湖南省多校联考2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

2025 年下学期高二期中考试 数 学 本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.双曲线 的渐近线方程为 A. y=±2x 2.如图，在复平面内，复数z₁，z₂对应的点分别为Z₁，Z₂，则复数. A.1+i B.-1+i C.3+i D.-3+i 3.已知向量a=(-1,2,2),b=(-2,2,1),若a⊥(a-λb),则λ= A. B. C. D. 4.在平面直角坐标xOy中,已知三点A(a,1),B(1,b),C(3,3),若向量 在 上的投影向量相等，则a-b的值为 A.-2 B.0 C.2 D.3 5.高二某班有30名男生和20名女生，男生的平均身高比女生的平均身高多12厘米，则男生的平均身高比全班的平均身高 A.多4.8厘米 B.多5.6 厘米 C.多7.2 厘米 D.多8.4厘米 6.已知定点M(1,5)和直线l:(1+m)x-y-2m+1=0(m∈R),则点 M 到直线l 的距离d 的最大值为 A.2 B.2 C. D. 7.若函数F(x)=f(x)-3×2x为奇函数,G(x)=f(x)+2-x为偶函数,则 A. f(x)的最小值为2 ，无最大值 B. f(x)的最大值为 无最小值 C. f(x)的最小值为 最大值为： D. f(x)既没有最小值，也没有最大值 8.设 F 是椭圆 的左焦点，P 是椭圆上的动点，A 是直线3x+4y+25=0上的动点，则|PA|-|PF|的最小值为 A. B. C. D.3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分. 9.已知函数 则 A. f(x)的最小正周期为π C. f(x)在 单调递增 D. f(x)在 的值域为[2,3] 10.已知曲线C 则 A.曲线C 表示一个圆 B.点(1,3) 在曲线 C 上 C.曲线C被直线x-y+2=0截得的弦长为 D.曲线 C 与所有平行于 y 轴的直线都有交点 11.已知正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱长为1,动点 P 满足 其中λ,μ,ν∈[0,1],则下列说法正确的是 A.若λ=μ,v=0,则B1D⊥D1P B.若λ=0,μ=v=1,则CP∥平面A1BD C.平面ABP 与平面ABC 夹角的大小与λ,μ,ν都有关 D.若 则点 P 到平面BDA₁的距离是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若方程 所表示的曲线C 为椭圆，且焦点在y 轴上，则t 的取值范围是 . 13.已知圆M: 圆 N 是以圆. 上一点为圆心，半径为1的圆，圆M与圆N 交于A,B 两点,则当|AB|最大时,∠AMB 的大小为 . 14.已知{a，b，c}是空间的一个基底，向量 且A,B,C,D 四点共面,则λ= . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)在 中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知 (1)证明:b=2c; (2)若 D 为边 BC 上一点, 的面积是 的面积的两倍， 求△ABC 的周长. 16.(15分)在直角坐标系xOy 中,过圆 上任意一点 P 作y 轴的垂线段 PD，D为垂足.当点 P 在圆上运动时，总有 设点 M 的轨迹为曲线C. (1)求C 的方程; (2)过点 Q(1,0)的直线l 交C 于M,N 两点,且 的面积为 ，求直线l 的方程. 17.(15分)已知圆O: 圆M (1)求圆O 与圆M 的公共弦所在直线的方程及弦长； (2)求圆O与圆M 的公切线的交点 P 的坐标，并求公切线的方程. 18.(17分)如图,在四棱锥 P—ABCD 中, (1)证明：平面 (2)求平面 PAB 与平面PBC 夹角的余弦值; (3)设M 是三棱锥 P—ABD 外接球球面上的一动点，求 的最小值. 19.(17分)已知双曲线 的一条渐近线方程为 实轴长为4. (1)求C 的标准方程； (2)若直线l：y=kx+m与双曲线C交于不同的两点A，B(点A，B 均在第一象限，且点A 在点B 上方)，直线l 与直线y=x交于点N，O为坐标原点，且 设直线OA,OB 的斜率分别为k₁,k₂. (i)判断 是否为定值?若是，求出该定值；若不是，说明理由； (ii)若m=-1,求k的值. 学科网（北京）股份有限公司 $2025年下学期高二期中考试·数学 参考答案、提示及评分细则 1.【答案】C 【解行议曲线号一)-1的嵛近线方程为号少=0，即y= 22. 2.【答案】D 【解析】在复平面内，复数x1,之2对应的点分别为Z1,Z2,则之1=1十i,之2=一1十2i,得x1·2=(1十i)(一1十 2i)=-3+i. 3.【答案】C 【解析】由a=(-1,2,2),b=(-2,2,1),得|a=√J(-1)+2+22=3, a·b=(-1)×(-2)+2×2+2×1=8,由a⊥(a-λb),得a·(a-b)=a2-aa·b=9-8入=0，所以A= 号故选C 4.【答案】B 【解析】向量0i,0成在向量0心上的投影向量相同：O所·0元心_O应·0心 ocI .(0A-OB).0C=0,0A-OB=(a-1,1-b),0C=(3,3), .(a-1,1-b)·(3,3)=0,∴.a-1+1-b=0,∴.a-b=0. 5.【答案】A 【解析】设男生平均身高为xcm,女生平均身高为ycm,则元-y=12, 色体平均身高为30020730z十2012x-48, 50 则男生的平均身高减全班的平均身高为x一(x一4.8)=4.8， 故男生的平均身高比全班的平均身高多4.8厘米. 6.【答案】D 【解析】直线l:(1十m).x-y一2十1=0(m∈R),即m(x-2)+x-y+1=0, 1x-2=0 x=2 由 解得，所以直线1过定点Q(2,3), x-y+1=0 y=3 所以d的最大值为|PQ|=√(2-1)+(3-5)2=√5. 【高二数学试题参考答案第1页（共7页）】 B 7.【答案】A 【解析】F(x)=f(x)一3×2为奇函数，G(x)=f(x)十2x为偶函数， 所以F(-x)=f(-x)-3X2x=-f(x)+3X2,G(-x)=f(-x)+2r=f(x)+2x, 解得f(x)=2X2x十2-r. 因为2r>0,所以f(x)=2X2x+2x≥2√2×2r×2=2√2， 当且仅当2×2=2，即x=-2时取等号，所以f(x)的最小值为22，无最大值. 8.【答案】A 【解析】曲号+号-1pa=86-5c-后-下-2，设F'为该椭圆的右焦点，则F'(2.0).所以PF+ |PF'|=2a=6,于是|PA|-|PF1=PA十|PF'-6,显然当F',P,A三点共线，且PA与直线3x十4y十 25=0垂直时，PA|一|PF有最小值，最小值为 2X3+25-6-日放选N √32+4 9.【答案】ABD 【解析1rx)=3sim2x十2cosx=3sin2x十eos2x+1-2sin(2z+8）+1. 对于A,T=2=元，故A正确： 2 对于By=f(x)的对称轴方程为2x+否-受+2k,k∈，即x=否十kx:k∈Z,当=0时y=f(x)关于 6-2 x=吾对称，即fx)=f(-故B正确： 对于C,由2红十晋∈[兰十2，受2]k∈Z,得了)的单调遥增区间为[-音+ 十kπ，k∈Z, 但0， 不是上述区间的子集，故C错误； 对于D.r,]>2+c[吾}n2+)∈1,2]→2sn2:+)+1∈3]，故D正确， 10.【答案】BD 【解析】对于A,由圆的一般方程可知，圆的方程中无xy项，故A错误； 对于B,代入点(1,3)得12+3一3×1×3=1，因此点(1,3)在曲线C上，故B正确； /x2+y2-3xy=1 对于C,联立 ,整理得x2+2x一3=0，因此直线x一y十2=0与曲线C的交点分别为 x-y+2=0 (-3,一1)，(1,3)，弦长为√/(1十3)十(3十1)=4√2，故C错误； 【高二数学试题参考答案第？页（共7页）】 B /x2+y2-3.xy=1 对于D,设与y轴平行的直线为x=t,联立 ,整理得y2-3ty+t2-1=0, x=t △=9t2-4(t2-1)=5t2+4>0,故D正确 11.【答案】ABD 【解析】如图，以点A为坐标原点，AB,AD,AA1所在直线分别为x轴，y轴，之轴建立空间 直角坐标系，则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),B C1(1,1,1),D1(0,1,1),可得AB=(1,0,0),AD=(0,1,0),AA1=(0,0,1), 则AP=入AB+以AD+yAA=(,4,),即P(,,).对于选项A:若入=以，y=0,即 P(,0),B1D=(-1,1,-1),D1P=(,-1,-1),则B1D·D1P=-μ十（μ-1）+1=0，故B1D1 D1P,即A正确；对于选项B:若入=0,4=y=1,则P(0,1,1),CP=(-1,0,1),因为BA1=(-1,0,1)= CP,可知BA1∥CP,且BA,C平面A1BD,CP寸平面ABD,所以CP∥平面A,BD,故B正确：对于选项 n1·AB=a=0, C:设平面PAB的法向量为n1=(a,b,c),则 令b=,则a=0,c=一，可得 n1·AP=aλ+bm+cw=0, n1=(0,,一.又因为平面ABC的一个法向量为n:=(0.0.1),则cos<n,n:>=7n:V十云 n1·n2 一 厅平面ABP与平面ABC夹角的余张值为方兰，即平面ABP与平面ABC夹角的大小与入无关，故© 错误； 对于选项D:设平面BDA1的法向量为n3=(x,y,x),因为BD=(-1,1,0),BA=(-1,0,1),可得 BD·n3=0 -x十y=0 ,即 ,取x=1,可得y=1,之=1，可得n=(1,1,1)是平面BDA1的一个法向量.因 BA·n3=0 (一x+义=0 为A,户=（以心-1D,则点P到平面BDA,的距离为d=A方·n:_A+十v-I, n3 又因为入十4十y= 2,可得d= 6,故D正确，故选ABD. 12.【答案】(2,3) [3-t>0 【解析】若曲线C为椭圆，且焦点在y轴上，则t一1>0，解得2<t<3,所以t的取值范围为(2,3)，故答 3-t<t-1 案为：(2,3) 【高二数学试题参考答案第3页（共7页）】 B 13.【答案)写 【解析】圆N是以圆x2+y2=1上一点为圆心，所以圆N必经过原点(0,0)，又因为圆M:(.x一1)2+ (y一1)2=2经过原点，所以圆M与圆N交于原点，设为A.当圆M与圆N的相交弦刚好是圆N的直径时， |AB最大，此时AB=2,B(2,0),而M(1,1),所以∠AMB= 21 14.【答案 【解析】由A,B,C,D四点共面可知，存在唯一实数对m,,使得AD=mAB+nAC, 1 2m+n=0 1n= 2 即b+λc=m(2a-3c)+n(a+b)=(2m+n)a+nb-3mc,所以 n=1,解得 n=1, -3m=入 3 3 故答案为：2 15.【解析】(1)根据正弦定理，由a cosC十c cosA=2c可得：sinAcosC十sinCcosA=2sinC,即sin(A+C) =2sinC. 在△ABC中，有A十B十C=π，可以得到：sinB=sin(A十C)=2sinC,即b=2c.…5分 (2)由S△ACD=2S△ABD有CD=2BD=2W2.…7分 由∠ADB十∠ADC=π可得：c0s∠ADB十c0s∠ADC=0,…9分 42-C士4十8二40兰=0，解得，C=2,b=4 2X2Xw2"2X2X22 所以△ABC的周长为6十32.…13分 16.【解析】(1)设点M(x,y),点P(xo,yo),则点D(0,ya). 由P是MD的中点得0=之y0=.…2分 因为点P在圆x十y2=1上，所以x+y后=1 将x,=乞，-y代入方程得：+=1. x x 故C的方程为：4十y2=1.… …6分 (2)设直线l的方程为：x=my+1,M(x1,y1),N(x2,y2), 1x2+4y2=4 联立 ,得(m2+4)y2+2my-3=0,△=16m2+48>0 x=my+1 【高二数学试题参考答案第4页（共7页）】 B -2m -3 y十y=m2干4y1y2=m2+4 …9分 Sw=21001y-y-2X1X+-4w9 -2m 12 4m2+12 2 m2+4 m2+4√(m2+4)2 4 5 …13分 解得；m2=1,所以m=1或m=-1 所以直线l的方程为x十y-1=0或x一y一1=0. 15分 17.【解析】(1)圆O的圆心(0,0)，半径为1，圆M的圆心(2,1)，半径为3，…2分 两圆方程相减可得公共弦所在直线方程为l:4x十2y十3=0.…5分 点O到l的距离为d= 133√5 10 ,………6分 W16+4 所以公共弦长为AB|=2,12 35 √55 10 7分 5 (2)结合图象可知，点O(0,0)到直线x=一1的距离为1，点M(2,1)到直线x=一1的 距离为3，故圆O与圆M有一条公切线为：x=一1.…9分 直线0M:=2x与x=-1的交点为P(-1,一2)，设另一条公切线的方程为y+ =k(x十1)，即kx一y+k一2 =0, …11分 3 3k- 2 则点M(2,1)到公切线的距离d =3,解得=一 4· ……13分 √k2+1 此时满足点00,0)到直线的距离为1所以另一条公切我的方程为y=一一即3x十十5=0， 综上，两圆公切线的方程为x=一1和3.x十4y十5=0.……15分 18.【解析】(1)如图所示，在平面ABCD内，取BD的中点O1,连接AO1,BO1,DO1,PO 因为AB⊥AD,由勾股定理得BD=2√5，所以AO1=BO1=DO1=√3， 在△PBD中，由PB=PD,BO1=DO1=3, 得PO1⊥BD,PO1=√PB2-O1B2=3. 2分 在△PO1A中，AO号十PO月=PA2,所以PO1⊥O1A,…4分 (01 由PO1⊥BD,PO1⊥O1A,BD∩O1A=O1,得PO1⊥平面ABCD.…5分 又PO1C平面PBD,所以平面PBD上平面ABCD.… …6分 【高二数学试题参考答案第5页（共7页）】 B (2)以B为坐标原点，BA,BC所在直线为x轴，y轴建立如图所示的坐标系，易知？轴平行于O1P,则 A(3.0.0.()c(o.o) BA=(3,0,0),BP (.d)设平面PAB法向量为m-, BA·m=0 3x=0 得 ,取之=一1，则m=(0,2W3,一1)，…8分 B苹.m=0 3 2x十23y+3之—0 配-o,写.o）,时-（号a列设平面PBC的法向量为a-,9e 3 (BC.n=0 3y0 由 得 ,取之=一1，则=(2,0，一1)，…10分 BP·n=0 3 2x+2)+3x=0 设平面PAB与平面PBC的夹角为0，则cos0=|cos<m,n>| √65 13·5 65, 即平面PAB与平面PBC夹角的余弦值为 65 12分 (3)设球心为O,半径为R,易知O∈PO1,在Rt△OO1A中，(3-R)2+3=R,解得R=2,OO1=1,所以 33 …13分 在平佰ABCD肉取-点T,满足可+矿+花+元-0.可部得T(停·3。.o: ..MA2+MB:+MC:+MD*=(MT+TA)+(MT+TB)+(MT+TC)+(MT+TD)* =4M72+TA2+TB2+TC2十TD2,…15分 又因为减+7应+7元+7币=9+器1话 T1n=R-om=2a+1=2-g.MT=+器区. (MA 2+MB12+IMC12+IMD )mi= =125-2/67,……………17 4 【高二数学试题参考答案第6页（共7页）】 B 19.【解析】(1)根据题意，得么=3,2a=4,解得a=2,b=23,…3分 所以C的标准方程为号一-花-1分 (2)(i)判断：k1·k2为定值，如图设∠BON=∠AON=a, …5分 则k1=an∠A0r=tan(T十a）k:=ian∠B0zr=ian(不-a小…7分 所以，=n(资十o小m(货-o）}甚器·=1，所以·：的定 1+tang 值为1.…………10分 (i联立直线ykx1与双线-21，得(3一x2十2x-13=0,………分 3-k2≠0， 由题可知 解得-压<k< 2 2°，且≠士3， △=-48k2+156>0, 2k x1十x?一k2-3' 设A(x1y),B(x2y2),则 所以y1y2=(kx1-1)(kx2-1)=k2x1x2一k(x1+x2)+1= 13 x1x2k2-3' 12k2-3 k2-3· ………14分 内得：·：-1，即-1，即-，所以1号解得=。可得及-士品，丙为 C1.x2 2W3 A,B两点均在第一象限，所以k>0,故k= 3· …16分 综上，当m=-1时，k=23 37 【高二数学试题参考答案第7页（共7页）】 B