和差，线段n等分点的有关计算，线段中点特点，解题的关键在于利用分类讨论的思想解决问题． 根据点C是线段的一个三等分点，分两种情况讨论：当C靠近A时和当C靠近B时，利用中点定义和线段和差关系求解，即可解题． 【详解】解：设， 情况1：当点C靠近点A时，， ∵是线段的中点， ∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ； 情况2：当点C靠近点B时，； ∵是线段的中点， ∴， ∵是线段的中点， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴ ； 综上所述，的值为24或12； 故答案为：24或12． 【变式3】（23-24七年级上·湖北武汉·阶段检测）已知线段，点、点都是线段上的点． (1)如图1，若点为的中点，点为的中点，则线段长为 ； (2)若，点是线段的中点，点是线段的中点，请自己作图并求的长； (3)如图2，若，，点，分别从、出发向点运动，运动速度分别为每秒移动个单位和每秒移动个单位，设运动时间为秒，点为的中点，点为的中点，若，求的值． 【答案】(1) (2) 如图，点在点的左侧， ∵点是线段的中点，点是线段的中点， ∴，， ∴ 如图，点在点的右侧， ∵点是线段的中点，点是线段的中点， ∴，， ∴， 综上，的长为或； (3)或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用及两点间的距离，分类讨论和正确列出方程是解题的关键． （1）利用中点的推出即可求出答案； （2）分两种情况讨论，点B在点C的左侧或点B在点C的右侧，结合图形，列式可求出答案即可； （3）运动秒后，，从而可推，，由可得方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：∵为的中点，为的中点， ∴，， ∵， ∴； 故答案为： ； （2）略； （3）运动秒后，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵，为的中点， ∴， 又∵， ∴，或， 由得：或， 解得：或． ▌题型04 相间双中点模型 【典例4】（河北省廊坊市三河市统考2024-2025学年七年级上学期数学期末试卷）如图，点，，，，，在一条直线上，若，的中点与的中点的距离是，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查两点间的距离，线段中点的定义，熟练掌握线段的和差关系是解题的关键．设，根据中点的定义得到，求出的值即可得到答案． 【详解】解：设， 是的中点， ， 是的中点， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式1】（25-26七年级上·河北衡水·阶段检测）如图，点，在线段上，，点是的中点，是的中点，若，，则________ ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的和差，线段中点的性质，根据线段的和差关系求得．进而根据中点的性质求得的长，再根据，即可求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵，点是的中点，是的中点， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式2】（22-23七年级上·江苏泰州·期末）如图，点A、B、C在同一条直线上，点D为的中点，点P为延长线上一动点，点E为的中点，则的值是___________． 【答案】 【分析】设，，，分两种情况，当和时，分别求解即可． 【详解】解：设，，， 当时，如下图： 则，，， ，， 则 当时，如下图： 则，，， ，， 则 故答案为： 【点睛】此题考查了线段中点的有关计算，解题的关键是理解题意，正确画出图形，利用分类讨论的思想求解问题． 【变式3】（24-25七年级上·江苏南通·期末）延长线段到C，使．反向延长线段到D，使，点E为的中点，点F为的中点、若．则线段的长为________． 【答案】2 【分析】本题考查了线段的和与差，中点的定义，解一元一次方程，利用线段的和差得出的长是解题关键； 令，则，根据线段和和差得，然后线段中点的性质，可得，的长，然后再利用线段的和差即可解答． 【详解】解：因为， 令，则， 所以． 则． 如图所示， 因为， 所以， 解得， 所以． 因为点为的中点，点为的中点， 所以，， 所以， 所以． 故答案为：2． ▌题型05 单角平分线模型 【典例5】（25-26七年级上·安徽马鞍山·期末）已知点O为直线上一点，将直角三角板如图所示放置，且直角顶点在O处，在内部作射线，且恰好平分． （1）若，则的度数为__________； （2）若，则的度数为__________． 【答案】 【分析】（1）先求出，再结合角平分线的定义求出，即可得出结果； （2）由角平分线的定义并结合题意求出，即可得出结果． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）已知，在同一平面内，，射线在的外部，平分，若与的度数之比为，则度数为___________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了角的有关计算，先根据角度比例求出的度数，再结合射线在外部的两种位置情况，利用角的和差关系与角平分线的定义计算的度数． 【详解】解：，， ， 根据射线OC在外部，分两种情况： 当在的外侧时，如图1， ，， ， 又平分， ， 当在的外侧时，如图2， ，， ， 又平分， ． 故答案为：或． 【变式2】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）如图，直线、交于点O，，，平分，则的补角是_________． 【答案】，， 【分析】本题考查了角平分线的定义，补角的定义，掌握角平分线的定义和补角的定义是解题关键． 根据角平分线的定义找到相等角，再通过等量代换和角的和差计算，找到与之和为的角即可． 【详解】解：∵平分， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， ∴， ∴，图中等于的角即为的补角， 由图可知，； ； ， 故答案为：，， ． 【变式3】（25-26七年级上·全国·期末）如图，是的平分线，，，则的度数为___________． 【答案】 【分析】设的度数为，则，，由题意得 ，列方程求出x的值，即可得，进而可得． 本题主要考查了角平分线的定义及角的和差，以及一元一次方程，正确的用含有x的式子表示出和是解题的关键． 【详解】解：设的度数为，则， ， ∵是的平分线， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式4】（25-26七年级上·广东深圳·期末）如图，点O为直线上一点，，若射线平分，过点O作射线使．过O作射线使，则的度数为_______． 【答案】或． 【分析】由角平分线的定义可得,然后分射线在直线上方和下方两种情况解答即可． 本题主要考查了角的和差、角平分线等知识点，弄清角之间的关系以及分类讨论思想是解题关键． 【详解】解：分两种情况： ①如图所示，射线在上方， ∵，射线平分， ∴, ∵, ∴， ∵， ∴； ②如图所示，射线在下方， ∵，射线平分， ∴, ∵, ∴， ∵， ∴； 综上所述，∠COF的度数为或． 故答案为：或． ▌题型06 双角平分线模型 【典例6】（25-26七年级上·福建泉州·期中）已知，．若平分，平分，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．30° 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的定义、角的和差计算．解题的关键是正确识别在内部和外部两种情形，并分别计算和．由于射线的位置没有明确限定，需要分两种情况讨论： 当在内部时：此时．平分，平分．等于与的差． 当在外部时：此时．平分，平分．等于与的和． 分别根据角平分线的定义求出和，再根据上述关系计算即可． 【详解】情况1：当在内部时， 平分，， ， 平分，， ， . 情况2：当在外部时， ， ， ， ， . 故答案为. 故选C 【变式1】（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）如图，已知，，平分，平分，则的度数是（　　） A． B． C． D．不能计算 【答案】A 【分析】本题主要考查角的运算，可知，结合，即可求得答案． 【详解】，, ． 是的平分线，是的平分线， ，． ． 故选：A 【变式2】（2025七年级上·全国·专题练习）已知，，平分，平分，则的度数是（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线定义的应用，几何图形中角的和差计算．首先求出，然后由角平分线的定义得到，，然后分两种情况，当在内部时，当在外部时，分别求出和度数，即可求出答案． 【详解】解：，， ， 平分，平分， ，， 分为两种情况： 如图1，当在内部时， ； 如图2，当在外部时， ∴． 综上，的度数是或． 故选：C． 【变式3】（20-21六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，画射线，使，平分，平分，则_______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，分射线在外，射线在内，两种情况分别求解即可. 【详解】解：当射线在内时，如图1， ∵，， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴. 当射线在外时，如图2， ∵，， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴. 综上所述：或 故答案为：或． ▌题型07 半角模型 【典例7】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）如图，已知，、是过点O的射线，射线、分别平分和． （1）若，，则_________． （2）若（），将绕着点O逆时针旋转到的外部（，），则此时_________． 【答案】 80 或 【分析】本题考查了角平分线的计算，掌握角平分线的定义和角的运算是解题关键． （1）先计算出的度数，再通过角平分线的定义计算，再作差即可； （2）延长，得到，，分三种情况进行分类讨论，通过角度的和差运算找到角度关系求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：80； （2）如图，延长，得到，， 由题意可知，分下列三种情况： 第一种，当在的内部时，作示意图如下： 或 ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； 第二种，当，均在的内部时，作示意图如下： ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； 第三种，当在的内部时，作示意图如下： 或 ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：或． 【变式1】（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）已知，，平分，平分，重合． ①如图1，则的度数为_____； ②当绕点顺时针旋转时，如图2，若满足，则的值为_____． 【答案】 13 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，理清角之间的关系是解题的关键． （1）由角平分线的定义求出的度数即可得到答案； （2）根据角的和差关系和角平分线的定义求出的度数，再根据题意建立方程求解即可． 【详解】解：①∵，，平分，平分， ∴， ∴， 故答案为：； ②由题意得，， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：13． 【变式2】（24-25七年级上·辽宁大连·期末）如图，是的平分线，是的平分线，已知，那么_______（用含的式子表示）． 【答案】/ 【分析】本题主要考查的是角的平分线的定义，“从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线”．运用角平分线的定义解题即可． 【详解】解：因为平分， 平分， 所以 ， ， 所以 ， ． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在内部任意画一条射线，平分，平分．根据图形填空： (1)________； (2)_______； (3)； (4)若，则________；若，则________． 【答案】(1) (2)， (3)，， (4)120， 【分析】本题考查了角平分线定义，角的计算． （1）根据角的和差解答即可； （2）根据角平分线定义解答即可； （3）根据角平分线定义，角的和差解答即可； （4）把，代入（3）得出的结论可分别得出的度数，的度数． 【详解】（1）解：观察图形可得：， 故答案为：； （2）解：∵平分， ∴， 故答案为：，； （3）解：∵平分，平分， ∴，， ∴ ， 故答案为：，，； （4）解：由（3）可得：， 若，则， 若，则， 故答案为：120，． ▌题型08 角叠角模型 【典例8】（24-25七年级上·安徽淮南·期末）如图，平分，平分． （1）若，则的度数为_____； （2）若与互补，则_____． 【答案】 【分析】本题考查的是角平分线的定义，互补的含义，角的和差运算； （1）由角平分线的性质可得，，结合角的和差运算可得答案； （2）由角平分线的性质可得，，结合与互补，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：（1）∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴； 故答案为： （2）∵平分，平分， ∴，， ∵与互补， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故答案为： 【变式1】（广东省揭阳市真理中学2025-2026学年七年级上学期数学期末模拟训练（二））如图所示，已知，，平分，平分．则___． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，角的运算，数形结合是解题的关键．根据角平分线的定义得到，，进而得到，则，即可求出的度数． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴ ， ∴． 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）如图，，给出以下结论：①；②；③；④若平分，则平分，其中正确的有__________．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查角的和差，与角平分线有关的计算，找准角度之间的和差关系，根据角平分线的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：因为， 所以， 所以，故①正确； 因为不一定等于， 所以不一定等于，故②错误； 因为， 所以，故③正确； 若平分，则， 所以， 所以， 所以平分，故④正确． 综上可知，正确的有①③④； 故答案为：①③④． 【变式3】（25-26七年级上·广东揭阳·阶段检测）如图所示，已知，．平分，平分．则__________． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，角的运算． 根据角平分线的定义得到，，进而得到，则，即可求出的度数． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴ ， ∴． 故答案为：． 【变式4】（23-24七年级上·山东枣庄·期末）如图，与的度数比为，平分，若，则的度数是______．    【答案】/60度 【分析】本题考查了角平分线的定义、角的运算，设，，所以，由角平分线定义可得，则，然后求出的值即可，利用方程思想解决角度计算是解题的关键． 【详解】解：∵与的度数比为， ∴设，， ∴， ∵平分， ∴， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． ▌题型09 角夹角模型 【典例9】（24-25六年级上·上海·阶段检测）如图，已知在内部转动，射线和射线分别平分和 (1)若，，求的度数 (2)请你猜想，和三个角有怎样的数量关系？（直接写答案） (3)如图，在内部转动，若，，，，求的度数．（用含有的式子表示计算结果） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查角平分线，角的计算，掌握角平分线的定义是正确解答的关键． （1）根据角平分线的定义以及角之间的和差关系进行计算即可； （2）由（1）的计算过程可得结论； （3）根据角的倍数关系进行计算即可． 【详解】（1）解：∵射线和射线分别平分和． ， ． （2）解：， ∵射线和射线分别平分和． ， ， 即； （3）解：， ， 又 ∵， ， ． 【变式1】（24-25七年级上·江苏扬州·期末）将一副三角板按图1方式摆放，分别作出的平分线，求的度数． 【初步认识】 （1）小明与小丽将这副三角板分别按图2、图3所示摆放，分别平分、．图2中，在同一条直线上，则 　　°；图3中，，则 　°； 【深度理解】 （2）受此启发，小明与小丽求出图1所示的一般情况下∠MON的度数．请你猜想图1中的度数并说明理由； （3）你觉得明明和丽丽解决以上问题的方法，用到的数学思想是 　 ； A．由特殊到一般     B．方程    C．分类讨论     D．整体 【拓展应用】     （4）若将条件“分别作出的平分线改为“在和内部分别作出射线，使得”（n为正整数），请你直接写出的度数 °（用含n的代数式表示）； 【大胆创新】 （5）善于思考的小明同学在本题基础上设计了一道新题：将图2中的三角板绕点O逆时针旋转（旋转角度不超过），使得边与另一块三角板的一边平行，则旋转的角度为 ° ． 【答案】（1）；； （2）猜想：，理由如下： 图中，， ， 和是和的角平分线， ， ； （3）A；（4）；（5）45或75或165 【分析】（1）根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论； （2）根据已知条件得到，根据角平分线的定义得到 ，于是得到结论； （3）小明与小丽解决以上问题的方法，用到的是由特殊到一般的数学思想； （4）根据已知条件得到，根据角平分线的定义得到，于是得到结论． （5）分三种情况画出图形求解即可． 【详解】解：（1）图2中，， 图3中， ； 故答案为：；； （2）略 （3）明明和丽丽解决以上问题的方法，用到了由特殊到一般的数学思想， 故选：A． （4）， ， ， ， ． 故答案为：； （5）如图，当时，则； 如图，当时，设交于点E， 则， ∴, ∴； 如图，当时，设交于点E， 则， ∴, ∴， ∴． 综上可知，旋转的角度为或或． 故答案为：45或75或165． 【点睛】本题考查了角的计算，角平分线的定义，平行线的性质，三角形的内角和定理，通过图形直观得出各个角之间的和差关系，是解决问题的关键． 【变式2】（23-24七年级下·山东潍坊·阶段检测）综合与探究 旧知回顾： （）如图，线段厘米，为线段上的一个动点，点，分别是，的中点． 若厘米，则线段的长为__________厘米． 设厘米，则线段的长为__________厘米． 知识迁移： （）我们发现角的很多规律和线段一样，如图，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，求的度数． 拓展探究： （）已知在内的位置如图所示，，，且，，求的度数．（用含的代数式表示）    【答案】（）；；（）；（）． 【分析】（）先求出的长，再根据线段的中点的定义求出的长，即可求出的长；方法同上； （）根据角平分线的定义得出，，再根据 即可求解； （）求出的度数，根据， ，得出，，根据求解即可； 本题考查了线段的和差，线段中点的定义，角的和差，角平分线的定义，根据图形得出线段之间的等量关系、角之间的等量关系是解题的关键． 【详解】解：（）∵厘米，厘米， ∴厘米， ∵点，分别是，的中点， ∴厘米，厘米， ∴厘米， 故答案为：； ∵厘米，厘米， ∴厘米， ∵点，分别是，的中点， ∴厘米，厘米， ∴厘米， 故答案为：； （）∵射线平分，射线平分， ∴，， ∵， ， 即的度数为； （）∵，， ，， ，， ， ， ， ， ， 即的度数为． 【变式3】（23-24七年级上·山东滨州·期末）已知内部有三条射线，，． (1)如图1，若，，平分，平分．求的度数； (2)如图2，若，，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质，以及角度的计算，正确理解角平分线的定义是解题的关键． （1）首先根据角平分线的定义求得，然后求得的度数，根据角平分线的定义求得，然后根据求解； （2）根据，，得出，，根据，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵，平分， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴ ． 【变式4】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）已知下图中的均为直角． (1)如图一，是的角平分线，是的角平分线； ①若，求的大小； ②若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）； (2)如图二，若内部的射线OP、OQ把分成了三部分，且使得，我们称OP、OQ为的“三等分线”． 在图三中，OD是的三等分线，OE是的三等分线，且，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1)①；②； (2)或或或． 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算，解题的关键是理解题意，分情况讨论，进而求解． （1）①根据角平分线的定义，求得和的大小，进而求解；②根据角平分线的定义，求得和的大小，进而求解； （2）根据“三等分线”的定义，分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：是的角平分线，是的角平分线 ∴， ∵均为直角 ∴ ①由可得， ∴； ②由可得， ∴； （2）是的三等分线，是的三等分线，分以下四种情况， 当是靠近的三等分线，是靠近的三等分线时， ，， ∴； 当是靠近的三等分线，是靠近的三等分线时， ，， ∴； 当是靠近的三等分线，是靠近的三等分线时， ，， ∴； 当是靠近的三等分线，是靠近的三等分线时， ，， ∴； 综上：的度数为或或或． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优专题04 线段与角相关的9类热考模型 （题型突破·举一反三） 题型01 与线段中点有关的规律探究问题 题型02 线段单中点模型 题型03 相邻双中点模型 题型04 相间双中点模型 题型05 单角平分线模型 题型06 双角平分线模型 题型07 半角模型 题型08 角叠角模型 题型09 角夹角模型 ▌题型01 与线段中点有关的规律探究问题 【典例1】（22-23七年级上·江苏淮安·期末）线段，是的中点，是的中点，是的中点，是的中点，依此类推……，线段的长为__________________． 【变式1】（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）如图，数轴上的点为原点，点表示的数为，动点从点出发，按以下规律跳动：第1次从点跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，…，第次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点，，，…，处，那么点所表示的数为______． 【变式2】（25-26七年级上·河南新乡·期末）若线段，在线段的延长线上取一点，使是的中点；在线段的延长线上取一点，使是的中点，在线段的延长线上取一点，使是的中点……，按这样操作下去，线段的长度为______． 【变式3】（25-26七年级上·贵州贵阳·期末）古希腊哲学家芝诺曾提出阿基里斯悖论“飞毛腿永远追不上乌龟”：如果阿基里斯让乌龟先跑一段，那么他每次跑到乌龟之前所在位置时，乌龟又向前移动了一小段，因此阿基里斯似乎永远追不上乌龟，受此启发，小红结合线段及其中点的有关知识，设计了以下问题：如图，为线段上一点，线段.第一次操作：分别取线段和的中点，记作，：第二次操作：分别取线段，，的中点，记作，：第三次操作：分别取线段，的中点，记作，；…，连续这样操作下去，当长度小于1时，的最小值为____________. ▌题型02 线段单中点模型 【典例2】（22-23七年级上·河北沧州·期末）如图是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容，下列回答不正确的是（    ） 如图，点C在线段上，且，，P是的中点，求的长． 解：因为， 所以 ※ ． 又因为P是的中点， 所以 ☆ ▲ ， 所以 ◎ ． A．※代表 B．☆代表 C．▲代表18 D．◎代表 【变式1】（23-24七年级上·陕西西安·期末）如图，，点M是的中点，点N在上，，则的长为（　　） A．14 B．12 C．10 D．8 【变式2】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图，是线段的中点，点在线段上，．若，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【变式3】（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）直线上有三点、、，，，是的中点，则_____． 【变式4】（2025七年级上·广东深圳·专题练习）已知A，B，C在同一直线上，，D为的中点，，则___________． ▌题型03 相邻双中点模型 【典例3】（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知点C为直线上的一点，且，其中点为的中点，点为中点，若线段，则线段的长为________． 【变式1】（24-25七年级上·全国·期末）已知线段与在同一直线上，，M为的中点，N为的中点，则的长为________． 【变式2】（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）已知点是线段的一个三等分点，是线段的中点，是线段的中点，，则________． 【变式3】（23-24七年级上·湖北武汉·阶段检测）已知线段，点、点都是线段上的点． (1)如图1，若点为的中点，点为的中点，则线段长为 ； (2)若，点是线段的中点，点是线段的中点，请自己作图并求的长； (3)如图2，若，，点，分别从、出发向点运动，运动速度分别为每秒移动个单位和每秒移动个单位，设运动时间为秒，点为的中点，点为的中点，若，求的值． ▌题型04 相间双中点模型 【典例4】（河北省廊坊市三河市统考2024-2025学年七年级上学期数学期末试卷）如图，点，，，，，在一条直线上，若，的中点与的中点的距离是，则________． 【变式1】（25-26七年级上·河北衡水·阶段检测）如图，点，在线段上，，点是的中点，是的中点，若，，则________ ． 【变式2】（22-23七年级上·江苏泰州·期末）如图，点A、B、C在同一条直线上，点D为的中点，点P为延长线上一动点，点E为的中点，则的值是___________． 【变式3】（24-25七年级上·江苏南通·期末）延长线段到C，使．反向延长线段到D，使，点E为的中点，点F为的中点、若．则线段的长为________． ▌题型05 单角平分线模型 【典例5】（25-26七年级上·安徽马鞍山·期末）已知点O为直线上一点，将直角三角板如图所示放置，且直角顶点在O处，在内部作射线，且恰好平分． （1）若，则的度数为__________； （2）若，则的度数为__________． 【变式1】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）已知，在同一平面内，，射线在的外部，平分，若与的度数之比为，则度数为___________． 【变式2】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）如图，直线、交于点O，，，平分，则的补角是_________． 【变式3】（25-26七年级上·全国·期末）如图，是的平分线，，，则的度数为___________． 【变式4】（25-26七年级上·广东深圳·期末）如图，点O为直线上一点，，若射线平分，过点O作射线使．过O作射线使，则的度数为_______． ▌题型06 双角平分线模型 【典例6】（25-26七年级上·福建泉州·期中）已知，．若平分，平分，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．30° 【变式1】（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）如图，已知，，平分，平分，则的度数是（　　） A． B． C． D．不能计算 【变式2】（2025七年级上·全国·专题练习）已知，，平分，平分，则的度数是（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式3】（20-21六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，画射线，使，平分，平分，则_______． ▌题型07 半角模型 【典例7】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）如图，已知，、是过点O的射线，射线、分别平分和． （1）若，，则_________． （2）若（），将绕着点O逆时针旋转到的外部（，），则此时_________． 【变式1】（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）已知，，平分，平分，重合． ①如图1，则的度数为_____； ②当绕点顺时针旋转时，如图2，若满足，则的值为_____． 【变式2】（24-25七年级上·辽宁大连·期末）如图，是的平分线，是的平分线，已知，那么_______（用含的式子表示）． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在内部任意画一条射线，平分，平分．根据图形填空： (1)________； (2)_______； (3)； (4)若，则________；若，则________． ▌题型08 角叠角模型 【典例8】（24-25七年级上·安徽淮南·期末）如图，平分，平分． （1）若，则的度数为_____； （2）若与互补，则_____． 【变式1】（广东省揭阳市真理中学2025-2026学年七年级上学期数学期末模拟训练（二））如图所示，已知，，平分，平分．则___． 【变式2】（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）如图，，给出以下结论：①；②；③；④若平分，则平分，其中正确的有__________．（填序号） 【变式3】（25-26七年级上·广东揭阳·阶段检测）如图所示，已知，．平分，平分．则__________． 【变式4】（23-24七年级上·山东枣庄·期末）如图，与的度数比为，平分，若，则的度数是______．    ▌题型09 角夹角模型 【典例9】（24-25六年级上·上海·阶段检测）如图，已知在内部转动，射线和射线分别平分和 (1)若，，求的度数 (2)请你猜想，和三个角有怎样的数量关系？（直接写答案） (3)如图，在内部转动，若，，，，求的度数．（用含有的式子表示计算结果） 【变式1】（24-25七年级上·江苏扬州·期末）将一副三角板按图1方式摆放，分别作出的平分线，求的度数． 【初步认识】 （1）小明与小丽将这副三角板分别按图2、图3所示摆放，分别平分、．图2中，在同一条直线上，则 　　°；图3中，，则 　°； 【深度理解】 （2）受此启发，小明与小丽求出图1所示的一般情况下∠MON的度数．请你猜想图1中的度数并说明理由； （3）你觉得明明和丽丽解决以上问题的方法，用到的数学思想是 　 ； A．由特殊到一般     B．方程    C．分类讨论     D．整体 【拓展应用】     （4）若将条件“分别作出的平分线改为“在和内部分别作出射线，使得”（n为正整数），请你直接写出的度数 °（用含n的代数式表示）； 【大胆创新】 （5）善于思考的小明同学在本题基础上设计了一道新题：将图2中的三角板绕点O逆时针旋转（旋转角度不超过），使得边与另一块三角板的一边平行，则旋转的角度为 ° ． 【变式2】（23-24七年级下·山东潍坊·阶段检测）综合与探究 旧知回顾： （）如图，线段厘米，为线段上的一个动点，点，分别是，的中点． 若厘米，则线段的长为__________厘米． 设厘米，则线段的长为__________厘米． 知识迁移： （）我们发现角的很多规律和线段一样，如图，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，求的度数． 拓展探究： （）已知在内的位置如图所示，，，且，，求的度数．（用含的代数式表示）    【变式3】（23-24七年级上·山东滨州·期末）已知内部有三条射线，，． (1)如图1，若，，平分，平分．求的度数； (2)如图2，若，，，求的度数． 【变式4】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）已知下图中的均为直角． (1)如图一，是的角平分线，是的角平分线； ①若，求的大小； ②若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）； (2)如图二，若内部的射线OP、OQ把分成了三部分，且使得，我们称OP、OQ为的“三等分线”． 在图三中，OD是的三等分线，OE是的三等分线，且，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 培优专题04线段与角相关的9类热考模型 (题型突破举一反三) 题型01与线段中点有送的规律探究问题 典例精析 【典例1】 【答案】1- 22023 举一反目 【变式1】 3 【答案】-3+ 22024 【变式2】 【答案】224 【变式3】 【答案】8 题型02线段单中点模型 典例精析 【典例2】D 举一反目 【变式1】A 【变式2】B 【变式3】 【答案】2或6 【变式4】 【答案】9或18 1/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 题型03相邻双中点模型 三 典例精析 【典例3】 【答案】4或12 举一反三日 【变式1】 【答案】5cm 【变式2】 【答案】24或12 【变式3】 【答案】(1)30 (2) 如图，点B在点C的左侧， A E B C F D ,点E是线段AC的中点，点F是线段BD的中点， 4=4C,FD, F=A0-A6-Dr=AD-(4C+B0)=AD-D+BC)-号4D8C-x60-10=25 2 如图，点B在点C的右侧， A E F D :点E是线段AC的中点，点F是线段BD的中点， ÷AE=)AC,DF=BD, =4D-A-r=4D-(4C+BD)=AD-(4D-9C)-4D+0C=x60+X10=35, 综上，EF的长为25或35： 10 3)t=3或1=8 题型04相间双中点模型 2/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E 典例精析 【典例4】 【答案】15.4 举一反三 【变式1】 【答案】9 【变式2】 【答案】2 【变式3】 【答案】2 题型05单角平分线模型 三 典例精析 【典例5】 【答案】 50° 45° 举一反三 【变式1】 【答案】20°或140° 【变式2】 【答案】∠COE,∠EOG.∠BOF 【变式3】 【答案】140° 【变式4】 【答案】88°或112° 题型06双角平分线模型 典例精析 【典例6】C 举一反目 3/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式1】A 【变式2】C 【变式3】 【答案】17.5°或92.5 题型07半角模型 三典例精析 【典例7】 1 【答案】 80 0o士或120。 三 举一反三 【变式1】 【答案】 65° 13 【变式2】 【答案】 【变式3】 【答案】(1)∠BOC (2)∠AOD,∠AOC (3)∠COE,∠COD,∠AOB (4)120, 2n° 题型08角叠角模型 典例精析 【典例8】 【答案】 50 120 举一反三 【变式1】 【答案】60° 4/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式2】 【答案】①③④ 【变式3】 【答案】61 【变式4】 【答案】60°/60度 题型09角夹鱼模型 典例精析 【典例9】 【答案】(1)90° a∠c0D=2M0N+∠A0B) (3)∠COD= 150°+30k k+1 三举一反 【变式1】 【答案】(1)135°：135°： (2)猜想：∠M0N=135°，理由如下： 图1中，∠COD=90° .∠AOC+∠BOD=180°-∠COD=90° :OM和ON是∠AOC和∠BOD的角平分线， ∠0c+∠A0D号40c+0-a0C+0D=45, .∠MON=(∠MOC+∠NOD)+∠COD=45°+90°=135°， 90 (3)A: (4 90 (5)45或75或165 【变式2】 2 【答案】 1)①10：②10：(2)60：(3)3a+10° 【变式3】 5/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】(1)∠E0F=45 (2)∠EOF=100° 【变式4】 【答案】1)①60：②45°+ 2: 或30+号成30+2 3或60°+2a (2)60°+ 6/6