专题10 用一元一次方程解决问题的七类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材苏科版七年级上册

专题10 用一元一次方程解决问题的七类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用一元一次方程解决销售问题 题型二、利用一元一次方程解决方案问题 题型三、利用一元一次方程解决配套问题 题型四、利用一元一次方程解决古代问题 题型五、利用一元一次方程解决比赛积分问题 题型六、利用一元一次方程解决几何问题 题型七、利用一元一次方程解决电费和水费问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：以销售利润、配套生产、工程效率、积分胜负为主，均含“总量=各部分之和”或“单价×数量=总价”等核心等量关系。 - 解题方法：审题圈关键词→设未知数（直接或间接）→依等量关系列方程→解方程→检验实际意义。 - 易错提醒：利润率分母是进价非标价；配套问题注意比例方向；检验须符合实际（人数、场次为正整数）。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用一元一次方程解决销售问题 典例1 （25-26七年级下·重庆荣昌·期末）列方程（组）解下列问题： 荣昌陶是“中国四大名陶”之一．安陶小镇某陶艺工作室今年四月份分别销售紫精轩、瓷青两种陶瓷茶杯个、个，仅这两种陶瓷茶杯的销售额就达到万元．已知紫精轩的销售单价比瓷青的销售单价多元． (1)求紫精轩、瓷青两种陶瓷茶杯的销售单价各是多少元？ (2)五月份，该工作室对紫精轩、瓷青这两种茶杯进行降价促销，其中紫精轩每个降价元，瓷青每个降价元，该工作室五月份销售这两种茶杯数量比四月份明显增加，其中紫精轩销售数量增加，瓷青多销售个．这样，五月份该工作室这两种茶杯的销售总额就比四月份这两种茶杯的销售总额增长．求的值． 题型模版 1.特征：涉及进价、售价、利润、折扣等量，常以利润或销售额列等量关系。 2.方法：设未知数，用售价减进价表示利润，找等量关系列一元一次方程求解。 变式1-1（25-26六年级下·山东烟台·期中）某超市第一次用3100元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如表：    甲     乙 进价（元/件）    12     20 售价（元/件）    19     30 (1)该超市第一次购进甲、乙两种商品各多少件？ (2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的4倍；甲商品按原价销售，乙商品销售一部分后出现滞销，于是超市决定将剩余的乙商品五折（售价的）促销，若在本次销售过程中超市共获利1850元，则以五折售出的乙商品有多少件？ 变式1-2（25-26七年级下·重庆·期中）列方程解应用题： 某花店售卖金桔盆栽和花肥，已知一盆金桔盆栽售价28元，利润率为40%；花肥进价每包2元，一包花肥的利润率和一盆金桔盆栽的利润率相同．花店第一次进货总共花费720元，其中花肥的进货数量是金桔盆栽的2倍． (1)花店第一次进货购进了金桔盆栽多少盆？ (2)第一次进货商品全部售完后，商家进行第二次进货．为吸引更多顾客，花店推出促销活动：每卖出一盆金桔盆栽，免费赠送一包花肥，金桔盆栽售完后，剩余的花肥再进行单独售卖（第二次购进花肥数量大于金桔盆栽数量）．第二次进货对比第一次：金桔盆栽的进价降低了m元，进货数量增加了8盆，售价不变；花肥的进价不变，进货数量比第一次增加了2m包，售价不变．第二次售完获得的总利润比第一次多76.4元，求m的值． 变式1-3（25-26七年级下·山东泰安·期中）某商店购进甲、乙两种型号的节能灯共100只，购进100只节能灯的进货价恰好为2600元，这两种节能灯的进价、预售价如表：（利润售价进价） 型号 进价（元/只） 预售价（元/只） 甲型 20 25 乙型 35 40 (1)求该商店购进甲、乙两种型号的节能灯各多少只？ (2)在实际销售过程中，商店按预售价将购进的全部甲型号节能灯和部分乙型号节能灯售出后，决定将剩下的乙型号节能灯打九折销售，两种节能灯全部售完后，共获得利润400元，求乙型号节能灯按预售价售出了多少只． 题型二、利用一元一次方程解决方案问题 典例2 （26-27八年级上·福建漳州·阶段检测）国庆节期间，爸爸想给小明买一个书包和一双运动鞋，他告诉小明：同款的鞋和书包在甲、乙商场单价相同，两者单价之和元，且运动鞋单价比书包单价的倍少元． (1)你能算出运动鞋和书包的单价各是多少元吗？ (2)小明答对后，父子俩带了元去买，恰逢商场促销：甲商场每满元返元购物券（不足元不返，券可当场用），乙商场全场八折．只在一家商场购买这两样物品，能选哪家？若两家都可以，哪家更省钱？ 题型模版 1.特征：实际问题中数量关系可化为ax+b=0形式，求未知量。 2.方法：设未知数，找等量关系列方程，解方程并检验作答。 变式2-1（2026·江西九江·二模）某校课后服务开设乒乓球兴趣小组活动，计划购买某品牌的乒乓球拍和乒乓球．已知该品牌的乒乓球拍每副定价120元，乒乓球每盒定价15元．店家给出了两种销售方案： 方案一：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球． 方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的付款． 该校计划购买乒乓球拍20副，乒乓球x盒（，且x为整数）． (1)当时，若该校按方案一购买，需付款______元；若该校按方案二购买，需付款______元． (2)当x为何值时，两种方案购买所需费用一样？ 变式2-2（2026·贵州安顺·二模）刘师傅购买了一辆某型号的新能源汽车，其电池满电量为千瓦时．目前有两种充电方案可供选择： 方案一：私家安装充电桩，费用为元，每千瓦时电费为元． 方案二：使用公共充电桩，无安装费用，每千瓦时电费（含服务费）为元． 已知新能源汽车充电时存在能量损耗，电池实际每增加千瓦时的电量，需充入千瓦时的电．假设电池的耗电量与行驶里程成正比，且电池从满电千瓦时行驶至千瓦时时，对应的行驶里程为千米． 请解答以下问题： (1)电池每次从千瓦时充至满电千瓦时，分别计算使用方案一和方案二，单次充电所需支付的电费． (2)请问该汽车的累计行驶里程为多少千米时，两种充电方案的总费用恰好一样多？ 变式2-3（2026·广西南宁·一模）2026年1月1日起，某市持续实施新一轮消费补贴政策，涵盖汽车、家电、数码等领域．王叔叔家有一辆符合条件的旧车报废，根据政策，其购买新车可享受以下以旧换新补贴标准： 购买新车类型 补贴标准 最高补贴 新能源乘用车 新车售价的12% 20000元 2.0L及以下排量燃油乘用车 新车售价的10% 15000元 (1)按照以旧换新补贴标准，购买以下______车价格更低（填序号），并说明理由； ①售价16万元的新能源乘用车            ②售价16万元的2.0L排量燃油乘用车 (2)王叔叔计划在新能源乘用车A和2.0L排量燃油乘用车B之间选择一辆购买，计算后发现，购买其中任意一辆车可享受的补贴均未达到最高补贴，且补贴后的实际花费相等，若A车的售价比B车高3千元，请你求出A车和B车的售价各是多少万元？ 题型三、利用一元一次方程解决配套问题 典例3 （25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）（列方程解应用题）七年级一班共有学生50人，其中男生人数比女生人数的2倍还少19人，劳技课上，老师组织同学们自己动手设计制作收纳盒，每名学生一节课能做盒身11个或盒底22个． (1)七年级一班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 题型模版 1.特征：总量按固定比例分配，配套数量间成倍数关系。 2.方法：设未知数，按配套比例列等量关系，解方程。 变式3-1（25-26七年级下·福建漳州·期中）某工厂需要生产一批眼镜镜架，每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成．工厂现共有45名工人，平均每人每天生产100个镜框或160个镜腿． (1)应如何安排工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ (2)某眼镜商店以每副80元的价格购进了100副镜架，提高后标价．在元旦假期期间，商店打七折售出了90副，若想在销售完这100副镜架后总获利，则剩余的镜架应打几折出售？ 变式3-2（2026·广西玉林·模拟预测）完成如下项目式学习表 情境挖掘 眼镜是由镜片和镜架组合起来，用来改善视力、保护眼睛或作装饰用途的用品． 素材整合 某工厂需要生产一批镜架（如图），每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成．工厂现共有35名工人，平均每人每天生产120个镜框或180个镜腿． (1)应如何安排工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ (2)某店家以每副100元的价格购进镜架后提高后标价．在元旦假期期间，店家打七五折销售，售出的每一副镜架的利润率是多少？ (3)该店家购进了100副镜架，元旦假期期间售出了80副，若想在销售完这100副镜架后总获利5%，则剩余的镜架应打几折出售？ 变式3-3（25-26六年级下·山东烟台·期中）完成如下项目式学习表 情境导入 随着人工智能大模型技术的飞速发展，智能眼镜正成为个人AI助理的重要载体．某科技公司推出一款全新智能眼镜——“灵镜”，它内置轻量级大模型芯片，支持语音交互、实时翻译、物体识别等功能，可以通过镜片上的微显示屏呈现信息．这款眼镜的生产分为两部分：A智能镜框：包含芯片、电池、传感器、镜片等核心部件；B智能镜腿：内置天线、扬声器、麦克风等通信模块，每副“灵镜”智能眼镜由1个智能镜框和2个智能镜腿组装而成． 产能配置 该科技公司现有45名技术工人，每人每天可以生产100个智能镜框或160个智能镜腿． 任务解决 (1)任务1：应如何安排工人，才能使每天生产的智能镜框和智能镜腿恰好配套？ (2)任务2：某店家以每副800元的价格购进“灵镜”后提高后标价．在寒假期间，店家打七折销售，售出的每一副“灵镜”的利润率是多少？ (3)任务3：在（2）的条件下，该店家购进了100副“灵镜”，寒假期间售出了90副，若想在销售完这100副“灵镜”后总获利，则剩余的“灵镜”应打几折出售？ 题型四、利用一元一次方程解决古代问题 典例4 （26-27七年级上·全国·课后作业）今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十．问：家数、牛价各几何？（选自《九章算术》） 题目大意：几家人合伙买牛，若每7家合伙出190钱，则差330钱；若每9家合伙出270钱，则多了30钱．家数、牛价各是多少？ 题型模版 1.特征：文言表述含数量关系，可译为现代数学问题建模求解。 2.方法：读懂题意译成白话，设未知数列方程，解后还原作答。 变式4-1（25-26七年级下·湖北襄阳·期末）《孙子算经》中有这样一道题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何．意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子余尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺．请你解决这个问题． 变式4-2（25-26七年级下·福建泉州·期中）列方程解决问题： 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩，不知有多少人和竹竿，每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿．”求共有多少个牧童？ 变式4-3（25-26七年级上·山东济南·期末）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一．书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？”译文：假设有几个人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：有几个人共同出钱买鸡？鸡的价钱是多少？请你列一元一次方程解决这个问题． 题型五、利用一元一次方程解决比赛积分问题 典例5 （26-27七年级上·湖南湘西·开学考试）在2026年秋季“花垣县中小学教师全员培训”中，老师们进行了精彩的足球比赛．足球比赛的记分规则是：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分，A队老师参加了15场比赛，负了4场，共得29分，则这支球队胜了多少场？ 题型模版 1.特征：比赛有胜、平、负，积分规则不同，已知总场数和总积分，求胜平负场次。 2.方法：设胜（或负）x场，用总场数表示其他场次，按积分规则列一元一次方程，解出并检验非负整数。 变式5-1（25-26七年级上·辽宁朝阳·期末）在足球联赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某队9场比赛保持不败． (1)设这支球队胜了x场比赛． ① 根据信息填表（用含有x的式子表示）； 场次（场） 每场得分（分） 积分（分） 胜 3 平 1 ②若这支球队9场比赛得到的总积分是21分，请列一元一次方程，并求出这支球队的胜场数和平场数； (2)这支球队9场比赛的胜场总积分能等于它的平场总积分吗？（请列一元一次方程，说明你的结论．） 场次（场） 每场得分（分） 积分（分） 胜 3 平 1 变式5-2（25-26七年级下·重庆南川·期中）某电视台组织知识竞赛，共20道选择题，每题必答，如表记录了3个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 总得分 甲 20 0 100 乙 19 1 94 丙 14 6 64 (1)由表中的数据可知：答对1题得________分，答错1题得________分； (2)小婷得76分，她分别答对了几道题、答错了几道题？ (3)小明说他得了80分，你认为可能吗？为什么？ 变式5-3（25-26七年级上·河南商丘·期末）下表为某篮球比赛部分球队的积分榜（篮球比赛没有平局）． 球队 比赛场次 胜场 负场 积分 A 12 10 2 22 B 12 9 3 21 C 12 7 5 19 D 11 6 5 17 E 11 … … 13 (1)填空：球队胜一场积____分，负一场积______分． (2)根据积分规则可知，E队已经进行了的11场比赛中，胜_____场，负____场． (3)若此次篮球比赛共16轮（每个球队各有16场比赛），D队希望最终积分达到26分，你认为有可能实现吗？请说明理由． 题型六、利用一元一次方程解决几何问题 典例6 （25-26七年级下·北京·期末）竹节人是中国传统民间玩具，它由竹节与线绳组装而成．如图，制作一个竹节人，需将一根粗细均匀的竹子截成九段：一段长竹节为头和上身，另八段等长短竹节为四肢．如图，竹节人的头长与上身长的比为，长竹节长是短竹节长的倍，头宽比头长少，竹节人完全张开手臂的臂展长为，求这个竹节人的总高度．          题型模版 1.特征：几何量间存在等量关系，可化为一元一次方程求解。 2.方法：设几何量为未知数，依图形性质列方程，解后检验。 变式6-1（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）一张长方形纸片． 步骤1：如图1，将一张长为、宽为的长方形纸片的四个角分别剪去边长为的小正方形． 步骤2：将剩下部分折成如图2所示的一个无盖长方体盒子． (1)若，则折成的无盖长方体盒子的体积为_____； (2)若折成的无盖长方体盒子的底面的长是宽的3倍，求该无盖长方体盒子的体积． 变式6-2（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图1、某小区的平面图是一个占地长500米、宽400米的矩形，正中央的建筑区是与整个小区长、宽比例相同的矩形，如果要使四周的空地所占面积是小区面积的，南北空地等宽，东西空地等宽． (1)求该小区四周的空地的宽度； (2)如图2，该小区在东、西、南三块空地上作如图所示的矩形绿化带，绿化带与建筑区之间为小区道路、小区道路宽度一致．已知东、西两侧绿化带完全相同，其长均为200米，南侧绿化带的长为300米、绿化面积为5500平方米，请算出小区道路的宽度． 变式6-3（26-27七年级上·山东德州·阶段检测）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．“洛书”是一种关于天地空间变化脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）．三阶幻方又名九宫格，是一种将9个数字（数字不重复使用）安排在三行三列的正方形格子中，使每行、每列和对角线上的数字和都相等的数字填法． (1)根据“洛书”中表达的意思，将图2中的三阶幻方补充完整； (2)如图3是一个新的三阶幻方，请根据图中给出的数据，补全这个新的三阶幻方； (3)如图4，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“○”．将，，，，，，2，4，6，8，10，12这12个数填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的4个顶点处“○”中的数的和都为2．请直接写出mn的值（即m和n的乘积）． 题型七、利用一元一次方程解决电费和水费问题 典例7 （26-27七年级上·江苏泰州·期中）为引导居民错峰用电，某市对居民生活用电实行峰谷分时电价： 峰时段（）电价为元/千瓦时； 谷时段（—次日）电价为元/千瓦时． (1)小明家6月份用电150千瓦时，若全部按谷时段电价计算，应付电费__________元； (2)小明家7月份共用电210千瓦时，其中峰时段用电x千瓦时，用含x的代数式表示7月份应付的电费，并化简； (3)若小明家7月份共付电费95.8元，求7月份峰时段、谷时段各用电多少千瓦时． 题型模版 1.特征：分段计费，不同用量区间单价不同，总量对应总费用。 2.方法：设用量为x，判断所属区间，按对应单价列方程求解。 变式7-1（25-26七年级上·山西朔州·期末）为倡导绿色生活，建设节约型社会，某市居民生活用水实施了阶梯计价政策．下表是该市居民生活用水的收费标准（户内人口不超过4人）： 收费方式 年用水量/ 单价（元/） 第一阶梯 0~180 4.5 第二阶梯 181~240 6 第三阶梯 240以上 8 (1)若甲、乙两户居民（都是三口之家）2025年的用水量分别为，，则甲、乙两户居民2025年的水费分别为__________元、__________元； (2)若丙户居民（四口之家）2025年的水费为1110元，求丙户居民2025年的用水量． 变式7-2（25-26七年级上·辽宁朝阳·期末）我市居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过220度的部分 a 第2档 超过220度但不超过300度的部分 0.55 第3档 超过300度的部分 已知9月份小明家用电200度，交电费100元；10月份小明家交电费132元． (1)填空：表中a的值为 ； (2)求小明家10月份的用电量； (3)若8月份小明家用电的平均电价为0.6元/度，求小明家8月份的用电量． 变式7-3（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）小晶家以下各月用水量情况如下表所示：（每月1号检查水表读数，水费按月计费） 月份 1 2 3 4 5 6 7 月初水表读数为（吨） 185 190 196 203 210 219 233 (1)二月份小晶家用水多少吨？ (2)若一月份比六月份用水少．已知每个家庭用水量不超过标准范围每吨收取水费3元，若超过标准范围超标部分每吨收取水费元，小晶家六月份共交水费54元，求每月标准用水量． (3)在（2）的条件下，若小晶家下半年每个月的用水量均大于或等于用水量的最高标准，且上半年交水费比下半年少，求小晶家下半年用水量多少吨？ 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26七年级下·河南周口·期末）某工厂有工人60名，每人每天可加工20个螺栓或50个螺母，1个螺栓配2个螺母．设安排人加工螺栓，恰好配套，列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·福建泉州·期末）某种商品的进价为每件180元，现按标价的9折销售时，利润率为，设这种商品的标价为每件元，依题意列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐．问人数和车数各多少？设车辆，根据题意，可列出的方程是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·江苏镇江·期末）如图1，从一个边长为3的正方形纸片上剪掉两个边长为的小正方形，得到如图2所示的图形．若图2中图形的周长为18，则的值是（     ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 二、填空题 5．（25-26七年级上·福建宁德·期末）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人五竿多三竿，每人七竿少五竿．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知道有多少人和竹竿．每人5竿，多3竿；每人7竿，少5竿．设牧童有人，则可列方程为________． 6．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）某商场销售一款服装，每件的进价为90元，若以标价的八折销售，仍可获利30元，则这款服装每件的标价为 _____________ 元． 7．（25-26七年级上·全国·期末）某校七年级三个班级联合开展户外研学活动，此次活动由一班班长负责购买车票，票价每张20元．有如图两种优惠方案：班长思考一会儿说，无论选择哪种方案所要付的车费是一样的，则七年级三个班级共有___________ 8．（25-26七年级上·陕西榆林·期末）为节约用电，某市实行“阶梯电价”，收费方法如下：每户每月用电量不超过240度的部分，每度电价0.6元；超过240度但不超过400度的部分，每度电价0.65元；超过400度的部分，每度电价0.9元．若该市某居民12月份共缴纳电费222元，则该居民12月份共用电______________度． 三、解答题 9．（25-26七年级上·陕西汉中·期末）某商店销售甲、乙两种商品，其中甲商品的进价为50元/件，售价为70元/件，乙商品的进价为60元/件，售价为90元/件．若该商店同时购进甲、乙两种商品共100件，总进价为5400元． (1)该商店购进甲、乙两种商品各多少件？ (2)该商店计划开展“迎新春，购年货”促销活动，其中甲商品打9折，乙商品打折，若销售完甲、乙这两种商品，甲商品的总利润比乙商品的总利润多300元，求的值． 10．（25-26七年级上·山东济南·期末）七年级1班和七年级2班两个班的同学到公园开展社会大课堂活动，公园门票每人40元，超过30人可以购买团体票．公园购票处张贴着团体优惠购票的方案表格如下： 人数优惠方案 30人以上 方案一 八折优惠 方案二 4人免票，其他人九折优惠 (1)若1班有35名学生，他们该选择哪个方案更省钱，说明理由； (2)若2班（30人以上）无论选择哪种方案付的钱是一样多，求2班有多少人． 11．（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期末）2025年，乌兰察布市首次征战蒙超联赛便斩获季军佳绩，尽显黑马风采．某玩具生产商敏锐捕捉赛事热度，计划推出同款主题玩偶，并为每个玩偶配2只手套．如果该车间共有15名工人，每人一天平均能生产12只手套或9个玩偶． (1)那么应分配多少名工人生产手套，多少名工人生产玩偶，才能使当天生产的手套和玩偶刚好配套？ (2)如果生产一套玩偶成本为100元，商家将进价提高进行标价，若商家要获得的利润，应打几折出售？ 12．（25-26八年级上·全国·期末）跨学科  成语“朝三暮四”讲述了一位老翁喂养猴子的故事，老翁为了限制猴子的粮食，分早晚两次投喂，早上投喂的粮食是晚上的，猴子对于这个安排很不满意，于是老翁将晚上粮食中的2千克放在早上投喂，这样早上投喂的粮食是晚上的，猴子很满意这样的安排．则调整前早上和晚上分别投喂多少粮食？ 13．（25-26七年级上·湖北宜昌·期末）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，当阳市城区采用价格调控的手段以达到节水的目的，居民生活用水收费的价目表如下：(注：水费按月计算，用水量单位：) 收费方式 月用水量() 费用(元/) 第一阶梯 第二阶梯 第三阶梯 (1)若小关家10月份用水，则应交水费多少元？ (2)小云家某月用水量为，则应交水费多少元？(用含x的式子表示) (3)若小雅家11月、12月用水量共．(11月份用水量小于12月份用水量)，这两个月共交水费158元，小雅家11月、12月用水量分别为多少？ 14．（25-26七年级上·广东珠海·期末）珠海市夏季天气炎热，空调用电量较大，因此电量分档划分为夏季标准和非夏季标准，实施居民阶梯电价，收费标准划分如下： 夏季标准（5月~10月） 非夏季标准（1月~4月，11月~12月） 阶梯（档次） 用电量（度） 电价（元/度） 阶梯（档次） 用电量（度） 电价（元/度） 第一档 260及以下 0.6 第一档 200及以下 0.6 第二档 261~600 0.65 第二档 201~400 0.65 第三档 601及以上 0.9 第三档 401及以上 0.9 例如：按夏季标准，用电量600度时，其中260度按0.6元/度收费，超出260度的部分按0.65元/度收费． (1)在用电量同为600度的情况下，非夏季电费___________夏季电费（填选项）． A．大于        B．小于        C．大于等于        D．小于等于 (2)珠海的中学生小周发现家里1月份用电410度，请计算小周家1月份总电费． (3)已知小周家7月份缴纳电费312元，请通过计算求出小周家7月份的用电量． 15．（25-26七年级上·河北张家口·期末）【观察思考】一段墙体是由同一规格的方砖按照一定规律组合砌成的，图1给出了每层的组合方式：当中竖放1块方砖，就横放6块方砖（如图2）；当中竖放2块方砖，就横放9块方砖（如图3）；以此类推． 【规律发现】已知方砖的长为，宽为．设一层里竖放的方砖有（为正整数）块． （1）这一层横放方砖的块数为_____________（用含的代数式表示）； （2）当竖放的方砖为1块时，墙体的长度为；当竖放的方砖为2块时，墙体的长度为；…当竖放的方砖为块时，墙体的长度为___________m； 【规律应用】 （3）若需要砌一段长为的一层墙体，按照图中规律，求需要方砖多少块． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 用一元一次方程解决问题的七类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用一元一次方程解决销售问题 题型二、利用一元一次方程解决方案问题 题型三、利用一元一次方程解决配套问题 题型四、利用一元一次方程解决古代问题 题型五、利用一元一次方程解决比赛积分问题 题型六、利用一元一次方程解决几何问题 题型七、利用一元一次方程解决电费和水费问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：以销售利润、配套生产、工程效率、积分胜负为主，均含“总量=各部分之和”或“单价×数量=总价”等核心等量关系。 - 解题方法：审题圈关键词→设未知数（直接或间接）→依等量关系列方程→解方程→检验实际意义。 - 易错提醒：利润率分母是进价非标价；配套问题注意比例方向；检验须符合实际（人数、场次为正整数）。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用一元一次方程解决销售问题 典例1 （25-26七年级下·重庆荣昌·期末）列方程（组）解下列问题： 荣昌陶是“中国四大名陶”之一．安陶小镇某陶艺工作室今年四月份分别销售紫精轩、瓷青两种陶瓷茶杯个、个，仅这两种陶瓷茶杯的销售额就达到万元．已知紫精轩的销售单价比瓷青的销售单价多元． (1)求紫精轩、瓷青两种陶瓷茶杯的销售单价各是多少元？ (2)五月份，该工作室对紫精轩、瓷青这两种茶杯进行降价促销，其中紫精轩每个降价元，瓷青每个降价元，该工作室五月份销售这两种茶杯数量比四月份明显增加，其中紫精轩销售数量增加，瓷青多销售个．这样，五月份该工作室这两种茶杯的销售总额就比四月份这两种茶杯的销售总额增长．求的值． 【答案】(1)紫精轩陶瓷茶杯的销售单价为150元，瓷青陶瓷茶杯的销售单价为100元． (2) 【分析】（1）设瓷青单价为元，则紫精轩单价为元，根据已知总的销售额，列方程并解方程即可得到答案； （2）依题意可知紫精轩单价元，数量150个，瓷青单价80元，数量个，再依据五月份的总销售额，列方程并解方程即可得到的值． 【详解】（1）解：设瓷青单价为元，则紫精轩单价为元， 依题意得 解得， 紫精轩陶瓷茶杯的销售单价为元，瓷青陶瓷茶杯的销售单价为元． （2）解：根据题意可知 紫精轩：单价元，销量（个）； 瓷青：单价元，销量个； 五月份总销售额为：元． 依题意得 ， 解得． 题型模版 1.特征：涉及进价、售价、利润、折扣等量，常以利润或销售额列等量关系。 2.方法：设未知数，用售价减进价表示利润，找等量关系列一元一次方程求解。 变式1-1（25-26六年级下·山东烟台·期中）某超市第一次用3100元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如表：    甲     乙 进价（元/件）    12     20 售价（元/件）    19     30 (1)该超市第一次购进甲、乙两种商品各多少件？ (2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的4倍；甲商品按原价销售，乙商品销售一部分后出现滞销，于是超市决定将剩余的乙商品五折（售价的）促销，若在本次销售过程中超市共获利1850元，则以五折售出的乙商品有多少件？ 【答案】(1)超市第一次购进甲商品150件，乙商品65件 (2)以五折售出的乙商品有120件 【分析】（1）设第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品件，根据单价数量总价，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设五折的乙商品m件，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品件， 由题意得： ， 解得， 则（件）， 答：超市第一次购进甲商品150件，乙商品65件； （2）解：设五折售出的乙商品有m件，则原价销售的乙商品的数量为件， 由题意得 ， 解得， 答：以五折售出的乙商品有120件． 变式1-2（25-26七年级下·重庆·期中）列方程解应用题： 某花店售卖金桔盆栽和花肥，已知一盆金桔盆栽售价28元，利润率为40%；花肥进价每包2元，一包花肥的利润率和一盆金桔盆栽的利润率相同．花店第一次进货总共花费720元，其中花肥的进货数量是金桔盆栽的2倍． (1)花店第一次进货购进了金桔盆栽多少盆？ (2)第一次进货商品全部售完后，商家进行第二次进货．为吸引更多顾客，花店推出促销活动：每卖出一盆金桔盆栽，免费赠送一包花肥，金桔盆栽售完后，剩余的花肥再进行单独售卖（第二次购进花肥数量大于金桔盆栽数量）．第二次进货对比第一次：金桔盆栽的进价降低了m元，进货数量增加了8盆，售价不变；花肥的进价不变，进货数量比第一次增加了2m包，售价不变．第二次售完获得的总利润比第一次多76.4元，求m的值． 【答案】(1)30 (2)3 【分析】（1）先根据金桔盆栽的售价和利润率求出金桔的进价，再设金桔进货数量为未知数，根据总进货花费列方程求解； （2）先求出花肥售价和第一次总利润，再根据题意表示出第二次的总利润，根据第二次总利润比第一次多76.4元列方程求解，验证条件后得到m的值． 【详解】（1）解：设金桔盆栽的进价为x元， 由题意得， 解得， 设花店第一次进货购进金桔盆栽y盆，则购进花肥包， 由题意得， 解得． 答：花店第一次进货购进了金桔盆栽30盆． （2）解：由（1）得第一次购进花肥数量为（包），花肥售价为（元）， 第一次总利润为（元）， 第二次金桔盆栽进货数量为（盆），进价为元，第二次花肥进货数量为包，进价为2元，每卖一盆金桔赠送一包花肥，因此免费赠送38包，单独售卖的花肥数量为（包）， 由题意得：， 整理得 ， 解得， 此时第二次花肥进货数量为，符合题意． 答：m的值为3． 变式1-3（25-26七年级下·山东泰安·期中）某商店购进甲、乙两种型号的节能灯共100只，购进100只节能灯的进货价恰好为2600元，这两种节能灯的进价、预售价如表：（利润售价进价） 型号 进价（元/只） 预售价（元/只） 甲型 20 25 乙型 35 40 (1)求该商店购进甲、乙两种型号的节能灯各多少只？ (2)在实际销售过程中，商店按预售价将购进的全部甲型号节能灯和部分乙型号节能灯售出后，决定将剩下的乙型号节能灯打九折销售，两种节能灯全部售完后，共获得利润400元，求乙型号节能灯按预售价售出了多少只． 【答案】(1)该商店购进甲型号的节能灯60只，购进乙型号的节能灯40只 (2)乙型节能灯按预售价售出的数量是15只 【分析】（1）设该商店购进甲型号的节能灯只，则可以购进乙型号的节能灯只，根据“购进100只节能灯的进货价恰好为2600元”建立方程求解，即可解题； （2）设乙型节能灯按预售价售出的数量是只，根据“两种节能灯全部售完后，共获得利润400元，”建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：设该商店购进甲型号的节能灯只，则购进乙型号的节能灯只， 由题意可得：， 解得：， （只）， 答：该商店购进甲型号的节能灯60只，购进乙型号的节能灯40只； （2）解：设乙型节能灯按预售价售出的数量是只， 由题意得， 解得：， 答：乙型节能灯按预售价售出的数量是15只． 题型二、利用一元一次方程解决方案问题 典例2 （26-27八年级上·福建漳州·阶段检测）国庆节期间，爸爸想给小明买一个书包和一双运动鞋，他告诉小明：同款的鞋和书包在甲、乙商场单价相同，两者单价之和元，且运动鞋单价比书包单价的倍少元． (1)你能算出运动鞋和书包的单价各是多少元吗？ (2)小明答对后，父子俩带了元去买，恰逢商场促销：甲商场每满元返元购物券（不足元不返，券可当场用），乙商场全场八折．只在一家商场购买这两样物品，能选哪家？若两家都可以，哪家更省钱？ 【答案】(1)运动鞋单价为元，书包单价为元． (2)甲、乙两家商场都可以选择，乙商场更省钱． 【分析】（1）根据两种商品的单价和与倍数关系，设未知数列一元一次方程求解． （2）分别计算甲、乙商场购买两样物品的最低花费，与元比较后判断可选商场及更省钱的方案． 【详解】（1）解：设书包的单价为元，则运动鞋的单价为元． 由题意得 ， 解得 ， ∴运动鞋单价为 （元）． （2）解：计算甲商场最低花费： ∵甲商场每满元返元购物券， ∴优先购买单价高的运动鞋以获取更多购物券． ∵运动鞋单价元，包含个元，可返购物券 （元）． 用90元购物券购买书包，需额外支付 （元）． ∴甲商场总花费为 （元）． ∵ ， ∴ 甲商场可选择； 计算乙商场花费： ∵乙商场全场八折， ∴乙商场总花费为 （元）． ∵ ， ∴ 乙商场可选择； ∵ ， ∴ 乙商场更省钱． 综上所述，甲、乙两家商场都可以选，乙商场更省钱． 题型模版 1.特征：实际问题中数量关系可化为ax+b=0形式，求未知量。 2.方法：设未知数，找等量关系列方程，解方程并检验作答。 变式2-1（2026·江西九江·二模）某校课后服务开设乒乓球兴趣小组活动，计划购买某品牌的乒乓球拍和乒乓球．已知该品牌的乒乓球拍每副定价120元，乒乓球每盒定价15元．店家给出了两种销售方案： 方案一：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球． 方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的付款． 该校计划购买乒乓球拍20副，乒乓球x盒（，且x为整数）． (1)当时，若该校按方案一购买，需付款______元；若该校按方案二购买，需付款______元． (2)当x为何值时，两种方案购买所需费用一样？ 【答案】(1)2550；2565 (2)当时，两种方案购买所需费用一样 【分析】（1）根据题意直接计算方案一和方案二所需付款的总额即可； （2）由题意易得，进而求解即可． 【详解】（1）解：方案一：需付款元； 方案二：需付款元； （2）解：方案一需付款：元． 方案二需付款：元． 根据题意可列方程， 解得． 答：当时，两种方案购买所需费用一样． 变式2-2（2026·贵州安顺·二模）刘师傅购买了一辆某型号的新能源汽车，其电池满电量为千瓦时．目前有两种充电方案可供选择： 方案一：私家安装充电桩，费用为元，每千瓦时电费为元． 方案二：使用公共充电桩，无安装费用，每千瓦时电费（含服务费）为元． 已知新能源汽车充电时存在能量损耗，电池实际每增加千瓦时的电量，需充入千瓦时的电．假设电池的耗电量与行驶里程成正比，且电池从满电千瓦时行驶至千瓦时时，对应的行驶里程为千米． 请解答以下问题： (1)电池每次从千瓦时充至满电千瓦时，分别计算使用方案一和方案二，单次充电所需支付的电费． (2)请问该汽车的累计行驶里程为多少千米时，两种充电方案的总费用恰好一样多？ 【答案】(1) 使用方案一单次电费为元，使用方案二单次电费为元. (2) 累计行驶里程为千米时，两种充电方案的总费用恰好一样多. 【分析】（1）根据每千瓦时所需电费计算出所需费用； （2）设该汽车的累计行驶里程为千米时，根据两种充电方案的总费用相同列方程求解． 【详解】（1）解：使用方案一，单次电费为元， 使用方案二，单次电费为元； （2）解：设该汽车的累计行驶里程为千米时，两种充电方案的总费用恰好一样多， 根据题意可得：， 解得：， 答：累计行驶里程为千米时，两种充电方案的总费用恰好一样多. 变式2-3（2026·广西南宁·一模）2026年1月1日起，某市持续实施新一轮消费补贴政策，涵盖汽车、家电、数码等领域．王叔叔家有一辆符合条件的旧车报废，根据政策，其购买新车可享受以下以旧换新补贴标准： 购买新车类型 补贴标准 最高补贴 新能源乘用车 新车售价的12% 20000元 2.0L及以下排量燃油乘用车 新车售价的10% 15000元 (1)按照以旧换新补贴标准，购买以下______车价格更低（填序号），并说明理由； ①售价16万元的新能源乘用车            ②售价16万元的2.0L排量燃油乘用车 (2)王叔叔计划在新能源乘用车A和2.0L排量燃油乘用车B之间选择一辆购买，计算后发现，购买其中任意一辆车可享受的补贴均未达到最高补贴，且补贴后的实际花费相等，若A车的售价比B车高3千元，请你求出A车和B车的售价各是多少万元？ 【答案】(1)①；理由见解析 (2)A车的售价是13.5万元，B车的售价是13.2万元 【分析】（1）根据购买新车可享受的以旧换新补贴标准分别计算，比较后即可得到答案； （2）设A车的销售价格为x万元，则B车的销售价格为万元，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：①； 理由如下： ∵（万元），1.92万元2万元， （万元），1.6万元1.5万元， ∴售价16万元的新能源乘用车补贴后实际花费为（万元）, 售价16万元的2.0L排量燃油乘用车补贴后实际花费为（万元）， ∵14.08万元14.5万元， ∴购买①车价格更低； （2）设A车的售价为x万元，则B车的售价为万元． 根据题意可列方程为， 解得， ∴（万元）， 答：A车的售价是13.5万元，B车的售价是13.2万元． 题型三、利用一元一次方程解决配套问题 典例3 （25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）（列方程解应用题）七年级一班共有学生50人，其中男生人数比女生人数的2倍还少19人，劳技课上，老师组织同学们自己动手设计制作收纳盒，每名学生一节课能做盒身11个或盒底22个． (1)七年级一班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【答案】(1)男生27人，女生23人 (2)2名 【分析】（1）根据班级总人数和男生与女生的数量关系列一元一次方程求解即可； （2）根据配套要求，盒底数量是盒身数量的2倍，列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设七年级一班女生人数为人，则男生人数为 人， 根据题意，得 ， 解得， 则 ， 答：七年级一班有男生27人，女生23人； （2）解：设有名男生去支援女生，支援后，做盒身的人数为 人，做盒底的人数为 人， 盒身总数为 个，盒底总数为 个， 根据配套关系，得 ， 解得， 答：有2名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 题型模版 1.特征：总量按固定比例分配，配套数量间成倍数关系。 2.方法：设未知数，按配套比例列等量关系，解方程。 变式3-1（25-26七年级下·福建漳州·期中）某工厂需要生产一批眼镜镜架，每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成．工厂现共有45名工人，平均每人每天生产100个镜框或160个镜腿． (1)应如何安排工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ (2)某眼镜商店以每副80元的价格购进了100副镜架，提高后标价．在元旦假期期间，商店打七折售出了90副，若想在销售完这100副镜架后总获利，则剩余的镜架应打几折出售？ 【答案】(1)安排20名工人生产镜框，25名工人生产镜腿 (2)剩余的镜架应打九折出售 【分析】（1）设安排x名工人生产镜框，则安排名工人生产镜腿，根据等量关系为：每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成，把相关数值代入即可； （2）设剩余的镜架应打y折出售，再根据“销售完这100副镜架后总获利”进行列方程求解即可． 【详解】（1）解：设安排x名工人生产镜框，则安排名工人生产镜腿， 解得， （名）， 答：安排20名工人生产镜框，25名工人生产镜腿，才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套； （2）解：设剩余的镜架应打y折出售， 根据题意得： 解得：， 答：剩余的镜架应打九折出售． 变式3-2（2026·广西玉林·模拟预测）完成如下项目式学习表 情境挖掘 眼镜是由镜片和镜架组合起来，用来改善视力、保护眼睛或作装饰用途的用品． 素材整合 某工厂需要生产一批镜架（如图），每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成．工厂现共有35名工人，平均每人每天生产120个镜框或180个镜腿． (1)应如何安排工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ (2)某店家以每副100元的价格购进镜架后提高后标价．在元旦假期期间，店家打七五折销售，售出的每一副镜架的利润率是多少？ (3)该店家购进了100副镜架，元旦假期期间售出了80副，若想在销售完这100副镜架后总获利5%，则剩余的镜架应打几折出售？ 【答案】(1)安排15名工人生产镜框，20名工人生产镜腿，才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套； (2) (3)剩余的镜架应打五折出售． 【分析】（1）设安排x名工人生产镜框，则安排名工人生产镜腿，根据等量关系为：每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成，把相关数值代入即可； （2）根据店家提出的“提高后标价，在元旦假期期间，店家打七折销售”进行列式求解即可； （3）设剩余的镜架应打y折出售，再根据“销售完这100副镜架后总获利”进行列方程求解即可． 【详解】（1）解：设安排x名工人生产镜框，则安排名工人生产镜腿， 解得， ， 答：安排15名工人生产镜框，20名工人生产镜腿，才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套； （2）根据题意得： 答：售出的每一副镜架的利润率是； （3）设剩余的镜架应打y折出售， 根据题意得：， 整理得 解得， 答：剩余的镜架应打五折出售． 变式3-3（25-26六年级下·山东烟台·期中）完成如下项目式学习表 情境导入 随着人工智能大模型技术的飞速发展，智能眼镜正成为个人AI助理的重要载体．某科技公司推出一款全新智能眼镜——“灵镜”，它内置轻量级大模型芯片，支持语音交互、实时翻译、物体识别等功能，可以通过镜片上的微显示屏呈现信息．这款眼镜的生产分为两部分：A智能镜框：包含芯片、电池、传感器、镜片等核心部件；B智能镜腿：内置天线、扬声器、麦克风等通信模块，每副“灵镜”智能眼镜由1个智能镜框和2个智能镜腿组装而成． 产能配置 该科技公司现有45名技术工人，每人每天可以生产100个智能镜框或160个智能镜腿． 任务解决 (1)任务1：应如何安排工人，才能使每天生产的智能镜框和智能镜腿恰好配套？ (2)任务2：某店家以每副800元的价格购进“灵镜”后提高后标价．在寒假期间，店家打七折销售，售出的每一副“灵镜”的利润率是多少？ (3)任务3：在（2）的条件下，该店家购进了100副“灵镜”，寒假期间售出了90副，若想在销售完这100副“灵镜”后总获利，则剩余的“灵镜”应打几折出售？ 【答案】(1)安排20名工人生产镜框，25名工人生产镜腿，才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套 (2)售出的每一副镜架的利润率是 (3)剩余的“灵镜”应打九折出售 【分析】（1）设安排名工人生产镜框，则安排名工人生产镜腿，根据智能眼镜由1个智能镜框和2个智能镜腿组装而成，列出方程，解方程即可； （2）根据利润率计算公式，进行计算即可； （3）设剩余的镜架应打折出售，根据销售完这100副“灵镜”后总获利，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设安排名工人生产镜框，则安排名工人生产镜腿，根据题意得： 解得：， （名）， 答：安排20名工人生产镜框，25名工人生产镜腿，才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套； （2）解：根据题意得： ， 答：售出的每一副镜架的利润率是5%； （3）解：设剩余的“灵镜”应打折出售，根据题意得： ， 解得：， 答：剩余的“灵镜”应打九折出售． 题型四、利用一元一次方程解决古代问题 典例4 （26-27七年级上·全国·课后作业）今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十．问：家数、牛价各几何？（选自《九章算术》） 题目大意：几家人合伙买牛，若每7家合伙出190钱，则差330钱；若每9家合伙出270钱，则多了30钱．家数、牛价各是多少？ 【答案】家数为126，牛价为3750钱． 【分析】设牛价为x钱，根据每7家合伙出190钱，则差330钱可知家数为，根据每9家合伙出270钱，则多了30钱可知家数为，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设牛价为x钱， 由题意得，， 解得， ∴， 答：家数为126，牛价为3750钱． 题型模版 1.特征：文言表述含数量关系，可译为现代数学问题建模求解。 2.方法：读懂题意译成白话，设未知数列方程，解后还原作答。 变式4-1（25-26七年级下·湖北襄阳·期末）《孙子算经》中有这样一道题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何．意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子余尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺．请你解决这个问题． 【答案】尺 【分析】设木头长x尺，根据“不同测量方法中绳长不变”列方程求解即可． 【详解】解：设木头长x尺， 根据题意，得， 解得， 答：木头长尺． 变式4-2（25-26七年级下·福建泉州·期中）列方程解决问题： 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩，不知有多少人和竹竿，每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿．”求共有多少个牧童？ 【答案】8个 【详解】解：设有x个牧童， 依题意得：， 解得． 经检验，符合题意． 答：共有8个牧童． 变式4-3（25-26七年级上·山东济南·期末）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一．书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？”译文：假设有几个人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：有几个人共同出钱买鸡？鸡的价钱是多少？请你列一元一次方程解决这个问题． 【答案】 共有9个人共同出钱买鸡，鸡的价钱是70钱 【分析】本题考查了一元一次方程在实际问题中的应用，解题的关键是抓住“鸡的价钱不变”这一等量关系，通过两种不同的出钱方式列出方程． 设人数为未知数，根据“每人出9钱多11钱”和“每人出6钱少16钱”分别表示鸡价，令两式相等列方程求解；再将人数代入表达式求出鸡价． 【详解】解：设共有人共同出钱买鸡．， ， ， ． 鸡的价钱为：． 答：有9个人共同出钱买鸡，鸡的价钱是70钱． 题型五、利用一元一次方程解决比赛积分问题 典例5 （26-27七年级上·湖南湘西·开学考试）在2026年秋季“花垣县中小学教师全员培训”中，老师们进行了精彩的足球比赛．足球比赛的记分规则是：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分，A队老师参加了15场比赛，负了4场，共得29分，则这支球队胜了多少场？ 【答案】 这支球队胜了9场 【分析】以总得分为等量关系，结合胜平场数的数量关系列方程求解胜场数即可． 【详解】解：设这支球队胜了场， ∵ 共参加15场比赛，负了4场， ∴ 平的场数为场， ∵ 胜一场记3分，平一场记1分，总得分29分， ∴ ， 解得 ， 答：这支球队胜了9场． 题型模版 1.特征：比赛有胜、平、负，积分规则不同，已知总场数和总积分，求胜平负场次。 2.方法：设胜（或负）x场，用总场数表示其他场次，按积分规则列一元一次方程，解出并检验非负整数。 变式5-1（25-26七年级上·辽宁朝阳·期末）在足球联赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某队9场比赛保持不败． (1)设这支球队胜了x场比赛． ① 根据信息填表（用含有x的式子表示）； 场次（场） 每场得分（分） 积分（分） 胜 3 平 1 ②若这支球队9场比赛得到的总积分是21分，请列一元一次方程，并求出这支球队的胜场数和平场数； (2)这支球队9场比赛的胜场总积分能等于它的平场总积分吗？（请列一元一次方程，说明你的结论．） 【答案】(1)① 场次（场） 每场得分（分） 积分（分） 胜 3 平 1 ②，胜6场，平3场 (2)解：设这支球队胜场，则平场， 由题意得， 解得， 因为场数不是整数，故不符合题意， 所以这支球队9场比赛的胜场总积分不能等于它的平场总积分． 【分析】（1）①根据胜场加平场等于总场数列代数式即可； ②根据胜场得分加平场得分为21分建立方程求解； （2）设胜y场，则平场，根据胜场总积分等于平场总积分建立方程求解判断． 【详解】（1）解：①略 ②由题意得， 解得， ∴ 所以胜6场，平3场； （2）略 变式5-2（25-26七年级下·重庆南川·期中）某电视台组织知识竞赛，共20道选择题，每题必答，如表记录了3个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 总得分 甲 20 0 100 乙 19 1 94 丙 14 6 64 (1)由表中的数据可知：答对1题得________分，答错1题得________分； (2)小婷得76分，她分别答对了几道题、答错了几道题？ (3)小明说他得了80分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】(1)5， (2)参赛者小婷得76分，她答对了16道题，答错了4道题； (3)不可能，见解析 【分析】（1）从参赛者甲的得分可以求出答对1题的得分总分全答对的题数，再由乙同学的成绩就可以得出答错1题的得分； （2）设参赛者小婷答对了x道题，则答错了道题，根据“答对的得分加上答错的得分76分”建立方程求出其解即可； （3）假设他得80分可能，设答对了道题，答错了道题，根据“答对的得分加上答错的得分80分”建立方程求出其解即可判断． 【详解】（1）解：由题意，可得，答对1题的得分是：分， 答错1题的得分为：分； （2）解：设参赛者小婷答对了x道题，则答错了道题， 由题意，得， 解得， ， 答：参赛者小婷得76分，她答对了16道题，答错了4道题； （3）解：不可能．理由如下： 假设他得80分可能，设答对了道题，答错了道题， 由题意，得， 解得， ∵为整数，而不是整数， ∴参赛者小明说他得80分，是不可能的． 变式5-3（25-26七年级上·河南商丘·期末）下表为某篮球比赛部分球队的积分榜（篮球比赛没有平局）． 球队 比赛场次 胜场 负场 积分 A 12 10 2 22 B 12 9 3 21 C 12 7 5 19 D 11 6 5 17 E 11 … … 13 (1)填空：球队胜一场积____分，负一场积______分． (2)根据积分规则可知，E队已经进行了的11场比赛中，胜_____场，负____场． (3)若此次篮球比赛共16轮（每个球队各有16场比赛），D队希望最终积分达到26分，你认为有可能实现吗？请说明理由． 【答案】(1)2；1 (2)2；9 (3) 解：可能实现 理由如下：设接下来的5场比赛D队胜场，则负场． 依题意，得， 解得， ，符合题意， 可能实现． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系列出一元一次方程是解题的关键． （1）观察C队和D队积分，即可解答； （2）设E队胜场，利用E队的积分是13分，得到等量关系，再列出方程求出的值，即可解答； （3）根据D队当前积分和目标积分，计算出剩余比赛需要获得的分数，然后设剩余比赛的胜场数为未知数，根据胜负积分规则列出方程，检验方程的解是否符合实际情况，从而做出判断． 【详解】（1）解：对比C队和D队数据，C队比D队多胜1场，负场数相同，积分多分，故胜一场积2分， 负一场积分， 球队胜一场积2分，负一场积1分． 故答案为：2；1； （2）解：设E队胜场，则负场， 由题意得，， 解得：， ， 答：E队已经进行了的11场比赛中胜2场，负9场； 故答案为：2；9； （3）略 题型六、利用一元一次方程解决几何问题 典例6 （25-26七年级下·北京·期末）竹节人是中国传统民间玩具，它由竹节与线绳组装而成．如图，制作一个竹节人，需将一根粗细均匀的竹子截成九段：一段长竹节为头和上身，另八段等长短竹节为四肢．如图，竹节人的头长与上身长的比为，长竹节长是短竹节长的倍，头宽比头长少，竹节人完全张开手臂的臂展长为，求这个竹节人的总高度．          【答案】 【分析】设竹节人的头长为，根据线段之间的数量关系，表示出相关线段的长度，列方程求解即可． 【详解】解：设竹节人的头长为，则它的上身长为，头宽为，即长竹节为，短竹节为． 依题意，得． 解得． 所以． 答：这个竹节人的总高度为． 题型模版 1.特征：几何量间存在等量关系，可化为一元一次方程求解。 2.方法：设几何量为未知数，依图形性质列方程，解后检验。 变式6-1（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）一张长方形纸片． 步骤1：如图1，将一张长为、宽为的长方形纸片的四个角分别剪去边长为的小正方形． 步骤2：将剩下部分折成如图2所示的一个无盖长方体盒子． (1)若，则折成的无盖长方体盒子的体积为_____； (2)若折成的无盖长方体盒子的底面的长是宽的3倍，求该无盖长方体盒子的体积． 【答案】(1)4000 (2) 【分析】（1）根据无盖长方体盒子的体积等于底面长方形的长乘以宽的结果乘以其高，根据求出长方体盒子的底面长方形的长和宽，以及其高即可得到答案； （2）无盖长方体盒子的底面的长为，宽为，根据关键描述语“底面长方形的长是宽的3倍”列出方程并解答；然后由长方体的体积公式求其体积即可． 【详解】（1）解：当时， 此时，折成的无盖长方体盒子的体积； （2）解：由题意知，无盖长方体盒子的底面的长为，宽为， ∴， 解得， ∴，， ∴该无盖盒子的体积为． 答：该无盖盒子的体积为． 变式6-2（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图1、某小区的平面图是一个占地长500米、宽400米的矩形，正中央的建筑区是与整个小区长、宽比例相同的矩形，如果要使四周的空地所占面积是小区面积的，南北空地等宽，东西空地等宽． (1)求该小区四周的空地的宽度； (2)如图2，该小区在东、西、南三块空地上作如图所示的矩形绿化带，绿化带与建筑区之间为小区道路、小区道路宽度一致．已知东、西两侧绿化带完全相同，其长均为200米，南侧绿化带的长为300米、绿化面积为5500平方米，请算出小区道路的宽度． 【答案】(1)东西空地宽25米，南北的空地宽米 (2)小区道路的宽度为米 【分析】（1）设正中央的建筑区的长度为米，则宽为米，根据题意列方程，解得，再进行计算即可求出该小区南北空地的宽度； （2）由（1）可知，南北的空地宽米，东西空地宽米，设小区道路的宽度为，根据题意列方程，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵某小区的平面图是一个占地长500米、宽400米的矩形， ∴整个小区长宽比例为， 正中央的建筑区是与整个小区长宽比例相同的矩形， 设正中央的建筑区的长为米，宽为米， 由题意得：， 整理得， 解得，或（长度不能取负数，舍去）， 则东西空地宽：（米）， 南北空地宽：（米）． 答：东西空地宽25米，南北的空地宽米； （2）解：由（1）可知，东西空地宽25米，南北的空地宽米， 设小区道路的宽度为米， 由题意得：， 解得：， 答：小区道路的宽度为米． 变式6-3（26-27七年级上·山东德州·阶段检测）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．“洛书”是一种关于天地空间变化脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）．三阶幻方又名九宫格，是一种将9个数字（数字不重复使用）安排在三行三列的正方形格子中，使每行、每列和对角线上的数字和都相等的数字填法． (1)根据“洛书”中表达的意思，将图2中的三阶幻方补充完整； (2)如图3是一个新的三阶幻方，请根据图中给出的数据，补全这个新的三阶幻方； (3)如图4，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“○”．将，，，，，，2，4，6，8，10，12这12个数填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的4个顶点处“○”中的数的和都为2．请直接写出mn的值（即m和n的乘积）． 【答案】(1)三阶幻方补充如下： (2)新的三阶幻方补全如下： (3)的值为或． 【分析】（1）先根据，说明每行、列和对角线上的数字和都是，故，由此即可补充完整； （2）假设表中数据，根据幻方特点依次列式进行化简即可求解； （3）由每个正方形的4个顶点处“○”中的数的和都为2，可确定，的值，再根据数字不重复使用可知和的数字为或，分情况计算即可． 【详解】（1）解：， ，，，，； （2）解：如图， 根据题意可知 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ， （3）解：如图， 根据题意得 ， ， 综合图中的数据可知和的数字为或， 当时，； 当时，； 故的值为或． 题型七、利用一元一次方程解决电费和水费问题 典例7 （26-27七年级上·江苏泰州·期中）为引导居民错峰用电，某市对居民生活用电实行峰谷分时电价： 峰时段（）电价为元/千瓦时； 谷时段（—次日）电价为元/千瓦时． (1)小明家6月份用电150千瓦时，若全部按谷时段电价计算，应付电费__________元； (2)小明家7月份共用电210千瓦时，其中峰时段用电x千瓦时，用含x的代数式表示7月份应付的电费，并化简； (3)若小明家7月份共付电费95.8元，求7月份峰时段、谷时段各用电多少千瓦时． 【答案】(1)57 (2)元 (3)峰时段80千瓦时，谷时段130千瓦时 【分析】（1）将谷时段的电价乘以用电量即可； （2）根据“总电费=峰时段电费+谷时段电费”列式并化简； （3）结合（2）求出峰时段的用电量，再将总电量210千瓦时减去峰时段的用电量即可求出谷时段的用电量． 【详解】（1）解：（元）， 答：应付电费57元． （2）解：峰时段用电x千瓦时，则谷时段用电千瓦时， 所以7月份应付电费为（元）． （3）解：由（2）可得，解得． 谷时段用电（千瓦时）． 答：7月份峰时段用电80千瓦时，谷时段用电130千瓦时． 题型模版 1.特征：分段计费，不同用量区间单价不同，总量对应总费用。 2.方法：设用量为x，判断所属区间，按对应单价列方程求解。 变式7-1（25-26七年级上·山西朔州·期末）为倡导绿色生活，建设节约型社会，某市居民生活用水实施了阶梯计价政策．下表是该市居民生活用水的收费标准（户内人口不超过4人）： 收费方式 年用水量/ 单价（元/） 第一阶梯 0~180 4.5 第二阶梯 181~240 6 第三阶梯 240以上 8 (1)若甲、乙两户居民（都是三口之家）2025年的用水量分别为，，则甲、乙两户居民2025年的水费分别为__________元、__________元； (2)若丙户居民（四口之家）2025年的水费为1110元，求丙户居民2025年的用水量． 【答案】(1)810；1170 (2) 【分析】（1）根据收费标准计算即可； （2）先判断丙户居民2025年用水量的范围，再设丙户居民2025年的用水量为，根据收费标准列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：甲户居民的水费为（元）， 乙户居民的水费为（元）． （2）解：由（1）可知，当用水量为时，水费为810元；当用水量为时，水费为1170元． 由于810元元元， 所以丙户居民2025年的用水量超过，且不足． 设丙户居民2025年的用水量为，根据题意，得 ， 解得， 答：丙户居民2025年的用水量为． 变式7-2（25-26七年级上·辽宁朝阳·期末）我市居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过220度的部分 a 第2档 超过220度但不超过300度的部分 0.55 第3档 超过300度的部分 已知9月份小明家用电200度，交电费100元；10月份小明家交电费132元． (1)填空：表中a的值为 ； (2)求小明家10月份的用电量； (3)若8月份小明家用电的平均电价为0.6元/度，求小明家8月份的用电量． 【答案】(1)0.5 (2)260度 (3)430度 【分析】（1）根据收费方法，用9月份的电费除以用电量求出a的值即可； （2）设10月份的电量为x度，根据题意，列出方程进行求解即可； （3）设小明家8月份的用电量为y度，根据8月份小明家用电的平均电价为0.6元/度，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：， 答：a的值为0.5． （2）解：设小明家10月份的用电量为x度， ∵（元），， ∴， 依题意得：， 解得：， 答：小明家10月份的用电量为260度． （3）解：设小明家8月份的用电量为y度， 依题意得：， 解得：， 答：小明家8月份的用电量为430度． 变式7-3（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）小晶家以下各月用水量情况如下表所示：（每月1号检查水表读数，水费按月计费） 月份 1 2 3 4 5 6 7 月初水表读数为（吨） 185 190 196 203 210 219 233 (1)二月份小晶家用水多少吨？ (2)若一月份比六月份用水少．已知每个家庭用水量不超过标准范围每吨收取水费3元，若超过标准范围超标部分每吨收取水费元，小晶家六月份共交水费54元，求每月标准用水量． (3)在（2）的条件下，若小晶家下半年每个月的用水量均大于或等于用水量的最高标准，且上半年交水费比下半年少，求小晶家下半年用水量多少吨？ 【答案】(1) 6吨 (2) 6吨 (3) 77.4吨 【分析】（1）由2月底读数196减去1月底读数190，得二月份用水量； （2）由一月份用水量及"一月份比六月份少 ​"先求出六月份用水量为14吨，再设标准量为 吨，由六月份水费54元列方程求解； （3）先逐月计算上半年水费，再由"上半年比下半年少 "求出下半年水费，设下半年用水量 吨，标准内部分按3元/吨，超标部分按元/吨列方程求解． 【详解】（1）解：（吨）， 二月份小晶家用水6吨； （2）解：一月份用水 （吨）， 设六月份用水 吨，由一月份比六月份少 ​， ， （吨）， 若标准量 ，水费 ，故标准量小于14吨， 设标准量为 吨， ， 解得，； 答：每月用水量的最高标准为6吨； （3）解：上半年各月用水：5，6，7，7，9，14（吨）， 标准量为6吨， 1月水费：（元）， 2月水费：（元）， 3月水费：（元）， 4月水费：（元）， 5月水费：（元）， 6月水费：（元）， 上半年总水费 （元）， 设下半年总水费为 元， ， 解得，（元）， 设下半年用水量为 吨，标准内 吨， ， 解得，（吨）． 答：小晶家下半年用水量为吨． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26七年级下·河南周口·期末）某工厂有工人60名，每人每天可加工20个螺栓或50个螺母，1个螺栓配2个螺母．设安排人加工螺栓，恰好配套，列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据配套规则确定螺栓和螺母总数的等量关系，列出方程． 【详解】解：由题意知，加工螺母的人数为人， ∴每天加工螺栓总数为个，每天加工螺母总数为个， 列方程得 ，故选项B符合题意． 2．（25-26七年级下·福建泉州·期末）某种商品的进价为每件180元，现按标价的9折销售时，利润率为，设这种商品的标价为每件元，依题意列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等量关系，利润售价进价，利润进价利润率，列方程即可． 【详解】解：设这种商品的标价为每件元， ∵商品按标价的9折销售， ∴实际售价为元， 根据题意列方程得：． 3．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐．问人数和车数各多少？设车辆，根据题意，可列出的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】抓住总人数不变的等量关系列方程． 【详解】解：设车有辆． 每车坐3人且两车空时，总人数为． 每车坐2人且9人无车坐时，总人数为． 由总人数相等得． 4．（25-26七年级下·江苏镇江·期末）如图1，从一个边长为3的正方形纸片上剪掉两个边长为的小正方形，得到如图2所示的图形．若图2中图形的周长为18，则的值是（     ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】A 【分析】根据图形剪切前后周长的变化规律列出关于的一元一次方程即可． 【详解】解：由题意得，原正方形的周长为 ， 观察图形可知，剪掉两个小正方形后，图形的周长比原正方形的周长增加了4条长为的边， 图2中图形的周长为， 图2中图形的周长为18， ，解得 ． 二、填空题 5．（25-26七年级上·福建宁德·期末）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人五竿多三竿，每人七竿少五竿．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知道有多少人和竹竿．每人5竿，多3竿；每人7竿，少5竿．设牧童有人，则可列方程为________． 【答案】 【分析】根据题意用含的代数式分别表示出两种情况下的竹竿总数，即可列出方程. 【详解】解：设牧童有人，根据题意，每人竿多竿，可得竹竿总数为， 每人竿少竿，可得竹竿总数为， 因为竹竿总数不变， 因此可列方程：. 6．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）某商场销售一款服装，每件的进价为90元，若以标价的八折销售，仍可获利30元，则这款服装每件的标价为 _____________ 元． 【答案】150 【分析】设这款服装每件的标价为x元，根据题意列一元一次方程解答即可． 【详解】解：设这款服装每件的标价为x元， ， 解得， 答：这款服装每件的标价为150元． 7．（25-26七年级上·全国·期末）某校七年级三个班级联合开展户外研学活动，此次活动由一班班长负责购买车票，票价每张20元．有如图两种优惠方案：班长思考一会儿说，无论选择哪种方案所要付的车费是一样的，则七年级三个班级共有___________ 【答案】63人 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据两种方案费用相同建立方程．设七年级三个班级共有人，根据两种方案的费用相同建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设七年级三个班级共有人， 根据题意得：， 解方程得：． 故答案为：人 8．（25-26七年级上·陕西榆林·期末）为节约用电，某市实行“阶梯电价”，收费方法如下：每户每月用电量不超过240度的部分，每度电价0.6元；超过240度但不超过400度的部分，每度电价0.65元；超过400度的部分，每度电价0.9元．若该市某居民12月份共缴纳电费222元，则该居民12月份共用电______________度． 【答案】 360 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．先判断出该居民家今年12月份的用电量是多于240度而少于400度，再设该居民家12月份的用电量为x，根据题意列出一元一次方程，即可求解． 【详解】解：∵， ∴该居民家今年12月份的用电量是多于240度而少于400度， 设该居民家12月份的用电量为x，则 ， 解得：． 该居民家12月份用电360度． 故答案为：360． 三、解答题 9．（25-26七年级上·陕西汉中·期末）某商店销售甲、乙两种商品，其中甲商品的进价为50元/件，售价为70元/件，乙商品的进价为60元/件，售价为90元/件．若该商店同时购进甲、乙两种商品共100件，总进价为5400元． (1)该商店购进甲、乙两种商品各多少件？ (2)该商店计划开展“迎新春，购年货”促销活动，其中甲商品打9折，乙商品打折，若销售完甲、乙这两种商品，甲商品的总利润比乙商品的总利润多300元，求的值． 【答案】(1)该商店购进甲商品60件，购进乙商品40件 (2)8 【分析】（1）设该商店购进甲商品件，则购进乙商品件，根据“总进价为5400元”列方程求解即可． （2）表示出甲商品和乙商品的总利润，根据“甲商品的总利润比乙商品的总利润多300元”，列方程求解即可． 【详解】（1）解：设该商店购进甲商品件，则购进乙商品件． 根据题意，得，解得． （件）． 答：该商店购进甲商品60件，购进乙商品40件． （2）解：根据题意，得， 解得：． 10．（25-26七年级上·山东济南·期末）七年级1班和七年级2班两个班的同学到公园开展社会大课堂活动，公园门票每人40元，超过30人可以购买团体票．公园购票处张贴着团体优惠购票的方案表格如下： 人数优惠方案 30人以上 方案一 八折优惠 方案二 4人免票，其他人九折优惠 (1)若1班有35名学生，他们该选择哪个方案更省钱，说明理由； (2)若2班（30人以上）无论选择哪种方案付的钱是一样多，求2班有多少人． 【答案】(1) 解：选择方案二更省钱，理由如下： 方案一：（元）， 方案二：（元）， ∵， ∴选择方案二更省钱． (2)二班有36人 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算以及一元一次方程的应用，正确掌握相关内容是解题的关键． （1）分别计算出方案一和方案二的费用，再进行比较，即可作答； （2）先设二班有人，再列出方程，然后解方程，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：设二班有人， 根据题意得，， 解得， 答：二班有36人． 11．（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期末）2025年，乌兰察布市首次征战蒙超联赛便斩获季军佳绩，尽显黑马风采．某玩具生产商敏锐捕捉赛事热度，计划推出同款主题玩偶，并为每个玩偶配2只手套．如果该车间共有15名工人，每人一天平均能生产12只手套或9个玩偶． (1)那么应分配多少名工人生产手套，多少名工人生产玩偶，才能使当天生产的手套和玩偶刚好配套？ (2)如果生产一套玩偶成本为100元，商家将进价提高进行标价，若商家要获得的利润，应打几折出售？ 【答案】(1)9人生产手套，6人生产玩偶 (2)打8折 【分析】本题考查用一元一次方程解决实际问题，得到手套和玩偶的等量关系是解决本题的关键． （1）设应分配x名工人生产手套，则名工人生产玩偶，根据题意列出一元一次方程求解即可； （2）根据题意得到标价为，再结合利润即可得到折扣． 【详解】（1）解：设人生产手套，则人生产玩偶： ，即， 解得， ， 答：9人生产手套，6人生产玩偶． （2）解：成本100元，标价元，目标利润即售价120元： 折扣． 答：打8折． 12．（25-26八年级上·全国·期末）跨学科  成语“朝三暮四”讲述了一位老翁喂养猴子的故事，老翁为了限制猴子的粮食，分早晚两次投喂，早上投喂的粮食是晚上的，猴子对于这个安排很不满意，于是老翁将晚上粮食中的2千克放在早上投喂，这样早上投喂的粮食是晚上的，猴子很满意这样的安排．则调整前早上和晚上分别投喂多少粮食？ 【答案】调整前早上投喂粮食6千克，晚上投喂粮食8千克 【分析】本题考查一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．设调整前晚上喂食千克，则早上喂食是千克，根据调整后早上的粮食是晚上的列出一元一次方程求解． 【详解】解：设调整前晚上投喂粮食千克，早上投喂粮食千克， 老翁将晚上粮食中的2千克放在早上投喂后，则晚上投喂粮食千克，早上投喂粮食千克． 根据题意得， 解得， 调整前早上投喂粮食（千克）， 答：调整前早上投喂粮食6千克，晚上投喂粮食8千克． 13．（25-26七年级上·湖北宜昌·期末）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，当阳市城区采用价格调控的手段以达到节水的目的，居民生活用水收费的价目表如下：(注：水费按月计算，用水量单位：) 收费方式 月用水量() 费用(元/) 第一阶梯 第二阶梯 第三阶梯 (1)若小关家10月份用水，则应交水费多少元？ (2)小云家某月用水量为，则应交水费多少元？(用含x的式子表示) (3)若小雅家11月、12月用水量共．(11月份用水量小于12月份用水量)，这两个月共交水费158元，小雅家11月、12月用水量分别为多少？ 【答案】(1)小关家月份应交水费元 (2)当时，应交水费元；当时，应交水费元；当时，应交水费元 (3)小雅家月用水量为，月用水量为44 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式，有理数的混合运算． （1）利用应交水费超过的部分，即可求出结论； （2）分三个阶段分别用x表示出应交水费，即可得出结论； （3）设小雅家11月份用水量为，则12月份的用水量为，根据“11月份用水量小于12月份用水量”，得出，分及两种情况，根据这两个月共交水费 元，可列出关于的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解： 元，即小关家月份应交水费元． （2）解：当时，应交水费元； 当时，应交水费元 当时，应交水费元． （3）解：设小雅家月用水量为，则月用水量为，且， 当时，， 解得，此时； 当时，， 解得不符合题意，舍去． 答：小雅家月用水量为，月用水量为． 14．（25-26七年级上·广东珠海·期末）珠海市夏季天气炎热，空调用电量较大，因此电量分档划分为夏季标准和非夏季标准，实施居民阶梯电价，收费标准划分如下： 夏季标准（5月~10月） 非夏季标准（1月~4月，11月~12月） 阶梯（档次） 用电量（度） 电价（元/度） 阶梯（档次） 用电量（度） 电价（元/度） 第一档 260及以下 0.6 第一档 200及以下 0.6 第二档 261~600 0.65 第二档 201~400 0.65 第三档 601及以上 0.9 第三档 401及以上 0.9 例如：按夏季标准，用电量600度时，其中260度按0.6元/度收费，超出260度的部分按0.65元/度收费． (1)在用电量同为600度的情况下，非夏季电费___________夏季电费（填选项）． A．大于        B．小于        C．大于等于        D．小于等于 (2)珠海的中学生小周发现家里1月份用电410度，请计算小周家1月份总电费． (3)已知小周家7月份缴纳电费312元，请通过计算求出小周家7月份的用电量． 【答案】(1)A (2)259元 (3)500度 【分析】本题考查有理数运算的运用，以及一元一次方程的实际运用，解题的关键在于理解阶梯电价夏季收费标准，根据标准列式计算． （1）直接利用表格数据判断即可； （2）根据表格进行计算，即可解题； （3）先计算出第一档电费和第二档电费，确定档次，再设该月用电量为度，列出方程计算． 【详解】（1）夏季标准电费为（元）； 非夏季标准电费为（元）， 因为，所以非夏季电费大于夏季电费， 故答案为A； （2） （元） 答：小周家1月份总电费为259元； （3）元，； 元， 因为，所以小周家7月份的用电量属于第二档， 设小周家7月份用电量为度，则 解得． 答：小周家7月份的用电量为500度． 15．（25-26七年级上·河北张家口·期末）【观察思考】一段墙体是由同一规格的方砖按照一定规律组合砌成的，图1给出了每层的组合方式：当中竖放1块方砖，就横放6块方砖（如图2）；当中竖放2块方砖，就横放9块方砖（如图3）；以此类推． 【规律发现】已知方砖的长为，宽为．设一层里竖放的方砖有（为正整数）块． （1）这一层横放方砖的块数为_____________（用含的代数式表示）； （2）当竖放的方砖为1块时，墙体的长度为；当竖放的方砖为2块时，墙体的长度为；…当竖放的方砖为块时，墙体的长度为___________m； 【规律应用】 （3）若需要砌一段长为的一层墙体，按照图中规律，求需要方砖多少块． 【答案】（1）；（2）；（3）需要方砖423块 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，一元一次方程的应用． （1）观察可知，当竖放n块方砖，就横放块方砖； （2）观察可知，当竖放的方砖为n时，墙体的长度为； （3）根据（2）所求得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）当竖放一块方砖，就横放块方砖； 当竖放2块方砖，就横放块方砖； 当竖放3块方砖，就横放块方砖； 当竖放4块方砖，就横放块方砖； ……， 以此类推，当竖放n块方砖，就横放块方砖； 故答案为：； （2）当竖放的方砖为1时，墙体的长度为； 当竖放的方砖为2时，墙体的长度为； 当竖放的方砖为3时，墙体的长度为； ……； 以此类推，当竖放的方砖为n时，墙体的长度为； 故答案为：； （3）当时， 解得， ∴竖放的方砖总数为105块，横放的方砖总数为（块）， ∴方砖的总数为（块）， 答：需要方砖423块． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $