第二章 一元二次函数、方程和不等式全章综合测试卷（提高篇）高一数学人教A版必修第一册

第二章 一元二次函数、方程和不等式全章综合测试卷（提高篇） 【人教A版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（5分）（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知，，记，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 3．（5分）（25-26高一上·江苏苏州·期中）已知不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（5分）（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知实数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．（5分）（25-26高一上·江西南昌·阶段检测）甲、乙同去加油站加油两次，两次汽油单价分别为，元/升（）．甲每次加固定金额的油，乙每次加固定体积的油．哪种方式更经济实惠呢？（     ） A．加固定金额的方式 B．加固定体积的方式 C．两种方案一样 D．要视具体价格而定 6．（5分）（25-26高一上·辽宁·阶段检测）若关于的不等式有且只有两个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（5分）（25-26高一上·湖南常德·期中）已知二次函数（为常数，且）的部分图像如图所示，则（    ） A． B． C． D．不等式的解集为 8．（5分）（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知正实数满足，若恒成立，则实数的最大值为（   ） A．8 B．16 C．24 D．36 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）已知，则（   ） A． B． C． D． 10．（6分）（25-26高一上·海南海口·阶段检测）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为或 C． D．不等式的解集为 11．（6分）（25-26高一上·广东深圳·期中）已知，且，则（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最小值为9 D．的最小值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高一下·黑龙江佳木斯·开学考试）已知实数，满足，，则的范围是____________. 13．（5分）（25-26高一上·云南曲靖·期中）如图所示，某学校要围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙时需要维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为的进出口，已知旧墙的维修费用为元，新墙的造价为元，为使修建此矩形场地的总费用最小，需要用旧墙的长度为___________. 14．（5分）（25-26高一上·陕西宝鸡·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高一上·四川广安·阶段检测）已知，． (1)求的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围． 16．（15分）（25-26高一上·广东江门·阶段检测）已知实数满足． (1)求的最大值； (2)求的最大值及最小值． 17．（15分）（25-26高一上·天津西青·阶段检测）已知二次函数，关于的不等式的解集为. (1)求实数、的值； (2)解关于的不等式. 18．（17分）（25-26高一上·广东深圳·期中）求下列代数式的最值： (1)已知，求的最小值； (2)已知，，且满足.求的最小值； (3)当时，不等式恒成立，求实数的最大值. 19．（17分）（25-26高一上·湖北武汉·期中）已知函数． (1)当时，解关于的不等式； (2)，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)，不等式恒成立，求实数的取值范围． 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次函数、方程和不等式全章综合测试卷（提高篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】取特殊值判断ABD，作差法判断C． 【解答过程】对于A，因为，所以，当时，，故A错误； 对于B，取，， 此时，故B错误； 对于C，， 因为，所以，故C正确； 对于D，取，，此时，故D错误； 故选：C． 2．（5分）（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知，，记，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 【答案】A 【解题思路】利用作差法可判断. 【解答过程】 因为，， 所以，. 所以，得，即. 故选：A． 3．（5分）（25-26高一上·江苏苏州·期中）已知不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意得，且是方程的两根，由韦达定理得，代入 中，因式分解即可求解. 【解答过程】因为不等式的解集为， 所以，且是方程的两根， 由韦达定理得，即. 所以不等式可化为即， ，则， 所以不等式的解集为. 故选：A. 4．（5分）（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知实数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据已知条件，将变换为，利用基本不等式乘1法，即可求得其最小值. 【解答过程】∵， ∴ ， 当且仅当， 联立，解得，时取等号. 则的最小值为. 故选：A. 5．（5分）（25-26高一上·江西南昌·阶段检测）甲、乙同去加油站加油两次，两次汽油单价分别为，元/升（）．甲每次加固定金额的油，乙每次加固定体积的油．哪种方式更经济实惠呢？（     ） A．加固定金额的方式 B．加固定体积的方式 C．两种方案一样 D．要视具体价格而定 【答案】A 【解题思路】设两次加油的油价分别为，（，且），分别计算两种方案的平均油价，然后比较即得到答案. 【解答过程】设两次加油的油价分别为，（，且）， 乙方案每次加油的量为；甲方案每次加油的钱数为， 则乙方案的平均油价为， 甲方案的平均油价为， 因为，所以，即甲方案更经济． 故选：A. 6．（5分）（25-26高一上·辽宁·阶段检测）若关于的不等式有且只有两个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】将原不等式因式分解后可得，计算即可得. 【解答过程】化简可得， 由该不等式有且只有两个整数解，可得两个整数解必为1和2， 则有 ，解得. 故选：A. 7．（5分）（25-26高一上·湖南常德·期中）已知二次函数（为常数，且）的部分图像如图所示，则（    ） A． B． C． D．不等式的解集为 【答案】D 【解题思路】根据函数的图像，结合函数性质和韦达定理得出的符号及相互关系，再利用的符号及相互关系逐一分析判断各选项． 【解答过程】由函数图像可知二次函数开口向上，对称轴为正值，函数的两个零点为和2， ， 选项A：，，又，，故A错误； 选项B：，，故B错误； 选项C：，，故C错误； 选项D：， ， ，原不等式等价于，解得， 不等式的解集为，故D正确． 故选：D． 8．（5分）（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知正实数满足，若恒成立，则实数的最大值为（   ） A．8 B．16 C．24 D．36 【答案】C 【解题思路】根据题意，得到，结合基本不等式，求得，得到，进而求得实数的范围，得到答案. 【解答过程】由正实数满足，可得， 所以 ， 当且仅当时等号成立，所以， 所以的最小值为， 因为恒成立，可得，解得. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解题思路】直接根据不等式的性质逐一判断即可. 【解答过程】因为，所以，， 所以，，即A正确，B错误； 所以，，即C错误，D正确； 故选：AD. 10．（6分）（25-26高一上·海南海口·阶段检测）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为或 C． D．不等式的解集为 【答案】AB 【解题思路】根据不等式的解集为或，可得，且和是的两个根，再对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【解答过程】由题意可知，，且和是的两个根， 则，，得到，， 对于A选项，由可判断A正确； 对于B选项，由得， 整理得到，解得或，所以B正确， 对于C选项，因为，故C错误， 对于D选项，由，得，得，故D错误， 故选：AB. 11．（6分）（25-26高一上·广东深圳·期中）已知，且，则（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最小值为9 D．的最小值为 【答案】AC 【解题思路】对于AB，利用基本不等式即可判断；对于C，利用常数代换法结合基本不等式即可判断；对于D，平方后利用基本不等式求最值，然后开方即可判断． 【解答过程】对于A，由基本不等式得， 所以，即，当且仅当时取等号，故A正确； 对于B，， 当且仅当时取等号，所以无最大值，最小值为，故B错误； 对于C，， 而，当且仅当即时成立， 此时，故最小值为9，故C正确； 对于D，设，，则，其中， 由不等式，也即， 当且仅当，即时成立，此时， 故的最大值为，而非最小值，故D错误． 故选：AC． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高一下·黑龙江佳木斯·开学考试）已知实数，满足，，则的范围是____________. 【答案】 【解题思路】由待定系数可得，利用不等式的可加性结合题设条件即可求的范围. 【解答过程】由题意，实数a，b满足，， 令，即 可得，解得， 所以， 则 ，， 所以. 故答案为：. 13．（5分）（25-26高一上·云南曲靖·期中）如图所示，某学校要围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙时需要维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为的进出口，已知旧墙的维修费用为元，新墙的造价为元，为使修建此矩形场地的总费用最小，需要用旧墙的长度为___________. 【答案】 【解题思路】设利用旧墙的长度为米，由面积求得矩形的另一边长，根据题意求得修建此矩形场地的总费用，利用基本不等式即可求解. 【解答过程】设利用旧墙的长度为米，修建此矩形场地的总费用为元， 由题意知，矩形的另一边长为米， 则， 当且仅当，即时，等号成立. 所以为使修建此矩形场地的总费用最小，需要用旧墙的长度为. 故答案为：. 14．（5分）（25-26高一上·陕西宝鸡·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解题思路】利用“乘1法”和基本不等式的性质，恒成立⇔ 再解不等式即可． 【解答过程】∵，且, ∴ ． 当且仅当时取等号． 若恒成立，∴ ∴， 即得解得． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高一上·四川广安·阶段检测）已知，． (1)求的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由，利用不等式的同向可加性等性质即可求得； （2）利用不等式的性质先求的范围，再由不等式的同向皆正可乘性即可求得； （3）设，展开对照求出的值，再利用不等式的可乘性和可加性即可求得. 【解答过程】（1）因，又，， 则，即； （2）由可得，又， 则得，即； （3）设，由， 解得，即， 因，则， 又，则， 两式相加，可得，即. 16．（15分）（25-26高一上·广东江门·阶段检测）已知实数满足． (1)求的最大值； (2)求的最大值及最小值． 【答案】(1)最大值为6． (2)的最大值为，最小值为． 【解题思路】（1）由已知条件及基本不等式可求得的取值范围，进而得到其最大值. （2）将已知等式变形为，再结合基本不等式建立关于的不等式求解. 【解答过程】（1）因为，所以， 当且仅当时，等号成立． 故的最大值为6． （2）因为，所以 ， 解得，则， 当且仅当时，取得最大值，当且仅当时，取得最小值． 故的最大值为，最小值为． 17．（15分）（25-26高一上·天津西青·阶段检测）已知二次函数，关于的不等式的解集为. (1)求实数、的值； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2) 当时，不等式可化为，解得； 当时，不等式可化为，解得； 当时， 不等式，解得； 当时，不等式，解得或； 当时，不等式，解得或； 【解题思路】（1）根据一元二次不等式与二次方程之间的关系，结合根与系数的关系列式计算求解即可； （2）对参数的取值分类讨论，利用一元二次不等式的解法即可求解. 【解答过程】（1）因为二次函数，且关于的不等式的解集为 所以，且是一元二次方程的两个根， 所以，解得； （2）关于的不等式可化为， 即，即， 当时，不等式可化为，解得； 当时，不等式可化为，解得； 当时， 不等式，解得； 当时，不等式，解得或； 当时，不等式，解得或. 18．（17分）（25-26高一上·广东深圳·期中）求下列代数式的最值： (1)已知，求的最小值； (2)已知，，且满足.求的最小值； (3)当时，不等式恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1)最小值为5 (2)最小值为18 (3)最大值为9. 【解题思路】（1）利用基本不等式求最值； （2）利用基本不等式“1”的妙用求最小值； （3）将恒成立问题转化为的最值问题，然后利用基本不等式求最值即可. 【解答过程】（1）因为，则，由基本不等式得， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为5. （2）因为，， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 故的最小值为18. （3）不等式恒成立化为恒成立， 又因为，所以，因此 , 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 即实数的最大值为9. 19．（17分）（25-26高一上·湖北武汉·期中）已知函数． (1)当时，解关于的不等式； (2)，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，无解； 当时，解集为； (2) (3) 【解题思路】（1）根据一元二次不等式的解法，对参数进行分类讨论，进而求出结果； （2）根据二次不等式恒成立的条件，进行参变分离，进而求出参数的取值范围； （3）根据任意恒成立的条件，对函数进行变形，对新参数进行讨论，求出函数最小值，列出不等式，进而求出结果. 【解答过程】（1）由题意可知，当时，，解得； 当时，令，即，解得或. 当时，，则，解得； 当时，，则，无解； 当时，即，则，解得， 综上，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，无解； 当时，解集为； （2）由题意得，即， 当时，可知，可得， 因为，所以， 即，不等式恒成立，等价于，恒成立； 可知时，，所以，即实数的取值范围为； （3）由题意得，即，化简得， 可知，不等式恒成立，等价于，不等式恒成立； 当时，不等式不成立，不符合题意； 当时，，不等式恒成立， 令，则在上单调递减， 即得恒成立，解得， 当时，，不等式恒成立， 在上单调递增，即，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $