湖南省岳阳市2026-2027学年高二上学期期中自编模拟试卷 数学试题

湖南省岳阳市2026-2027学年高二上学期期中自编模拟试卷 数学试题 注意事项： 1. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。 2. 请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。 3. 作答选择题必须用 2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。作答非选择题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。 4. 本试卷共 4 页，满分 150 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1.若，则（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】. 故答案选：A. 2.在四面体中，，，两两垂直且相等，是的中点，则异面直线和所成角为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设，以为原点，，，所在直线为，，轴建立坐标系. 则，，，为AB中点，故. 向量，. 设异面直线AC和PE所成角为，则. 因， ，. 故， 又，则. 故答案为：A. 3.与直线垂直且过点的直线的方程为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由直线得斜率, 因为所求直线与已知直线垂直, 故斜率, 由所求直线过点得方程, 即, 答案为A. 4.、分别为与上任意一点，则的最小值为（） A. B. C.3 D.6 【答案】B 【解析】因为直线与直线互相平行, 故的最小值为两直线间的距离, 由平行线间距离公式得. 答案为 B. 5.已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（） A.6 B. C. D. 【答案】D 【解析】由点得,直线的方程为. 圆的圆心为,半径. 由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离. 因为点在圆上,所以点到直线的距离最小值为. 故面积的最小值为. 答案为D. 6.在长方体中，已知，，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】以为原点，、、为、、轴建空间直角坐标系. 得，，，. 则，. 可得. 则. 可得， 即直线与所成角的余弦值为. 答案为C. 7.已知椭圆，直线，则椭圆上的点到直线的最大距离为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设椭圆的切线为, 代入得. 由切线条件, 得, 解得. 因为直线在椭圆上方, 故椭圆上点到的最大距离为与切线的距离. 由平行直线距离公式得. 答案为B. 8.已知斜率为的直线过双曲线的左焦点，且与的左，右两支分别交于，两点，设为坐标原点，为的中点，若是以为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（） A.2 B. C.3 D. 【答案】A 【解析】双曲线，则，，左焦点. 设，，，，. 由，两式相减得， 则，即. 已知，以为底边等腰，，， ，直线倾斜角与直线倾斜角关系：（几何关系）， 为倾斜角），， 则， 又，，. 离心率. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.随机事件满足，下列说法正确的是（） A. B.事件与事件相互独立 C. D. 【答案】AB 【解析】对于选项A： 因为,由得,A正确. 对于选项B： 因为,且, 故,事件与事件相互独立,B正确. 对于选项C： 由得,C错误. 对于选项D： 由得,又, 故,D错误. 答案为AB. 10.以下命题正确的是（ ） A.平面，的法向量分别为，，则 B.直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直 C.直线的方向向量为，平面的法向量为，则 D.平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则 【答案】BD 【解析】A选项：若两平面平行，则它们的法向量应共线，即存在实数使得. 对于，，不存在这样的，故与不平行，选项A错误. B选项：两直线垂直的充要条件是它们的方向向量点积为. ，故，选项B正确. C 选项：直线与平面平行的条件是方向向量与法向量垂直，且直线不在平面内. ，仅能说明或，无法确定，选项C错误. D选项：平面法向量与平面内任意向量垂直，，. 则，解得，，故，选项D正确. 故答案为：BD. 11.已知圆和直线，点在直线上运动，直线、分别与圆相切于点、，则下列说法正确的是（） A.切线长最小值为 B.四边形的面积最小值为 C.最小时，弦所在的直线方程为 D.弦长的最小值为 【答案】BC 【解析】已知圆心为，半径，连接、，则. 选项A：由勾股定理得. 当时，最小，也最小. ， ，A错误. 选项B：由切线长定理知， 又，，则. 四边形， 当且仅当时等号成立，B正确. 选项C：最小时，，直线斜率为，则. 直线方程为. 联立，得，即. 线段中点为， 因为，且， 所以四边形是正方形，. 直线过点，方程为，即，C正确. 选项D：设， 因为，则. 又，所以，为中点. ， . 当时，最小为，. ，D错误. 故答案选：. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.某市青少年机器人编程大赛进入决赛阶段，共有支队伍参赛，其中支队伍由女生主导（记为组），支队伍由男生主导（记为组）．组委会通过随机抽签决定决赛展示顺序．设事件为“第1个进行展示的队伍来自组”，事件为“第2个进行展示的队伍来自组”．则                  ，                   ． 【答案】； 【解析】由题意可得事件可以分为两种情况，即第一个进行展示的队伍来自组和第一个进行展示的队伍来自组， 所以； ，， 所以. 13.如图，在平行四边形中，与相交于.若，则的长为                   . 【答案】4 【解析】设，. 则 ， ， 则，解得，所以， 已知，则 解得，即的长为. 故答案为：. 14.已知椭圆，经过坐标原点的两条直线分别与椭圆相交于、、、四个点，若该两条直线的斜率分别为、，且，则的面积为                   ． 【答案】 【解析】设，， 由得、斜率存在且不为， 故. 直线的方程为， 整理得，点到直线的距离， 故的面积. 因为点、在椭圆上， 所以，，结合，得， 代入得，化简得. 展开， 代入、和得， ， 结合，得. 从而. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.如图，在四棱锥中，，且，，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】⑴证明：取中点,连接、. 由为中点,得且. 由,得且. 故四边形为平行四边形,得. 因平面平面, 故平面. ⑵解：取中点,连接. 由且,得四边形为平行四边形, 故. 由,得, 故. 由,得. 在中,,由余弦定理得, 故. 由,得, 故. 由,得,又, 故平面. 在平面内作,以、、为、、轴正方向建立空间直角坐标系, 则. 得. 假设存在点, 设, 则, 故. 设平面的法向量为,由,令,得. 设平面的法向量为,由,令,得. 由平面与平面的夹角余弦值为,得,代入得. 解得舍去）, 故. 16.已知圆，直线，直线与圆交于点. (1)求证：直线过定点； (2)若直线所过定点为，满足，求此时直线的方程； 【答案】⑴证明：由直线,得. 因为该式对任意实数成立, 故, 解得, 因此直线过定点. 圆的圆心为,半径,定点记为. ⑵解：由,得, 设, 则, 故. 过作于, 则为中点, 故. 由,得. 因为,且, 故. 两式相减得, 解得, 故, 即. 圆心到直线的距离,由点到直线距离公式,得. 化简得, 故, 解得. 当时,直线的方程为； 当时,直线的方程为. 17.甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.且“星队”在两轮活动中猜对了所有成语的概率为. (1)求的值； (2)求“星队”在两轮活动中，猜对个成语的概率； (3)若某人在两轮活动中至少猜对个成语，则该人可获得“优秀队员”称号，求“星队”的甲、乙两人中恰有一人获得此称号的概率. 【答案】解：(1)已知甲每轮猜对的概率为，则甲两轮都猜对的概率为. 因为甲和乙猜对与否互不影响，设乙每轮猜对的概率为，那么乙两轮都猜对的概率为. “星队”在两轮活动中猜对了所有成语，即甲、乙两轮都猜对，其概率为， 所以，得， 因为，所以. (2)“星队”在两轮活动中猜对个成语有两种情况： 甲猜对个，乙猜对个： 甲猜对个的概率为，乙猜对个的概率为， 这种情况的概率为. 甲猜对个，乙猜对个： 甲猜对个的概率为，乙猜对个的概率为， 这种情况的概率为. 所以“星队”在两轮活动中猜对个成语的概率为. (3)先求甲至少猜对个成语的概率： 甲一个都没猜对的概率为，所以. 再求乙至少猜对个成语的概率： 乙一个都没猜对的概率为，所以. “星队”的甲、乙两人中恰有一人获得此称号有两种情况： 甲获得，乙不获得：概率为. 甲不获得，乙获得：概率为. 则“星队”的甲、乙两人中恰有一人获得此称号的概率为. 18.如图，在平面四边形中，为等腰直角三角形，为正三角形，，，现将沿翻折至，形成三棱锥，其中为动点． (1)证明：； (2)若，求三棱锥的体积； (3)求平面与平面夹角余弦值的最小值． 【答案】(1)证明：取的中点，连接. ，为中点， 故. ，为中点， 故. ，平面， 故平面. 平面， 故. (2)解：为等腰直角三角形，， 故. 为正三角形， 故. ，， 故. 为中点， 故， . 在中，，， ， . 三棱锥的高. 的面积. 三棱锥的体积. (3)解：以为原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系. ，，，. 设， 则. ， ， . 设平面的法向量为， ， 即， ， 即， 取，得. 设平面的法向量为， ， 即， ， 即， 取，得. . 令， 则. ， 故. 当且仅当， 即时取等号. 故平面与平面夹角余弦值的最小值为. 19.已知椭圆的左焦点为，椭圆上任意一点到的距离最大值为. (1)求椭圆的方程； (2)过原点且斜率为的直线与椭圆交于，两点. 当时，设直线，的斜率分别是，，求证：为定值； （ⅱ）过点作垂直于的直线交于，交圆于，两点，记，的面积分别为，求的取值范围. 【答案】(1)解：由椭圆左焦点为得,椭圆上任意一点到的距离最大值为, 故,椭圆的方程为. (2)证明：设, 联立得, 故. 由,得. 代入,得. 由, 故, 即证. （ii）解：由均为直角三角形得. 因在上,且在圆上, 故, 则. 由过原点得在上, 故. 当时,, 故. 当时,直线的方程为. 由,得. 令, 则,代入得. 因在时单调递增, 故. 令, 则,由得. 综上,的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省岳阳市2026-2027学年高二上学期期中自编模拟试卷 数学试题 注意事项： 1. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。 2. 请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。 3. 作答选择题必须用 2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。作答非选择题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。 4. 本试卷共 4 页，满分 150 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1.若，则（） A. B. C. D. 2.在四面体中，，，两两垂直且相等，是的中点，则异面直线和所成角为（） A. B. C. D. 3.与直线垂直且过点的直线的方程为（） A. B. C. D. 4.、分别为与上任意一点，则的最小值为（） A. B. C.3 D.6 5.已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（） A.6 B. C. D. 6.在长方体中，已知，，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（） A. B. C. D. 7.已知椭圆，直线，则椭圆上的点到直线的最大距离为（） A. B. C. D. 8.已知斜率为的直线过双曲线的左焦点，且与的左，右两支分别交于，两点，设为坐标原点，为的中点，若是以为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（） A.2 B. C.3 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.随机事件满足，下列说法正确的是（） A. B.事件与事件相互独立 C. D. 10.以下命题正确的是（ ） A.平面，的法向量分别为，，则 B.直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直 C.直线的方向向量为，平面的法向量为，则 D.平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则 11.已知圆和直线，点在直线上运动，直线、分别与圆相切于点、，则下列说法正确的是（） A.切线长最小值为 B.四边形的面积最小值为 C.最小时，弦所在的直线方程为 D.弦长的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.某市青少年机器人编程大赛进入决赛阶段，共有支队伍参赛，其中支队伍由女生主导（记为组），支队伍由男生主导（记为组）．组委会通过随机抽签决定决赛展示顺序．设事件为“第1个进行展示的队伍来自组”，事件为“第2个进行展示的队伍来自组”．则                  ，                   ． 13.如图，在平行四边形中，与相交于.若，则的长为                   . 14.已知椭圆，经过坐标原点的两条直线分别与椭圆相交于、、、四个点，若该两条直线的斜率分别为、，且，则的面积为                   ． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.如图，在四棱锥中，，且，，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？ 若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 16.已知圆，直线，直线与圆交于点. (1)求证：直线过定点； (2)若直线所过定点为，满足，求此时直线的方程； 17.甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.且“星队”在两轮活动中猜对了所有成语的概率为. (1)求的值； (2)求“星队”在两轮活动中，猜对个成语的概率； (3)若某人在两轮活动中至少猜对个成语，则该人可获得“优秀队员”称号，求“星队”的甲、乙两人中恰有一人获得此称号的概率. 18.如图，在平面四边形中，为等腰直角三角形，为正三角形，，，现将沿翻折至，形成三棱锥，其中为动点． (1)证明：； (2)若，求三棱锥的体积； (3)求平面与平面夹角余弦值的最小值． 19.已知椭圆的左焦点为，椭圆上任意一点到的距离最大值为. (1)求椭圆的方程； (2)过原点且斜率为的直线与椭圆交于，两点. 当时，设直线，的斜率分别是，，求证：为定值； （ⅱ）过点作垂直于的直线交于，交圆于，两点，记，的面积分别为，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $