第4章 圆的再认识（单元分层测试·能力提升卷）数学新教材青岛版九年级上册

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第4章圆的再认识·能力提升（参考答案) 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的， 选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.) 2 3 4 5 7 8 10 B B D D B B B D 二、填空题：（本大题共6题，每题3分，共18分.) 11.1 π 12.3 13 -V2≤a≤V2 以 15.10mm 16.36°136度 三、解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分， 共72分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(8分)(1)证明：OM⊥AB,ON⊥CD, ∴.∠AM0=∠CN0=90°， :∠AMN=∠CNM, ∴.∠OMN=∠ONM, .OM=ON.(8分) (2)解：AB=CD.理由如下， 如图，连接OA,OC, .OM⊥ABON⊥CD 1/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 六AM=,AB,CN=2CD,∠AM0=∠CN0=90: 1 OM=ON 在Rt△AOM与Rt△CON中， 10A=0C, .∴Rt△AOM≌Rt△CON(HL) .AM=CN. .AB=CD, (8分) 18.(8分)(1) 证明：：AB是⊙O的直径， .∠ACB=90°， C是D 的中点， .∠CBD=∠CDB=∠BAC, CE⊥AB」 ∴.∠BAC+∠ABC=∠ABC+LBCE=90°， .∠BAC=∠BCE, ∴.∠BCF=∠FBC, ∴.BF=CF;(4分) (2)解：连接4D,OC,OC与BD交于点G,如图所示： ,AB是⊙0的直径，⊙0的半径为10， .∠ADB=90°，AB=20, AD=12, 2/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BD=VAB2-AD2=16 ·C是D 的中点， 0CD.G-G-BD-s .OA=OB」 :0G= 2D=6, ∴.CG=0C-0G=10-6=4, BC=VCG2+BG=4W5.(8分) 19.(10分)(1)证明：：AB是⊙0的直径，CD1AB, AB垂直平分CD .PC=PD.PA⊥CD. ∴.∠CPA=∠DPA ∠BPE=∠DPA, ∠CPA=∠BPE.(3分) (2)解：如图，连接0C,OE., E B D CP⊥DE ∴.∠CPE=∠CPD=90° 由(1)得∠CPA=∠BPE, ·∠CPA=∠BPE=180°-90 =45° .∠APD=∠BPE=45°」 ,CD⊥AB .∠D=∠APD=45°. 3/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠COE=2∠D=90° AB=10, .0C=0E=5. .CE=v20C=5√2 6分) 由(1)知PC=PD, 设PC=PD=x,则 PE=DE-PD=12-x 在Rt△PCE中，由勾股定理可得PC2+PE2=CE2, 即t+(72-02=6N22 解得=32成x=4V2 或 ∴.P 的值为35或45 :∠CPD=90°，∠D=45°， ∴.CD=V2PC=6 或8， 即CD的长为6或8.(10分) 20.(10分)(1) 证明：如图，连接OD, D B ○ ..OD=OB. ∴.∠ODB=∠B .∠AOD=∠ODB+∠B=2∠B, .∠CAB=2∠B, .∠AOD=∠CAB, 4/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..OD AC, DG是⊙O的切线， ∴.OD⊥DG .DG⊥CG.(4分) (2)如图，连接AD, B AB是⊙O的直径， .∠ADB=90°， D=D」 ∴.∠C=∠B」 在Rt△CDG中，GC=2DG, 故anC=GD、1 GC 2, AD 1 在RtABD中， tanB=tanC= BD 2' ∴.BD=2AD ⊙0的半径为5， .AB=10 在RtAABD中，AD2+BD2=AB2, 即4D2+(21D)}=102 AD=2V5 解得 BD=2×2V5=4V5 :∠GDA+∠AD0=90°，∠AD0+∠ODB=90°， 5/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠GDA=∠ODB. 又：∠G=∠ADB=90°， .△ADG∽△ABD, DG AD :BD AB' DG 2V5 即4510， 解得DG=4.(10分) 21.(10分)(1)证明：连接0C, B A 是 的直径， 是 的切线， D .AB⊙O BD⊙O AB⊥BD, .∠ABD=90°， :∠BOC=2∠BAC,∠BDE=2∠BAC, ∠BOC=∠BDE, :∠BDE+∠BDC=180°， .∠BOC+∠BDC=180° 四边形BOCD中，∠BOC+∠OCD+∠BDC+∠ABD=360°， ∴.∠OCD=90°. ∴.OC⊥EC, OC是⊙0的半径， .∴CE⊙0 是的切线；(5分) (2)解：∠ABD=∠OCD=90°， 在RtAOBD和RtAOCD中， 6/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OD=OD OB=OC, ∴.RtAOBD≌RtAOCD(HL) ∴BD=CD ∠ABD=90°， .∠DBE=180°-∠ABD=90°， CD=2, BD=2, DE=5, Rt△BDE中， BE =DE2-BD2=52-22=21 在RIAOCE中，OC2+CE2=OE2, 即0C2+(2+s}=(0B+2可， 解得0B=0C=2 3, 2V21 即⊙0的半径为3.(10分) 22.(12分) 【详解】(1)解：连接OB,AC, D 是圆孔及轮廓圆弧 所在圆的圆心， 是圆弧与线段 相切的切点， 0 BC B BC AB C是圆弧BC与线段CD相切的切点，A,O,C三点在同一条直线上， ∴.OB⊥AB,AC⊥CD. ∠D=45°， .∠CAD=45° .∠BAO=∠BAD-∠CAD=45°， 7/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠AOB=45°， ..OB=AB=2cm, 故弧BC所在圆的半径为2cm；(4分) (2)解：由(1)得0A=VAB+OB2=22cm ∠B0C=180°-∠A0B=135°， :.AC=0A+OC=2+2V2(cm) ∠CAD=∠D=45°， .CD=AC=2+22(cm) ∴.S1影=Sa0MB+S扇形08C+SACD-SO0 2+2a- =8+4W2+ ≈1s2(cm）,(8分) (3)解：能，测量CD或AD或OA、OB、OC的长； 情况l:测量CD=acm, 由(1)(2)得：AC=aCm,AB=OB=OC, 设OC=cm,则4B=0B=x0m,A0=a-x(em） .AB2+OB2=0A2. 2x=(a-x, 解得x=(2-a (负值已舍)， AB=OB=(2-1)a 由s=Sam+Semc+5mS0同理可求： 8/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 情况2：测量AD=bcm, D=bom 由勾股定理求得 2 由情况1同理可求： 情形况3：测量OA、OB、OC的长 由(2)同理可求.(12分) 23.(14分) 【详解】(1)解：，∠ABO=∠CDO=90°，∠AOB=∠COD=30° .△OBA∽△ODC,∠AOB-∠COB=∠COD-∠COB,即∠AOC=∠BOD, OB OA .0D0C' OA OC OB OD' .∠AOC=∠BOD, ∴.△AOCn△BOD. ∴.∠OAC=∠OBD 如图，记AE,BO交于点T, C B D E 图2 '∠OTE=∠OAC+∠AOB=∠OBD+∠AEB, .∠AEB=∠A0B=30°；(2分) (2)解：，OA=6,∠AOB=30°， ..AB=04=3 2 9/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图，连接OE, A C B D E 图2 BE∥OA, .∠0BE=∠AOB=30°，∠0AE=∠AEB=30°， .∠OAE=∠AOB,∠OBE=∠AEB. .TA=TO,TE=TB. .∠ATB=∠OTE △ATB≌△OTE(SAS) ∴.∠TE0=∠TBA=90°，OE=AB=3. 0C=4, :CE=0c2-0E=④-3=7；(6分) (3)解：连接OE, 由(1)知∠OAC=∠OBD,记直线AE与B0交于点T, A B D E .·∠ATO=∠BTE, .△ATO∽△BTE. AT OT BT ET' 10/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AT BT OT ET .∠ATB=∠OTE, .△ATB∽△OTE, .∠OET=∠ABT=90°， .∠0ET=∠CD0=90°， C,O,E,D四点共圆， ∴.∠CDE+∠COE=180°」 当CD=DE时，∠ECD=∠CED=30°， .∠CDE=180°-LCED-∠ECD=120°， .∠C0E=60°， .CB=CxC0B=4×5-250E=00xcas∠c0B=42 2 :4E=VA02-0E2-V6-2=42 :1C=4E-CE=4W2-25 在Rt△CD0中，OC=4,∠COD=30°， CD=c0=2, 2 当CD=CE=2时，同理可得∠0ET=90°， :0E=V0C2-CE2=V4-2=2V3 .AE=0-0E2=62-(23=2V6. :4C=AE+CE=26+2 11/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D 综上：若C,D,E=点枸成以CD为腰的等腰三角形，4C的长为4W2-25或26+ .(14分) 12/12………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第4章 圆的再认识·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．（本题3分）下列4个说法中：①直径是弦；②平分弦的直径垂直于弦；③任何一条直径都是圆的对称轴；④相等的圆心角所对的弧相等；正确的有（     ） A．①④ B．① C．②③ D．①③ 2．（本题3分）如图，在中，，以为圆心，为半径作，则下列说法正确的是（    ） A．点在上 B．点在外 C．直线与相切 D．直线与只有一个交点 3．（本题3分）如图，是外一点，交于点，．甲、乙两人想作一条通过点与相切的直线，其作法如下： 甲：以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则直线即为所求． 乙：过点作直线，以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点，连接，交于点，则直线即为所求． 对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（   ） A．甲正确，乙错误 B．乙正确，甲错误 C．两人都正确 D．两人都错误 4．（本题3分）如图，是劣弧上的一动点，与交于点．若，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（本题3分）如图，已知以为直径的半圆O与四边形的另外三边都相切，切点分别为D，C，E，若半圆O的半径为2，长为5，则四边形的周长为（   ） A．9 B．10 C．12 D．14 6．（本题3分）一个扇形的弧长是，面积是，则这个扇形的圆心角等于（   ） A． B． C． D． 7．（本题3分）如图，在中，，，D为线段上的动点，连接，过点B作交于点E，则在点D的运动过程中，求线段的最小值为（　　） A．10 B． C．5 D． 8．（本题3分）我们将一个三角形内切圆的半径与外接圆的半径的比值叫做该三角形的“径比”，已知等腰三角形底为6，腰为5，则该三角形的“径比”为（   ） A． B． C． D． 9．（本题3分）如图，为弦，若，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（   ） A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 10．（本题3分）如图，在中，，、分别交于点、，为的直径，连接，若，，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 二、填空题：（本大题共 6题，每题3分，共18 分.） 11．（本题3分）如图，在中，，，，则的内切圆半径_____ ． 12．（本题3分）如图，是的直径，弦于点，连接，若，，则的长为______（结果保留）． 13．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，的半径是，直线：与轴交于点，若直线与有公共点，则的取值范围是_____________． 14．（本题3分）如图，是的切线，为切点，过点作的平行线，交于点．若，，则图中阴影部分的面积为________．（结果保留） 15．（本题3分）如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口，则_____________． 16．（本题3分）如图，在中，为直径，为上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接．若点与圆心不重合，，则的度数为________． 三、解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分，共72分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（本题8分）如图，，是的弦，，，垂足分别为，，且． (1)求证：； (2)判断与是否相等，并说明理由． 18．（本题8分）如图，是的直径，C是的中点，于点E，交于点F． (1)求证：． (2)若，的半径为10，求的长． 19．（本题10分）如图，的直径，弦，E是劣弧上一点，连接交于点P，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 20．（本题10分）如图，是的直径，是的弦，连接，过点作的切线，交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)若的半径为，，求的长． 21．（本题10分）如图，是的直径，是的切线，为延长线上一点，延长交于点，，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 22．（本题12分）某中学开展综合实践活动，同学们运用测量工具和所学知识进行工件测量． 【问题提出】 如图，某工件的截面是一个中间有圆孔的不规则图形．根据工件制作标准得知，是圆孔及轮廓圆弧所在圆的圆心，是圆弧与线段相切的切点，是圆弧与线段相切的切点，，，三点在同一条直线上．现需设计一个测量方案，以求得工件的截面面积． 【方案设计】 测量工具：刻度尺、量角器、游标卡尺． 操作步骤：同学们用刻度尺测量的长度，用量角器测量和的角度，用游标卡尺测量圆孔直径的长度． 【问题解决】 已知，，，圆孔直径为．（参考数据：，） (1)求弧所在圆的半径； (2)求阴影部分的面积．（结果精确到） (3)如果不测量的长，其它测量数据不变，能否通过用刻度尺测量另外一条线段的长，求得工件的截面面积？如果能，写出该线段；如果不能，说明理由． 23．（本题14分）在学习图形旋转时，“智慧小组”将两个三角形纸片固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的规律． 在与中，，，，，将绕点顺时针旋转，旋转角为，直线与直线相交于点． 【初步探究】 (1)如图2，的度数为__________； 【尝试应用】 (2)如图2，若，求的长； 【创新提升】 (3)若，，三点构成以为腰的等腰三角形，请直接写出的长． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第4章圆的再认识·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的， 选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.) 1.(本题3分)下列4个说法中：①直径是弦：②平分弦的直径垂直于弦；③任何一条直径都是圆的对称 轴：④相等的圆心角所对的弧相等：正确的有() A.①④ B.① C.②③ D.①③ 【答案】B 【详解】解：①直径是经过圆心的弦，故①正确： ②平分弦的直径垂直于弦的前提是被平分的弦不是直径，该说法缺少此前提，故②错误： ③圆的对称轴是直径所在的直线，直径是线段，不是对称轴，故③错误： ④相等的圆心角所对的弧相等的前提是在同圆或等圆中，该说法缺少此前提，故④错误： 综上，正确的说法是① 2.(本题3分)如阁，在△M8C中，1C=3,BC=4<4CB=90,以5为圆心，BC为半径作O8,则下 列说法正确的是() B A.点A在⊙B上 B.点C在⊙B外 C.直线AC与OB相切 D.直线AB与OB只有一个交点 【答案】C 【详解】解：由题意可得：AB=VAC2+BC=5 r=4<5 故点A在⊙B外，故选项A错误： 1/28 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :BC=4=P,故点C在⊙B上，故选项B错误； .BC=4=r,∠ACB=90° AC,⊙B ,故直线与相切，故选项C正确： 直线AB与⊙B有两个交点，故选项D错误. 故选C 3.(本题3分)如图，P是⊙O外一点，OP交⊙O于点A,OA=AP.甲、乙两人想作一条通过点P与 ⊙0相切的直线，其作法如下： 甲：以点A为圆心，AP长为半径画弧，交⊙O于点B,则直线BP即为所求 乙：过点A作直线MN⊥OP,以点O为圆心，OP长为半径画弧，交射线AM于点B,连接OB,交⊙O 于点C,则直线CP即为所求， 对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是() M B B 甲 A.甲正确，乙错误 B.乙正确，甲错误 C.两人都正确 D.两人都错误 【答案】C 【详解】解：：以A为圆心，AP长为半径画弧，交⊙O于B点，OA=AP, 点O在⊙A,且OP为⊙A的直径， ∴.∠OBP=90°， OB⊥AP, :点B在⊙0上， :.PB为⊙O的切线，故甲的做法正确： 根据作图可知：AB⊥OP,OP=OB, 2128 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠OAB=90°， OA=OC,∠AOB=∠COP, :△AOB2COP(SAS)) ∴.∠0CP=∠0AB=90°， OC⊥CP, ,点C在⊙0上， ∴PC为⊙O的切线，故乙作法正确， 故选：C 4.(本题3分)如图，P是劣上的动点，OP与4B交于点C.若B=8OP=5,则0C的最小 值为() B A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】B 【详解】解：依题意，过点O作OD⊥AB,交⊙0于一点T,连接BO,如图所示： :AB=8,OP=5,OD⊥AB, :BD-24B=4,0B=0P=5 2 :0D=VOB2-BD=5F-4=3 3128 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :P是上的-个动点，OP与交于点C .当OC1AB时，即点C与点D重合时，则OC有最小值，且为3， 故选：B 5.(本题3分)如图，己知以CD为直径的半圆O与四边形ABCD的另外三边都相切，切点分别为D, C,E,若半圆O的半径为2，AB长为5，则四边形ABCD的周长为() A D A.9 B.10 C.12 D.14 【答案】D 【详解】解：，半圆O与四边形ABCD的边AD.AB.BC相切，切点分别为D,E,C, .AE=AD,BE=BC .AB+AD+BC=2AB=10. .CD=2+2=4 :四边形ABCD的周长=AB+AD+BC+CD=10+4=14 6.(本题3分)一个扇形的弧长是20cm,面积是240πcm2,则这个扇形的圆心角等于() A.60° B.90° C.120° D.150° 【答案】D 【详解】解：设这个扇形的半径为r,圆心角是，面积为S,弧长为1， 由怒意得：5-，即240r- 1 x20πr, 解得：r=24, 180可得：20n=nr×24 又由1s 180’ 解得：n=150°， 故选：D 7.(本题3分)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8,BC=6,D为线段AB上的动点，连接CD 4/28 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 过点B作BE⊥CD交CD于点E,则在点D的运动过程中，求线段AE的最小值为() E 55 A.10 B.√73-3 C.5 D.4 【答案】B 【详解】解：设BC的中点为点O,以O为圆心，BC为直径画圆，如图： D ,BE⊥CD,BC=6. 1 :点B在以0为圆心，半径为2BC=3的圆上， ..OF=OB=3. ∠ABC=90,AB=8, :.0=VAB+B02-V82+32=V73 两点之间线段最短， ∴当A、O、E三点共线时，AE取得最小值， AE=AO-OE=73-3 此时， 故选：B 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，正确理解点E在“以0为圆心，半径为2BC=3的圆上”是解决 5128 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 问题的关键， 8.(本题3分)我们将一个三角形内切圆的半径”与外接圆的半径R的比值叫做该三角形的“径比”，已 知等腰三角形底为6，腰为5，则该三角形的“径比”为() 6 12 C.2 1 A.25 B.25 D.4 【答案】B 【详解】解：如图所示，AD为等腰△ABC底边BC上的高，点E为三角形的外心， D .'R=AE=BE, 由三线合一和勾股定理得，4D=VAB-BD2=V53-3=4 S。ABC= CD-jx6x4-12. 由勾股定理得BE=BD2+DE2=9+(4-R=R2 解得R25 8 如图，点F为△ABC的内心， H E D C..r=FH=FI=FD S&ABC 12_3 r= 2(AB+BC+AC) 82 6128 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 r 23、82412 .R252×255025 8 故选：B 9.(本题3分)如图，AB为弦，若∠ABC=30°，弦AC是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为 () 0。 B A.正五边形 B.正六边形 C.正七边形 D.正八边形 【答案】B 【详解】解：如图，连接OA,OC, ∠ABC=30°， ∴.∠A0C=60° 360 :弦AC是圆内接正多边形的一边，则该正多边形的边数为60 =6」 即该正多边形为正六边形 10.(本题3分)如图，在△ABC中，AB=AC,AB、BC分别交OO于点D、E,AC为⊙O的直径， 连接AE,若∠BED=45°，AB=8,则阴影部分的面积为() D 元 A. 3 B.3 C.2 D.4n 7/28 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】D 【详解】解：连接OE、OD, C B ,AC为⊙O的直径， ∴∠AEC=90°， :在△ABC中，AB=AC, ∴，AE是△ABC的中线， :O是AC的中点， ∴OE是△ABC的中位线， ..OEllAB. SADE =SAOD ·.阴影部分的面积 S形0D ,∠BED=45°， .∠CED=180°-45°=135°， ,四边形ADEC是圆的内接四边形， ∴.∠BAC=45°， .OA=DO, .∠0AD=∠ODA=45°， .∠AOD=90°， AB=8 :0A=)4C=4B=4 1 2 2 六阴影部分的面积=S。n-90xX4 3604. 二、填空题：（本大题共6题，每题3分，共18分.） 11.(本题3分)如图，在RIAABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,则△ABC的内切圆半径r=一 8/28 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D 【答案】1 【详解】解：如图，设△ABC的内切圆与各边相切于D,E,F,连接OD,OE,OF, 则OE⊥BC,OF⊥AB,OD⊥AC, ,∠C=90°，OE=0D=r, ∴四边形ODCE是正方形， .EC=CD=OD=r, ,△ABC的内切圆半径为r, .BF=BE=4-r,AF=AD=3-r, :∠C=90°，BC=4,AC=3, AB=VAC2+BC2=5 .4-r+3-r=5,解得r=1. 即△ABC的内切圆的半径为1. B D 12.(木题3分)如图，40是O0的直径，弦DL于点E,连接D,若A0=6心，D=25,则 BD 的长为 (结果保留“)· 9128 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B E D 2π 【答案】3 【详解】解：如图所示，连接OD, B D OD=OB∠ABD=60°， .△OBD是等边三角形， ∴.∠BOD=60° ,AB是OO的直径，弦CD⊥AB于点E, :DE-CD=5∠0ED=90,0E=0B-0D, 2 2 DE-JOD-OF=OD 2 ..OD=2. π×60×22π BD的长 180 3 13.(本题3分)如图，在平面直角坐标系中， 的半径是，直线B:y=x+b与*轴交于点P(a,0) ⊙0 若直线AB与⊙O有公共点，则a的取值范围是 10/28 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -V2≤a≤V2 【答案】 【详解】解：直线AB的解析式为y=x+b, ∴直线AB与x轴正半轴的夹角为45°， 当直线AB与⊙O相切时，圆心O到直线AB的距离等于半径， 设切点为C,连接OC, ..OC LAB,OC=1. :∠OPC=45°，∠0CP=90°， ∴△OCP是等腰直角三角形， .PC=OC=1, 由勾股定理得OP=VOC2+PC=VP+P=V2 “当直线与轴正半轴相交且相切时， P(N2,0) 即a=2 同理，当直线与轴负半轴相交且相切时， P(-V2,0 ,即a=2 :直线AB与⊙0有公共点， 一点？在”轴上介于两切点之间，则”的取值范围是 V2≤a≤V2 14.(本题3分)如图，MB是⊙0的切线，B为切点，过点B作OM的平行线，交⊙0于点A,若 OA=4,∠OMB=54°，则图中阴影部分的面积为 (结果保留π) 11/28 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 24 【答案】5π 【详解】解：如图，连接OB, A B :MB是⊙O的切线，B为切点， 则∠0BM=90°， .∠B0M=90°-54°=36°， :AB∥OM, .∠ABO=∠BOM=36°， OA=OB :△AOB为等腰三角形， ∠0BA=∠OAB=36° .∠A0B=180°-36°-36°=108°， AB∥OM, .△AOB与△ABM同底等高， .SAAOB =SAAIM ·S阴影=S扇形AOB 半径0A=4,圆心角n=108°， 扇形面积S=m_108×元×424 360 360 b=10v3mm 15.(本题3分)如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口 ,则a 12/28 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】l0mm 【详解】解：如图，连接OC、OD,过O作OH⊥CD于H B E.: ∠C0D=360° =60° C H D 6 OC=OD :.△COD是等边三角形， .∠C0H=90°-60°=30°， .OH⊥CD .CH-D-CD.H- b5/3mm :CH=53xtam30°=5mm ∴.a=2CH=10mm. 16.(本题3分)如图，在⊙0中，AB为直径，C为⊙0上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D,连 接CD.若点D与圆心O不重合，∠BAC=27°，则∠DCA的度数为 【答案】36°/36度 【详解】解：设1C 上点D的对应点为点E,连接 AE、CE、BC 如图， 13/28 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 由折叠性质得：∠EAC=∠BAC=27°，∠DCA=∠ECA, .∠BAE=2LBAC=54°， AB是直径， ∠ACB=90°： ,四边形AECB是圆内接四边形， ∴.∠ECB=180°-∠BAE=126°， ·.∠DCA=∠ECA=∠ECB-∠ACB=36° 三、解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分， 共72分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(本题8分)如图，AB,CD是OO的弦，OM⊥AB,ON⊥CD,垂足分别为M,N,且 ∠AMN=∠CNM (1)求证：OM=ON: (2)判断AB与CD是否相等，并说明理由. 【答案】(I)证明：：OM⊥AB,ON⊥CD, .∠AM0=∠CNO=90°， :∠AMN=∠CNM, .∠OMN=∠ONM. ∴.OM=ON (2)解：AB=CD.理由如下， 如图，连接OA,OC, 14128 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .OM⊥ABON⊥CD ..CN-CD ∠AM0=∠CNO=90°， OM=ON 在Rt△AOM与Rt△CON中，OA=OC, ∴.Rt△AOM≌Rt△CON(HL) .AM=CN, .AB=CD 【详解】(1)证明：略 (2)解：AB=CD.理由略 18(木题8分)如图，是O0的直径，C是D的中点，CEL4于点E,D交CE丁点R D (I)求证：CF=BF (2)若AD=12,⊙0的半径为10，求BC的长. 【答案】(1) 证明：，AB是OO的直径， .∠ACB=90°， C是D的中点， ∴.∠CBD=∠CDB=∠BAC, ,CE⊥AB 15128 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠BAC+∠ABC=∠ABC+∠BCE=90°， .∠BAC=∠BCE. ∴.LBCF=∠FBC, .BF=CF: g45 【详解】(1)略 (2)解：连接AD,OC,OC与BD交于点G,如图所示： B :AB是⊙0的直径，⊙0的半径为10， ∠ADB=90°，AB=20. AD=12, BD=VAB2-AD2=16 C是D 的中点， :OC⊥BD,BG=DG=BD=8 2 ...OA=OB, :0G=)40=6 ∴.CG=0C-0G=10-6=4, ∴.BC=VCG2+BG2=4N5 19.(本题10分)如图，⊙0的直径B=10,弦CDLB,B是劣BC上一点，连接DE交MB于点卫， 连接CP,CE」 16128 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E P D (I)求证：∠CPA=∠BPE: (②)若CP1DE,DE=7V2 CD 求的长 【答案】(1)证明：：AB是⊙O的直径，CD⊥AB, ∴.AB垂直平分CD .PC=PD,PA⊥CD, ∴.∠CPA=∠DPA :∠BPE=∠DPA, .∠CPA=∠BPE (2)CD的长为6或8 【详解】(1)略： (2)解：如图，连接OC,OE. E p D .CP⊥DE ∴.∠CPE=∠CPD=90° 由(I)得∠CPA=∠BPE, ∠CPA=∠BPE=180°-90 2 =45°， ∴.∠APD=∠BPE=45° ,CD⊥AB ·∠D=∠APD=45°， ∴∠C0E=2∠D=90° 17128 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=10, :.0C=0E=5, :.CE=V20C=52 由(1)知PC=PD, 设PC=PD=x,则PE=DE-PD=7N2-x 在Rt△PCE中，由勾股定理可得PC2+PE2=CE2, 即+72-xP=(62y 解得3V2 x=4V2 或 ∴.PC 3V242 的值为或 :∠CPD=90°，∠D=45° ∴CD=V2PC=6 或8， 即CD的长为6或8. 20.(本题10分)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接BD,过点D作⊙0的切线，交CA的 延长线于点G,且∠CAB=2∠B B (1)求证：DG⊥CG: (2)若⊙0的半径为5，GC=2DG,求DG的长， 【答案】(1) 证明：如图，连接OD 18/28 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B C .OD=OB, ∠ODB=∠B. ∴∠AOD=LODB+∠B=2∠B, :∠CAB=2∠B, ∴.∠AOD=∠CAB .OD‖AC, .DG是⊙O的切线， ∴.OD⊥DG, .DG⊥CG (2)4 【详解】(1)略 (2)如图，连接AD, D B ,AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， 4D-AD .∠C=∠B. 在Rt△CDG中，GC=2DG, 故tanC- GD 1 GC2 19128 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在Rt△ABD中， tanB=tanC=4D_1 BD2· .BD =2AD. :⊙0的半径为5， ∴AB=10, 在RtAABD中，AD2+BD2=AB2, 即D2+(2ADP=10 解得1D=2V5 BD=2×2V5=4V5 ∠GDA+∠ADO=90°，∠AD0+∠ODB=90°， ∴.∠GDA=∠ODB, 又：∠G=∠ADB=90°， .△ADGP△ABD, DG AD BD AB' DG-25 即4510， 解得DG=4 21.(本题10分)如图，AB是⊙0的直径，BD是⊙0的切线，E为AB延长线上一点，延长ED交⊙0 于点C,∠BDE=2∠BAC,连接OD, B (1)求证：CE是⊙O的切线： 20128 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若CD=2,DE=5,求⊙0的半径 【答案】(1)证明：连接OC, B E 的直径， 是 的切线， D C AB⊙O BD OO .AB⊥BD, .∠ABD=90° :'∠BOC=2∠BAC.∠BDE=2∠BAC, .∠BOC=∠BDE :∠BDE+∠BDC=180° ∴.∠BOC+∠BDC=180° ~四边形BOCD中，∠BOC+∠OCD+∠BDC+∠ABD=360°， .∠0CD=90°， ∴.OC⊥EC. :OC是⊙0的半径， .CE是OO的切线： 2√21 (2)3 【详解】(1)略 (2)解：∠ABD=∠OCD=90°， 在RtAOBD和RUAOCD中， OD=OD OB=OC, ∴.RtAOBD≌RtAOCD(HL) ∴.BD=CD 21128 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠ABD=90°， .∠DBE=180°-∠ABD=90°」 CD=2, .BD=2, DE=5, :Rt△BDE中，BE=VDE2-BD=V5P-2=V2 在RIAOCE中，OC2+CE2=OE2, 即0C2+(2+5-(oB+2可， 0B=0C= 221 解得 3 2√21 即⊙0的半径为3. 22.(本题12分)某中学开展综合实践活动，同学们运用测量工具和所学知识进行工件测量. 【问题提出】 如图，某工件的截面是一个中间有圆孔的不规则图形.根据工件制作标准得知，O是圆孔及轮廓圆弧BC 所在圆的圆心，B是圆弧BC与线段AB相切的切点，C是圆弧BC与线段CD相切的切点，A,O,C三 点在同一条直线上.现需设计一个测量方案，以求得工件的截面面积. 【方案设计】 测量工具：刻度尺、量角器、游标卡尺， 操作步骤：同学们用刻度尺测量AB的长度，用量角器测量∠D和∠BAD的角度，用游标卡尺测量圆孔直 径的长度. 【问题解决】 AB=2cm∠D=45°∠BAD=90 已知 ，圆孔直径为2cm.(参考数据：2≈14，元*3.14) D O 22/28 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求弧BC所在圆的半径： .1cm2 (2)求阴影部分的面积.（结果精确到 (3)如果不测量AB的长，其它测量数据不变，能否通过用刻度尺测量另外一条线段的长，求得工件的截面 面积？如果能，写出该线段：如果不能，说明理由， 【答案】(1)2cm 5.2cm2 (2) (3)能，测量CD或AD或OA、OB、OC的长 【详解】(1)解：连接OB,AC, D 是圆孔及轮廓圆弧 所在圆的圆心，是圆弧 与线段 相切的切点， BC BC AB C 是圆弧BC与线段CD相切的切点，A,O,C三点在同一条直线上， ∴.OB⊥AB,AC⊥CD ∠D=45°， ∠CAD=45°， .∠BAO=∠BAD-∠CAD=45°， .∠A0B=45°， ∴.OB=AB=2cm, 故弧BC所在圆的半径为2cm: (2)解：由(1)得0A=VAB2+0B2=2V2cm ∠B0C=180°-∠AOB=135°， ..AC=0A+OC=2+22(cm) ∠CAD=∠D=45° :.CD=AC=2+22(cm) .∴S阴影=S.OAB+S扇形OBC+S4CD-So0 23128 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -212++2回- 1 3602 =8+45+ ≈15.2(cm2） (3)解：能，测量CD或AD或OA、OB、OC的长： 情况1：测量CD=acm, 由(1)(2)得：AC=aCm,AB=OB=OC, 设OC=xcm,则AB=OB=xcm,A0=a-x(cm） AB2+OB2=OA2, 2x2=(a-x2 解得x=(2-a (负值已舍)， AB=OB=(2-1)a S能=Sow+S影c+S.km一S8o0同理可求： 情况2：测量AD=bcm, √2 CD= bcm 由勾股定理求得 2 由情况1同理可求： 情形况3：测量OA、OB、OC的长 由(2)同理可求。 23.(本题14分)在学习图形旋转时，“智慧小组”将两个三角形纸片固定一个顶点，然后将其中一个纸 片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的规律， 在△A0B与△C0D中，∠AB0=∠CD0=90°，∠A0B=∠C0D=30°，0A=6,OC=4,将△C0D绕点 0顺时针旋转，旋转角为a(0<a<180）,直线BD与直线4C相交于点E。 24/28 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A ▣ B B D B 图1 图2 备用图 【初步探究】 (1)如图2，∠AEB的度数为 【尝试应用】 (②)如图2，若BE∥OA,求CE的长： 【创新提升】 (3)若C,D,E三点构成以CD为腰的等腰三角形，请直接写出AC的长. 【答案】(1)30° ③吟 645-25或26+2 【详解】(1)解：，∠ABO=∠CD0=90°，∠AOB=∠COD=30° .△OBA∽△ODC,∠AOB-∠COB=LCOD-∠COB,即∠AOC=∠BOD OB OA ·0D0C, OA OC :OB OD' ,∠AOC=∠BOD ∴△4OCABOD, .∠OAC=∠OBD 如图，记AE,BO交于点T, 25128 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C D E 图2 ,∠OTE=∠OAC+∠AOB=∠OBD+∠AEB, .∠AEB=∠AOB=30°： (2)解：0A=6,∠AOB=30°. 4B=201=3, 如图，连接OE, C E 图2 :BE∥OA, ∴∠OBE=∠AOB=30°，∠OAE=∠AEB=30°， ∴.∠OAE=∠AOB,∠OBE=∠AEB, ∴TA=TO,TE=TB, :∠ATB=∠OTE, △ATB≌△OTE(SAS) ∴.∠TE0=∠TBA=90°，OE=AB=3, .0C=4, 26128 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .CE=V0C2-0E2-V42-32-V万 (3)解：连接OE, 由(1)知∠OAC=∠OBD,记直线AE与BO交于点T, E ,∠ATO=∠BTE, .△ATO∽△BTE, AT OT BT ET' 、ATBT .OT ET :∠ATB=∠OTE, ∴.△ATB∽△OTE, ∴.∠OET=∠ABT=90° .∠OET=∠CD0=90°， C,O,E,D四点共圆， :.∠CDE+∠COE=180°， 当CD=DE时，∠ECD=∠CED=30°， .∠CDE=180°-∠CED-∠ECD=120°， .∠COE=60°， .CB=0 Cxsin∠COE=4x5=250B=00xeos∠C0B=4x-2 2 :AE=VA02-0E2=V6-2=42 :4C=AE-CE=42-2V5 在Rt△CD0中，OC=4,∠COD=30°， 27128 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CD=2c0=2。 当CD=CE=2时，同理可得∠0ET=90°， 0E=V0C2-CE2=V42-2=23 ÷4E=0P-0E=V62-(23'-26. AC=AE+CE=26+2 E D 综上：若C,D,E三点构成以CD为腰的等腰三角形，AC的长为 42-252W6+2 或 28/28 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第4章 圆的再认识·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．（本题3分）下列4个说法中：①直径是弦；②平分弦的直径垂直于弦；③任何一条直径都是圆的对称轴；④相等的圆心角所对的弧相等；正确的有（     ） A．①④ B．① C．②③ D．①③ 2．（本题3分）如图，在中，，以为圆心，为半径作，则下列说法正确的是（    ） A．点在上 B．点在外 C．直线与相切 D．直线与只有一个交点 3．（本题3分）如图，是外一点，交于点，．甲、乙两人想作一条通过点与相切的直线，其作法如下： 甲：以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则直线即为所求． 乙：过点作直线，以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点，连接，交于点，则直线即为所求． 对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（   ） A．甲正确，乙错误 B．乙正确，甲错误 C．两人都正确 D．两人都错误 4．（本题3分）如图，是劣弧上的一动点，与交于点．若，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（本题3分）如图，已知以为直径的半圆O与四边形的另外三边都相切，切点分别为D，C，E，若半圆O的半径为2，长为5，则四边形的周长为（   ） A．9 B．10 C．12 D．14 6．（本题3分）一个扇形的弧长是，面积是，则这个扇形的圆心角等于（   ） A． B． C． D． 7．（本题3分）如图，在中，，，D为线段上的动点，连接，过点B作交于点E，则在点D的运动过程中，求线段的最小值为（　　） A．10 B． C．5 D． 8．（本题3分）我们将一个三角形内切圆的半径与外接圆的半径的比值叫做该三角形的“径比”，已知等腰三角形底为6，腰为5，则该三角形的“径比”为（   ） A． B． C． D． 9．（本题3分）如图，为弦，若，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（   ） A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 10．（本题3分）如图，在中，，、分别交于点、，为的直径，连接，若，，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 二、填空题：（本大题共 6题，每题3分，共18 分.） 11．（本题3分）如图，在中，，，，则的内切圆半径_____ ． 12．（本题3分）如图，是的直径，弦于点，连接，若，，则的长为______（结果保留）． 13．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，的半径是，直线：与轴交于点，若直线与有公共点，则的取值范围是_____________． 14．（本题3分）如图，是的切线，为切点，过点作的平行线，交于点．若，，则图中阴影部分的面积为________．（结果保留） 15．（本题3分）如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口，则_____________． 16．（本题3分）如图，在中，为直径，为上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接．若点与圆心不重合，，则的度数为________． 三、解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分，共72分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（本题8分）如图，，是的弦，，，垂足分别为，，且． (1)求证：； (2)判断与是否相等，并说明理由． 18．（本题8分）如图，是的直径，C是的中点，于点E，交于点F． (1)求证：． (2)若，的半径为10，求的长． 19．（本题10分）如图，的直径，弦，E是劣弧上一点，连接交于点P，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 20．（本题10分）如图，是的直径，是的弦，连接，过点作的切线，交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)若的半径为，，求的长． 21．（本题10分）如图，是的直径，是的切线，为延长线上一点，延长交于点，，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 22．（本题12分）某中学开展综合实践活动，同学们运用测量工具和所学知识进行工件测量． 【问题提出】 如图，某工件的截面是一个中间有圆孔的不规则图形．根据工件制作标准得知，是圆孔及轮廓圆弧所在圆的圆心，是圆弧与线段相切的切点，是圆弧与线段相切的切点，，，三点在同一条直线上．现需设计一个测量方案，以求得工件的截面面积． 【方案设计】 测量工具：刻度尺、量角器、游标卡尺． 操作步骤：同学们用刻度尺测量的长度，用量角器测量和的角度，用游标卡尺测量圆孔直径的长度． 【问题解决】 已知，，，圆孔直径为．（参考数据：，） (1)求弧所在圆的半径； (2)求阴影部分的面积．（结果精确到） (3)如果不测量的长，其它测量数据不变，能否通过用刻度尺测量另外一条线段的长，求得工件的截面面积？如果能，写出该线段；如果不能，说明理由． 23．（本题14分）在学习图形旋转时，“智慧小组”将两个三角形纸片固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的规律． 在与中，，，，，将绕点顺时针旋转，旋转角为，直线与直线相交于点． 【初步探究】 (1)如图2，的度数为__________； 【尝试应用】 (2)如图2，若，求的长； 【创新提升】 (3)若，，三点构成以为腰的等腰三角形，请直接写出的长． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $