专题09 线段的和与差及中点问题的四类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版七年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题9线段的和与差及中点问题的四类综合题型 目录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、线段的和与差的计算问题 题型二、线段中的单中点的计算问题 题型三、线段中的双中点的计算问题 题型四、线段中的多中点的计算问题 压轴挑战一攻克高难压轴， 突破思维上限 ◆◆ 同解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型特征：常以“点在直线上”设问，图形位置不确定，无图题、双中点题高频，多需分类讨论。 -解题方法：先画图标序，用线段和差串联已知；遇中点化为“两段相等且各等于全长的一半”；可设未 知数列方程求解。 易错提醒：点可能在延长线上，勿漏解：中点条件只推两段相等，不能反判中点：注意倍分关系别颠倒。 ◆ ◆◆ 夙题型归纳一精讲典型题法，奔实解题根基 题型一、线段的和与差的计算问题 典例1(25：26六年级下山东威海期中)点C是线段4B的中点，点D在线段CB上，且CD-CB,若 AD=16,则DB= 题型模版 1.特征：线段可拼接或分割，需由已知线段求未知线段长度。 1/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2方法：画图定位置，用和差关系列式，代入已知长度计算。 变式1-1(25-26七年级上·陕西西安期末)如图，把一根绳子对折成线段AB，从点P处把绳子剪断后， 符到4P-)B,若剪断后的各段绳子中最长的一段为48。m·则绳子的原长为 P B 变式1-2(25-26七年级上山东德州期末)点C在线段AB上，若三条线段AB,AC,BC中，有其中1 条线段是另外1条线段的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”，若AB=12,点C是线段AB的巧点，则 AC的长是 变式1-3(25-26六年级下山东泰安期末)如图，P是线段AB上任意一点，AB=30cm,点C,D分别从 点P,B同时向点A运动，且点C的运动速度为2cm/s,点D的运动速度为3cm/s,运动的时间为s. CP D B (1)若AP=20cm ①运动1S后，求CD的长： ②当点D在线段PB上运动时，试说明AC=2CD: (2)如果1=4时，CD=2cm,试探索AP的长度. 题型二、线段中的单中点的计算问题 典例2(2627七年级上·重庆沙坪坝阶段检测)如图，己知点C,D,E都是线段AB上的点，线段 AC=5CB,AD=3CB,点E为线段BD的中点. D EC B (1)若CB=6,求线段CE的长： (2)在(1)的条件下，点F在线段AB上，且EF=4,求AF的长. 题型模版 1特征：一点将线段分成相等两段，已知部分求整体或反之。 2方法：设中点为分界，用线段和差倍分列式，代入求解。 2/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式2-1(26-27七年级上·全国课后作业)如图，AB=24cm,C为AB的中点，点D在线段AC上且 AD:CB=1:3,求AD的长. A D C B 变式2-2(2026河北邯郸三模)如图，已知A,B,C三点均在数轴上，且AC=3BC,AB=8. A Bc→ ()若以AC的中点为原点，求A,B,C三点所表示的数的和. (②)点D也为该数轴上一点，且AD=4,若以D为原点，则A,B,C三点所表示的数的和是多少？ 变式2-3(25-26七年级上·安徽马鞍山期末)如图，已知点D是线段AB上一点，点C是线段AB的中点， 若AB=8cm,BD=3cm (I)求线段CD的长 ⊙芳点严是直线B一点，位于点B的左侧，且BED,求线段A让的长. 3 题型三、线段中的双中点的计算问题 典例3(2026七年级上·全国专题练习)如图，点C在线段AB上，点M,N分别是AC、BC的中点. M C N B (1)若AC=8cm,CB=6cm,求线段MN的长： (2②)若C为线段AB上任一点，如果AB=20cm,求MN的长. 题型模版 1特征：同一直线上两中点，线段和差与中点距离相关。 2方法：设线段长，用中点表示各段，列式求值或整体代换。 变式3-1(25-26六年级下山东烟台期中)如图，点C为线段AB的中点，点E为线段AB上的点，点D为 线段AE的中点. A D C E B (I)若AE:BE=5:2,且AB=14,求CD的长： 3/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若线段AB=16,CE=4,求AD的长 变式3-2(25-26六年级下山东青岛期中)如图，已知线段AB=18cm,点C为AB上的一个动点，点D、 E分别是AC和BC的中点. A D C E B (I)若点C恰好是AB中点，则DE=cm: (2)若AC=8cm,求DE的长. (3)说明不论AC取何值（不超过18cm),DE的长不变. 变式3-3(25-26七年级上江苏南通期末)如图，C,B两点在线段AD上（点C在点B左侧），点E在线 段AC上，点F在线段BD上. A CB FD E CB FD 图1 图2 (I)如图1，点E为线段AC中点，点F为线段BD中点. ①若AD=9,BC=1,则EF的长为： ②若AB=6,CD=4,求EF的长： EF ②如图2，当C-AC FD=-BD时，B=2CD,求B的值 3 3 题型四、线段中的多中点的计算问题 典例4(25-26七年级上·湖北武汉期末)已知线段AB上有两个动点C、D. B A MC D N B 图1 图2 (1)已知AB=24,C在D的左侧，AD+BC=30. ①如图1，求CD的长： ②如图2，MN分别为AD和BC的三等分点，且AD=3AM,BC=3BN,求MN的长： (②)若MN分别为AD和BC的三等分点，且AD=3AM,BC=3BN,请直接写出线段AB、CD、MN之间 的数量关系： 题型模版 1特征：线段上多个点，含中点、等分点，求线段长度或比值。 2方法：设未知线段长，用中点条件转化，列方程或比例求解。 变式41(25-26七年级上山东菏泽·期末)如图，点C是线段AB上靠近点B的三等分点，点D是线段AB 4/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的中点.若AD=6,求线段DC的长度. A D C B 变式42(25-26六年级下山东烟台期末)已知点C在线段AB上，M,，N分别是线段AC和BC上的点. L M CNB A M CNB 图1 图2 (I)如图1，M,N分别是AC,BC的中点.若AC=9cm,BC=6cm,则线段MN的长为 cm: Oa图2，者MC=4C,NC-写8C,AB=1m求线段N的长： 3 6)若MC=号AC,NC=片BC,4AB=m(m>0,n>,n为正整数)，请用合mn的代数式，直接写出线 段MN的长. 变式43(25-26七年级上陕西榆林·阶段检测)琪琪在学习了比较线段的长短时对下面问题产生了探究的 兴趣， 如图1，图2，点C在线段AB上，M,N分别是AC,BC的中点.若AB=10,AC=6,求MN的长. A M C N B AM 图1 图2 (I)根据题意，琪琪求得MN=: (2)琪琪在求解(1)的过程中，发现MN的长度具有一个特殊规律，于是她先将题中的条件一般化，并开 始深入探究. 已知AB=a,C是线段AB上任意一点（不与点A,B重合），琪琪提出了如下三个问题，请你帮助琪琪解 答： ①如图1，M,N分别是AC,BC的中点，则MN=-: @如图2，MN分别为家近A、B的AC,BC的三等分点，即4M4C,BN写nC,求N的长： 3 ③若MN分别为近A、B的4C,C的n等分点，即AM-4C,BN-司BC,则MN=- n n 5/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 同压轴挑战一支克高难压轴，突玻思燥上保 一、单选题 1.(25-26六年级下山东东营期末)如图，已知C为线段AB的中点，D在线段BC上，且AD=16cm, BD=10cm CD ,则线段的长度为() A CD B A.6cm B.3cm C.5cm D.8cm 2.(25-26七年级下山东烟台期末)如图，C,D是线段AB上的两点，D是线段AC的中点，若 AB=10cm,AC=6cm,则线段BD的长度是() D B A.4cm B.5cm C.6cm D.7cm 3.(25-26七年级上山西太原期末)如图，点M,N是线段AB上两点（点M在点N左侧），点C为MN 的中点，己知AN=6.5cm,BM=7cm,AB=10cm,则AC=() A M N B A.5cm B.4cm C.2.25cm D.4.75cm 4.(25-26七年级上浙江杭州期末)如图，点C,D把线段AB三等分，点P是线段BD上一点，且 AC+BP=CP.AP-CD=mBP,( A CD P B A.m=1 B.m=2 C.m=3 D.m=4 二、填空题 5.(25-26七年级上四川成都期末)如图所示，点C在线段AB上，点D为BC的中点，已知AB=8, 6/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BC=2,则线段AD的长为 A C D B 6.(25-26七年级上浙江丽水期末)如图，AB=20,M为线段AB上的一点，点P,N分别为线段AM, MB的中点，则PN的长为 A PM N 7.(25-26七年级上·湖南湘潭期末)已知线段AB=10cm,线段AB上有一点C,且BC=4cm,M是线 段AC的中点，则线段AM的长是 cm A M C 8.(25-26七年级上江西南昌期末)已知直线I经过A,B,C,D四点，线段AB的长为6，点C是线段 AB的三等分点，若AD=1,则CD的长为 三、解答题 9.(25-26七年级上·云南曲靖期末)如图，已知线段AB=12cm,点C是线段AB的中点，点D是线段 BC上的一点，且BD=BC 3 A D B (1)求线段AC的长： (2)求线段AD的长， 10.(25-26七年级上云南昭通期末)如图，C为线段AD上一点，点B是线段CD的中点，AD=8, BD=2 B D (1)求线段AC的长： (2)若点E是线段AB的三等分点，求线段DE的长 11.(25-26七年级上河北唐山期末)如图，AB=8cm,延长AB到C,使BC=3AB,D是线段BC的 中点 7/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (I)求线段AD的长度； (②)若点E是线段BD的三等分点，直接写出线段BE的长. 12.(25-26七年级上江苏准安期末)如图1，点C在线段AB上，AB=10,5AC=2AB,P是线段BC的中 点 A C B CM P B 图1 图2 (I)求线段BP的长度： (2)如图2，在(I)的条件下，若M是线段CP上的一点，且MP=2,试判断点M是否为线段AB的中点， 并说明理由， 13.(25-26七年级上·江苏扬州期末)如图B,C两点把线段AD分成三部分，AB:BC:CD=385,M为 AD的中点. M C D (I)判断线段AB与CM的大小关系，说明理由： (2)若CM=9,求BM的长， 14.(25-26七年级上：河南漯河期末)如图，已知线段AB=40,线段CD在线段AB上，且CD=12,点 M、N分别是线段ACBD中点. M C DNB (1)若AC=20,则MN= (②)小艾同学认为，若删掉(1)中“AC=20”这一条件，仍能求出MN的长度，请你帮他写出证明过程： 15.(25-26七年级上湖南邵阳期末)如图，线段AB=24,C是线段AB的中点，D是线段BC的中点. A C (1)求线段AC的长： (2)求线段AD的长； (3)若点E是线段AD的中点，求CE的长. 8/8 专题09 线段的和与差及中点问题的四类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、线段的和与差的计算问题 题型二、线段中的单中点的计算问题 题型三、线段中的双中点的计算问题 题型四、线段中的多中点的计算问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：常以“点在直线上”设问，图形位置不确定，无图题、双中点题高频，多需分类讨论。 - 解题方法：先画图标序，用线段和差串联已知；遇中点化为“两段相等且各等于全长的一半”；可设未知数列方程求解。 - 易错提醒：点可能在延长线上，勿漏解；中点条件只推两段相等，不能反判中点；注意倍分关系别颠倒。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、线段的和与差的计算问题 典例1（25-26六年级下·山东威海·期中）点C是线段的中点，点D在线段上，且，若，则_______． 【答案】8 【分析】根据线段中点的定义，可得，结合和，可求出的长度，再根据线段的和差关系计算的长度． 【详解】解：点是线段的中点， ， ，， ， 解得， ， ． 故答案为：． 题型模版 1.特征：线段可拼接或分割，需由已知线段求未知线段长度。 2.方法：画图定位置，用和差关系列式，代入已知长度计算。 变式1-1（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图，把一根绳子对折成线段，从点处把绳子剪断后，得到．若剪断后的各段绳子中最长的一段为，则绳子的原长为____________． 【答案】或 【分析】本题考查了两点间的距离，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解，体现了思维的严密性． 分两种情况：当点A是绳子的对折点时，当点B是绳子的对折点时，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 当点A是绳子的对折点时，将绳子展开如图． ∵剪断后的各段绳子中最长的一段为， ∴， ∴，， 绳子的原长； 当点B是绳子的对折点时，将绳子展开如图． ∵剪断后的各段绳子中最长的一段为， ∴， ∴，， 绳子的原长； 综上所述，绳子的原长为或． 故答案为：或 变式1-2（25-26七年级上·山东德州·期末）点C在线段上，若三条线段，，中，有其中1条线段是另外1条线段的2倍，则称点C是线段的“巧点”，若，点C是线段的巧点，则的长是________． 【答案】4或6或8 【分析】本题考查了线段上两点间的距离，分类讨论并根据题意正确列式是解题的关键；根据“巧点”的定义，点C在线段上，三条线段，，中有一条是另一条的2倍，分类讨论三种情况：、、（或），分别计算的长． 【详解】解：当点C是线段“巧点”时，可能有、、（或）三种情况： ①时，； ②时，； ③（或）时，； 综上分析可知：的长是4或6或8； 故答案为：4或6或8． 变式1-3（25-26六年级下·山东泰安·期末）如图，是线段上任意一点，，点，分别从点，同时向点运动，且点的运动速度为，点的运动速度为，运动的时间为． (1)若． ①运动后，求的长； ②当点在线段上运动时，试说明； (2)如果时，，试探索的长度． 【答案】(1)①； ②因为， 所以， 所以， 所以， 所以． (2)或 【分析】（1）①先求出、与的长度，然后利用即可求出答案； ②用t表示出、、的长度即可求证； （2）当时，求出、的长度，由于没有说明D点在C点的左边还是右边，故需要分情况讨论． 【详解】（1）①由题意可知， ． 因为， 所以， 所以． ② 略 （2）当时， ． ①当点在点的右边时，如图， 因为， 所以， 所以， 所以； ②当点在点的左边时，如图， 则有， 所以． 综上所述，的长度为或． 题型二、线段中的单中点的计算问题 典例2 （26-27七年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）如图，已知点，，都是线段上的点，线段，，点为线段的中点． (1)若，求线段的长； (2)在（1）的条件下，点在线段上，且，求的长． 【答案】(1)线段的长为3 (2)的长为23或31 【分析】（1）根据题意，先求出、，然后根据线段和差关系，依次求出、，结合中点定义得到，进而求出． （2）首先根据（1）求出，然后根据点F的位置关系，分两种情况讨论，综合得出结论． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴， ∴． ∵点为线段的中点， ∴， ∴． （2）由（1）得， 点在线段上，且，分两种情况： 情况一：当F在点E左侧时，； 情况二：当F在点E右侧时，； 综上，的长为23或31． 题型模版 1.特征：一点将线段分成相等两段，已知部分求整体或反之。 2.方法：设中点为分界，用线段和差倍分列式，代入求解。 变式2-1（26-27七年级上·全国·课后作业）如图，，为的中点，点在线段上且，求的长． 【答案】 【详解】解：因为，为的中点， 所以． 因为， 所以． 变式2-2（2026·河北邯郸·三模）如图，已知，，三点均在数轴上，且，． (1)若以的中点为原点，求，，三点所表示的数的和． (2)点也为该数轴上一点，且．若以为原点，则，，三点所表示的数的和是多少？ 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意可得，，，结合的中点为原点可得出，，三点所表示的数，求和即可； （2）分两类讨论，当点在点的左侧时，则点表示的数为，结合，得出点、表示的数，求和即可；当点在点的右侧时，则点表示的数为，同样的方法进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵的中点为原点， ∴点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴，，三点所表示的数的和为； （2）解：①当点在点的左侧时， ∵以为原点，， ∴点表示的数为， ∵，， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴，，三点所表示的数的和为； ②当点在点的右侧时， ∵以为原点，， ∴点表示的数为， ∵，， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴，，三点所表示的数的和为； 综上所述，，，三点所表示的数的和为或． 变式2-3（25-26七年级上·安徽马鞍山·期末）如图，已知点D是线段上一点，点C是线段的中点，若，． (1)求线段的长； (2)若点E是直线上一点，位于点B的左侧，且，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据中点的定义计算即可； （2）根据和计算即可． 【详解】（1）解：∵点C是线段的中点，， ∴， ∴； （2） 解：∵，， ∴， ∴． 题型三、线段中的双中点的计算问题 典例3 （2026七年级上·全国·专题练习）如图，点C在线段上，点M，N分别是、的中点． (1)若，，求线段的长； (2)若C为线段上任一点，如果，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据线段的中点的定义，结合线段的和差关系进行求解即可； （2）根据线段的中点的定义，结合线段的和差推出即可． 【详解】（1）解：点，分别是、的中点，，， ，， ， 线段的长为 ； （2）解：点，分别是、的中点， ，， ， ， 的长为． 题型模版 1.特征：同一直线上两中点，线段和差与中点距离相关。 2.方法：设线段长，用中点表示各段，列式求值或整体代换。 变式3-1（25-26六年级下·山东烟台·期中）如图，点C为线段的中点，点E为线段上的点，点D为线段的中点． (1)若，且，求的长； (2)若线段，，求的长． 【答案】(1)2 (2)6 【分析】（1）已知，可得的长，因为点C为线段的中点，点D为线段的中点，可得的长，因为，可得的长； （2）因为点C为线段的中点，可得的长，因为，求得的长，可得的长，因为点D为线段的中点，可得的长． 【详解】（1）解：， ， ∵点C为线段的中点，点D为线段的中点， ， ； （2）解：，点C为线段的中点， ， ∵， ， ， ∵点D为线段的中点， ． 变式3-2（25-26六年级下·山东青岛·期中）如图，已知线段，点为上的一个动点，点、分别是和的中点． (1)若点恰好是中点，则_____； (2)若，求的长． (3)说明不论取何值（不超过），的长不变． 【答案】(1) (2) (3) 解：、分别是和的中点 ，． ． 不论取何值（不超过），的长不变． 【分析】（1）由线段中点的定义可得，同理可得，，然后根据线段的和差求解即可； （2）由线段的和差可得，利用线段的中点定义可得，，然后根据线段的和差求解即可； （3）利用线段的中点定义可得，，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：∵点恰好是中点，， ∴， ∵点、分别是和的中点， ∴，， ∴． （2）解：， ， 、分别是和的中点 ，． ． （3）略 变式3-3（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，C，B两点在线段上（点C在点B左侧），点E在线段上，点F在线段上． (1)如图1，点E为线段中点，点F为线段中点． ①若，，则的长为______； ②若，，求的长； (2)如图2，当，时，，求的值． 【答案】(1)①５；②５； (2)． 【分析】本题考查线段中点定义，线段的和差倍分，熟练掌握相关结论，会设未知数利用数形结合思想是解题的关键． （1）①先求的长，再由中点定义得, , ，最后根据线段组合得的长； ②设，得，，再由线段组合得，抵消即可得长度． （2）设，得，设，得，，设，由，推出，代入 整理后约分即得结果． 【详解】（1）解：①∵,, ∴, ∵点E为线段中点，点F为线段中点， ∴, , ∴, ∴． ②设， 则，， ∵点E为线段中点，点F为线段中点， ∴, , ∴． （2）解：∵，，， ∴设，则， 设，则，， 设， 则，，， ∵， ∴， 整理得， ∴． 题型四、线段中的多中点的计算问题 典例4 （25-26七年级上·湖北武汉·期末）已知线段上有两个动点C、D． (1)已知在的左侧，． ①如图1，求的长； ②如图2，M、N分别为和的三等分点，且，求的长； (2)若M、N分别为和的三等分点，且，请直接写出线段、、之间的数量关系：___________． 【答案】(1)①6 ②14 (2)或 【分析】本题主要考查了线段的和差，线段的三等分点，解题的关键是掌握线段的和差以及分类讨论的思想． （1）①根据线段的和差进行求解即可； ②假设，，根据线段的三等分点表示出相关线段，然后利用线段的和差进行求解即可； （2）根据两个动点，分两种情况进行讨论，假设，，根据线段的三等分点表示出相关线段的长度，然后利用线段的和差进行求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴； ②假设，则， 由（1）得， ∴； 假设，则， 由（1）得， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图2所示， 假设，则，； 假设，则，； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图3所示， 假设，则，； 假设，则，； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，线段、、之间的数量关系是或， 故答案为：或． 题型模版 1.特征：线段上多个点，含中点、等分点，求线段长度或比值。 2.方法：设未知线段长，用中点条件转化，列方程或比例求解。 变式4-1（25-26七年级上·山东菏泽·期末）如图，点是线段上靠近点的三等分点，点是线段的中点．若，求线段的长度． 【答案】 【分析】本题考查线段中点与三等分点的定义及线段长度的计算，先根据线段中点的性质求出的总长度，再利用靠近的三等分点的定义求出的长度，最后通过线段差的关系计算的长度． 【详解】解：∵点是线段的中点，且， ∴，； ∵点是线段上靠近点的三等分点， ∴； ∴． 变式4-2（25-26六年级下·山东烟台·期末）已知点在线段上，，分别是线段和上的点． (1)如图1，，分别是，的中点．若，，则线段的长为___________； (2)如图2，若，，，求线段的长； (3)若（为正整数），请用含的代数式，直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)5厘米 (3) 【分析】本题考查两点间的距离． （1）根据线段中点的定义以及线段的和差关系进行计算即可； （2）根据线段的倍比关系以及和差关系进行计算即可； （3）根据（1）、（2）的方法推广到一般，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵M，N分别是，的中点，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵， ∴ ． 变式4-3（25-26七年级上·陕西榆林·阶段检测）琪琪在学习了比较线段的长短时对下面问题产生了探究的兴趣． 如图1，图2，点C在线段上，M，N分别是，的中点．若，，求的长． (1)根据题意，琪琪求得 ； (2)琪琪在求解（1）的过程中，发现的长度具有一个特殊规律，于是她先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 已知，C是线段上任意一点（不与点A，B重合），琪琪提出了如下三个问题，请你帮助琪琪解答： ①如图1，M，N分别是，的中点，则 ； ②如图2，M，N分别为靠近A、B的，的三等分点，即，，求的长； ③若M，N分别为靠近A、B的，的n等分点，即，，则 ． 【答案】(1)5 (2)①；②；③ 【分析】本题考查了线段中点的意义、线段的和差计算； （1）首先根据、分别是、的中点，可得、，从而可得； （2）①由，分别是，的中点，可得，根据可得； ②根据、，可知、，所以可得，从而可得； ③由，，知，，即得，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ， 点、分别是、的中点， ，， ； 故答案为：； （2）①因为、分别是、的中点， ，， ， ， ； 故答案为：； ②，， ，， ， ， ； ③，， ，， ， ， ， 故答案为：． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1.（25-26六年级下·山东东营·期末）如图，已知为线段的中点，在线段上，且，，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据线段的和差关系求出的长，再利用中点定义求出的长，最后根据求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为线段的中点， ∴， ∵在线段上， ∴． 2．（25-26七年级下·山东烟台·期末）如图，，是线段上的两点，是线段的中点，若，，则线段的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线段中点的定义求出的长，再根据线段的和差关系计算即可． 【详解】解：是线段的中点，， ， ∵， ． 3．（25-26七年级上·山西太原·期末）如图，点是线段上两点（点在点左侧），点为的中点，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先利用已知线段长度，通过线段和差求出的长度；再根据中点定义得到的长度，最后通过计算出的长度． 【详解】解：∵，， ∴． 又∵， ∴． ∵点为的中点， ∴． ∴． 4．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图，点C，D把线段三等分，点是线段上一点，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差关系，线段三等分点的定义等知识，根据线段三等分点的定义得出，由，可求出，则，结合，，即可求解． 【详解】解：∵点C，D把线段三等分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题 5．（25-26七年级上·四川成都·期末）如图所示，点在线段上，点为的中点，已知，，则线段的长为__________． 【答案】7 【分析】本题考查线段中点的有关计算，线段的和差计算，熟练掌握以上知识点是关键．首先由线段中点的性质得到，再求出，根据求解即可． 【详解】解：∵点为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：7． 6．（25-26七年级上·浙江丽水·期末）如图，，为线段上的一点，点，分别为线段，的中点，则的长为________． 【答案】 【分析】根据线段中点的定义以及线段和差关系进行计算即可． 【详解】解：∵点，分别为线段，的中点， ∴，， ∴． 7．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）已知线段，线段上有一点，且，是线段的中点，则线段的长是________． 【答案】 【分析】先求出的长度，再利用中点的定义即可求出线段的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是线段的中点， ∴． 8．（25-26七年级上·江西南昌·期末）已知直线经过四点，线段的长为6，点是线段的三等分点，若，则的长为________． 【答案】1或3或5 【分析】本题主要考查了线段的和与差，熟练掌握以上知识是解题的关键． 点是线段的三等分点，分靠近和靠近两种情况；点的位置分在左侧和右侧，结合，计算的长度． 【详解】解：线段的长为6，点是线段的三等分点， 当点靠近点时，， 若点在点左侧，则点顺序为，； 若点在点右侧，则点顺序为，． 当点靠近点时，， 若点在点左侧，则点顺序为，； 若点在点右侧，则点顺序为，． 综上所述，的长为1或3或5． 三、解答题 9．（25-26七年级上·云南曲靖·期末）如图，已知线段，点C是线段的中点，点D是线段上的一点，且． (1)求线段的长； (2)求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查线段中点的性质，熟练掌握线段中点的性质、线段的和差关系是解题的关键． （1）根据点C是线段的中点得到，据此计算即可； （2）由（1）知，根据求出的长，再利用进行计算即可． 【详解】（1）解：，点C是的中点， ； （2）解：点C是的中点， ， ， ． 10．（25-26七年级上·云南昭通·期末）如图，C为线段AD上一点，点B是线段CD的中点，，． (1)求线段AC的长； (2)若点E是线段AB的三等分点，求线段DE的长． 【答案】(1)AC=4； (2)线段DE的长为6或4 【分析】（1）根据线段中点定义求出CD，利用AD-CD求出AC； （2）分AE是三分之一AB或三分之二AB求出来，再利用AD-AE求出DE的长． 【详解】（1）解：∵点B是线段CD的中点， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴． ∵点E是线段AB的三等分点， ∴或， ∴或 ∴线段DE的长为6或4． 11．（25-26七年级上·河北唐山·期末）如图，，延长到，使，是线段的中点． (1)求线段的长度； (2)若点是线段的三等分点，直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据，，得出,根据是线段的中点，进而得出，根据即可求解； （2）根据三等分点的定义，可得或，代入数据即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 是的中点， ， ． （2）解：∵，点是线段的三等分点， ∴或． 12．（25-26七年级上·江苏淮安·期末）如图，点在线段上，是线段的中点． (1)求线段的长度； (2)如图2，在（1）的条件下，若是线段上的一点，且，试判断点是否为线段的中点，并说明理由． 【答案】(1) (2) 解：点是线段的中点． 理由如下： 如图所示： ， ， ， ， 则， 点是线段的中点． 【分析】本题考查求线段长度及判断线段中点，数形结合，准确表示出各个线段之间的和差倍分关系是解决问题的关键． （1）由题中条件得到，数形结合得到，再由是中点，即可得到； （2）由题中条件得到，再由得出，由线段中点定义即可判定． 【详解】（1）解：如图所示： ， ， 则， 又是中点， ； （2）略 13．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图两点把线段分成三部分，，为的中点． (1)判断线段与的大小关系，说明理由； (2)若，求的长． 【答案】(1) 理由如下： ∵， ∴设， ∴， ∵M为的中点， ∴， ∴，， ∴， ∴； (2) 【分析】本题主要考查了线段的和差，中点的定义， （1）先设，可得，再根据中点定义得，然后表示出，，最后根据得出答案即可； （2）由（1）可知，求出，再根据得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知， 解得：， 则． 14．（25-26七年级上·河南漯河·期末）如图，已知线段，线段在线段上，且，点分别是线段中点． (1)若，则_____； (2)小艾同学认为，若删掉（1）中“”这一条件，仍能求出的长度，请你帮他写出证明过程； 【答案】(1)26 (2) 证明：∵，， ∴， ∵点分别是线段中点， ∴，， ∴ ， ∴删掉（1）中“”这一条件，仍能求出的长度． 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，熟知线段中点的定义是解题的关键． （1）根据，，，得出，根据线段中点定义得出，，即可得出答案； （2）根据，，得出，根据点分别是线段中点，得出，，根据即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵点分别是线段中点， ∴，， ∴； （2）略 15．（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）如图，线段，是线段的中点，是线段的中点． (1)求线段的长； (2)求线段的长； (3)若点是线段的中点，求的长． 【答案】(1)12 (2)18 (3)3 【分析】此题考查了线段的和差计算和线段中点的意义． （1）根据线段中点的意义即可求解； （2）先由线段中点的意义求解，再由求解即可； （3）根据线段中点的意义得到，即可求出的长． 【详解】（1）解∵点C是线段的中点， ∴， （2）解：∵点D是线段的中点， ∴， ∴； （3）解：如图， ∵，点E是线段的中点， ∴， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $