第2章 圆（单元测试）2026-2027学年数学新教材湘教版九年级下册
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内容正文：
第2章 圆
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
1．如图，在中，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，那么图中有弦（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【答案】B
【分析】本题考查了圆的认识，根据弦的定义进行判断．掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．
【解析】弦为、、．
故选B．
2．如图，四边形内接于，是的直径，点E在上，且，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．连接，根据圆内接四边形的性质，得，根据圆周角定理求出，，进而求出，计算即可．
【解析】如图，连接，
四边形内接于，
，
，
是的直径，
，
，
∵
，
故选D．
3．已知等边三角形的三个顶点均在上，，所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（ ）
A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定
【答案】B
【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，等边三角形的性质、三角函数及垂径定理，熟练掌握点与圆的位置关系，等边三角形的性质、三角函数及垂径定理是解题的关键；过点O作于点D，连接，由题意易得，，然后可得，进而问题可求解．
【解析】如图，过点O作于点D，连接，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴点在内；
故选B．
4．如图，已知是的直径，的弦于点E，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由垂径定理可得，由弧与圆心角之间的关系可得，再由圆周角定理可得答案．
【解析】∵是的直径，的弦于点E，
∴，
∴，
∴．故选A．
5．如图，是的直径，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查圆周角定理．根据圆周角定理可进行求解．
【解析】∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
故选B．
6．对于题目：“已知：点O为的外心，，求的度数．”小亮的解答：画出以及它的外接圆，连接，，如图，由，得．下列判断正确的是（ ）
A．小亮的求解不正确，或
B．小亮的求解正确
C．小亮的求解不正确，应该等于
D．小亮的求解不正确，的度数不固定
【答案】A
【分析】本题考查了圆周角定理以及外心的性质，运用了分类讨论思想，讨论是锐角三角形还是钝角三角形是解决本题的关键．
本题涉及圆周角定理，即一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，注意的是，需讨论是锐角三角形还是钝角三角形求解即可．
【解析】当是锐角三角形时，如图，
已知点O为的外心，连接，，
此时是圆心角，是圆周角，且，
即；
当是钝角三角形时，如图，
同样连接，，，
此时可得，
则四边形为圆的内接四边形，
所以，
总结，小亮只考虑了锐角三角形的情况，求解不正确，或．
故选A．
7．已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】A
【分析】解题需分情况讨论弦、与圆心的位置关系，避免漏解，先求出圆心到两条弦的距离，再分情况计算两弦间的距离。
【解析】①当弦和在圆心同侧时，
连接，，过点作于点并延长交于点．则，如图，
，，
，，
，
，，
；
②当弦和在圆心异侧时，如图，
，，
，，
，
，，
．
与之间的距离为或．故选A．
8．如图1，在正方形内，以点A为圆心，长为半径画弧，点P从圆弧的端点B出发，沿向点D运动，过点P作于点O．设点P运动的时间为，，图2是点P以每秒的速度运动时，y随x变化的关系图象，则图1中阴影部分面积为（ ）
A．3 B．9 C． D．
【答案】C
【分析】先由图象可得：当时，，可得，再进一步利用弧长与扇形面积公式可得答案．
【解析】由图象可得：当时，，
∴，
∴重合，重合，
∴的长为，
∴，
∴，
∴阴影部分面积为；
故选C
【点睛】本题考查的是动点问题的函数图象，正方形的性质，弧长的计算，扇形的面积，理解题意是解本题的关键．
9．在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做整点．如图，过整点A，B，C有一条圆弧，如果一条直线与这条圆弧相切于点B，则这条直线可以经过（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】C
【分析】此题主要考查了切线的性质以及垂径定理和坐标与图形的性质，得出时，，即得出点的坐标是解决问题的关键．根据垂径定理的性质得出圆心所在位置，再根据切线的性质得出，时E点的位置即可．
【解析】连接，作，的垂直平分线，交格点于点，则点就是所在圆的圆心，
∴三点组成的圆的圆心为：，
∵只有时，与圆相切，
此时，，且，
∴，
∴，则点的坐标为：，
延长，可知过点，，
∴点与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是：，，．
故选C．
10．下列说法正确的是（ ）
A．平分弦的直径垂直于弦
B．圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．等弧所对的弦必相等
【答案】D
【分析】此题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆是轴对称图形以及垂径定理，圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角，所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等．根据圆的相关性质逐一判断即可．
【解析】A．平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故该选项错误；
B．圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，故该选项错误；
平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，所以B选项错误；
C．在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，故该选项错误；
D．同弧或等弧所对的圆周角相等，故该选项正确；
故选D．
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
11．如图，在扇形中，，，则扇形的面积为________．
【答案】
【分析】本题考查扇形的面积公式，根据扇形的面积公式（n为扇形圆心角的度数）直接求解即可．
【解析】由题意，该扇形的面积为，
故答案为．
12．如图，在扇形中，过的中点作，垂足分别为．已知，则图中阴影部分的面积为________（结果保留）．
【答案】
【分析】先证明四边形是矩形，再证明得到，得到矩形是正方形，根据阴影部分图形的面积和等于扇形面积减去正方形的面积即可得到答案．
【解析】如图所示，连接，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∵点C是的中点，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴矩形是正方形，
∴，
∵， ，
∴，
∴图中阴影部分的面积，
故答案为．
【点睛】本题主要考查了不规则图形的面积的计算，勾股定理，圆心角与弧之间的关系，矩形的判定，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识是解题的关键．
13．扇形餐盘具有独特的视觉效果和实用性，广泛应用于家庭、餐饮及商业场景，如图，一餐盘所在大圆的半径为，所在小圆的半径为，对应的圆心角为，则该餐盘的面积为________．（结果保留）
【答案】
【分析】直接利用餐盘的面积，再代入即可求解．
【解析】如图，
该餐盘的面积
．故答案为$200\pi$．
14．若点P到上的所有点的距离中，最大距离为8，最小距离为2，那么的半径为________．
【答案】或者
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，分点P在外和内两种情况讨论，当点P在外时，最大距离与最小距离之差等于直径；当点P在内时，最大距离与最小距离之和等于直径，即可得．
【解析】点P在外时，
外一点到上所有的点的距离中，最大距离是，最小距离是，
的半径长等于；
点P在内时，
内一点到上所有的点的距离中，最大距离是，最小距离是，
的半径长等于，
故答案为或者．
15．如图，在平面直角坐标系中，经过三点，D是上的一动点．当点D到弦的距离最大时，的值是 ________．
【答案】
【分析】连接，过点P作于E，延长交于点D，根据勾股定理求出，根据垂径定理得到，再根据勾股定理求出，进而求出，根据正弦的定义计算，得到答案．
【解析】如图，连接，过点P作于E，延长交于点D，此时点D到弦的距离最大，
∵，
∴，
∵，
∴为的直径，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、垂径定理、正弦的定义、勾股定理是解题的关键．
16．如图，在正方形中，是对角线上一点，连接，将绕点逆时针旋转得，连接交于点，连接．则下列结论中：①；②；③；④；⑤当时，则，其中正确结论的序号是________．
【答案】①②③⑤
【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，由可证故①符合题意，可得可证 故②符合题意；通过证明点， 点， 点， 点四点共圆，可得 故③符合题意；通过证明可得 故④不符合题意；通过证明 可得故⑤符合题意，即可求解，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
【解析】 ∵四边形是正方形，
∴， ，
∵将绕点逆时针旋转得，
∴， ，
∴，
在和中，
，
∴，故①符合题意；
∴，
∴，
∴， 故②符合题意；
∵，
∴点， 点， 点， 点四点共圆，
∴， 故③符合题意；
∵，
，
，故④不符合题意；
设则
∵点， 点， 点， 点四点共圆，
故⑤符合题意，
故答案为①②③⑤．
三、解答题（本大题共 9 小题，每小题 8 分，共 72 分）
17．（8分）如图，是圆的一条弦（不是直径）．仅用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图，并保留作图痕迹，不写作法．
（1）作圆心和的中点．
（2）连接，交于点，若，，求的半径．
【答案】（1）如图，点和点即为所求，
（2）
【分析】（1）在圆弧上再取一点，连接，作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心，的垂直平分线与的交点即为点；
（2）连接，由垂径定理的逆定理可得，，使用勾股定理计算出的值即可．
【解析】（1）略
（2）解：如图，连接，
由（1）可知，点是的中点，
∴，
∴，
在中，．
18．（8分）请仅用无刻度直尺(即不使用刻度尺上的刻度功能)和0.5毫米黑色墨水签字笔作出所要求的图形并在答题卡上保留作图痕迹．
（1）如图1，已知平行四边形，点E为边上任意一点且，请作出线段的中点；
（2）如图2，矩形直尺的一个直角顶点在圆周上，请作出该圆的一条直径．
【答案】（1）
点即为求作的点；
（2）
即为求作的；
【分析】本题主要考查了无刻度直尺作图，涉及平行四边形的性质和判定，三角形中位线的性质及平行线分线段成比例定理及90度的圆周角所对的弦是直径，熟知相关性质是正确解答此题的关键．
（1）连接，的对角线，连接两个平行四边形的对角线交点，与的交点即为的中点．
（2）将直尺的一组邻边延长，与圆交于两点，连接这两点即为圆的直径．
【解析】（1）解：连接的对角线，的对角线，连接两个平行四边形的对角线交点，与的交点即为的中点．
理由：中，，
，
四边形是平行四边形，
，同理，
是的中位线，
，
，
，
，
即点为的中点；
（2）解∶ 将直尺的一组邻边延长，与圆交于两点，连接即为圆的直径，
即为求作的；
理由：由题意，直尺的一个角为直角，
，
是圆的直径．
19．（8分）如图，是的直径，点是上的一点，点是延长线上的一点，连接，．
（1）求证：是的切线；
（2）若的直径是8，，求的长．
【答案】（1）
证明：连，
，
，
，
，
，
即，
是直径，
，
，
是半径，
是的切线．
（2）
【分析】本题考查了切线的判定，弧长公式，解直角三角形等知识，解题的关键是：
（1）根据等边对等角并结合已知可得出，根据直径所对的圆周角是直角可得出，然后根据切线的判定即可得证；
（2）在中，根据正切的定义和特殊角的三角函数值可求出，然后根据弧长公式求解即可．
【解析】（1）略
（2）解：的直径是8，
，
在中，，
，
，
的长为．
20．（8分）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点，，，在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点为原点建立直角坐标系．
（1）过，，三点的圆的圆心坐标为________；
（2）请通过计算判断点与的位置关系．
【答案】（1）
（2）在圆外
【分析】本题考查了垂径定理推论，勾股定理，平面坐标系中点的坐标，点与圆的位置关系，根据垂径定理得出圆心位置是解答本题的关键．
（1）连接，，分别作，的垂直平分线，两直线交于点，就是过，，三点的圆的圆心，由图形可得的坐标；
（2）分别求出和的长度进行比较即可作出判断．
【解析】（1）解：如图，连接，，分别作，的垂直平分线，两直线交于点，
是过，，三点的圆的圆心，
（2）．
（2），，，
，，
，
点在的外部．
21．（8分）在等边中，，以A为圆心，2为半径画的．
（1）【特例感知】如图①，当点D、E分别在上时，与的数量关系为 ．（不需要证明）
（2）【一般探究】如图②，将图①中的扇形绕点A转动，在旋转过程中，上述（1）的数量关系还存在吗？请说明理由．
（3）【思维拓展】如图②，在扇形旋转过程中，当点B、E、D三点共线时，的长为 ．
【答案】（1）
（2）存在，理由：
∵是等边三角形，
∴，．
∵的度数为，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）
【分析】（1）由等边三角形的性质得，然后利用等式的性质可得答案；
（2）先证明，然后根据证明即可求解；
（3）分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况求解即可．
【解析】（1）∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为；
（2）略；
（3）当顺时针旋转时，如图，作于H，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
由（2）得：，
∴；
当逆时针旋转时，如图，作于H，
同理可求．
综上可知，的长为．
故答案为．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．
22．（8分）如图，在中，，点在上，以为半径的半圆交于点，交于点，点在上，且．
（1）求证：是半圆的切线；
（2）若，，，求半圆的半径．
【答案】（1）
证明：连接，如图1，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是半圆O的切线；
（2）
【分析】本题主要考查了切线的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理．
（1）连接，根据，得，证明，得，进而可得结论；
（2）设半径为r，连接，，则，求得，再由勾股定理，利用为中间变量列出r的方程便可求得结果．
【解析】（1）略
（2）解：连接，，如图2，
设圆的半径为r，则，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∴．
故圆的半径为．
23．（8分）水上公园南侧新建的摩天轮吸引了附近市民的目光．据工作人员介绍，新建摩天轮直径为，最低点距离地面，摩天轮的圆周上均匀地安装了个座舱（本题中将座舱视为圆周上的点），游客在距离地面最近的位置进舱．
（1）小明所在座舱到达最高点时距离地面的高度为________；
（2）在小明进座舱后间隔个座舱小亮进入座舱（如图，此时小明和小亮分别位于，两点），求两人所在座舱在摩天轮上的距离（的长）和直线距离（线段的长）．
【答案】（1）
（2）在摩天轮上的距离（的长）为，直线距离（线段的长）为
【分析】本题考查了点到圆上一点的距离，求弧长，等边三角形的性质与判定
（1）根据点到圆的距离可得最高点到地里的距离为；
（2）根据题意得出，进而根据弧长公式即可求解；证明为等边三角形，即可求得的长．
【解析】（1）解：如图，由题意可知，
当座舱转到点时，距离地面最高，
此时；
（2）圆周上均匀的安装了24个座舱，因此每相邻两个座舱之间所对的圆心角为，
的长为，
如图，连接，
且，
为等边三角形，
．
答：两人所在座舱在摩天轮上的距离（的长）为，直线距离（线段的长）为．
24．（8分）如图，内接于，，．连接交于点E，交点F．
（1）求证：与相切；
（2）当点F为弧的中点，，时，求的半径．
【答案】（1）
证明：连接、，，延长交于点G，如图所示：
∵，，
∴垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵为半径，
∴与相切；
（2）
【分析】（1）连接、，，延长交于点G，证明垂直平分，得出，，根据平行线的性质得出，即可得出，证明与相切；
（2）证明，得出，证明，得出，求出，设，则，根据勾股定理得出，求出，即可得出答案．
【解析】（1）略
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵点F为弧的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴，
∴，
设，则，
根据勾股定理得：，
即，
解得：，
即的半径为．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，平行线的性质，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
25．（8分）如图，在中，点C是上的一点，作交于点D，连接．
（1）求证：；
（2）连接并延长交于点E，交弦于点F，连接交于点G，连接、，请根据题意画图．已知，．
①若，求的长度；
②若点C从点A沿运动点B时，求线段的长度最小值．
【答案】（1）见解析
（2）①②
【分析】（1）根据，得到，进而得到，即可得证；
（2）①根据题意，作出图形，根据圆周角定理，得到，勾股定理求出的长，进而得到，，利用勾股定理求出的长，进而得到的长，利用进行求解即可；②易得点在以为直径的上，得到当三点共线时，取得最小值为，进行求解即可．
【解析】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：①如图，
∵是的直径，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∵，
设，则：，
∴，
在中，，即：，
解得：或，
当，，不符合题意，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴；
②由①可知：，
∴点在以为直径的上，则：，
∴当三点共线时，取得最小值为，如图：
由①可知：，，
∴，，
此时．
【点睛】本题考查圆周角定理，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等弧对等弦，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，是解题的关键．
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第2章 圆
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
1．如图，在中，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，那么图中有弦（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
2．如图，四边形内接于，是的直径，点E在上，且，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．已知等边三角形的三个顶点均在上，，所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（ ）
A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定
4．如图，已知是的直径，的弦于点E，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，是的直径，，则（ ）
A． B． C． D．
6．对于题目：“已知：点O为的外心，，求的度数．”小亮的解答：画出以及它的外接圆，连接，，如图，由，得．下列判断正确的是（ ）
A．小亮的求解不正确，或
B．小亮的求解正确
C．小亮的求解不正确，应该等于
D．小亮的求解不正确，的度数不固定
7．已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（ ）
A．或 B．或 C． D．
8．如图1，在正方形内，以点A为圆心，长为半径画弧，点P从圆弧的端点B出发，沿向点D运动，过点P作于点O．设点P运动的时间为，，图2是点P以每秒的速度运动时，y随x变化的关系图象，则图1中阴影部分面积为（ ）
A．3 B．9 C． D．
9．在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做整点．如图，过整点A，B，C有一条圆弧，如果一条直线与这条圆弧相切于点B，则这条直线可以经过（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
10．下列说法正确的是（ ）
A．平分弦的直径垂直于弦
B．圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．等弧所对的弦必相等
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
11．如图，在扇形中，，，则扇形的面积为________．
12．如图，在扇形中，过的中点作，垂足分别为．已知，则图中阴影部分的面积为________（结果保留）．
13．扇形餐盘具有独特的视觉效果和实用性，广泛应用于家庭、餐饮及商业场景，如图，一餐盘所在大圆的半径为，所在小圆的半径为，对应的圆心角为，则该餐盘的面积为________．（结果保留）
14．若点P到上的所有点的距离中，最大距离为8，最小距离为2，那么的半径为________．
15．如图，在平面直角坐标系中，经过三点，D是上的一动点．当点D到弦的距离最大时，的值是 ________．
16．如图，在正方形中，是对角线上一点，连接，将绕点逆时针旋转得，连接交于点，连接．则下列结论中：①；②；③；④；⑤当时，则，其中正确结论的序号是________．
三、解答题（本大题共 9 小题，每小题 8 分，共 72 分）
17．（8分）如图，是圆的一条弦（不是直径）．仅用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图，并保留作图痕迹，不写作法．
（1）作圆心和的中点．
（2）连接，交于点，若，，求的半径．
18．（8分）请仅用无刻度直尺(即不使用刻度尺上的刻度功能)和0.5毫米黑色墨水签字笔作出所要求的图形并在答题卡上保留作图痕迹．
（1）如图1，已知平行四边形，点E为边上任意一点且，请作出线段的中点；
（2）如图2，矩形直尺的一个直角顶点在圆周上，请作出该圆的一条直径．
19．（8分）如图，是的直径，点是上的一点，点是延长线上的一点，连接，．
（1）求证：是的切线；
（2）若的直径是8，，求的长．
20．（8分）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点，，，在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点为原点建立直角坐标系．
（1）过，，三点的圆的圆心坐标为________；
（2）请通过计算判断点与的位置关系．
21．（8分）在等边中，，以A为圆心，2为半径画的．
（1）【特例感知】如图①，当点D、E分别在上时，与的数量关系为 ．（不需要证明）
（2）【一般探究】如图②，将图①中的扇形绕点A转动，在旋转过程中，上述（1）的数量关系还存在吗？请说明理由．
（3）【思维拓展】如图②，在扇形旋转过程中，当点B、E、D三点共线时，的长为 ．
22．（8分）如图，在中，，点在上，以为半径的半圆交于点，交于点，点在上，且．
（1）求证：是半圆的切线；
（2）若，，，求半圆的半径．
23．（8分）水上公园南侧新建的摩天轮吸引了附近市民的目光．据工作人员介绍，新建摩天轮直径为，最低点距离地面，摩天轮的圆周上均匀地安装了个座舱（本题中将座舱视为圆周上的点），游客在距离地面最近的位置进舱．
（1）小明所在座舱到达最高点时距离地面的高度为________；
（2）在小明进座舱后间隔个座舱小亮进入座舱（如图，此时小明和小亮分别位于，两点），求两人所在座舱在摩天轮上的距离（的长）和直线距离（线段的长）．
24．（8分）如图，内接于，，．连接交于点E，交点F．
（1）求证：与相切；
（2）当点F为弧的中点，，时，求的半径．
25．（8分）如图，在中，点C是上的一点，作交于点D，连接．
（1）求证：；
（2）连接并延长交于点E，交弦于点F，连接交于点G，连接、，请根据题意画图．已知，．
①若，求的长度；
②若点C从点A沿运动点B时，求线段的长度最小值．
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