第12章 函数与一次函数 分层训练 2026--2027学年沪科版八年级数学上册

**基本信息** 沪科版八年级数学上册第12章分层训练，按★基础、★★提升、★★★拓展三层设计，覆盖全章知识点，通过梯度化题型构建从概念理解到综合应用的巩固路径，适配新授课差异化教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A层（★）|函数概念、自变量取值范围等单一知识点|直接应用教材知识的基础题，如概念判断、简单计算，培养抽象能力| |B层（★★）|图像性质、一次函数应用等|两步推理或情境转化题，如分段函数、图像交点，发展推理意识| |C层（★★★）|多步综合、规律探究|分类讨论或建模题，如动点问题、方案比较，提升空间观念与创新意识|

沪科版八年级数学上册第12章《函数与一次函数》分层训练 （A基础巩固 ★ / B能力提升 ★★ / C拓展探究 ★★★，附参考答案与解析） 使用说明：本练习覆盖第12章全部知识点，共30题，按难度分三层并逐题标注星级——★为直接应用教材知识的基础题；★★为需要两步以上推理或情境转化的提升题；★★★为多步综合、分类讨论或规律探究的拓展题。教师可按学情分层布置，答案与解析附于文末。 知识点覆盖一览 知识点 A层(★) B层(★★) C层(★★★) 函数概念与判断 1、13 — — 自变量取值范围 2 — — 正比例/一次函数识别 3、4、11 — — 图像与性质（k、b、象限、增减） 5、7、9 1、2、10 3 待定系数法求解析式 6、10 3 — 图像法解方程组、交点 8 4、9 6 一次函数模型应用（行程/方案/图表） 12、14 5、6、7 2、5 规律探究与综合建模 — — 4、6 A层·基础巩固（★） 1．下列关系中，y是x的函数的是（　） A．y²=x　　B．y=±x　　C．y=2x+1　　D．x=|y| 2．函数 y=1/(x+2) 中，自变量x的取值范围是______。 3．下列函数中，是正比例函数的是（　） A．y=2/x　　B．y=−3x　　C．y=x+1　　D．y=x² 4．一次函数 y=−2x+5 中，k=______，b=______。 5．直线 y=3x−1 经过第______象限。 6．一次函数图像经过点 (0,1) 和 (1,3)，则该函数的解析式为______。 7．直线 y=3x−2 与y轴的交点坐标是（　） A．(0,2)　　B．(0,−2)　　C．(2,0)　　D．(−2,0) 8．直线 y=x+2 与直线 y=−x+6 的交点坐标是______。 9．关于一次函数 y=−2x+1，下列说法正确的是（　） A．y随x的增大而增大　　B．图像经过第一、二、三象限　　C．y随x的增大而减小　　D．图像经过原点 10．点 P(a,7) 在直线 y=2x+1 上，则a=______。 11．某共享单车骑行收费为每小时2元（不足1小时按1小时计），骑行t小时费用为y元，则y=______，它是______函数（填"正比例"或"一次"），比例系数k=______。 12．下列函数中，y随x的增大而减小的是（　） A．y=3x　　B．y=x+2　　C．y=0.5x−1　　D．y=−x+4 13．右图是小丽骑共享单车去学校的路程—时间图像，看图回答： （1）0~3 min 内，小丽行驶了______km； （2）3~8 min 内，小丽在______（填"匀速前进"或"停下休息"）； （3）8~12 min 内，小丽行驶了______km。 14．右图是某地0~12时的气温变化折线图，看图回答： （1）t=6时，气温约为______℃； （2）0~12时内气温最高约为______℃（t=______时）； （3）在这个变化过程中，______是自变量，______是函数。 B层·能力提升（★★） 1．若一次函数 y=(m−2)x+m−3 的图像经过第一、三、四象限，则m的取值范围是______。 2．直线 y=2x+1 与直线 y=2x−3 的位置关系是______；把直线 y=2x+1 向______平移______个单位可得到直线 y=2x−3。 3．一次函数图像经过点 (0,−1) 和 (2,3)，求该函数的解析式，并判断 y 随 x 的增大如何变化。 4．在同一坐标系中画出直线 y=2x−1 与 y=−x+5，写出两直线交点的坐标，并写出由它们构成的方程组的解。 5．某网约车平台计价规则：起步价10元（含3 km），超出3 km的部分每千米1.6元。 （1）写出行驶x km（x＞3）时费用y（元）与x的函数解析式； （2）小明乘车8 km，应付多少元？ 6．右图是某市居民月水费y（元）与用水量x（吨）的关系图：不超过5吨的部分每吨2.5元，超过5吨的部分每吨3.5元。 （1）写出x＞5时，y与x的函数解析式； （2）小明家上月用水8吨，应付水费______元； （3）小红家上月水费30元，她家用水______吨。 7．小华从家出发去图书馆：先以4 km/h的速度步行1小时，休息0.5小时，再以6 km/h的速度走了1小时到达。 （1）画出路程—时间图像（示意即可）； （2）小华家到图书馆的路程是多少？哪一段走得快？ 8．右图直线 y=−x+4 与x轴、y轴分别交于A、B两点： （1）A、B两点的坐标分别是______、______； （2）△AOB的面积S=______； （3）直线 y=x+2 与直线 y=−x+4 的交点坐标为______。 9．直线 l₁：y=x+1 与直线 l₂：y=2x−1 交于点P。 （1）求点P的坐标； （2）当x取何值时，l₁的图像在l₂的图像上方？ 10．右图中两条直线 y=2x+1 与 y=−2x+1： （1）两条直线都经过点______，它们关于______对称； （2）一般地，直线 y=kx+b 与 y=−kx+b（k≠0）关于______对称，交点坐标为______。 C层·拓展探究（★★★） 1．矩形OABC的顶点O为坐标原点，A(4,0)，C(0,3)，B(4,3)。动点P从点A出发，沿A→B→C的路线运动到点C，设点P走过的路程为x，△AOP的面积为S。 （1）当点P在AB上运动时，写出S与x的函数解析式及x的取值范围； （2）当点P在BC上运动时，写出S与x的函数解析式及x的取值范围； （3）当x=5时，求S的值。 2．两家商店出售同一种商品。A店：每件10元；B店：先交会员费20元，之后每件6元。 （1）分别写出两家店购买x件商品所需费用 yA、yB 与x的函数解析式； （2）购买多少件时，两家店费用相同？ （3）什么情况下到B店购买更划算？ 3．右图中，动点P在直线 y=x 上运动（x＞0），B(4,0)。 （1）设△POB的面积为S，写出S与点P横坐标a的函数解析式； （2）当S=8时，求点P的坐标； （3）△POB的面积能否等于10？若能，求点P坐标；若不能，说明理由。 4．在平面直角坐标系中，点 A₁(1,1)、A₂(2,3)、A₃(3,5)、A₄(4,7)……按此规律排列。 （1）这些点都在同一条直线上，求这条直线的解析式； （2）写出点 Aₙ 的坐标； （3）判断点 (2026, 4051) 是否在这条直线上。 5．一个蓄水池原有水40 m³，注水管每小时注水20 m³。 （1）写出蓄水量y（m³）与注水时间t（小时）的函数解析式，并指出自变量取值范围； （2）注水3小时后，再打开排水管（每小时排水25 m³）同时继续注水，写出此后蓄水量y与时间t的函数解析式； （3）按（2）的方式，蓄水池的水从第几小时开始减少？何时开始低于原有水量40 m³？ 6．已知直线 l₁：y=2x+1，l₂：y=−x+4。 （1）求 l₁ 与 l₂ 的交点A的坐标； （2）求 l₁ 与x轴交点B、l₂ 与x轴交点C的坐标； （3）求△ABC的面积； （4）在直线 l₁ 上取一点P，使△PBC的面积等于△ABC面积的一半，求点P的坐标。 参考答案与解析 A层（★） 1．C（A、B、D中，一个x对应两个y值，不满足唯一对应） 2．x≠−2（分母不为零） 3．B（形如y=kx且k≠0） 4．−2；5 5．一、三、四（k=3＞0上升，b=−1＜0交y轴负半轴） 6．y=2x+1（设y=kx+b，代入两点解出k=2，b=1） 7．B（令x=0，y=−2） 8．(2,4)（联立x+2=−x+6，x=2，y=4） 9．C（k=−2＜0，y随x增大而减小） 10．3（令2a+1=7，a=3） 11．y=2t；正比例；2 12．D（k=−1＜0） 13．（1）1（2）停下休息（3）2　【读图：3~8 min路程不变为1 km；8~12 min由1 km到3 km】 14．（1）约4（2）22；t=12（3）t；T　【读图：t=6时气温约4℃；图像最高点约22℃在t=12处】 B层（★★） 1．2＜m＜3（过一、三、四象限：k=m−2＞0且b=m−3＜0，得m＞2且m＜3） 2．平行；下；4（k相同、b不同则平行；b由1变为−3，下移4个单位） 3．设y=kx+b，代入(0,−1)得b=−1；代入(2,3)得2k−1=3，k=2。解析式y=2x−1。k=2＞0，y随x增大而增大。 4．由2x−1=−x+5得3x=6，x=2，y=3，交点(2,3)。方程组 的解为 x=2，y=3。 5．（1）y=10+1.6(x−3)，即y=1.6x+5.2（x＞3）；（2）x=8时，y=1.6×8+5.2=18（元）。 6．（1）y=2.5×5+3.5(x−5)=3.5x−5（x＞5）；（2）x=8，y=3.5×8−5=23（元）；（3）令3.5x−5=30，x=10（吨）。 7．（1）图像为三段：上升段（0~1 h，路程0→4 km）→水平段（1~1.5 h）→上升段（1.5~2.5 h，路程4→10 km）；（2）路程4+6=10 km；第三段更快（6 km/h＞4 km/h）。 8．（1）A(4,0)；B(0,4)（2）S=½×4×4=8（3）由x+2=−x+4得x=1，y=3，交点(1,3)。 9．（1）由x+1=2x−1得x=2，y=3，P(2,3)；（2）l₁在l₂上方，即x+1＞2x−1，解得x＜2。 10．（1）(0,1)；y轴（2）y轴；(0,b)　【k互为相反数、b相同时，两直线关于y轴对称，交于(0,b)】 C层（★★★） 1．△AOP以AO=4为底，高为点P到x轴的距离（即P的纵坐标）。 （1）P在AB上时，P(4,x)（0≤x≤3），纵坐标为x，S=½×4×x=2x（0≤x≤3）； （2）P在BC上时（3＜x≤7），纵坐标为3，S=½×4×3=6（3＜x≤7）； （3）x=5在第二段，S=6。 小结：P沿AB运动时S随x匀速增大；沿BC运动时S不变——图像由上升段与水平段组成。 2．（1）yA=10x；yB=20+6x；（2）令10x=20+6x，x=5，买5件时两家费用相同（均为50元）；（3）x＞5时20+6x＜10x，B店更划算。 3．（1）S=½×4×a=2a（a＞0）；（2）令2a=8，a=4，P(4,4)；（3）能。令2a=10，a=5，P(5,5)。 4．（1）设y=kx+b，由A₁(1,1)、A₂(2,3)得k=2，b=−1，直线解析式y=2x−1；（2）Aₙ(n, 2n−1)；（3）当x=2026时，y=2×2026−1=4051，故点(2026,4051)在这条直线上。 5．（1）y=40+20t（t≥0）；（2）3小时后水量y=40+20×3=100（m³），此后y=100+(20−25)(t−3)=100−5(t−3)（t≥3）；（3）水量从t＞3开始减少（净排水5 m³/h）；令100−5(t−3)＜40，得t−3＞12，t＞15，即第15小时末之后开始低于原有水量40 m³。 6．（1）联立2x+1=−x+4，x=1，y=3，A(1,3)；（2）令y=0：2x+1=0，x=−1/2，B(−1/2,0)；−x+4=0，x=4，C(4,0)；（3）BC=4.5，高为3，S△ABC=½×4.5×3=27/4；（4）S△PBC=½×BC×|yP|=2.25|2x+1|，令其等于27/8，得|2x+1|=3/2，2x+1=3/2或−3/2，x=1/4或−5/4，P₁(1/4, 3/2)、P₂(−5/4, −3/2)。 1 学科网（北京）股份有限公司 $