第十二章 函数与一次函数　同步练习　　2026－2027学年沪科版数学八年级上册

第十二章 一次函数 仿写卷 模块梯度：刷基础 → 刷提升 → 刷素养 → 刷难关 → 刷中考 → 刷章测 一、12.1 课时1 认识函数（刷基础） 【知识梳理】 函数的概念：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。 1．（选择）下列各式中，y不是x的函数的是（　　） A．　　B．y=2x+1 C．y=±（x≥0）　　D．y= 2．（选择）在“某弹簧原长8 cm，在弹性限度内每挂1 kg重物伸长0.5 cm”的变化过程中，下列说法正确的是（　　） A．弹簧长度是常量，物体质量是变量　　B．物体质量是常量，弹簧长度是变量 C．物体质量是自变量，弹簧长度是函数　　D．物体质量是函数，弹簧长度是自变量 3．（选择）下列图象中，能表示y是x的函数的是（　　） A．图①③　　B．图①④ C．图②③　　D．图②④ 4．（选择）小明从家出发匀速步行去学校，到达学校后立即匀速跑步返回家中。下列图象中，能大致刻画他离家的距离s与时间t之间的函数关系的是（　　） A．B. C． D. 5．（选择）汽车以60 km/h的速度匀速行驶，行驶时间为t h，行驶路程为s km，则下列说法正确的是（　　） A．60、t、s都是变量　　B．只有s是变量 C． t是自变量，s是t的函数，60是常量　　D．s是自变量，t是函数 6．（填空）已知函数-2x+1，当x=-1时，y＝＿＿＿＿；当x=0时，y＝＿＿＿＿。 7．（填空）一商店购进某种水果，每千克进价6元，售价定为每千克10元，设销售x kg所得利润为y元，则y与x的关系式为y＝＿＿＿＿，其中自变量x的取值范围是＿＿＿＿。 8．（解答）某山脚的气温是 20℃，海拔每升高 1 km，气温下降 6℃。设登山者到达的海拔为 x km，此时山上的气温为 y℃。 （1）写出 y 与 x 之间的函数关系式； （2）当 x=3 时，求 y 的值； （3）若山顶的气温是 -4℃，求山顶的海拔。 二、12.1 课时2 列表法与解析法（刷基础） 【知识梳理】 表示函数关系的方法：列表法（用表格列出自变量与函数值的对应关系）、解析法（用数学式子表示函数关系）、图象法（用图象表示函数关系）。求自变量的取值范围时，要注意：分母不能为0、被开方数必须非负、实际问题中的实际意义。 1．（选择）下表记录了一辆出租车在某时段行驶里程x（km）与耗油量y（L）的部分对应值： x/km 0 10 20 30 40 y/L 0 1 2 3 4 则y与x之间的函数关系式为（　　） A．y=0.05x　　B．y=0.1x C．y=20x　　D．y=0.5x 2．（选择）函数y=的自变量x的取值范围是（　　） A．x≠2　　B．x>2 C．x<2　　D．x≥2 3．（选择）函数y=中，自变量x的取值范围是（　　） A．x>3　　B．x≥3 C．x<3　　D．x≤3 4．（选择）已知函数y=2x+3，当自变量x由1增加到3时，函数值y的增量为（　　） A．2　　B．4 C．5　　D．6 5．（填空）函数y=的自变量x的取值范围是＿＿＿＿。 6．（填空）已知函数-3x+2，则f(2)＝＿＿＿＿，f(-1)＝＿＿＿＿。 7．（填空）某校为“课后服务”购进了m本图书，每本单价25元，则总价y（元）与本数x之间的函数关系式为y＝＿＿＿＿，这里自变量x的取值范围是＿＿＿＿。 8．（填空）按如图所示的程序（“输入x→乘2→减去1→输出y”）计算，当输入x=-3时，输出y＝＿＿＿＿；当输出y=9时，输入x＝＿＿＿＿。 9．（填空）一个长方形的周长为20 cm，设其一边长为x cm，面积为S，则S与x的函数关系式为S＝＿＿＿＿（不必注明自变量取值范围）。 10．（解答）某通信公司推出一种手机套餐：月租费 18 元，每月包含 30 分钟免费通话，超过 30 分钟的部分每分钟按 0.2 元计费。小丽本月通话 x 分钟（x>30，x 为整数），总费用为 y 元。（1）用列表法写出 x=31，32，33，34 时对应的 y 值； （2）写出 y 与 x 之间的函数关系式； （3）若小丽本月话费为 32 元，她本月通话了多少分钟？ 三、12.1 课时3 用图象法表示函数关系（刷基础） 【知识梳理】 画函数图象的一般步骤：列表（取自变量的一些值，求出对应的函数值）→描点（以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点）→连线（按自变量从小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来）。 1．（选择）如图为某地某日气温T（℃）随时间t（时）变化的图象，根据图象可知，下列说法错误的是（　　） A．最高气温出现在14时左右　　B．最低气温约为-4℃ C．上午8时的气温约为6℃　　D．从0时到24时气温一直上升 2．（选择）下列图象中，表示y是x的函数的是（　　） A．只有①　　B．①② C．③④　　D．只有④ 3．（选择）已知点A(2,5)在函数y=kx+1的图象上，则k的值为（　　） A．1　　B．2 C．3　　D．4 4．（选择）向某锥形瓶（上宽下窄）中匀速注水，则水面高度h随时间t变化的图象大致为（　　） A．B. C． D. 5．（解答）画出函数y=2x-1的图象。要求：①列表（至少取4对对应值）；②描点；③连线。 6．（解答）某金属块的质量m（g）随体积V（）的变化如下表。根据表中数据回答问题： 1 2 3 4 5 m/g 7.8 15.6 23.4 31.2 39.0 （1） 上表反映了哪两个变量之间的关系？其中自变量是什么？ （2）写出m与V之间的函数关系式； （3）当时，m的值是多少？ 四、12.1 函数（刷提升） 【知识梳理】 图象信息题要点：看清横、纵轴分别表示什么；观察图象的起点、终点、转折点及趋势；分段图象要结合实际问题理解每段含义。 1．（选择）如图是硝酸钾的溶解度曲线（横轴为温度t/℃，纵轴为溶解度S/g）。根据图象，下列说法正确的是（　　） A．溶解度随温度升高而减小　　B．t=20℃时溶解度为50 g C．t=40℃时溶解度约为65 g　　D．溶解度为0 g时温度为20℃ 2．（选择）如图①~④分别为：①一杯热水放置一段时间后温度的变化；②汽车以恒定速度行驶时路程随时间的变化；③某校学生人数随时间的变化（数据取自近年）；④菜地浇水后土壤湿度随时间的变化。下列对应正确的是（　　） A．①—（c）、②—（d）、③—（b）、④—（a）　　 B．①—（b）、②—（d）、③—（a）、④—（c） C．①—（c）、②—（d）、③—（a）、④—（b）　　 D．①—（d）、②—（c）、③—（b）、④—（a） 3．（选择）已知一个函数的部分图象如图，根据图象判断：当x=0时，函数值y的取值范围最有可能是（　　） A．y=3　　B．y>3 C．0<y<3　　D．y<0 4．（解答）甲、乙两人从同一起点出发，沿同一条笔直跑道进行长跑训练。如图是两人跑步的路程s（m）与时间t（min）的函数关系图象。请根据图象回答： （1）甲跑完全程用了多长时间？全程是多少米？（2）乙出发后，当t=4 min时，乙跑了多少米？（3）谁先到达终点？到达终点时，另一人还差多少米？ 五、12.2 课时1 一次函数与正比例函数（刷基础） 【知识梳理】 一次函数：形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数叫做一次函数。当b=0时，y=kx（k≠0）叫做正比例函数。正比例函数是一次函数的特殊情形。 1．（选择）下列函数中，是一次函数的是（　　） A．y=+2　　B．+1 C．y=3x-　　D．y=2 2．（选择）下列函数中，是正比例函数的是（　　） A．y=　　B．y=-x C．y=2x+1　　D． 3．（选择）若函数y=(m-3)x+5是一次函数，则m的取值范围是（　　） A．m>3　　B．m<3 C．m≠3　　D．m=3 4．（选择）若函数是正比例函数，且k>0，则k的值为（　　） A．　　B．- C．2　　D．± 5．（选择）下列说法中，正确的是（　　） A．正比例函数一定是一次函数　　B．一次函数一定是正比例函数 C．形如y=kx+b的函数都是一次函数　　D．y=kx（k为常数）一定是正比例函数 6．（选择）某商场自动扶梯以每秒0.6 m的速度上升，顾客站在扶梯上，从地面到扶梯顶部的距离为d m，所用时间为t s，则d与t之间的关系是（　　） A．d=0.6+t　　B．d=0.6t C．t=0.6d　　D．d= 7．（填空）若函数-4是正比例函数，则a＝＿＿＿＿，该函数的表达式为＿＿＿＿。 8．（填空）在函数y=-x+3中，k＝＿＿＿＿，b＝＿＿＿＿。 9．（填空）若函数+2是一次函数，则m＝＿＿＿＿。 10．（填空）已知y与x成正比例，且当x=3时，y=-6，则y与x之间的函数关系式为＿＿＿＿。 11．（解答）在弹性限度内，弹簧的长度 y（cm）是所挂物体质量 x（kg）的一次函数。不挂物体时弹簧长 12 cm，挂 5 kg 物体时弹簧长 17 cm。 （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）y 是 x 的正比例函数吗？为什么？ （3）在弹性限度内挂 8 kg 物体时，弹簧长多少厘米？ 六、12.2 课时2 正比例函数的图象与性质（刷基础） 【知识梳理】 正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过原点(0,0)的一条直线。k>0时，图象经过第一、三象限，y随x增大而增大；k<0时，图象经过第二、四象限，y随x增大而减小。|k|越大，直线越陡。 1．（选择）正比例函数y=-3x的图象经过的象限是（　　） A．第一、三象限　　B．第二、四象限 C．第一、二象限　　D．第三、四象限 2．（选择）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y=kx（k>0）的图象大致是（　　） A．①　　B．② C．③　　D．④ 3．（选择）在正比例函数y=kx中，若>0，则直线x与x的倾斜程度关系是（　　） A．x更陡　　B．x更陡 C．一样陡　　D．无法确定 4．（选择）正比例函数y=kx的图象经过点(-2,4)，则k的值为（　　） A．2　　B．-2 C．　　D．- 5．（填空）正比例函数y=kx的图象经过点(2,-6)，则k＝＿＿＿＿，该函数的表达式为＿＿＿＿。 6．（填空）若正比例函数y=(2m-1)x中，y随x的增大而增大，则m的取值范围是＿＿＿＿。 7．（填空）若正比例函数y=kx的图象经过第二、四象限，则k的取值范围是＿＿＿＿。 8．（解答）一辆汽车以 80 km/h 的速度匀速行驶，设行驶时间为 t h，行驶路程为 s km。 （1）写出 s 与 t 之间的函数关系式，并指出它是什么函数； （2）用描点法画出这个函数的图象（至少取 3 个点）； （3）求汽车行驶 2.5 h 时行驶的路程。 七、12.2 课时3 一次函数的图象与性质（刷基础） 【知识梳理】 一次函数y=kx+b的图象是经过点(0,b)和(-,0)的一条直线。k>0，y随x增大而增大；k<0，y随x增大而减小。b>0，图象与y轴正半轴相交；b<0，图象与y轴负半轴相交。增减性与象限：k>0、b>0过一、二、三象限；k>0、b<0过一、三、四象限；k<0、b>0过一、二、四象限；k<0、b<0过二、三、四象限。 1．（选择）一次函数y=2x-3的图象经过的象限是（　　） A．一、二、三　　B．一、三、四 C．一、二、四　　D．二、三、四 2．（选择）在平面直角坐标系中，一次函数y=x+1的图象是（　　） A．B. C． D. 3．（选择）若一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，则k、b的符号是（　　） A．k>0，b>0　　B．k>0，b<0 C．k<0，b>0　　D．k<0，b<0 4．（选择）下列函数中，y随x的增大而减小的是（　　） A．y=2x+1　　B．y=3x-2 C．y=-x+4　　D．y=5x 5．（选择）一次函数y=3x+2的图象与y轴的交点坐标是（　　） A．(0,3)　　B．(0,2) C．(2,0)　　D．(-,0) 6．（选择）将一次函数y=2x的图象向上平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为（　　） A．y=2x+3　　B．y=2x-3 C．y=2(x+3)　　D．y=2(x-3) 7．（填空）若一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，则k＿＿＿＿0，b＿＿＿＿0（填“>”或“<”）。 8．（填空）一次函数y=3x-6的图象与x轴的交点坐标是＿＿＿＿，与y轴的交点坐标是＿＿＿＿。 9．（填空）把一次函数y=-x的图象向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式为＿＿＿＿。 10．（填空）已知一次函数y=kx+b的图象经过点(1,5)和点(0,3)，则k＝＿＿＿＿，b＝＿＿＿＿。 11．（解答）某水库现有蓄水 500 万 m³。因抗旱需要开闸放水，每小时放出 20 万 m³，设放水 x h 后水库蓄水量为 y 万 m³。 （1）写出 y 与 x 之间的函数关系式，并指出自变量 x 的取值范围； （2）y 是 x 的正比例函数吗？它是什么函数？（3）放水 6 h 后，水库还剩蓄水多少万 m³？ 八、12.2 课时4 用待定系数法确定一次函数表达式（刷基础） 【知识梳理】 待定系数法求一次函数表达式的步骤：①设：设表达式为y=kx+b（或y=kx）；②代：把已知点的坐标代入，得到关于k、b的方程（组）；③解：解方程（组）求出k、b；④写：写出函数表达式。 1．（选择）正比例函数y=kx的图象经过点(2,6)，则其表达式为（　　） A．y=2x　　B．y=3x C．y=6x　　D．y=x 2．（选择）一次函数y=kx+b的图象经过点(1,3)和(0,1)，则其表达式为（　　） A．y=2x+1　　B．y=x+2 C．y=3x+1　　D．y=2x-1 3．（选择）已知一次函数y=kx+b的图象经过点(-1,1)和点(0,3)，则b的值为（　　） A．1　　B．2 C．3　　D．-3 4．（选择）一次函数y=kx+b的图象经过原点与点(3,-6)，则该函数的表达式为（　　） A．y=-2x　　B．y=2x C．y=-6x　　D．y=-2x-6 5．（解答）已知一次函数y=kx+b的图象经过点(2,1)和点(0,-3)，求该函数的表达式。 6．（解答）已知一次函数y=kx+b的图象经过点(-1,5)和点(3,-3)。（1）求k、b的值；（2）求当x=0时，y的值。 7． （解答）正比例函数y=kx的图象经过点(3,-6)。（1）求该函数的表达式；（2）判断点(1,-2)是否在该函数的图象上，并说明理由。 8．（解答）已知一次函数y=kx+b的图象经过点(1,2)，且与y轴交点的纵坐标为-1。（1）求该函数的表达式；（2）求该函数的图象与x轴的交点坐标。 九、12.2 待定系数法综合（刷提升） 【知识梳理】 求一次函数表达式，只需知道图象上两个点的坐标；求正比例函数表达式，只需知道一个点（原点除外）。含参数时，先由条件（正比例函数/经过某点）列出方程（组）求参数。 1．（选择）一次函数y=kx+b的图象经过点(1,3)和(-1,-1)，则k的值为（　　） A．1　　B．2 C．3　　D．4 2．（选择）正比例函数y=kx的图象经过点(2,4)。若点(a,10)在该图象上，则a的值为（　　） A．2　　B．4 C．5　　D．10 3．（选择）一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点(2,0)、与y轴交于点(0,4)，则该函数的表达式为（　　） A．y=-2x+4　　B．y=2x+4 C．y=-x+4　　D．y=x+4 4．（填空）一次函数y=kx+b中k=2，图象经过点(2,3)，则b＝＿＿＿＿。 5．（填空）一次函数y=kx+b的图象经过点(0,-2)和(3,1)，则k＝＿＿＿＿，b＝＿＿＿＿。 6．（填空）一次函数y=kx+b的图象经过点(-1,0)和(0,-2)，则k＝＿＿＿＿。 7．（填空）一次函数y=kx+b的图象经过点(-2,1)和(1,7)，则该函数的表达式为＿＿＿＿。 8．（填空）若函数y=(m-1)x+m-3是正比例函数，则m＝＿＿＿＿，该函数的表达式为＿＿＿＿。 9．（解答）已知一次函数y=kx+b的图象经过点(-2,5)和(1,-1)。 （1）求该函数的表达式； （2）求该函数的图象与x轴、y轴的交点坐标。 10．（解答）已知一次函数y=kx+b的图象经过点A(1,4)和点B(-1,0)。（1）求该函数的表达式；（2）若正比例函数y=mx的图象经过点A，求m的值；（3）观察图象，当x取何值时，一次函数的函数值大于正比例函数的函数值？ 十、12.2 一次函数的图象与性质（刷提升） 【知识梳理】 由k、b的符号可判断一次函数图象经过的象限：k>0，b>0→一、二、三；k>0，b<0→一、三、四；k<0，b>0→一、二、四；k<0，b<0→二、三、四。图象与坐标轴围成的三角形面积用“×|横截距|×|纵截距|”计算。 1．（选择）已知，，则在同一平面直角坐标系中，直线与的大致图象是（　　） A．B.C． D. 2．（选择）一次函数y=(a-2)x+a-3的图象不经过第二象限，则a的取值范围是（　　） A．a>2　　B．a≥3 C．2<a≤3　　D．a>3 3．（选择）如图，一次函数y=kx+b的图象经过点A(-2,0)和点B(0,1)，则下列结论正确的是（　　） A．k>0，b>0　　B．k<0，b>0 C．k>0，b<0　　D．k<0，b<0 4．（选择）一次函数y=(k-2)x+1中，y随x的增大而增大，且其图象与y轴交于正半轴，则k的取值范围是（　　） A．k>2　　B．k<2 C．k≥2　　D．k>0 5．（解答）已知一次函数y=-2x+6。（1）求该函数的图象与x轴、y轴的交点坐标；（2）求该函数的图象与两条坐标轴围成的三角形的面积。 十一、12.2 一次函数（刷素养） 【知识梳理】 分段函数：在不同自变量取值范围内，函数关系不同，需分段写出解析式并注明各段的自变量取值范围。解决分段计费问题，关键是找到“分界点”，再分别写出各段的函数关系。 1．（选择）定义：若一次函数y=kx+b的图象上存在一点P(x,y)，使得xy=0，则称该点为该函数的“零轴点”。下列一次函数中，图象上的“零轴点”横坐标为-2的是（　　） A．y=x+2　　B．y=2x+4 C．y=2x-4　　D．y=-x+2 2．（选择）已知一次函数 y＝kx＋b 的图象经过点（1，1）与（3，7），则下列结论错误的是（　　） A．k＝3　　B．b＝－2　　 C．y 随 x 的增大而增大　　 D．图象不经过第四象限 3.（解答）某市出租车的收费标准：起步价10元（3 km以内含3 km），超过3 km后，每增加1 km加收2.4元（不足1 km按1 km计）。（1）设行驶路程为x km（x>3），费用为y元，写出y与x之间的函数关系式；（2）若小明乘坐了8 km，应付多少元？（3）若小明支付了29.2元，则他乘坐的路程最多是多少千米？ 4.（解答）某实验室用水龙头向一个空水箱匀速注水，注满后关闭水龙头。注水过程中水箱内的水量W（L）与时间t（min）的关系为W=kt（0≤t≤4），注满时水量为20 L。（1）求k的值；（2）若4 min后以每分钟2 L的速度放水，求放水过程中水量W与时间t（t>4）的关系式，并求水箱放空所用的总时间。 5．（解答）定义：对于一次函数 y＝kx＋b（k≠0），若自变量 x 每增加 1，函数值 y 的增加量不小于 2，则称该函数为“快增函数”。 （1）判断函数 y＝2x－5 是否为“快增函数”，并说明理由； （2）若函数 y＝(m－1)x＋3 是“快增函数”，求 m 的取值范围； （3）若函数 y＝kx＋1 是“快增函数”，且该函数的图象与 x 轴、y 轴围成的三角形面积为 多少？ ，求 k 的值。 6．（解答）如图，在平面直角坐标系中，直线 ：y＝2x－2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B；直线 ：y＝－x＋4 与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 D， 与 交于点 P。 （1）求点 P 的坐标； （2）求△PBD 的面积； （3）在 x 轴上是否存在点 Q，使△APQ 的面积等于 2？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由。 十二、12.2 课时5 一次函数与一次方程、一次不等式（刷基础） 【知识梳理】 一次函数y=kx+b的图象与x轴交点的横坐标，就是一元一次方程kx+b=0的解。kx+b>0的解集，就是图象在x轴上方的部分所对应的x的取值范围；kx+b<0的解集，就是图象在x轴下方的部分所对应的x的取值范围。两条直线的交点坐标，就是由它们对应的一次函数表达式组成的二元一次方程组的解。 1．（选择）一次函数y=2x-6的图象与x轴交于点(3,0)，则一元一次方程2x-6=0的解是（　　） A．x=2　　B．x=3 C．x=-3　　D．x=6 2．（选择）如图为一次函数y=kx+b的图象，则关于x的不等式kx+b>0的解集为（　　） A．x>2　　B．x<2 C．x>-2　　D．x<-2 3．（选择）在平面直角坐标系中，直线y=x+1与直线y=-x+3相交于点P，则点P的坐标是（　　） A．(1,2)　　B．(2,1) C．(-1,0)　　D．(3,0) 4．（选择）如图，一次函数y=kx+b的图象经过点A(2,1)和B(-1,-2)，则关于x的不等式kx+b≥0的解集为（　　） A．x≥1　　B．x≤1 C．x≥-2　　D．x≤-2 5． （填空）已知一次函数y=ax+b的图象与x轴交于点(-4,0)，则一元一次方程ax+b=0的解为x＝＿＿＿＿。 6．（解答）已知一次函数y=3x+m的图象经过点(-2,0)。 （1）求m的值； （2）求方程3x+m=0的解； （3）求不等式3x+m>0的解集。 7．（解答）在平面直角坐标系中，直线：y=2x-2与直线：y=-x+4交于点P。（1）求交点P的坐标；（2）求直线与x轴的交点A的坐标；（3）求△APB的面积（B为直线与x轴的交点）。 8．（解答）如图，一次函数y=kx+b的图象经过点A(0,4)和点B(2,0)。 （1）求k、b的值； （2）直接写出不等式kx+b<0的解集； （3）若直线y=-x+2与该图象交于点C，求点C的坐标。 十三、12.2 一次函数与方程、不等式（刷提升） 【知识梳理】 两条直线与：当且≠时，两直线平行，对应方程组无解；当≠时，两直线相交，交点坐标即方程组的解。利用图象求不等式解集，关键是找交点横坐标再分区域判断。 1．（选择）若直线y=kx+3与直线y=2x-1平行，则k的值为（　　） A．2　　B．3 C．-1　　D．-2 2．（选择）若直线y=3x+b与直线y=3x-2没有交点，则b的值为（　　） A．-2　　B．3 C．任意不为-2的数　　D．任意数 3．（填空）直线y=x-2与直线y=2x-5的交点坐标为＿＿＿＿。 4．（解答）在平面直角坐标系中，直线：y=x+3与直线：y=-2x+6交于点P。（1）求点P的坐标；（2）求直线、与x轴围成的三角形的面积。 5．（解答）如图，已知一次函数y=ax+b的图象与x轴交于点A(-2,0)，与y轴交于点B(0,3)。（1）求a、b的值； （2）求不等式ax+b≤0的解集； （3）若直线y=x+m经过点B，求m的值，并求直线y=x+m与直线y=ax+b的交点坐标。 6． （解答）在平面直角坐标系中，直线：y=2x-6与直线：y=-x+3交于点P。 （1） 求点P的坐标； （2）直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点B，求△PAB的面积； （3）若直线：y=kx+2与、交于同一点P，求k的值。 十四、12.3 课时1 一次函数与二元一次方程（刷基础） 【知识梳理】 二元一次方程ax+by=c的每一组解，都对应平面直角坐标系中的一个点；这些点组成一条直线。反之，直线上的每一个点的坐标，都是这个二元一次方程的一组解。把二元一次方程变形成y=kx+b的形式，即可画出对应的直线。 1．（选择）二元一次方程2x+y=5对应的一次函数为（　　） A．y=2x+5　　B．y=-2x+5 C．y=2x-5　　D．y=-2x-5 2．（选择）下列各点中，在直线y=3x-1上的是（　　） A．(1,2)　　B．(2,5) C．(0,-1)　　D．(-1,-4) 3．（选择）二元一次方程x-2y=4，当x=2时，y的值为（　　） A．1　　B．-1 C．2　　D．-2 4．（选择）点A(a,3)在直线y=2x-1上，则a的值为（　　） A．1　　B．2 C．3　　D．5 5．（填空）把二元一次方程2x-3y=6化成y=kx+b的形式，得y＝＿＿＿＿。 6．（填空）直线y=5x+2上任一点的坐标(x,y)都是二元一次方程＿＿＿＿的解（填一个方程）。 7． （解答）把二元一次方程3x+2y=8改写成一次函数的形式，并判断点P(2,1)是否在该一次函数的图象上。 8．（解答）方程2x-y=4对应的直线与x轴交于点A，与y轴交于点B。（1）求点A、B的坐标；（2）求△AOB的面积。 十五、12.3 课时2 一次函数与二元一次方程组（刷基础） 【知识梳理】 二元一次方程组的解，就是对应两条直线的交点坐标。用图象法解方程组：在同一坐标系中画出两条直线，交点的横、纵坐标即为方程组的解。 1．（选择）直线y=x+1与直线y=2x-1交于点P(2,3)，则方程组的解为（　　） A．　　B． C．　　D． 2．（选择）方程组的解为，则直线x+y=3与直线x-y=1的交点坐标是（　　） A．(2,1)　　B．(1,2) C．(2,-1)　　D．(-2,1) 3．（选择）用图象法解方程组，两直线交于点(1,3)，则方程组的解为（　　） A．　　B． C．　　D． 4．（填空）若直线y=2x+1与直线y=3x-1的交点横坐标为2，则方程组的解为＿＿＿＿。 5．（解答）用图象法解方程组，并写出两条直线与y轴围成的三角形的面积。 6．（选择）已知直线 y＝2x－3 与直线 y＝－x＋6 交于点（a，b），则 a＋b 的值为（　　） A．5　　B．6　　C．7　　D．8 7．（填空）若直线 y＝x＋2 与直线 y＝kx－4 的交点在 x 轴上，则 k＝＿＿＿。 8．（解答）已知直线 ：y＝x＋1 与直线 ：y＝－2x＋7 交于点 A。 （1）求点 A 的坐标； （2）求两直线与 x 轴围成的三角形的面积。 十六、12.3 一次函数与方程、方程组（刷提升） 【知识梳理】 含参数的直线交点问题：交点坐标同时满足两条直线的解析式，可据此列方程（组）求参数。若交点在坐标轴上，可利用“代入”直接求解。 1．（选择）直线y=2x+m与直线y=-x+6相交于x轴上的一点，则m的值为（　　） A．6　　B．-6 C．12　　D．-12 2．（选择）若直线y=kx+3与直线y=2x+b交于点P(1,5)，则k、b的值分别是（　　） A．k=2，b=3　　B．k=2，b=5 C．k=2，b=2　　D．k=5，b=2 3．（解答）用图象法解方程组，并求两条直线与x轴围成的三角形的面积。 4．（解答）在平面直角坐标系中，直线：y=3x+b与直线：y=-x+2相交于点P。（1）若点P在y轴上，求b的值及点P的坐标；（2）若点P的横坐标为1，求b的值，并求此时两条直线与x轴围成的三角形的面积。 5．（选择）若直线 ：y＝kx＋3 与直线 ：y＝－x＋2 的交点在第一象限，则 k 的取值范围是（　　） A．k＜－　　B．k＜－1　　C．－1＜k＜3　　D．k＞0 6．（填空）已知直线 y＝3x－1 与直线 y＝－x＋7 交于点 P，则关于 x、y 的方程组的解为＿＿＿。 7．（解答）如图，直线 y＝－x＋6 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B，直线 y＝2x 与直线 AB 交于点 P。 （1）求点 P 的坐标； （2）求△AOP 的面积； （3）在直线 y＝2x 上是否存在点 Q，使△AOQ 的面积等于 2S△AOP？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由。 十七、重难专题 1：一次函数图象与三角形面积（刷难关） 【知识梳理】 求一次函数图象与坐标轴围成的三角形面积：先求与x轴、y轴的交点坐标，再用“×|横截距|×|纵截距|”。求两直线与坐标轴围成的三角形面积：找两直线的交点，把三角形“底”放在坐标轴上，高为交点到该轴的距离。 1．（选择）一次函数y=-2x+4的图象与两坐标轴围成的三角形的面积是（　　） A．2　　B．4 C．6　　D．8 2．（选择）直线y=2x-4与直线y=-x+2及y轴围成的三角形的面积是（　　） A．3　　B．4 C．6　　D．8 3．（填空）一次函数y=kx-4的图象与两坐标轴围成的三角形面积为4，则k＝＿＿＿＿。 4．（解答）在平面直角坐标系中，直线l：y=-x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B。（1）求点A、B的坐标；（2）求△AOB的面积；（3）若点P是线段AB上的动点，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，求矩形PMON面积的最大值。 5．（填空）在平面直角坐标系中，直线 y＝x＋2 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B，直线 y＝kx（k＜0）把△AOB 的面积分成 1∶2 两部分，则 k 的值为＿＿＿。 6．（解答）如图，在平面直角坐标系中，直线 l：y＝－x＋4 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B，点 P 为直线 l 上的一个动点（不与 A、B 重合）。 （1）求△AOB 的面积； （2）若△AOP 的面积等于 4，求点 P 的坐标； （3）是否存在点 P，使△AOP 为等腰三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由。 十八、重难专题 2：一次函数的实际应用（刷难关） 【知识梳理】 用一次函数解决实际问题的步骤：①审题，找出自变量与函数；②用待定系数法求函数表达式，注意写出自变量的取值范围；③根据函数性质或图象回答问题；④方案选择问题，先建立费用（收益）函数，再比较大小。 1．（选择）某公司要购买一批A、B两种型号的打印机，A型每台1500元，B型每台1000元，购买数量共10台，设购买A型x台，总费用为y元，则y与x之间的函数关系式为（　　） A．y=1500x+1000(10-x)　　B．y=1000x+1500(10-x) C．y=2500x　　D．y=1500x+10000 2．（选择）某市为了鼓励居民节约用水，实行阶梯水价：每户每月用水量不超过时，水价为3元；超过的部分水价为5元。设某户月用水量为（x>10），水费为y元，则y与x的函数关系式为（　　） A．y=5x-20　　B．y=3x+20 C．y=5x　　D．y=3x 3．（填空）某商店销售一种商品，进价为每件40元，售价为每件60元，每天可售出100件。经调查发现：售价每提高1元，每天少售出2件。设售价提高x元，每天的利润为y元，则y与x的函数关系式为y＝＿＿＿＿（写出化简结果）。 4．（解答）合肥某快递公司分两种计费方式：方式一：首重1 kg内10元，续重每kg 2元（不足1 kg按1 kg计）；方式二：每kg 4元（不足1 kg按1 kg计）。设寄送质量为x kg（x≥1，且x为整数）的包裹。 （1）分别写出两种方式的费用、与x的函数关系式； （2）当寄送质量为多少时，两种方式费用相同？ （3）某客户要寄5.5 kg的包裹，选哪种方式更省钱？省多少元？ 5．（填空）甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，甲骑自行车、乙步行。出发 1 h 后两人相遇，相遇后甲立即按原路返回 A 地并停止运动，乙继续向 A 地前进。整个过程中两人之间的距离 y（km）与时间 x（h）的部分函数关系为：当 0≤x≤1 时，y＝－6x＋6；当 1＜x≤3 时，y＝3x－3。则 A、B 两地相距＿＿km，甲骑车的速度为＿＿km/h。 6．（解答）某工厂生产甲、乙两种产品。生产一件甲产品需要 2 小时、成本 40 元；生产一件乙产品需要 3 小时、成本 60 元。甲产品每件售价 60 元，乙产品每件售价 90 元。该工厂每月可用工时不超过 720 小时、可用资金不超过 30000 元，且乙产品的产量不超过甲产品产量的 2 倍。设每月生产甲产品 x 件、乙产品 y 件，总利润为 W 元。 （1）写出 W 与 x、y 之间的函数关系式； （2）在满足上述条件的前提下，该工厂每月应各生产甲、乙产品多少件，才能使总利润最大？最大总利润是多少元？ 十九、重难专题 3：一次函数图象综合（刷难关） 1．（解答）如图，在平面直角坐标系中，直线 ：y＝kx＋2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B；直线 ：y＝-x＋4 与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 D，直线 与 交于点 P。 （1）当 k＝ 时，求点 A 的坐标及点 P 的坐标； （2）当点 P 的横坐标为 1 时，求 k 的值，并求 △ACP 的面积； （3）在（2）的条件下，点 Q 是直线 上一点，且 △ACQ 的面积等于 △ACP 面积的 2 倍，求点 Q 的坐标。 2．（解答）一辆快车与一辆慢车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，两车均做匀速行驶。如图，线段 OA 表示慢车离甲地的距离 y（km）与行驶时间 x（h）之间的函数关系，线段 CB 表示快车离甲地的距离 y（km）与行驶时间 x（h）之间的函数关系，且甲、乙两地相距 360 km。 （1）分别求线段 OA、线段 CB 对应的函数表达式； （2）求两车出发后多长时间相遇，相遇地点离甲地多少千米； （3）当两车相距 90 km 时，求行驶时间 x 的值。 3．（解答）如图，在平面直角坐标系中，直线 ：y＝2x＋1 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B；直线 ：y＝－x＋4 与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 D， 与 交于点 P。 （1）求点 P 的坐标； （2）求△ACP 的面积； （3）在 y 轴上是否存在点 Q，使△APQ 的面积等于△ACP 的面积？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由。 4．（解答）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶。设慢车行驶的时间为 x（h），两车之间的距离为 y（km），图中的折线表示 y 与 x 之间的函数关系。 （1）甲、乙两地之间的距离为＿＿km，快车的速度为＿＿km/h，慢车的速度为＿＿km/h； （2）求线段 BC 对应的函数表达式； （3）当两车相距 200 km 时，求 x 的值。 5．（解答）如图，直线 y＝kx－4（k＞0）与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B，且△AOB 的面积为 4。 （1）求 k 的值； （2）若点 P 为第一象限内直线 y＝kx－4 上的一点，且△AOP 的面积等于 2S△AOB，求点 P 的坐标； （3）在（2）的条件下，在 x 轴上是否存在点 Q，使△OPQ 为等腰三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由。 二十、全章综合训练（满分120分，限时90分钟） 时间建议：满分120分，限时90分钟，请合理安排答题节奏。 1．（选择）下列函数中，是正比例函数的是（　　） A．y=8x　　B．y= C．　　D．y=8x-1 2．（选择）一次函数y=-3x+2的图象经过的象限是（　　） A．一、二、三　　B．一、二、四 C．一、三、四　　D．二、三、四 3．（选择）函数y=中，自变量x的取值范围是（　　） A．x≥2　　B．x≥2且x≠3 C．x>2且x≠3　　D．x>2 4．（选择）点)、)都在直线y=-2x+1上，则与的大小关系是（　　） A．　　B． C．　　D．无法确定 5．（选择）将直线y=2x向下平移4个单位后，所得直线的表达式为（　　） A．y=2x-4　　B．y=2x+4 C．y=2(x-4)　　D．y=2x-8 6．（选择）如图，一次函数y=kx+b的图象经过点(0,2)和(-3,0)，则关于x的不等式kx+b≤0的解集为（　　） A．x≥-3　　B．x≤-3 C．x≥0　　D．x≤0 7．（选择）甲、乙两车从A地出发沿同一条公路匀速行驶到B地，两车离A地的距离s（km）与行驶时间t（h）的关系如图所示，则下列说法正确的是（　　） A．甲车先到达B地　　B．乙车速度大于甲车速度 C．行驶2 h时两车相距120 km　　D．两车在距A地80 km处相遇 8．（选择）一次函数y=kx+b的图象不经过第三象限，且k<0，则b的取值范围是（　　） A．b>0　　B．b≥0 C．b<0　　D．b≤0 9．（填空）若一次函数y=(m-1)x+2中，y随x的增大而减小，则m的取值范围是＿＿＿＿。 10．（填空）一次函数y=-x+3的图象与x轴的交点坐标为＿＿＿＿。 11．（填空）直线y=x-3与直线y=-2x+6的交点坐标为＿＿＿＿。 12．（填空）若一次函数y=kx+4的图象与两坐标轴围成的三角形面积为8，则k＝＿＿＿＿。 13．（解答）已知一次函数y=kx+b的图象经过点(1,5)和(-2,-1)。（1）求该函数的表达式；（2）若点P(a,7)在该图象上，求a的值；（3）求该图象与坐标轴围成的三角形的面积。 14．（解答）周末，小明骑自行车从家出发去12 km外的公园，行驶一段时间后，因故停留10 min，随后继续骑行到达公园。如图是小明离家的距离s（km）与时间t（min）的函数图象。（1）求小明第一次骑行的速度；（2）求小明停留后骑行的速度；（3）小明出发后多少分钟到达公园？ 15．（解答）某学校计划组织八年级学生参加研学活动，现有甲、乙两家旅行社可供选择。甲旅行社：每位学生收费200元，另加带队教师免费；乙旅行社：每位学生收费220元，但一次性优惠500元。设参加研学活动的学生人数为x人，甲、乙两旅行社的总费用分别为、元。（1）分别写出、与x的函数关系式；（2）当学生人数为多少时，两家旅行社费用相同？（3）若该校八年级共有45名学生参加，选择哪家旅行社更合算？ 二十一、刷章测（限时60分钟，满分100分） 时间建议：限时60分钟，满分100分，请合理安排答题节奏。 1．（选择）下列各式中，表示y是x的正比例函数的是（　　） A．y=2x-1　　B．y=x C．　　D．y= 2．（选择）若一次函数y=kx+2的图象经过点(1,0)，则k的值为（　　） A．-2　　B．2 C．1　　D．0 3．（选择）函数y=中，自变量x的取值范围是（　　） A．x>-1　　B．x≥-1 C．x<-1　　D．x≠-1 4．（选择）一次函数y=3x-6的图象不经过的象限是（　　） A．第一象限　　B．第二象限 C．第三象限　　D．第四象限 5．（选择）若直线y=(2a-1)x+a-2经过原点，则a的值为（　　） A．　　B．2 C．1　　D．0 6．（选择）点P(-2,5)关于y轴对称的点Q在直线y=kx+1上，则k的值为（　　） A．-2　　B．2 C．3　　D．-3 7．（选择）直线y=-x+4与坐标轴围成的三角形的面积是（　　） A．4　　B．8 C．16　　D．2 8．（选择）方程组的解为，则直线x-y=3与直线2x+y=6的交点坐标是（　　） A．(3,0)　　B．(0,3) C．(3,3)　　D．(-3,0) 9．（选择）小明骑自行车从家出发去图书馆，途中在便利店停留买水，随后继续骑行到达图书馆。下列图象中，能大致反映小明离家的距离s与时间t的关系的是（　　） A．B C．D 10．（选择）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．k>0，b>0　　B．k>0，b<0 C．k<0，b>0　　D．k<0，b<0 11．（填空）已知一次函数y=kx+b的图象经过点(0,3)和(-2,0)，则k＝＿＿＿＿，b＝＿＿＿＿。 12．（填空）将直线y=-2x+1向右平移1个单位长度，所得直线的表达式为＿＿＿＿。 13．（填空）若直线y=ax-2与直线y=3x+5平行，则a＝＿＿＿＿。 14．（填空）一次函数y=4x-8的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，则线段AB的长为＿＿＿＿。 15．（解答）已知一次函数y=kx+b的图象经过点A(2,3)和B(-1,-3)。（1）求该函数的表达式；（2）求该函数图象与x轴、y轴的交点坐标；（3）求该函数图象与两坐标轴围成的三角形的面积。 16． （解答）某工厂用甲、乙两种原料生产一种产品。生产1件产品需甲原料3 kg、乙原料2 kg。已知工厂现有甲原料30 kg、乙原料24 kg。设生产x件产品。 （1） 求甲、乙两种原料剩余量、（kg）与x的函数关系式； （2） 要使两种原料都不浪费且恰好用完，应生产多少件产品？ （3）若甲、乙两种原料每kg成本分别为20元和30元，生产x件产品的原料总成本为C元，求C与x的函数关系式，并求最多可生产多少件产品。 17．（解答）如图，直线：y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B；直线：y=-2x+8与x轴交于点C，与y轴交于点D，直线与交于点P。（1）求点A、B、C、D的坐标；（2）求点P的坐标；（3）求四边形ABCP（即△ACP去掉△ABO后剩余部分）的面积。 人生如函数，用心定义域，勇敢求最值。 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十二章 一次函数 参考答案与解析 原创改编 · 答案统一置于本册 一、12.1 课时1 认识函数（刷基础） 【知识梳理】 函数的概念：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。 1．【答案】C 【解析】函数要求对于自变量x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应。选项C中，当x=4时，y=±2，有两个值与之对应，不满足唯一性，故y不是x的函数。 2．【答案】C 【解析】挂上不同质量的物体，弹簧长度随之改变，物体质量在给定范围内可以取不同值，是自变量；弹簧长度随质量唯一确定，是函数（因变量）。故C正确。 3．【答案】B 【解析】作与x轴垂直的直线，若与图象至多有一个交点，则该图象表示y是x的函数。图①为直线（可作无数竖线，但每条只有一个交点），图④为抛物线开口向上的部分，均符合；图②为竖直方向曲线，作竖线可能有两个交点；图③为圆，作竖线有两个交点，均不符合。故选①④，答案为B。 4．【答案】A 【解析】离家距离s从0开始逐渐增大到学校距离（去程），到达学校后s保持最大（在校瞬间），随后逐渐减小回0（返程）。由于去程步行速度慢、返程跑步速度快，去程时间较长、返程时间较短，故选A。 5．【答案】C 【解析】在s=60t中，60是常量，t、s是变量；t取不同值，s唯一确定，故t是自变量，s是t的函数。C正确。 6．【答案】6；1 【解析】-2×(-1)+1=3+2+1=6；把x=0代入，y=3×0-2×0+1=1。 7．【答案】y=4x；x≥0（且x为整数，实际按题意为非负实数） 【解析】每千克利润=售价-进价=10-6=4元，销售x kg的总利润y=4x。销售数量不能为负，故x≥0。 8．【答案】（1）y=20-6x；（2）当 x=3 时，y=20-6×3=2（℃）；（3）由 20-6x=-4，解得 x=4，即山顶海拔 4 km。 【解析】（1）海拔每升高 1 km，气温下降 6℃，故 y=20-6x（x≥0）。（2）把 x=3 代入，得 y=20-6×3=2（℃）。（3）令 y=-4，则 20-6x=-4，解得 x=4（km）。 二、12.1 课时2 列表法与解析法（刷基础） 【知识梳理】 表示函数关系的方法：列表法（用表格列出自变量与函数值的对应关系）、解析法（用数学式子表示函数关系）、图象法（用图象表示函数关系）。求自变量的取值范围时，要注意：分母不能为0、被开方数必须非负、实际问题中的实际意义。 1．【答案】B 【解析】观察表格：x每增加10 km，y增加1 L，即y与x成正比，比例系数为=0.1，故y=0.1x。 2．【答案】A 【解析】分式的分母不能为0，即x-2≠0，解得x≠2。 3．【答案】B 【解析】二次根式的被开方数必须非负，即x-3≥0，解得x≥3。 4．【答案】B 【解析】x=1时，y=2×1+3=5；x=3时，y=2×3+3=9；函数值增量=9-5=4。 5．【答案】x≥-1且x≠0 【解析】被开方数x+1≥0得x≥-1；分母x≠0。综合得x≥-1且x≠0。 6．【答案】0；6 【解析】f(2)=4-6+2=0；f(-1)=1+3+2=6。 7．【答案】y=25x；x≥0且x为整数 【解析】总价=单价×本数，故y=25x；本数为非负整数，故x≥0且x为整数。 8．【答案】-7；5 【解析】程序对应函数y=2x-1。x=-3时，y=2×(-3)-1=-7；y=9时，9=2x-1，解得x=5。 9．【答案】+10x） 【解析】+10x。 10．【答案】（1）列表：x=31，32，33，34 时，y=18.2，18.4，18.6，18.8；（2）y=18+0.2(x-30)=0.2x+12（x≥31，x 为整数）；（3）令 y=32，得 0.2x+12=32，解得 x=100，即通话 100 分钟。 【解析】（1）列表法：。（2）超过 30 分钟后每分钟 0.2 元，故 y=18+0.2(x-30)=0.2x+12（x≥31，x 为整数）。（3）由 0.2x+12=32，得 0.2x=20，解得 x=100（分钟）。 三、12.1 课时3 用图象法表示函数关系（刷基础） 【知识梳理】 画函数图象的一般步骤：列表（取自变量的一些值，求出对应的函数值）→描点（以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点）→连线（按自变量从小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来）。 1．【答案】D 【解析】图象显示气温先降后升再降：0时至6时左右下降，6时至14时左右上升，14时至24时下降。故“从0时到24时气温一直上升”错误，D符合题意。 2．【答案】A 【解析】图①中作竖直直线与图象至多有一个交点，表示y是x的函数；图②为竖直方向的曲线，一条竖线可交两个点；图③为封闭曲线，竖线可交两个点；图④类似“回”字形封闭曲线，竖线可交多个点。故只有①符合。 3．【答案】B 【解析】点在图象上，则坐标满足解析式：5=2k+1，解得k=2。 4．【答案】D 【解析】锥形瓶下窄上宽，注水时下部高度上升快、上部上升慢，即h的增长速度逐渐变缓，图象先陡后缓（凸向下），选D。 5．【答案】列表：x=-1,0,1,2时，y=-3,-1,1,3；描点连线略，图象为过点(-1,-3)、(0,-1)、(1,1)、(2,3)的一条直线。 【解析】列表：。描出四点后用平滑直线顺次连接（y=2x-1是一次函数，图象为直线），即得函数图象。 6．【答案】（1）体积V与质量m，自变量是体积V；（2）m=7.8V；（3）m=62.4 g 【解析】）。（3）V=8时，m=7.8×8=62.4 g。 四、12.1 函数（刷提升） 【知识梳理】 图象信息题要点：看清横、纵轴分别表示什么；观察图象的起点、终点、转折点及趋势；分段图象要结合实际问题理解每段含义。 1．【答案】C 【解析】图象整体呈上升趋势，说明溶解度随温度升高而增大，A错误；t=20℃时溶解度约为30 g，B错误；t=40℃时溶解度约为65 g，C正确；溶解度为0 g时图象尚未到0（曲线起点在t=0、S≈25附近），D错误。 2．【答案】A 【解析】①热水温度逐渐降低并趋于室温，对应（c）；②匀速运动路程随时间匀速增大，对应（d）；③学生人数缓慢上升，对应（b）；④浇水后土壤湿度先上升后缓慢下降，对应（a）。故A正确。 3．【答案】C 【解析】由图象可见，曲线在y轴上的截距位于0与3之间，且图象经过该截距点，故当x=0时，0<y<3，选C。 4．【答案】（1）8 min，全程800 m；（2）320 m；（3）甲先到达，乙还差160 m 【解析】（1）甲对应的图象过点(0,0)与(8,800)，故甲用8 min跑完全程，全程800 m。（2）乙的图象过点(0,0)与(10,800)，速度为=80 m/min，t=4时，s=80×4=320 m。（3）甲用8 min，乙用10 min，甲先到达终点；甲到终点时t=8，此时乙跑了80×8=640 m，还差800-640=160 m。 五、12.2 课时1 一次函数与正比例函数（刷基础） 【知识梳理】 一次函数：形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数叫做一次函数。当b=0时，y=kx（k≠0）叫做正比例函数。正比例函数是一次函数的特殊情形。 1．【答案】C 【解析】一次函数形如y=kx+b（k≠0）。y=3x-中k=3、b=-，是一次函数；其余：A是反比例函数型，B是二次函数，D含根式且不是一次函数，故选C。 2．【答案】B 【解析】正比例函数形如y=kx（k≠0，b=0）。y=-x中k=-，b=0，是正比例函数，故选B。 3．【答案】C 【解析】一次函数要求一次项系数不为0，即m-3≠0，解得m≠3。 4．【答案】A 【解析】-1=1，解得k=±；又k>0，故k=，选A。 5．【答案】A 【解析】正比例函数y=kx（k≠0）是一次函数y=kx+b（b=0）的特殊情形，故正比例函数一定是一次函数，A正确；一次函数不一定过原点，不一定是正比例函数，B错误；C漏掉了k≠0的条件；D漏掉了k≠0的条件。 6．【答案】B 【解析】距离=速度×时间，即d=0.6t，是一次函数（也是正比例函数），故选B。 7．【答案】a=-2；y=-4x 【解析】-4=0，解得a=±2；又a-2≠0，故a≠2，所以a=-2。此时y=(-2-2)x=-4x。 8．【答案】k=-；b=3 【解析】对照y=kx+b，一次项系数k=-，常数项b=3。 9．【答案】m=1 【解析】一次函数要求x的指数为1且系数不为0：|m|=1，解得m=±1；又m+1≠0，故m≠-1，所以m=1。 10．【答案】y=-2x 【解析】设y=kx（k≠0），把(3,-6)代入得-6=3k，k=-2，故y=-2x。 11．【答案】（1）设 y=kx+12，把 x=5，y=17 代入，得 5k+12=17，k=1，所以 y=x+12；（2）不是，因为 y=x+12 中含有常数项 12（b≠0），不符合正比例函数 y=kx（k≠0）的形式；（3）当 x=8 时，y=8+12=20（cm）。 【解析】（1）因 y 是 x 的一次函数，可设 y=kx+b；当 x=0 时 y=12，得 b=12；把 x=5，y=17 代入，得 5k+12=17，解得 k=1，故 y=x+12。（2）正比例函数形如 y=kx（k≠0），y=x+12 中 b=12≠0，故不是正比例函数。（3）x=8 时，y=20（cm）。 六、12.2 课时2 正比例函数的图象与性质（刷基础） 【知识梳理】 正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过原点(0,0)的一条直线。k>0时，图象经过第一、三象限，y随x增大而增大；k<0时，图象经过第二、四象限，y随x增大而减小。|k|越大，直线越陡。 1．【答案】B 【解析】k=-3<0，正比例函数图象经过第二、四象限，且y随x增大而减小，选B。 2．【答案】A 【解析】k>0时，正比例函数图象经过第一、三象限，且过原点，故①符合。 3．【答案】A 【解析】x更陡，选A。 4．【答案】B 【解析】把(-2,4)代入y=kx，得4=-2k，解得k=-2。 5．【答案】k=-3；y=-3x 【解析】把(2,-6)代入，得-6=2k，k=-3，故y=-3x。 6．【答案】m> 【解析】y随x增大而增大，说明k=2m-1>0，解得m>。 7．【答案】k<0 【解析】正比例函数图象经过第二、四象限，则k<0（y随x增大而减小）。 8．【答案】（1）s=80t，它是正比例函数；（2）列表：t=0，1，2 时，s=0，80，160，描出点 (0,0)、(1,80)、(2,160) 并连线，得一条过原点的直线；（3）当 t=2.5 时，s=80×2.5=200（km）。 【解析】（1）路程=速度×时间，故 s=80t（t≥0）；它形如 y=kx（k≠0），是正比例函数。（2）图象略：过点 (0,0)、(1,80)、(2,160) 的一条直线；k=80>0，直线从左向右上升。（3）t=2.5 时，s=80×2.5=200（km）。 七、12.2 课时3 一次函数的图象与性质（刷基础） 【知识梳理】 一次函数y=kx+b的图象是经过点(0,b)和(-,0)的一条直线。k>0，y随x增大而增大；k<0，y随x增大而减小。b>0，图象与y轴正半轴相交；b<0，图象与y轴负半轴相交。增减性与象限：k>0、b>0过一、二、三象限；k>0、b<0过一、三、四象限；k<0、b>0过一、二、四象限；k<0、b<0过二、三、四象限。 1．【答案】B 【解析】k=2>0，b=-3<0，图象经过第一、三、四象限（k>0、b<0型），选B。 2．【答案】A 【解析】y=x+1中k=1>0（图象从左向右上升），b=1>0（与y轴正半轴交于点(0,1)），过点(0,1)和(-1,0)，故A符合。 3．【答案】C 【解析】经过一、二、四象限，则图象从左向右下降（k<0），且与y轴正半轴相交（b>0），选C。 4．【答案】C 【解析】一次函数y=kx+b中k<0时y随x增大而减小。y=-x+4中k=-1<0，故选C。 5．【答案】B 【解析】令x=0，得y=3×0+2=2，故与y轴交点为(0,2)。 6．【答案】A 【解析】一次函数图象向上平移h个单位，解析式变为y=kx+b+h，故y=2x向上平移3个单位得y=2x+3，选A。 7．【答案】k<0；b<0 【解析】经过二、三、四象限，图象从左向右下降（k<0），且与y轴负半轴相交（b<0）。 8．【答案】(2,0)；(0,-6) 【解析】与x轴交点令y=0：3x-6=0，x=2，即(2,0)；与y轴交点令x=0：y=-6，即(0,-6)。 9．【答案】y=-x-2 【解析】图象向下平移2个单位，常数项减2，故y=-x-2。 10．【答案】k=2；b=3 【解析】把(1,5)、(0,3)代入：5=k+b，3=b，解得b=3，k=2。 11．【答案】（1）y=500-20x（0≤x≤25）；（2）不是正比例函数，它是一次函数（形如 y=kx+b，k=-20，b=500）；（3）当 x=6 时，y=500-20×6=380（万 m³）。 【解析】（1）原有蓄水 500 万 m³，每小时减少 20 万 m³，故 y=500-20x；蓄水量不小于 0，即 500-20x≥0，解得 x≤25，又 x≥0，故 0≤x≤25。（2）y=500-20x=-20x+500，形如 y=kx+b（k≠0）且 b=500≠0，是一次函数，不是正比例函数。（3）x=6 时，y=380（万 m³）。 八、12.2 课时4 用待定系数法确定一次函数表达式（刷基础） 【知识梳理】 待定系数法求一次函数表达式的步骤：①设：设表达式为y=kx+b（或y=kx）；②代：把已知点的坐标代入，得到关于k、b的方程（组）；③解：解方程（组）求出k、b；④写：写出函数表达式。 1．【答案】B 【解析】把(2,6)代入y=kx，得6=2k，k=3，故y=3x。 2．【答案】A 【解析】把(0,1)代入得b=1；把(1,3)代入得3=k+1，k=2，故y=2x+1。 3．【答案】C 【解析】图象经过点(0,3)，即与y轴交于(0,3)，故b=3。也可代入验证：1=-k+3，k=2，b=3。 4．【答案】A 【解析】图象经过原点，则b=0，为正比例函数；把(3,-6)代入y=kx，得-6=3k，k=-2，故y=-2x。 5．【答案】y=2x-3 【解析】设y=kx+b。把(0,-3)代入得b=-3；把(2,1)代入得1=2k-3，2k=4，k=2。故表达式为y=2x-3。 6．【答案】（1）k=-2，b=3；（2）y=3 【解析】（1）把(-1,5)与(3,-3)代入：5=-k+b，-3=3k+b。两式相减得-8=4k，k=-2；代回得b=3。（2）表达式为y=-2x+3，x=0时，y=3。 7．【答案】（1）y=-2x；（2）在图象上，理由见解析 【解析】（1）把(3,-6)代入y=kx，得-6=3k，k=-2，故y=-2x。（2）当x=1时，y=-2×1=-2，与点(1,-2)的纵坐标一致，故点(1,-2)在该函数图象上。 8．【答案】（1）y=3x-1；（2）(,0) 【解析】（1）与y轴交点的纵坐标为-1，故b=-1；把(1,2)代入y=kx-1，得2=k-1，k=3，故y=3x-1。（2）令y=0，得3x-1=0，x=，故与x轴交点为(,0)。 九、12.2 待定系数法综合（刷提升） 【知识梳理】 求一次函数表达式，只需知道图象上两个点的坐标；求正比例函数表达式，只需知道一个点（原点除外）。含参数时，先由条件（正比例函数/经过某点）列出方程（组）求参数。 1．【答案】B 【解析】把两点代入：3=k+b，-1=-k+b。两式相减得4=2k，k=2。 2．【答案】C 【解析】把(2,4)代入y=kx，得4=2k，k=2，故y=2x；再把(a,10)代入：10=2a，a=5。 3．【答案】A 【解析】由(0,4)得b=4；把(2,0)代入y=kx+4，得0=2k+4，k=-2，故y=-2x+4。 4．【答案】b=-1 【解析】把k=2、(2,3)代入y=2x+b：3=4+b，b=-1。 5．【答案】k=1；b=-2 【解析】由(0,-2)得b=-2；把(3,1)代入y=kx-2，得1=3k-2，k=1。 6．【答案】k=-2 【解析】由(0,-2)得b=-2；把(-1,0)代入y=kx-2，得0=-k-2，k=-2。 7．【答案】y=2x+5 【解析】把两点代入：1=-2k+b，7=k+b。两式相减得6=3k，k=2；代回得b=5，故y=2x+5。 8．【答案】m=3；y=2x 【解析】正比例函数要求b=m-3=0，得m=3；此时k=m-1=2≠0，故y=2x。 9．【答案】（1）y=-2x+1；（2）与x轴交点(,0)，与y轴交点(0,1) 【解析】（1）把两点代入：5=-2k+b，-1=k+b。两式相减得6=-3k，k=-2；代回得b=1，故y=-2x+1。（2）令y=0，得-2x+1=0，x=，即(,0)；令x=0，得y=1，即(0,1)。 10．【答案】（1）y=2x+2；（2）m=4；（3）x<1 【解析】（1）把A、B代入：4=k+b，0=-k+b，解得k=2，b=2，故y=2x+2。（2）把A(1,4)代入y=mx，得m=4。（3）两图象交点横坐标为x=1，一次函数图象在正比例函数图象上方时x<1（图中左侧），故x<1。 十、12.2 一次函数的图象与性质（刷提升） 【知识梳理】 由k、b的符号可判断一次函数图象经过的象限：k>0，b>0→一、二、三；k>0，b<0→一、三、四；k<0，b>0→一、二、四；k<0，b<0→二、三、四。图象与坐标轴围成的三角形面积用“×横截距×纵截距”计算。 1．【答案】C 【解析】>0，经过一、二、三象限。两直线都经过第一、二象限，且后者更陡、前者下降，对照四个选项，C符合。 2．【答案】C 【解析】不经过第二象限，则图象经过一、三象限或一、三、四象限：k=a-2>0，b=a-3≤0，解得a>2且a≤3，即2<a≤3。 3．【答案】A 【解析】图象从左向右上升，故k>0；图象与y轴正半轴交于点B(0,1)，故b>0。选A。 4．【答案】A 【解析】y随x增大而增大，则k-2>0，解得k>2；b=1>0自动满足“交于正半轴”。故k>2。 5．【答案】（1）(3,0)、(0,6)；（2）9 【解析】（1）令y=0，得-2x+6=0，x=3，即(3,0)；令x=0，得y=6，即(0,6)。（2）三角形两直角边分别为|3|=3和|6|=6，面积S=×3×6=9。 十一、12.2 一次函数（刷素养） 【知识梳理】 分段函数：在不同自变量取值范围内，函数关系不同，需分段写出解析式并注明各段的自变量取值范围。解决分段计费问题，关键是找到“分界点”，再分别写出各段的函数关系。 1．【答案】B 【解析】“零轴点”即图象与坐标轴的交点（x=0或y=0的点）。要求横坐标为-2，即与x轴交于(-2,0)。检验：y=2x+4中令y=0，得2x+4=0，x=-2，故选B。 2．【答案】（1）y=2.4x+2.8（x>3，x取整数或按分段计费）；（2）22元；（3）最多11 km 【解析】（1）超过3 km的部分费用为2.4(x-3)元，故y=10+2.4(x-3)=2.4x+2.8（x>3）。（2）x=8时，y=2.4×8+2.8=19.2+2.8=22元。（3）由2.4x+2.8=29.2，得2.4x=26.4，x=11，故最多11 km。 3．【答案】（1）k=5；（2）W=-2t+28（4<t≤14），总时间14 min 【解析】（1）t=4时W=20，故20=4k，k=5。（2）4 min时水量为20 L，之后每分钟放水2 L，则W=20-2(t-4)=-2t+28；令W=0，得-2t+28=0，t=14，故总时间为14 min。 4．【答案】D　　【解析】由题意得 k＝＝3，b＝1－3＝－2，所以该一次函数的表达式为 y＝3x－2。其图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，所以“图象不经过第四象限”的说法错误。故选 D。 5．【答案】（1）是，理由见解析；（2）m≥3；（3）k＝2。 【解析】（1）对 y＝2x－5，当自变量 x 每增加 1 时，y 增加 2，不小于 2，所以 y＝2x－5 是“快增函数”。 （2）对 y＝(m－1)x＋3，x 每增加 1，y 增加 m－1。由题意 m－1≥2，解得 m≥3。 （3）直线 y＝kx＋1 与 x 轴交于点（，0），与 y 轴交于点（0，1），所以 S＝××1＝。由题意 ＝，得 |k|＝2。又 k≥2，所以 k＝2。 6．【答案】（1）P（2，2）；（2）6；（3）Q（3，0）或 Q（－1，0）。 【解析】（1）联立 y＝2x－2 与 y＝－x＋4，得 2x－2＝－x＋4，解得 x＝2，y＝2，所以 P（2，2）。 （2）由题意 B（0，－2），D（0，4），所以 BD＝6。点 P 到 y 轴的距离为 2，所以 S△PBD＝×6×2＝6。 （3）令 y＝0，得 2x－2＝0，解得 x＝1，所以 A（1，0）。设 Q（q，0），则 AQ＝，S△APQ＝×AQ×2＝。由题意 ＝2，解得 q＝3 或 q＝－1，所以 Q（3，0）或 Q（－1，0）。 十二、12.2 课时5 一次函数与一次方程、一次不等式（刷基础） 【知识梳理】 一次函数y=kx+b的图象与x轴交点的横坐标，就是一元一次方程kx+b=0的解。kx+b>0的解集，就是图象在x轴上方的部分所对应的x的取值范围；kx+b<0的解集，就是图象在x轴下方的部分所对应的x的取值范围。两条直线的交点坐标，就是由它们对应的一次函数表达式组成的二元一次方程组的解。 1．【答案】B 【解析】一次函数图象与x轴交点的横坐标即对应方程的解，故x=3。 2．【答案】A 【解析】kx+b>0对应图象在x轴上方的部分，由图象可见当x>2时图象位于x轴上方，故解集为x>2。 3．【答案】A 【解析】解方程组，得x+1=-x+3，2x=2，x=1，y=2，故P(1,2)。 4．【答案】A 【解析】直线kx+b=0对应图象与x轴的交点。由A(2,1)、B(-1,-2)两点，可求直线与x轴交于(1,0)，图象在x轴上方的部分对应x≥1，故解集为x≥1。 5．【答案】x=-4 【解析】图象与x轴交点的横坐标即对应方程的解，故x=-4。 6．【答案】（1）m=6；（2）x=-2；（3）x>-2 【解析】（1）把(-2,0)代入y=3x+m：0=-6+m，m=6。（2）由图象与x轴交点横坐标为-2，得方程3x+6=0的解为x=-2。（3）3x+6>0，解得x>-2（即图象在x轴上方部分）。 7．【答案】（1）P(2,2)；（2）A(1,0)；（3）3 【解析】（1）解与x轴交点：0=-x+4，x=4，故B(4,0)。AB=3，△APB中AB边上的高为P的纵坐标2，S=×3×2=3。 8．【答案】（1）k=-2，b=4；（2）x>2；（3）C(2,0)（即点B） 【解析】（1）由(0,4)得b=4；由(2,0)得0=2k+4，k=-2。（2）kx+b<0即图象在x轴下方，x>2。（3）解：-2x+4=-x+2，-x=-2，x=2，y=0，即C(2,0)。 十三、12.2 一次函数与方程、不等式（刷提升） 【知识梳理】 时，两直线相交，交点坐标即方程组的解。利用图象求不等式解集，关键是找交点横坐标再分区域判断。 1．【答案】A 【解析】两直线平行，则k相等且b不同：k=2，且3≠-1成立，故k=2。 2．【答案】C 【解析】两直线没有交点即平行，k相等（3=3），要求b≠-2，故b为任意不为-2的数。 3．【答案】(3,1) 【解析】解方程组：x-2=2x-5，x=3，y=1，故交点为(3,1)。 4．【答案】（1）P(1,4)；（2）12 【解析】与x轴交点：0=-2x+6，x=3。底边长为3-(-3)=6，高为P的纵坐标4，面积S=×6×4=12。 5．【答案】（1）a=，b=3；（2）x≤-2；（3）m=3，交点(0,3) 【解析】（1）由B(0,3)得b=3；由A(-2,0)得0=-2a+3，a=。（2）ax+b≤0即图象在x轴及其下方，x≤-2。（3）把B(0,3)代入y=x+m，得m=3；解：x+3=x+3，x=0，y=3，交点为(0,3)。 6．【答案】（1）P(3,0)；（2）0（点P在x轴上，三点共线）；（3）k=- 【解析】（1）2x-6=-x+3，3x=9，x=3，y=0，故P(3,0)。（2）P在x轴上，A、B也都在x轴上，△PAB面积不存在（为0）。（3）把P(3,0)代入y=kx+2：0=3k+2，k=-。 十四、12.3 课时1 一次函数与二元一次方程（刷基础） 【知识梳理】 二元一次方程ax+by=c的每一组解，都对应平面直角坐标系中的一个点；这些点组成一条直线。反之，直线上的每一个点的坐标，都是这个二元一次方程的一组解。把二元一次方程变形成y=kx+b的形式，即可画出对应的直线。 1．【答案】B 【解析】由2x+y=5得y=-2x+5，故对应的一次函数为y=-2x+5。 2．【答案】C 【解析】把各点坐标代入y=3x-1检验：x=0时y=-1，故点(0,-1)在直线上。 3．【答案】B 【解析】把x=2代入：2-2y=4，-2y=2，y=-1。 4．【答案】B 【解析】把(a,3)代入y=2x-1：3=2a-1，2a=4，a=2。 5．【答案】y=x-2 【解析】由2x-3y=6得-3y=-2x+6，两边除以-3，得y=x-2。 6．【答案】5x-y+2=0（或5x-y=-2等等价形式） 【解析】由y=5x+2移项得5x-y+2=0（等价于5x-y=-2），直线上的点都满足该方程。 7．【答案】y=-x+4；点P(2,1)在该图象上 【解析】由3x+2y=8得2y=-3x+8，y=-x+4。把P(2,1)代入：x=2时，y=-×2+4=-3+4=1，与点P的纵坐标一致，故点P在该图象上。 8．【答案】（1）A(2,0)、B(0,-4)；（2）4 【解析】由2x-y=4得y=2x-4。令y=0，得2x-4=0，x=2，故A(2,0)；令x=0，得y=-4，故B(0,-4)。△AOB的面积S=×OA×OB=×2×4=4。 十五、12.3 课时2 一次函数与二元一次方程组（刷基础） 【知识梳理】 二元一次方程组的解，就是对应两条直线的交点坐标。用图象法解方程组：在同一坐标系中画出两条直线，交点的横、纵坐标即为方程组的解。 1．【答案】A 【解析】两直线交点的坐标即为对应方程组的解，故解为x=2，y=3。 2．【答案】A 【解析】方程组的解对应两直线交点坐标，故交点为(2,1)。 3．【答案】A 【解析】交点坐标为(1,3)，即方程组的解为x=1，y=3。 4．【答案】 【解析】交点横坐标x=2，代入y=2x+1得y=5（两直线交点纵坐标一致），故解为x=2，y=5。 5．【答案】解为；面积S=9 【解析】由x+y=5得y=-x+5；由x-y=1得y=x-1。画出两条直线，交点坐标为(3,2)，故解为x=3，y=2。两直线分别与y轴交于(0,5)和(0,-1)，y轴上截距段长5-(-1)=6，交点到y轴的水平距离为3，三角形面积S=×6×3=9。 6．【答案】B　　【解析】联立 y＝2x－3 与 y＝－x＋6，得 2x－3＝－x＋6，解得 x＝3，y＝3，所以 a＋b＝3＋3＝6。故选 B。 7．【答案】－2　　【解析】两直线的交点在 x 轴上，则交点的纵坐标为 0。由 x＋2＝0 得 x＝－2，代入 y＝kx－4，得 0＝－2k－4，解得 k＝－2。 8．【答案】（1）A（2，3）；（2）。 【解析】（1）联立 y＝x＋1 与 y＝－2x＋7，得 x＋1＝－2x＋7，解得 x＝2，y＝3，所以 A（2，3）。 （2）直线 l₁：y＝x＋1 与 x 轴交于点（－1，0），直线 l₂：y＝－2x＋7 与 x 轴交于点（，0），两交点的距离为 －(－1)＝。两直线与 x 轴围成的三角形以该线段为底，高为点 A 的纵坐标 3，所以 S＝××3＝。 十六、12.3 一次函数与方程、方程组（刷提升） 【知识梳理】 含参数的直线交点问题：交点坐标同时满足两条直线的解析式，可据此列方程（组）求参数。若交点在坐标轴上，可利用“代入”直接求解。 1．【答案】D 【解析】交点在x轴上，令y=0：由y=-x+6得x=6，交点(6,0)；代入y=2x+m，0=12+m，m=-12。 2．【答案】A 【解析】把P(1,5)代入y=kx+3：5=k+3，k=2；代入y=2x+b：5=2+b，b=3。 3．【答案】解为；两条直线与x轴围不成三角形（交点恰在x轴上），面积不存在（为0） 【解析】与x轴交于(2,0)），三线与x轴的交点重合，故围不成三角形，面积为0。 4．【答案】（1）b=2，P(0,2)；（2）b=-2，面积S= 【解析】为y=3x-2，与x轴交于(与x轴交于(2,0)；两线交点P(1,1)。底边长=2-=，高=1，S=××1=。 5．【答案】A　　【解析】联立 y＝kx＋3 与 y＝－x＋2，得 kx＋3＝－x＋2，解得 x＝。因为交点在第一象限，所以 x＞0 且 y＝－x＋2＞0，即 x＜2。由 x＞0 得 k＋1＜0，即 k＜－1；由 x＜2 得 ＜2，解得 k＜。所以 k＜。故选 A。 6．【答案】x＝2，y＝5　　【解析】联立 y＝3x－1 与 y＝－x＋7，得 3x－1＝－x＋7，解得 x＝2，y＝5。 7．【答案】（1）P（2，4）；（2）12；（3）Q（4，8）或 Q（－4，－8）。 【解析】（1）直线 y＝－x＋6 与 x 轴交于点 A（6，0）。联立 y＝2x 与 y＝－x＋6，得 2x＝－x＋6，解得 x＝2，y＝4，所以 P（2，4）。 （2）S△AOP＝×6×4＝12。 （3）设 Q（t，2t），则 S△AOQ＝×6×＝6。由题意 6＝2×12＝24，得 |t|＝4，t＝±4，所以 Q（4，8）或 Q（－4，－8）。 十七、重难专题 1：一次函数图象与三角形面积（刷难关） 【知识梳理】 求一次函数图象与坐标轴围成的三角形面积：先求与x轴、y轴的交点坐标，再用“×|横截距|×|纵截距|”。求两直线与坐标轴围成的三角形面积：找两直线的交点，把三角形“底”放在坐标轴上，高为交点到该轴的距离。 1．【答案】B 【解析】与x轴交点(2,0)，与y轴交点(0,4)，面积S=×2×4=4。 2．【答案】C 【解析】与y轴交于(0,2)。三角形以y轴上的线段为底，长|-4-2|=6，高为交点到y轴的距离2，面积S=×6×2=6，选C。 3．【答案】k=2或k=-2 【解析】与y轴交于(0,-4)；与x轴交点：kx-4=0，x=。面积S=×||×4=4，得||=2，=2，|k|=2，故k=±2。 4．【答案】（1）A(8,0)、B(0,4)；（2）16；（3）8 【解析】（1）令y=0：-x+4=0，x=8，故A(8,0)；令x=0：y=4，故B(0,4)。（2）S=×8×4=16。（3）设P(x,-=x·(-x+4)=-+4x=-+8，当x=4时取最大值8。 5．【答案】－2 或 －　　【解析】由题意 A（－2，0），B（0，2），S△AOB＝2。设直线 y＝kx 与 AB 交于点 P，由 y＝x＋2 与 y＝kx 联立，得 x＝，y＝。S△AOP＝×OA×＝，S△BOP＝×OB×＝。因为直线 y＝kx 把△AOB 的面积分成 1∶2 两部分，所以 ∶＝1∶2 或 2∶1，即 |k|＝ 或 |k|＝2。又 k＜0，所以 k＝－ 或 k＝－2。 6．【答案】（1）8；（2）P（2，2）或 P（6，－2）；（3）P（2，2），P（4＋2，－2），P（4－2，2）。 【解析】（1）直线 y＝－x＋4 与 x 轴、y 轴分别交于点 A（4，0）、B（0，4），所以 S△AOB＝×4×4＝8。 （2）设 P（t，－t＋4），则 S△AOP＝×4×＝2。由题意 2＝4，得 |t－4|＝2，t＝2 或 t＝6，所以 P（2，2）或 P（6，－2）。 （3）设 P（t，－t＋4）。AP²＝(t－4)²＋(t－4)²＝2(t－4)²，OP²＝t²＋(t－4)²。 ① 若 OA＝OP，则 t²＋(t－4)²＝16，即 t(t－4)＝0，得 t＝0 或 t＝4，此时 P 与 B 或 A 重合，不符合题意； ② 若 OA＝AP，则 2(t－4)²＝16，即 (t－4)²＝8，得 t＝4±2，此时 P（4＋2，－2）或 P（4－2，2）； ③ 若 AP＝OP，则 2(t－4)²＝t²＋(t－4)²，即 (t－4)²＝t²，解得 t＝2，此时 P（2，2）。 综上，满足条件的点 P 为 P（2，2），P（4＋2，－2），P（4－2，2）。 十八、重难专题 2：一次函数的实际应用（刷难关） 【知识梳理】 用一次函数解决实际问题的步骤：①审题，找出自变量与函数；②用待定系数法求函数表达式，注意写出自变量的取值范围；③根据函数性质或图象回答问题；④方案选择问题，先建立费用（收益）函数，再比较大小。 1．【答案】A 【解析】A型x台费用1500x元，B型(10-x)台费用1000(10-x)元，总费用y=1500x+1000(10-x)，选A。 2．【答案】A 【解析】水费5(x-10)元，故y=30+5(x-10)=5x-20，选A。 3．【答案】+60x+2000 【解析】+60x+2000。 4．【答案】=4x（x≥1）；（2）x=4时相同（均为16元）；（3）选方式一，省4元 【解析】=4×6=24元，选方式一，省4元。 5．【答案】6；4.5　　【解析】由函数关系，当 x＝0 时 y＝6，所以 A、B 两地相距 6 km。0≤x≤1 时两人相向而行，速度之和为 6 km/h；1＜x≤3 时，甲按原路返回 A 地，乙继续前进，两人同向而行，y 随 x 匀速增大，速度之差为 3 km/h。设甲的速度为 v₁ km/h、乙的速度为 v₂ km/h，则 v₁＋v₂＝6，v₁－v₂＝3，解得 v₁＝4.5，v₂＝1.5。所以甲骑车的速度为 4.5 km/h。 6．【答案】（1）W＝20x＋30y；（2）每月生产甲产品 90 件、乙产品 180 件，最大总利润为 7200 元。 【解析】（1）W＝(60－40)x＋(90－60)y＝20x＋30y。 （2）由题意 2x＋3y≤720，40x＋60y≤30000，即 2x＋3y≤1500，故工时约束 2x＋3y≤720 更紧；又 y≤2x，x≥0，y≥0。因为 W＝20x＋30y＝10(2x＋3y)≤7200，所以当 2x＋3y＝720 时 W 取得最大值。由 y≤2x，得 720＝2x＋3y≤2x＋6x＝8x，所以 x≥90；取 x＝90，则 y＝＝180，此时 y＝180＝2×90，满足 y≤2x。所以当 x＝90，y＝180 时，Wmax＝10×720＝7200。故每月生产甲产品 90 件、乙产品 180 件，最大总利润为 7200 元。 十九、重难专题 3：一次函数图象综合（刷难关） 1．【答案】（1）A(-4，0)，P(，)；（2）k＝1，△ACP 的面积为 9；（3）Q(-2，6) 或 Q(10，-6)。 【解析】（1）当 k＝ 时，：y＝x＋2。令 y＝0，得 x＋2＝0，解得 x＝-4，所以 A(-4，0)。联立 ，解得 x＝，y＝，所以 P(，)。 （2）点 P 在 ：y＝-x＋4 上，且横坐标为 1，则 y＝3，即 P(1，3)。又点 P 在 ：y＝kx＋2 上，所以 3＝k＋2，解得 k＝1，故 ：y＝x＋2。令 y＝0，得 x＝-2，所以 A(-2，0)。在 △ACP 中，AC＝4-(-2)＝6，AC 边上的高为点 P 的纵坐标 3，所以 ＝×6×3＝9。 （3）由题意 ＝2×9＝18，且 AC＝6，所以点 Q 到 x 轴的距离为 6，即 ||＝6。点 Q 在 ：y＝-x＋4 上，设 Q(，)，则 ＝-＋4。当 ＝6 时，＝-2；当 ＝-6 时，＝10。所以 Q(-2，6) 或 Q(10，-6)。 2．【答案】（1）OA：y＝60x（0≤x≤6）；CB：y＝-120x＋360（0≤x≤3）；（2）出发 2 小时后相遇，相遇地点离甲地 120 km；（3）x＝ 或 x＝。 【解析】（1）慢车 6 h 行驶 360 km，速度为 360÷6＝60（km/h）。线段 OA 过原点，所以 OA 对应的函数表达式为 y＝60x（0≤x≤6）。快车从乙地出发，3 h 后到达甲地，速度为 360÷3＝120（km/h）。设线段 CB 对应的函数表达式为 y＝kx＋b，其图象过 B(0，360)、C(3，0)，则 b＝360，3k＋b＝0，解得 k＝-120，b＝360，所以 CB：y＝-120x＋360（0≤x≤3）。 （2）两车相遇时离甲地的距离相等，即 60x＝-120x＋360，解得 x＝2，此时 y＝60×2＝120。所以出发 2 小时后相遇，相遇地点离甲地 120 km。 （3）两车相距 90 km 时，有 |60x-(-120x＋360)|＝90，即 |180x-360|＝90，所以 180x-360＝90 或 180x-360＝-90，解得 x＝ 或 x＝。 3．【答案】（1）P（1，3）；（2）；（3）Q（0，10）或 Q（0，－8）。 【解析】（1）联立 y＝2x＋1 与 y＝－x＋4，得 2x＋1＝－x＋4，解得 x＝1，y＝3，所以 P（1，3）。 （2）令 y＝0，得 2x＋1＝0，解得 x＝－，所以 A（－，0）；令 y＝0，得 －x＋4＝0，解得 x＝4，所以 C（4，0）。AC＝4－(－)＝，点 P 到 x 轴的距离为 3，所以 S△ACP＝××3＝。 （3）设 Q（0，q）。S△APQ＝×|x_A(y_P－y_Q)＋x_P(y_Q－y_A)＋x_Q(y_A－y_P)|＝×|(－)(3－q)＋q|＝×|q－1|。由题意 ×|q－1|＝，得 |q－1|＝9，q＝10 或 q＝－8，所以 Q（0，10）或 Q（0，－8）。 4．【答案】（1）600；120；60；（2）y＝－60x＋600（5≤x≤10）；（3）x＝ 或 x＝ 或 x＝。 【解析】（1）当 x＝0 时 y＝600，所以甲、乙两地相距 600 km。折线中 B 点对应快车到达乙地，此时 x＝5，所以快车的速度为 600÷5＝120（km/h）。C 点对应慢车到达甲地，此时 x＝10，所以慢车的速度为 600÷10＝60（km/h）。 （2）B（5，300），C（10，0）。设线段 BC 对应的函数表达式为 y＝kx＋b，则 5k＋b＝300，10k＋b＝0，解得 k＝－60，b＝600，所以 y＝－60x＋600（5≤x≤10）。 （3）两车出发后，距离 y 与时间 x 的函数关系为：当 0≤x≤ 时，y＝600－180x，令 y＝200，得 x＝；当 ≤x≤5 时，y＝180x－600，令 y＝200，得 x＝；当 5≤x≤10 时，y＝－60x＋600，令 y＝200，得 x＝。所以 x＝ 或 x＝ 或 x＝。 5．【答案】（1）k＝2；（2）P（6，8）；（3）Q（10，0），Q（－10，0），Q（12，0），Q（，0）。 【解析】（1）令 y＝0，得 kx－4＝0，解得 x＝，所以 A（，0）；B（0，－4）。S△AOB＝××4＝。由题意 ＝4，解得 k＝2。 （2）此时 y＝2x－4。设 P（t，2t－4）（t＞2），则 S△AOP＝×2×(2t－4)＝2t－4。由题意 2t－4＝2×4＝8，解得 t＝6，所以 P（6，8）。 （3）OP＝10。设 Q（m，0）。 ① 若 OQ＝OP，则 m＝±10，Q（10，0）或 Q（－10，0）； ② 若 OP＝PQ，则 (m－6)²＋64＝100，解得 m＝12 或 m＝0（此时 Q 与 O 重合，舍去），Q（12，0）； ③ 若 OQ＝PQ，则 m²＝(m－6)²＋64，解得 m＝，Q（，0）。 综上，Q（10，0），Q（－10，0），Q（12，0），Q（，0）。 二十、全章综合训练（满分120分，限时90分钟） 时间建议：满分120分，限时90分钟，请合理安排答题节奏。 1．【答案】A 【解析】正比例函数形如y=kx（k≠0），y=8x符合；其余分别为反比例、二次函数、一次函数（b≠0）。 2．【答案】B 【解析】k=-3<0，b=2>0，图象经过第一、二、四象限，选B。 3．【答案】B 【解析】x-2≥0得x≥2；x-3≠0得x≠3，综合得x≥2且x≠3。 4．【答案】A 【解析】。 5．【答案】A 【解析】向下平移4个单位，常数项减4，得y=2x-4。 6．【答案】B 【解析】图象与x轴交于点(-3,0)，kx+b≤0即图象在x轴及其下方，对应x≤-3。 7．【答案】B 【解析】由图象：甲车4 h到达B地（120 km），速度30 km/h；乙车2 h到达B地，速度60 km/h。乙车先到达，A错；乙车速度60 km/h大于甲车速度30 km/h，B正确；2 h时甲在60 km处、乙在120 km处，相距60 km，C错；两车同时从A地出发，只在出发时（t=0）相遇，D错。故选B。 8．【答案】B 【解析】k<0且不经过第三象限，则图象经过一、二、四象限或一、二象限，需b>0或b=0（过原点），故b≥0。 9．【答案】m<1 【解析】y随x增大而减小，则k=m-1<0，解得m<1。 10．【答案】(6,0) 【解析】令y=0：-x+3=0，x=6，故交点为(6,0)。 11．【答案】(3,0) 【解析】解：x-3=-2x+6，3x=9，x=3，y=0，交点为(3,0)。 12．【答案】k=1或k=-1 【解析】与y轴交于(0,4)；与x轴交于(-,0)。面积S=×||×4=8，得||=4，|k|=1，故k=±1。 13．【答案】（1）y=2x+3；（2）a=2；（3） 【解析】（1）把两点代入：5=k+b，-1=-2k+b，两式相减得6=3k，k=2，b=3，故y=2x+3。（2）把(a,7)代入：7=2a+3，a=2。（3）与x轴交点：2x+3=0，x=-；与y轴交点(0,3)，面积S=××3=。 14．【答案】（1）0.3 km/min；（2）0.3 km/min；（3）50 min 【解析】（1）由图象，第一次骑行6 km用时20 min，速度=6÷20=0.3 km/min。（2）停留10 min后，剩余6 km用时50-30=20 min，速度=6÷20=0.3 km/min。（3）由图象，全程用时50 min，故出发后50 min到达公园。 15．【答案】=220x-500；（2）x=25时费用相同（5000元）；（3）选择甲旅行社更合算 【解析】，选甲更合算。 二十一、刷章测（限时60分钟，满分100分） 时间建议：限时60分钟，满分100分，请合理安排答题节奏。 1．【答案】B 【解析】正比例函数y=kx（k≠0），y=x中k=、b=0，符合。 2．【答案】A 【解析】把(1,0)代入：0=k+2，k=-2。 3．【答案】A 【解析】被开方数x+1≥0得x≥-1；又作为分母，≠0，即x≠-1；综合得x>-1。 4．【答案】B 【解析】k=3>0，b=-6<0，图象经过一、三、四象限，不经过第二象限，选B。 5．【答案】B 【解析】直线经过原点，则b=a-2=0，a=2；此时k=2a-1=3≠0，成立。 6．【答案】B 【解析】P关于y轴对称的点Q为(2,5)，代入y=kx+1：5=2k+1，k=2。 7．【答案】B 【解析】与x轴交点(4,0)，与y轴交点(0,4)，面积S=×4×4=8。 8．【答案】A 【解析】方程组的解即两直线交点坐标，故交点为(3,0)。 9．【答案】B 【解析】整个过程：先匀速前进（s增大）、停留买水（s不变，图象水平）、继续前进（s继续增大）。图B符合，选B。 10．【答案】C 【解析】图象从左向右下降（k<0），与y轴正半轴相交（b>0），选C。 11．【答案】k=；b=3 【解析】由(0,3)得b=3；由(-2,0)得0=-2k+3，k=。 12．【答案】y=-2x+3 【解析】向右平移1个单位，x换成x-1：y=-2(x-1)+1=-2x+3。 13．【答案】a=3 【解析】两直线平行，k相等：a=3（且-2≠5成立）。 14．【答案】2 【解析】A(2,0)、B(0,-8)，AB====2。 15．【答案】（1）y=2x-1；（2）(,0)、(0,-1)；（3） 【解析】（1）把A、B代入：3=2k+b，-3=-k+b，解得k=2，b=-1，故y=2x-1。（2）令y=0，x=，即(,0)；令x=0，y=-1，即(0,-1)。（3）S=××1=。 16．【答案】=24-2x；（2）生产10件，此时甲剩0 kg、乙剩4 kg（乙有剩余，故不能“恰好用完”，应取x≤10且原料均非负）；（3）C=120x，最多10件 【解析】=24-2x（0≤x≤10）。（2）要求两种原料都用完：30-3x=0且24-2x=0，需x=10且x=12，矛盾，故不存在恰好用完的整数x；在原料允许范围内（甲30 kg可供10件，乙24 kg可供12件），最多生产10件。（3）C=(3x)·20+(2x)·30=60x+60x=120x，结合（2）最多生产10件。 17．【答案】（1）A(-2,0)、B(0,2)、C(4,0)、D(0,8)；（2）P(2,4)；（3）10 【解析】=×6×4=12；△ABO面积：×2×2=2；四边形ABCP面积=12-2=10。 人生如函数，用心定义域，勇敢求最值。 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $