第二章一元二次函数、方程和不等式单元自测卷（3（拔高））-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第2章 一元二次函数、方程和不等式单元自测卷（3（拔高）） 一、单选题 1．（26-27高一上·山东临沂·阶段检测）已知 ，则下列不等式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用作差或不等式的性质逐项判断，注意 ， ． 【详解】对于A，． ∵ ， ，∴ ，即，A正确； 对于 B，∵，∴，又，∴，B正确； 对于 C，∵，∴， 又，∴， 两式相加得，C正确； 对于 D，． ∵ ，，， ∴，即，D错误． 2．（26-27高一上·湖北黄石·阶段检测）下列命题为真命题的是（　　） A． B．若 且 ，则 C．若 ，，则 D．若 ，，则 【答案】D 【分析】对于A，先分别取倒数，再利用不等式的同向可加性即可判断；对于B，考虑，的情况即可判断；对于C，举反例即可；对于D，用换元后整体求范围． 【详解】对于A，因为 ，， 因为，所以， 所以 ，故A错误； 对于B，当，时，满足且， 此时，与矛盾；故B错误； 对于C，若 ，，例如 ，，，， 此时，故C错误； 对于D，设 ，，则 ，， ， 又，． 则，， 所以，故D正确． 3．（26-27高一上·安徽宿州·阶段检测）①当 时，.②当 时， 的最大值为 .③ 的最小值为 .④若 ，，且 ，则 .以上说法正确的有（    ） A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】逐条用基本不等式或配凑法求最值，并检验等号成立的条件． 【详解】①当 时，，当且仅当 时取等号，正确； ②，当且仅当 ，即 ，（满足）时取等号，正确； ③设 ，则 ，当且仅当 ，即 时取等号，最小值为 1，不是 2，错误； ④，当且仅当 ，即 ，也就是 ， 时取等号，正确． 所以正确的是①②④． 4．（26-27高一上·福建泉州·阶段检测）若命题：“存在，使得”为假命题，则实数的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】命题为假等价于对任意都有，参变分离可得对恒成立，结合基本不等式求最值即可. 【详解】因为命题为假命题，所以对任意，恒成立， 即对恒成立． 又因为，当且仅当，即时，等号成立， 可得，所以的最大值为． 5．（26-27高一上·安徽亳州·阶段检测）若 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把 配成“和为定值”的两项，用基本不等式． 【详解】因为 ，所以 ，， ， 当且仅当 ，即 时取等号， 所以 的最大值为 ． 6．（26-27高一上·安徽芜湖·阶段检测）已知一元二次不等式（）的解集为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由解集的两端点用韦达定理把 用 表示，再用基本不等式求解即可. 【详解】由题意知，且 是 的两根， 由韦达定理，，即，. 所以，当且仅当时取等号， 故的最小值为. 7．（26-27高一上·河南洛阳·阶段检测）已知二次函数 的图象如图所示，下列结论：①；②；③方程 有两个相等的实数根；④方程 的两根是 ，.其中正确结论有（    ）个. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图象确定开口方向、零点和顶点，求出 ，再逐项判断. 【详解】图象开口向下，所以；与 轴交于，， 可设 .顶点横坐标为，纵坐标为 ，所以，则. 于是 ，故，. ① ，正确； ② ，错误； ③ 方程，即，有两个相等的实根，正确； ④ 令，方程化为，解得或， 所以或，不是和，错误.正确的有①③，共 个. 8．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．命题“，”的否定是“，使得” B．若集合中只有一个元素，则 C．关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为 D．“，”是“”的充分不必要条件 【答案】D 【分析】命题“，”的否定是“，使得”； 若集合中只有一个元素，则有唯一解，分和两种情况讨论；关于x的不等式的解集，则且的两个根为和，代入求出关系即可求解；若，，则；当，时，，但不满足，. 【详解】命题“，”的否定是“，使得”，故A错误； 若集合中只有一个元素，则有唯一解， 所以或即，故B错误； 关于x的不等式的解集为， 则且的两个根为和，代入解得， 代入不等式得， 因为，所以不等式等价于，解得，故C错误； 若，，则；当，时，， 但不满足，，故“，”是“”的充分不必要条件，故D正确. 二、多选题 9．（26-27高一上·河南漯河·阶段检测）下列命题是真命题的是（     ） A．“”是“”的充分条件． B．“”是“”的既不充分也不必要条件． C．若，且，则． D．若，则． 【答案】BCD 【分析】利用不等式的性质判断A，举反例判断B，利用作差法判断C，D即可. 【详解】对于A，由题意，当时，若，则， 所以“”不是“”的充分条件，故A错误； 对于B，令，满足，不满足，充分性不成立， 令，满足，不满足，必要性不成立， 则“”是“”的既不充分也不必要条件，故B正确； 对于C，由题意若，则，而， 因为，则，所以，故C正确； 对于D，由题意得 ， 又， 则，所以， 即成立，故D正确. 10．（26-27高一上·山东临沂·阶段检测）下列结论正确的是（    ） A．若 ，则 的最小值为 4 B．若 ，则函数 的最大值为 C．若 ，则 的最大值为 1 D．若 ，则 【答案】BCD 【分析】利用配凑法、基本不等式等号成立的条件、函数的单调性判断A，通过配凑法构造定值判断选项B、C，利用均值不等式与倒数关系的综合放缩判断选项D. 【详解】对于A，， 当且仅当时，即时等号成立， 又，此方程无解，故等号不成立，最小值不为4，A错误； 对于B，，当且仅当，即时取等号，最大值为，B正确； 对于C，，则，不能直接使用基本不等式，但， ， 当且仅当时，即时等号成立， 满足x的取值要求，能取到等号，，最大值为1，C正确； 对于D，∵ ，，∴ ，∴， 当且仅当时，等号成立，成立，D正确. 11．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）已知关于的一元二次不等式的解集为或，则正确的是（    ） A．且 B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】BC 【分析】根据一元二次不等式的解集可知，且是方程的两根，由韦达定理得，，再逐项验证即可. 【详解】选项A：由题意知，，是方程的两根. 由韦达定理，，，所以，，故A错误. 选项B：代入，得，故B正确. 选项C：不等式，即，又，化简得，故解集为，C正确. 选项D：代入，不等式，即， 又，化简得，即，解得或， 故解集为或，D错误. 三、填空题 12．（26-27高一上·安徽宿州·阶段检测）若 ，，且 恒成立，则满足条件的的值组成的集合是______. 【答案】 【分析】令，，求得的最小值，再把恒成立转化为关于 的不等式进行求解． 【详解】令，，则， 等价于， 即， 又 当且仅当（即 ）时取等号． 要使不等式对任意恒成立， 只需． 由，得， 即： 又，所以． 13．（26-27高一上·山东青岛·阶段检测）若，，则的取值范围为______ 【答案】 【分析】利用换元法，根据不等式的性质计算范围． 【详解】令， 则，解得；故， 因为，则； 因为，则； 故，故的取值范围为． 14．（25-26高一上·湖南娄底·阶段检测）已知方程的两根分别是和，且满足，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【分析】方程有两个根，则判别式非负，之后结合韦达公式对不等式进行化简求解. 【详解】由题意得，解得或. 又，即，故0，解得或. 综上，的取值范围是. 四、解答题 15．（26-27高一上·广东江门·阶段检测）（1）设，为实数，比较与的值的大小． （2）已知，求证：． 【答案】（1） （2）因为， ， 所以，又，故， 所以，又，所以. 【分析】（1）利用作差法比较大小. （2）利用不等式的性质证明. 【详解】（1）因为 ， 所以. （2）略 16．（26-27高一上·山东临沂·阶段检测）已知 满足 ，且 ． (1)求 的最小值； (2)求 的最小值； (3)求 的最小值． 【答案】(1)18 (2)； (3) 【分析】由与知，， （1）利用基本不等式即可求出最小值； （2）将代入，利用基本不等式即可求出最小值； （3）令，，代入，利用即可求出最小值. 【详解】（1），，，， ， 当且仅当，即，时取等号， 的最小值为18． （2）由得， ， 当且仅当，即， 结合得，时取等号， 的最小值为． （3）令，，则，，且． ，， 原式． ， ，原式， 当且仅当，即，时取等号， 的最小值为． 17．（26-27高一上·福建泉州·阶段检测）某农户计划靠一面足够长的墙，用篱笆围出一块矩形菜地（墙作为矩形的一条长边，无需篱笆）．设垂直于墙的一条边长为米，平行于墙的一条边长为米，且． (1)已知所用的篱笆长为60米，设菜地面积为平方米，当为何值时，有最大值？并求出这个最大值． (2)若要围成面积为128平方米的菜地，需要用篱笆长最少是多少米？ 【答案】(1)时最大，最大值为450平方米； (2)最少需要32米 【分析】（1）由篱笆两条长为的边和一条长为的边组成，得，把化成关于的二次函数； （2）由用基本不等式求的最小值． 【详解】（1）篱笆长为，所以， ． 所以当时取最大值，此时，满足， 即当米时有最大值450平方米． （2）由，篱笆长， 当且仅当，即，时取等号，此时，满足， 所以最少需要32米篱笆． 18．（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）解下列不等式： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将原不等式移项并通分，转化为标准的分式不等式，再等价转化为一元二次不等式求解即可； （2）将原不等式移项并通分，化简为一边为的分式不等式，然后对分子分母分别因式分解，利用穿根法结合分式分母不为的原则求出解集. 【详解】（1）原不等式可化为： ， 通分得， 化简得，即. 等价于， 解得. 所以原不等式的解集为. （2）原不等式可化为： ， 通分得， 化简得. 对分子分母分别因式分解可得： 所以原不等式等价于.且、. 即. 令对应方程的根为. 如图，利用穿根法（自右向左，从右上方开始穿），可得不等式的解为： 或. 结合分母不为的条件，剔除和. 所以原不等式的解集为. 19．（26-27高一上·福建泉州·阶段检测）已知关于的不等式． (1)若时，求不等式的解集； (2)若，解这个关于的不等式； (3)，有恒成立，求的范围． 【答案】 (2)当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. (3) 【分析】（1）代入解一元二次不等式； （2）因式分解后根据参数分类讨论根的大小，写出解集即可； （3）将不等式转化为，设，由基本不等式即可求解． 【详解】（1）当时，不等式为，即， 分解得，解得， 所以解集为． （2）因，则， ① 当时，，不等式的解集为； ② 当时，不等式为，其解集为； ③ 当时，，不等式的解集. 综上可得，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. （3）， 因为恒成立， 所以原不等式等价于在上恒成立，即， 设，则， 令， 当且仅当时，即时，时，等号成立，则， 故的范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $口深购口互薄 第二章一元二次函数、方程和不等式单元自测卷(3（拔高）) 找动弱 宝讲诊 一、单选题 题断 1.(26-27高一上·山东临沂·阶段检测)已知a>b>℃>0>d,则下列不等式错误的 是() A.cd<d2 B.Csc a b c.a2-C>b2-9 b D. aa+c a bb+c 2.(26-27高一上·湖北黄石阶段检测)下列命题为真命题的是() A.2-3<V6-5 B.若ab0且a<b,则> a b C.若a>b,c>d,则a-c>b-d D.若1<x-y<3,-2<x+y<1,则-9<2x+4y<2 安徽宿州阶段检测)①当X>0时，+二≥2.②当0<x<三时，X X 值为8@lk+ X中1的最小值为2④若X>0,y>0,且X+2y=1.则8+18，以上说法正骑的 x y 有() A.①② B.①②④ C.①③④ D.①②③④ 4.(26-27高一上·福建泉州阶段检测)若命题P:“存在1≤X≤2，使得x2-ax+4<0”为假命题，则 实数a的最大值是() 3 A.1 C.4 D.6 5.(26-27高一上安徽毫州阶段检测)若0<x<1 3 则Vx16-3x)的最大值为() 8V3 4 A.4 B. 3 C.16 D. 6.(26-27高一上·安徽芜湖·阶段检测)已知一元二次不等式ax2+bx+c>0(a,b,c∈R)的解集为 1 xx<-1或x>3,则b-c+二的最小值为() A.-2 B.-3 C.2 D.1 试卷第1页（共3页） 7.(26-27高一上河南洛阳·阶段检测)己知二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，下列结论：① abc<0;②a+2b+4c≤0；③方程ax2+bx+c-4=0有两个相等的实数根：④方程 ax-1P+bx-1+c=0的两根是X,=-2'X,=2其中正确结论有（）个 -1可o13 A.1 B.2 C.3 D.4 8.(26-27高一上·江苏无锡·阶段检测)下列说法正确的是() A.命题“VX∈R,x2+1<0”的否定是“3x∈R,使得x2+1>0” B.若集合A=xax2+x+1=0中只有一个元素，则a=号 C.关于x的不等式ax+bx+c>0的解集为x|-2<x<3},则不等式cx+bx+a<0的解集为 {x-写x2 D.“a>2,b>2”是“ab>4”的充分不必要条件 二、多选题 9.(26-27高一上·河南漯河·阶段检测)下列命题是真命题的是() A.“a>b”是“ac2>bc2”的充分条件. B.“a>b”是“a>b2”的既不充分也不必要条件. 1、1 C.若a>b,且二>，则ab<0. ab D.若c>a>b>0,则Q>b c-a c-b 10.(26-27高一上·山东临沂·阶段检测)下列结论正确的是() A.若X∈R,则X2++4的最小值为4 x2+2 B.若0<x<号侧则厨数y=4x3-2x的最大值为 9 Q至X学则3x41+32的绿大植为1 试卷第2页（共3页） 1+a+b≥2 D.若a>0,b>0,则a而+2 11.(26-27高一上·江苏无锡·阶段检测)已知关于X的一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为 {x|x≤-2或x≥1}，则正确的是() A.b<0且c>0 B.4a+2b+c>0 C.不等式bx+c>0的解集为xx>2 D.不等式cX-bx+a<0的解集为 -1x 三、填空题 12.(26-27高-上：安徽宿州阶段检测)若a>b>c,m∈N,且，1+，1≥m2-3m a-b b-c a-c 恒成立， 则满足条件的m的值组成的集合是 13.(26-27高一上·山东青岛·阶段检测)若2<a-b<3,3<a+b<10,则a-2b的取值范围为 14.(25-26高一上·湖南娄底·阶段检测)已知方程x2+2ax+a+6=0的两根分别是X1和X2,且满足 ⊥+上<0，则实数a的取值范围是 X1 X2 四、解答题 15.(26-27高一上·广东江门·阶段检测)(1)设a,b为实数，比较a2+b2与4a-2b-5的值的大小 (2)已知c>a>b>0,求证：a>b, c-a c-b 16.(26-27高一上·山东临沂·阶段检测)已知a,b满足ab>0,且a+2b=6. (1)求a+4b2的最小值： (2)求 b+3 的最小值： a b )求。+46 的最小值 a+12b+1 17.(26-27高一上·福建泉州·阶段检测)某农户计划靠一面足够长的墙，用篱笆围出一块矩形菜地（墙 作为矩形的一条长边，无需篱笆)，设垂直于墙的一条边长为X米，平行于墙的一条边长为y米，且x<y. (1)已知所用的篱笆长为60米，设菜地面积为S平方米，当y为何值时，S有最大值？并求出这个最大值. (2)若要围成面积为128平方米的菜地，需要用篱笆长最少是多少米？ 18.（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测)解下列不等式： 0)2-x>1: X+3 试卷第3页（共3页） (2)x2+5x+1、 1 3+2x-x 19.(26-27高一上福建泉州阶段检测)已知关于x的不等式aX+a-1x-1>0° (1)若a=-2时，求不等式的解集； (2)若a<0,解这个关于x的不等式： yx∈0，+o?有(ax-1x+1小>7-ax-5a-7恒成立，求a的范围. 试卷第4页（共3页）