第2章 圆（高效培优单元测试·提升卷）数学新教材湘教版九年级下册

第2章 圆（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知点P在外，且的半径为5，则的长可能是（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】D 【分析】设的半径为，点到圆心的距离，则有：①点在圆外，②点在圆上，③点在圆内，由此即可判断． 【详解】解：点在外，的半径为5， ， 的长可能是6． 2．如图，在中，是直径，点、在上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，根据同弧或等弧所对的圆周角相等求出，再结合直径所对的圆周角是直角求出． 【详解】解：和所对的弧都是弧， ， 所对的是直径， ， ． 3．如图，，分别与相切于点，，与相切于点，交于点，交于点，若，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由、是的切线，得；由、和、分别是的切线，得、；将的周长转化为，再替换为，进一步转化为，结合的长度计算结果． 【详解】解：，分别相切于点， ， ，分别与相切于点， ， 分别与相切于点， ， ． 4．如图，正六边形内接于，半径为，则边心距的长为（　　） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了正六边形的性质、等边三角形以及三角函数，连接，利用正六边形的性质得到圆心角的度数，证明是等边三角形后利用三角函数即可． 【详解】解：连接， 正六边形内接于， ， ， ， 是等边三角形， ， 是边心距， ， ． 故选：B． 5．如图，在中，直径，是弦，，点P在上移动，点Q在上移动，且，长度的最大值是（ ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】连接，则是直角三角形，越长，则越短，当时，取得最小值，使用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ， 当最小时，最大， 由垂线段最短可知，当时，的值最小， ， ， ， 6．如图，是的弦，交于点，点是上弦上方的一点，连接，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】等边对等角结合三角形的内角和定理，求出的度数，三线合一得到的度数，再根据圆周角定理，即可得出结果. 【详解】解：由题意，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（同弧所对的圆周角是圆心角的一半）. 7．“圆材埋壁”是我国古代《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的数学语言表示是：“如图，为⊙O的直径，弦，垂足为E，寸，寸，求直径的长”．依题意，长为（    ） A．寸 B．13寸 C．25寸 D．26寸 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识点，连接，设圆的半径是x寸，根据垂径定理得出寸，在中，寸，，在中利用勾股定理即可列方程求得半径，进而求得直径的长，正确作出辅助线是关键． 【详解】解：连接，设圆的半径是x寸， ∵弦，寸， ∴寸， 在中，寸，， ∵， 则， 解得：， 则（寸）． 故选：D． 8．如图，是地球示意图，其中表示赤道，分别表示北回归线和南回归线，，点P表示无锡经开区的位置，纬度大约是北纬（）．冬至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点P处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据切线的性质和直角三角形两锐角互余求出的度数，再由平行线的性质可得答案． 【详解】解：由切线的性质可得， ∵， ∴， ∵， ∴． 9．如图，已知中，，以为直径作半圆（圆心为点），分别交，于点D，E．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了弧长的计算和圆周角定理．连接、，先根据圆周角定理得到，则可计算出，再根据得到，接着根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，然后根据弧长公式求解． 【详解】解：连结、，如图， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长度为． 故选：A． 10．已知锐角．如图， （1）在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交射线于点，连接； （2）分别以点，为圆心，长为半径作弧，交于点，，连接； （3）连接，，分别交，于点，． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据作法可得，，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，即可对A选项进行判断；根据圆周角等于圆心角的一半，即可对C选项进行判断；过点O作的垂线，根据垂径定理的相关性质即可对B选项进行判断，根据全等三角形得到与相等的，结合反证法即可对D选项进行判断. 【详解】解：由作法可知， ∴，故A选项正确，不符合题意； 如解图，过点O作交圆于，交弧于点， ∴， ∴， ∴， ∴，故B选项正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， 故C选项正确，不符合题意； 如解图，连接，在和中， ， ∴ ， ∴, ， 假设， 结合垂径定理同理可得：， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 此时，与题干矛盾， 所以假设不成立，故D选项错误，符合题意． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．如图，三点在上，若，则的度数是__________． 【答案】/73度 【分析】连接，由圆的半径相等得，由平行线性质得，由等腰三角形性质即得． 【详解】解：连接， ∵，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 12．如图，已知与相切于点，是的直径，且，延长交于点，若，，则点与上的点的最大距离为____． 【答案】/ 【分析】连接AE，连接并延长交于点，先利用切线性质得到，结合推出垂直平分，得到，再由判定为等边三角形，求出相关线段长度，接着在中借助勾股定理算出，最后加上半径得到最大值． 【详解】解：连接， ∵与相切于点， ∴， ∵，， ∴，， ∴是线段的垂直平分线， ∴（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， 连接并延长交于点，此时为所求最大距离， ∴， ∴， 故答案为：. 【点睛】本题是圆的综合填空题，综合考查切线的性质、线段垂直平分线的判定、等边三角形的判定与性质、勾股定理以及圆外一点到圆上点的最值模型，解题关键是掌握圆外一点到圆上点的最大距离为该点到圆心的距离加上半径． 13．如图所示，P是外一点，分别切于A、B两点，C是上任意一点，过C作的切线分别交于D、E．若的周长为12，则的长为____________． 【答案】6 【分析】如图：连接，则，由切线的性质可得，结合可证明可得，同理可得：；再结合，最后运用等量代换以及线段的和差求解即可． 【详解】解：如图：连接，则， ∵分别切于A、C两点， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∵的周长为12， ∴， ∴， ∴， ∴，即，解得：． 14．如图，在中，，以为直径的与交于点，连接，．若，作交于点，则的值为______． 【答案】/ 【分析】设，则，则，根据勾股定理得到，通过证明，得到，进而得到，根据勾股定理得到，从而得到答案． 【详解】解：如图，过点作交于点， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理可得：， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴． 15．如图，点P在第二象限内，与y轴相切于点C，其中点，与轴相交于点，则点的坐标________． 【答案】/ 【详解】解：如图，连接，，过点P作， ∵与y轴相切于点C， ∴轴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴． ∴． ∴点的坐标为． 16．如图，是的直径，弦半径于点E，P为直径上一动点，若C为劣弧的中点，，则的最小值是__________． 【答案】18 【分析】由垂径定理和弧的中点性质推出，利用轴对称的性质将的最小值转化为两点间的距离，计算即可得出结果． 【详解】解：∵是的直径，弦半径于点E，P为直径上一动点， ∴，， ∵C为劣弧的中点， ∴， ∴， 如图，连接， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 过点作于，延长交于点，连接， ∴，， ∴点与点关于对称， ∴， ∴， ∴点、、三点共线， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴、、三点共线时，有最小值，的最小值为点与点重合时，即最小值为， 即为的中点，时，的最小值为． 三、解答题（本题共8小题，第17-18题每题6分，第19-20题每题8分，第21-22题每题10分，第23-24题每题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为， (1)画出平面直角坐标系． (2)仅用一把无刻度的直尺，利用网格，找出该圆弧的圆心．（不写作法，保留作图痕迹） (3)直接写出该圆的圆心坐标：_________半径：_________． 【答案】(1)解：平面直角坐标系如图； (2)如图，点P就是所求圆心； (3)； 【分析】（1）根据点A的坐标为即可确定平面直角坐标系； （2）利用网格即可画出线段的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心； （3）根据图形即可写出圆心坐标，利用勾股定理可求得半径． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：根据图形得，圆心坐标为； 半径为． 18．如图，F是的边上的一点，以为直径的与相交于点D，与相交于点E，且满足． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明：如图所示，连接， 为的直径， ， 又 ，， ， ， ， ， ， 又为的半径， 是的切线； (2) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，得到，根据相似三角形的性质，得到，，结合等腰三角形的性质，可证明，从而可证明结论； （2）先求出，，可进一步求得，再求出，即可求得答案． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 图中阴影部分的面积． 19．如图1，赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和地震却安然无恙．如图2，一圆弧形桥拱的圆心为点E，拱桥的水面跨度，桥拱到水面的最大高度为． (1)求桥拱的半径长； (2)若水面上涨后跨度变为，求水面上涨了多少米． 【答案】(1)桥拱的半径为50米； (2)水面上涨的高度为10米． 【分析】（1）设圆的半径是r米，根据求解； （2）如图2，由垂径定理求出，由勾股定理求出，得出即可． 【详解】（1）解：设圆的半径是r米， 则由垂径定理知，于F，点F是的中点， ∴，， 由勾股定理知，， 则：， 解得：； 即桥拱的半径为50米； （2）解：设水面上涨后水面跨度为60米，交于H，连接，如图2所示， 则米， ∴（米）， ∵（米）， ∴（米）； 答：水面上涨的高度为10米． 20．如图，在中，半径，线段交于点，连接． (1)若，求弧的度数． (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，由直角三角形锐角互余，求出，根据等边对等角，得，再由三角形内角和定理求出即可； （2）作，根据勾股定理求出，证明，根据相似三角形对应边成比例求出，根据垂径定理求出，进而即可求出的长． 【详解】（1）解：如图，连接， ，， ， ， ， ． 即弧的度数为； （2）解：，，， ， 如图，作，垂足为D， ，， ， ，即， 解得， ， ， ， 21．在中，半径为． (1)如图，若为上一个点（不与，重合），且，若为弦的中点，为弦的中点，连结，求的长． (2)如图，若，为直径，连结，点为弦的中点，点为弦的中点，连结． ①判断四边形的形状，并说明理由． ②求的长． 【答案】(1) (2)四边形是菱形． 因为， 所以， 因为， 所以为等边三角形， 所以， 所以四边形是菱形 ② 【分析】第问，由弧的度数得到圆心角，判定等腰直角三角形求出弦长；看到两边中点，直接利用三角形中位线定理快速计算． 第通过弧相等得到圆心角为，结合半径相等证明等边三角形，根据四边相等判定菱形． 第采用构造中位线的思路，取中点，构造两条中位线、，借助菱形垂直关系推导出，在直角三角形中用勾股定理求． 【详解】（1）解：连接，如图1， 因为的度数为， 所以， 因为， 所以为等腰直角三角形， 所以， 因为为弦的中点，为弦的中点， 所以． （2）①略 解：如图2，取中点，连接，，连接交与点，      所以， 因为，为菱形且 所以， 所以， 所以， 因为菱形， 所以， 所以， 在中，． 22．如图，是的直径，弦于点E，点M在上，恰好经过圆心O，连接． (1)若，求的直径； (2)若，求的度数； (3)若弦分为的两部分，点F在上，求弦所对的圆周角的度数． 【答案】(1)20 (2) (3)或 【分析】（1）设的半径为r，由垂径定理得到，在中，利用勾股定理求出r值，即可求解； （2）由得到，根据三角形外角性质得，再由，然后解方程即可求解； （3）根据弦分为的两部分，求出的度数，再分点F在优弧上，点F在劣弧上，两种情况分别求解． 【详解】（1）解：设的半径为r， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 解得， ∴的直径为20； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，连接， ∵弦分为的两部分， ∴， 若点F在优弧上， ∴； 若点F在劣弧上， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，垂径定理，勾股定理，解题的关键是读懂题意，熟练运用垂径定理求线段长． 23．如图，已知、是中两条不同于直径的弦，，垂足为，连结并延长，交于点，交于点． (1)若圆的半径为，，求的长． (2)如图，连结、．若，求证：为半圆弧的中点． (3)如图，在（2）的条件下，作的垂直平分线交于点，交于点，连结．若， ①求证：； ②若，求的半径长． 【答案】(1) (2)证明：如图所示，连接，延长交于点， ∵， ∴， 由垂径定理可得：点为中点，即是的垂直平分线， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴为半圆弧的中点． (3)①证明：如图所示，连接、、、、、、， 由（2）可得：，， 在中，， 在与中， ， ∴， ∴， ∴，即， 在与中， ， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴是的垂直平分线， ∴． ② 【分析】（1）连接，利用是直径得出，再由，即可求出； （2）连接，延长交于点，由垂径定理可得：点为中点，即是的垂直平分线，得出，进而得出，利用圆周角定理可得，从而证明为半圆弧的中点； （3）①连接、、、、、、，先证明得出，再证明得出，最后证明得出，得出是的垂直平分线，即可证明； ②过点作于，连接、、、、、、，由（2）得：，，由题意可得四边形是正方形，利用正方形的性质可得出的半径长与相等，还可证明得出，证明得出，，进而得出，最后在与中利用勾股定理即可求出的半径长． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵是直径， ∴， ∴， ∵圆的半径为， ∴， ∴． （2）略 （3）解：①略 ②如图所示，过点作于，连接、、、、、、， 由（2）得：，， ∴， ∴， 由①可得：， ∴， ∴， ∴， 由①可得：是的垂直平分线， 又∵是的垂直平分线，即与互相垂直平分， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 又∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴在中，， ∴在中，， ∴，即的半径长为． 24．已知直线分别与x轴、y轴交于，两点，过，，三点作，是劣弧的中点． (1)请直接写出，，的坐标． (2)连接，点是上的一个动点，点是直线上的一个动点，当四边形的面积最大时： ①求点的坐标；②求的周长的最小值． (3)点是y轴上的一点，把沿直线翻折，使点的对应点落在边上．连接交x轴于点，交于点，连接． 以下两个结论：①；②，其中有且只有一个结论是正确的．请写出你认为正确的结论，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)①；② (3)正确的结论是：， 由翻折可知：，设， 由的面积， ，解得， ， 由，， 设直线的解析式为， ∴ 解得： ∴直线的解析式为， 由，，可得直线的解析式为， 联立 解得 即，    在中，当时，，解得， ， ，，，， ． 【分析】（1）分别令、求、坐标，再由为直径确定圆心，利用为劣弧中点求其坐标； （2）①把四边形面积拆为与面积之和，使点到距离最大时面积最大，结合圆的性质求点；②作关于的对称点，把折线周长转化为直线段求最小值； （3）由翻折确定位置，联立直线求交点、，再分别求得，即可求解． 【详解】（1）解：在直线中，令，得，解得， ∴． 令，得， ∴． ∵点、、都在上，且， ∴为的直径，圆心为的中点， ∴，半径． 弦的垂直平分线为；在⊙M上且位于劣弧上（在轴下方）， 设，根据半径为，则， 解得或， 由在轴下方取， ∴． （2）解：①四边形的面积可以看作的面积和，而的面积为定值， 当的面积最大时，四边形的面积最大， 当到的距离最大时，的面积最大 ∴当点在直线上方的半圆的中点时，四边形的面积最大， 连接，过点作直线轴，过点作于点， ， 是的直径， ， 点在直线上方的半圆的中点， （垂径定理的推论）， ， 轴， ， ， 在和中， ，   ，， ．    ②连接，是弧的中点， ， 是的直径， ∴， 延长交轴于点，连接交于点，连接， 根据对称性可知：，则此时的周长最小， 由对称性可知，， ，     ，， 的周长的最小值为． （3）略 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第2章圆（高效培优单元自测提升卷） （考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 1.已知点P在⊙0外，且⊙0的半径为5，则OP的长可能是() A.2 B.3 C.5 D.6 2.如图，在⊙0中，AB是直径，点C、D在⊙0上，∠CBA=32°，则∠CDB的度数是() B A.52 B.48° C.42 D.58° 3.如图，PA,PB分别与⊙O相切于点A,B,FG与O0相切于点E,交PA于点F,交PB于点G, 若PA=5cm,则△PFG的周长为() AF A.5cm B.7cm C.9cm D.10cm 4.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙0，半径为4，则边心距OM的长为() F dM 119 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.2 8.2V3 C.4 D.46 5.如图，在⊙0中，直径AB=4,BC是弦，∠ABC=30°，点P在BC上移动，点Q在⊙0上移动，且 OP⊥PQP9 长度的最大值是() B A.4 B.2 c 0.5 6,如图，AB是OO的弦，OC1AB交O0于点C,点D是⊙0上弦AB上方的一点，连接BD,CD.若 ∠OAB=18°，则∠D的度数为() B A.32° B.34° C.36 D.38° 7.“圆材埋壁”是我国古代《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之， 深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的数学语言表示是：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD, 垂足为E,CE=1寸，AB=10寸，求直径CD的长”.依题意，CD长为() E D B 219 学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 25 A.2寸 B.13寸 C.25寸 D.26寸 8.如图，⊙0是地球示意图，其中CD表示赤道，EF、AB分别表示北回归线和南回归线，∠DOB=23.5°， 点P表示无锡经开区的位置，纬度大约是北纬31.5°（∠POD=31.5°）.冬至日正午时，太阳光线BM所 在直线经过地心O,此时点P处的太阳高度角∠NP巴（即平行于BM的光线PN与⊙O的切线P巴所成的锐 角)的大小为() E4北回归线 太阳光线 赤道6 D 地面水平线 南茴归线 太阳光线 M A.34° B.34.5° C.35° D.360 9.如图，己知△ABC中，∠B=70,BC=4,以BC为直径作半圆（圆心为点O),分别交AB,AC于点 D,E.若DE=D,则的长为《) 10π 820 8π 20π A.9 9 c. 0.3 10.己知锐角∠AOB.如图， (4)在射线OA上取一点C,以点O为圆心，0C长为半径作，交射线OB于点D,连接CD, (2)分别以点C,D为圆心，CD长为半径作弧，交于点P, ,连接CP, (3)连接OP,PQ,分别交OD,OC于点E,F. 319 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是() M N A.∠COD=∠COP B.PQ∥CD c.∠Crg=Pon D.PQ=3EF 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.) 11.如图，A,B,C三点在⊙0上，若AB∥0C,∠A=34°，则∠C的度数是 B 12.如图，已知⊙O与AD相切于点B,BE是⊙0的直径，且BE=4,延长EB交AC于点C,若BC=4, ∠ACB=60° A⊙0 ,则点与上的点的最大距离为一· E D B 13如图所示，P是0O外一点，P队B分别物OO于4、8两点，C是 ⊙0 8上任意一点，过C作的切 419 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 线分别交PAPB于D、E.若△PDE的周长为12，则PA的长为 A BC 2 14,如图，在A4BC中，∠B=90°，以B为直径的⊙0与AC交于点D,连接0C,OD:若AB3,作 OE OE⊥AC交AC于点E,则OC的值为— D B 15.如图，点P在第二象限内，OP与y辅相切于点C,其中点P(4,3),与‘轴相交于点B(-1,0),则点 A的坐标 P. C 16.如 的直径，弦1CL ,是0 OD 半径 D于点B,P为直径1B上一动点，若C为劣 BD 的中点， DE=6,则PE+PC的最小值是 D B 三、解答题（本题共8小题，第17-18题每题6分，第19-20题每题8分，第21-22题每题10分，第23-24 5/9 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题每题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) -3,2) 17.如图，一圆弧过方格的格点A、B、C,在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为 (1)画出平面直角坐标系 (2)仅用一把无刻度的直尺，利用网格，找出该圆弧的圆心.（不写作法，保留作图痕迹） (3)直接写出该圆的圆心坐标： 半径： 18.如图，F是△ABC的边AB上的一点，以AF为直径的OO与BC相交于点D,与AC相交于点E,且满 足△ACD∽AADF B ○ (1)求证：BC是O0的切线： (2)若∠EAB=60°，OA=5,求图中阴影部分的面积. 19.如图1，赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和地震却安然无 恙.如图2，一圆弧形桥拱的圆心为点E,拱桥的水面跨度AB=80m,桥拱到水面的最大高度DF为20m E 图1 图2 (1)求桥拱的半径长； (2)若水面上涨后跨度变为60m,求水面上涨了多少米. 6/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20.如图，在O0中，半径0A⊥B0,线段AB交⊙0于点C,连接OC. (1)若∠B=38°，求弧AC的度数. (2)若OA=6,OB=8,求BC的长. 21.在⊙0中，半径为2. A B E 图1 图2 ①加图，若B为1C上一个点（不与4，C重合），且4C=0°，若E为弦AB的中点，F为弦BC的中 点，连结EF,求EF的长. ②如图2，若B=BD=60,BC为直径，连结CD,点E为弦MB的中点，点F为弦CD的中点，连结 EF. ①判断四边形ABDO的形状，并说明理由. ②求EF的长 22.如图，AB是⊙0的直径，弦CD⊥AB于点E,点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O,连接MB, E 719 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (①)若CD=16,BE=4,求O0的直径： (2)若∠D=2∠M,求∠D的度数： 3)若弦CD分⊙0为5：7的两部分，点F在⊙0上，求弦CD所对的圆周角∠CFD的度数. 23.如图1，已知AB、CD是⊙O中两条不同于直径的弦，AB⊥CD,垂足为H,连结BO并延长，交 CD于点M,交⊙O于点E. A A E A E E G H D D H F D D M M M 0 0 B B 图1 图2 图3 备用图 (1)若圆的半径为13， cos∠ABE=12 ,求AB的长。 (②)如图2，连结OH、BD.若OH⊥BD,求证：C为半圆弧BAE的中点. (3)如图3，在(2)的条件下，作OE的垂直平分线交CD于点F,交AB于点G,连结BF.若AG=DF, ①求证：BF=BG; ②老GH-专5，求o0的学径K. 3 24.已知直线y= =-4x+6分别与x轴、y轴交于A,B两点，过A,B,O三点作⊙M,C是劣弧OA的中 点 B B B M M M F D 图1 图2 图3 (I)请直接写出A,B,C的坐标. 8/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②)连接BC,点P是⊙M上的一个动点，点Q是直线BC上的一个动点，当四边形AOBP的面积最大时： ①求点P的坐标；②求△AP№的周长的最小值. (3)点E是y轴上的一点，把△AOE沿直线AE翻折，使点O的对应点O落在AB边上.连接BC交x轴于点 D,交AE于点F,连接FM. 以下两个结论：①FD=FE=FM;②FD=CD=FM,其中有且只有一个结论是正确的.请写出你认为 正确的结论，并说明理由. 9/9函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第2章圆（高效培优单元自测提升卷） （考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 题号 1 3 4 5 6 8 9 10 答案 D D D B C C D C A D 二、填空题（本题共6小题， 每小题3分，共18分.) 11.73°/73度 12 2W13+2,2+2W13 13.6 6363 14.65/65 15.（4-7,0)7-4,0 16.18 三、解答题（本题共8小题，第17-18题每题6分，第19-20题每题8分，第21-22题每题10分，第23-24 题每题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(1)解：平面直角坐标系如图； x--2分 (2)如图，点P就是所求圆心；-4分 -2-)0 1/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：根据图形得，圆心坐标为 -2,-1) 半径为PB=VP+32=V10 -6分 18.(1)证明：如图所示，连接OD, 为 的直径， :AF⊙O .∠ADF=90° 又：△ACD∽AADF ∴.∠CAD=∠DAF,∠C=∠ADF=90°， .0A=OD .∴.∠DAF=∠ADO ∴.∠CAD=∠ADO .AC∥OD .∠BD0=∠C=90°， 又：OD为⊙0的半径， ÷BC是O0的切线：一-5分 a5 6元 解：∠C=90°，∠EAB=60°， .∠B=90°-∠EAB=30°， 0A=5, .0D=5. .·∠BDO=90° ∴.OB=2OD=10 2/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :BD=√OB2-0D2=V10-5=5√5 .S.om=1OD.BD=1x5x53-25 2 2 :∠D0F=90°-∠B=60°， 60m×5225元 ·S扇形O0r= 360 6 图中阴影部分的面积8am一So心-V525元 2 6元.-6分 19.(1)桥拱的半径为50米： (2)水面上涨的高度为10米. 【详解】(1)解：设圆的半径是r米， 则由垂径定理知，EF⊥AB于F,点F是AB的中点， :.AF=FB-4R-40m,EF-ED-FD(20)m. 由勾股定理知，AE2=AF2+EF2, 则： r2=402+(r-20)2 解得：r=50: 即桥拱的半径为50米：一一4分 (2)解：设水面上涨后水面跨度MN为60米，MN交ED于H,连接EM,如图2所示， E 图2 则MM=NH=号N=30米， :BH=V502-30=40(米)， .EF=50-20=30(米)， .HF=EH-EF=10(米)； 3/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 答：水面上涨的高度为10米.-8分 20.(1)76° 14 2)5 【详解】(1)解：如图，连接OC, A B OA⊥BO∠B=38 ∠A=90°-∠B=52°， ...OA=OC. .∠0CA=∠A=52°， .∠AOC=180°-∠A-∠AC0=180°-52°-52°=76° 即弧AC的度数为76°：---4分 (2)解：OA=6,OB=8,OA⊥B0, .AB=VOA2+0B2=V6+82=10, 如图，作OD⊥AB,垂足为D, A :∠ADO=∠AOB=90°∠OAD=∠BAO ∴.△DADABAO, OA AD 6 AD :BA40,即106， 解得AD=I8 :OD⊥AC, 4/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4C=2AD=36 , BC=AB-AC=10-36=14 5=5,-8分 21.(1)EF=√2 ① ABDO (2)四边形 是菱形 因为AB=BD=60° 所以AB=BD,∠AOB=∠BOD=60° 因为AO=BO=OD, 所以△AOB,△BOD为等边三角形， 所以AO=BO=AB=BD=OD, 所以四边形ABDO是菱形 ②-v6 【详解】(1)解：连接AC,如图1， 图1 因为MB 的度数为90 所以∠AOC=90° 因为0A=0C=2, 所以△AOC为等腰直角三角形， 所以4C=V20A=2V5 因为E为弦AB的中点，F为弦BC的中点， 5/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以F=)4C= 21 .-3分 (2)①①四边形ABDO是菱形. 因为1B=BD=60 所以AB=BD,∠AOB=∠BOD=60°」 因为A0=B0=OD, 所以△AOB,△BOD为等边三角形， 所以AO=BO=AB=BD=OD, 所以四边形ABD0是菱形--6分 ② 解：如图2，取BD生 BD中点P,连接PE,PT,连接MD交与点G, P AD G 图2 所E∥DE=0,PF∥aC,PF-aC, 因为OA=OB=OC=2,ABD0为菱形且∠A0B=60° 所以AD⊥OB,OG=1 AG=VA02-0G2=V22-12=3 所以D=2AG=2V5 所以PE=V3,PF=2 因为菱形ABDO, 所以AD⊥BO, 6/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以EP⊥PF, 在△PEF中，F=P+PF=7.-一10分 22.(1)20 (2)45 (3)105°或75 【详解】(1)解：设⊙0的半径为r, .·AB⊥CD,CD=16,BE=4 1 CE=DE三)CD=2×16=8, 2 在RtAODE中，OE=OB-BE=r-4,OD=r, .0E2+DE2=0D2, :(-4+82=2 解得r=10, .⊙0的直径为20：-3分 (2)解：OM=OB, ·.∠B=∠M .∠DOB=∠B+∠M=2∠M, ,·∠DOB+∠D=90°，∠D=2∠M .2∠M+2∠M=90°， .∠M=22.5°， .∠D=2∠M=45°；---6分 (3)解：如图，连接OC,CF,DF, 7/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B ,弦CD分⊙0为5：7的两部分， &∠C0D=57×360°=150 5+7 若点F在优弧CD上， ∠CFD=2x150°=75°； 若点F在劣弧CD上， .∠CFD=180°-75°=105°.----10分 23.【详解】(1)解：如图所示，连接AE, A E D B BE是直径， .∠BAE=90°， ·cos∠ABE=AB12 BE13: 圆的半径为13， .BE=26, 48=号26=24.一3分 (2)证明：如图所示，连接CO,延长HO交BD于点N, 8/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A H B .OH⊥BD .HN⊥BD. 由垂径定理可得：点N为BD中点，即HN是BD的垂直平分线， .HB=HD, .AB⊥CD,即∠BHD=90°， .∠CDB=45°， .∠COB=2∠CDB=90°， ∴.∠COB=∠COE=90°， ∴.C为半圆弧BAE的中点.---6分 (3)解：①①证明：如图所示，连接AD、CB、OA、OC、OD、OF、OG, A G D B 由(2)可得：HB=HD,∠CHB=∠AHD 在⊙O中，∠CBA=∠ADC, 在△CBH与△ADH中， ∠CHB=∠AHD HB=HD ∠CBA=∠ADC' △CBH≌△ADH(ASA) 9/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .CH=AH, .'CH+HD=AH +HB,CD=AB 在△AB0与△DCO中， AB=DC AO=DO B0=C0' △ABO≌△DCO(SSS) ∴.∠BAO=∠CDO. 在△AG0与△DFO中， AG=DF ∠BAO=∠CDO AO=DO △AGO≌△DFO(SAS) .0G=0F, 又.GF⊥OE .OE是GF的垂直平分线， .BG=BF.--9分 ②如图所示，过点O作OP⊥AB于P,连接AE、GE、OA、OD、OF、OG、EF, M 由(2)得：HB=HD,∠BHD=90° ∴.∠ABD=45, .∠AOD=2∠ABD=90°， △AGO≌△DFO(SAS) 由①可得： 10116 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠DOF=∠AOG :.∠AOD=∠DOF+∠AOF=∠AOG+∠AOF=90°， ∴.LG0F=90°， 由①可得：OE是GF的垂直平分线， 又：GF是OE的垂直平分线，即GF与OE互相垂直平分， ∴四边形GOFE是菱形， 又，∠G0F=90°， .四边形GOFE是正方形， .GF=OE,GE=OG=OF,∠EG0=90° .OB=OE. .GF=OB」 BE是直径， .∠BAE=90° ∴.∠AGE+∠AEG=90°，∠AGE+∠PG0=90°， .∠AEG=∠PGO 在△AGE与△POG中， 「∠AEG=∠PGO ∠GAE=∠GPO GE=OG △AGE≌△POG(AAS) ..AG=PO, GF⊥OE,AB⊥CD, ∴.∠HGF+∠GFH=90°，∠HGF+∠PB0=90°， .∠GFH=∠PBO 在△GHHF与aOPB中， [∠GHF=∠OPB ∠GFH=∠PBO GF=OB .△GHF≌△OPB(AAS) 11/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.GH=OP,，HF=PB, 又，AG=PO, .GHI=AG. 又，HD=HB, ∴.HD-HF=HB-PB,即DF=HP, 又：AG=DF, &4G=p=Gm=0-5 在RtAGPO中，0G=VPG2+PO g+传=w5, ∴在R△GOr中，GF=V0G2+0F=43+(43=46, :0E=GF=46,即O0的半径长为6.一12分 24.u8.0).B(0,6)C(4-2) 2@P1,7）:②170+52 3 3 【详解】(1)解：在直线y=一4x+6中，令y=0,得4x+6=0,解得x=8, :480) 令x=0,得y=6, :B0,6) ,点A、B、O都在⊙M上，且∠AOB=90°， .AB为⊙M的直径，圆心M为AB的中点， M(43),半径=2B=5. 弦OA的垂直平分线为x=4；C在⊙M上且位于劣弧OA上（在x轴下方）， 设C(4,）,根据半径为5，则(4-4+0-3=25 12116 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得y=-2或y=8, 由C在x轴下方取y=-2, :C(4,-2) 3分 (2)解：①四边形AOBP的面积可以看作△AOB,△ABP的面积和，而△AOB的面积为定值， 当△ABP的面积最大时，四边形AOBP的面积最大， 当P到AB的距离最大时，△ABP的面积最大 .当点P在直线上方的半圆的中点时，四边形AOBP的面积最大， 连接PM,过点M作直线EM⊥x轴，过点P作PF⊥EM于点F, .∠AOB=90° .AB是⊙M的直径， ∴.M(4,3) 点P在直线上方的半圆的中点， ∴.MP⊥AB(垂径定理的推论)， .∴∠FMP+∠AME=90°， P F. B 轴， ,EM⊥x .∠MAE+∠AME=90°， .∠FMP=∠MAE, 在△FMP和△EAM中， ∠F=∠AEM, ∠FMP=∠MAE, AM=PM, 13116 可学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 ∴△FMP≌△EAM(AAS) ∴FM=AE=4,FP=ME=3, .P(7,7） --6分 ②连接AC,C是弧OA的中点， ∴∠ABC=∠OBC, B M 是 的直径， AB⊙M .∠ACB=90°， 延长AC交y轴于点E,连接PE交BC于点Q,连接A0, 根据对称性可知：EQ=Ag,则此时△AP巴的周长最小， 由对称性可知，BE=AB=10. :E(0,-4) .PE=V(7-0)2+(7+42=170PA=V(7-82+(7-02=V50=5V2 △MP2的周长的最小值为70+52 一9分 (3)正确的结论是：FD=CD=FM, 由翻折可知：EO'⊥AB,设EO=EO'=m, 由△G4的面积S,B5-0A=B-0E， 2 8 :.8(6-m)=10m,解得m= 3, 14116 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 台4.) 设直线AE的解析式为y=x+b, 0=8k+b b: 3 k=- 1 3 解得： 8 “直线B的解析式为y=3x+3, 由B06).C(4-2 可得直线BC的解析式为'=-2x+6, 联立y=-2x+6, x=2, 解得y=2, 即F(2,2) 在y=-2x+6中，当y=0时，-2x+6=0,解得x=3, ·D(3,0) F(2,2).D(3,0)C(4,-2)M(4,3) 15116 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.FM=DF=CD=V5 -12分 16116