湖南省常德市2026-2027学年高二上学期期中考试数学自编卷（范围：必修一二、选必一）

湖南省常德市2026-2027学年高二上学期期中考试自编卷 数学试题 （时间：120分钟 分值：150） 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.考试范围：人教A版必修第一册、必修第二册、选择性必修第一册。 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．设全集，集合，，则 A． B． C． D． 3．从装有红球和绿球的口袋内任取2个球(已知口袋中的红球、绿球数都大于2)，那么互斥而不对立的两个事件是(　　) A．至少有一个是红球，至少有一个是绿球 B．恰有一个红球，恰有两个绿球 C．至少有一个红球，都是红球 D．至少有一个红球，都是绿球 4．设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 5．设函数f（x）=ln（2+x）+ln（2-x），则f（x）是（　　） A．奇函数，且在上是增函数 B．奇函数，且在上是减函数 C．偶函数，且在上是增函数 D．偶函数，且在上是减函数 6．直线：在椭圆上截得的弦长是（    ） A． B． C． D． 7．一个不透明的袋子中装有大小和质地相同的6个球，其中有2个红球，2个绿球，2个蓝球，从袋中一次性随机取出2个球，设事件“2个球颜色相同”，事件“2个球中至少有一个红球”，事件“2个球中至多有一个红球”，事件“2个都不是红球”，则（    ） A．与互斥 B．与对立 C．与相互独立 D． 8．手工课不仅可以增强学生的劳动意识，还有利于提高学生的实践能力和创新精神.某小学生在一次手工课上制作了一座漂亮的房子模型，它可看成是一个直三棱柱和一个长方体的组合图形.其直观图如图所示，，，P，Q，M，N分别是棱，，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分 9．已知样本数据，，…，的样本平均数为，样本方差为，由这组数据得到新样本数据，，…，，这组新样本数据的样本平均数为，样本方差为，其中，则（    ）． A．两组样本数据的样本平均数满足 B．两组样本数据的样本方差满足 C．两组样本数据的样本标准差相同 D．两组样本数据的样本极差相同 10．在棱长为2的正方体中，是侧面上的一个动点（含边界），是的中点，则（    ） A．当为的中点时，异面直线与所成的角为 B．存在点，使得平面 C．若，则点的轨迹长度为 D．当为的中点时，三棱锥的外接球表面积为 11．下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．和表示的是同一个函数 C．函数的单调递减区间是 D．已知不等式的解集为，则， 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知角的终边上有一点，且，则实数的值为___________. 13．化为的形式：______. 14．已知，，则的取值范围是________． 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，E，F分别是，的中点．求证：平面. 16．已知为坐标原点，，，. （1）求函数在上的单调增区间； （2）当时，若方程有根，求的取值范围. 17．若关于x的不等式对于一切实数x都成立，求实数k的取值范围． 18．如图，在三棱柱中，⊥平面，，是等边三角形，分别是棱的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 19．在树人中学一次高二年级数学统一考试中，甲班有40人，平均成绩为70分，方差为30；乙班有60人，平均数为75，方差为40. (1)学校打算根据本次成绩按照人数比例用分层随机抽样的方法，让甲乙两班一共选5人参加数学集训，由于集训后队员水平相当，再从参加集训的学生中随机抽取2人参加数学竞赛，求两人来自不同班级的概率； (2)有人预测，甲、乙两个班级总体的方差在30至40之间，请计算甲、乙两个班级全体成绩的平均成绩和方差，并判断此人说法是否正确. 参考公式：总体分为2层，分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省常德市2026-2027学年高二上学期期中考试自编卷 数学试题（解析版） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B C D D D A AB BC 题号 11 答案 ABD 1．A 【分析】由，从而由题意可得，进而可求得答案 【详解】因为，且函数的值域为， 所以，解得或， 所以实数的取值范围是， 故选：A 2．B 【详解】 由题意得，，所以，故选B． 3．B 【分析】列举事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可 【详解】基本事件为：一个红球一个绿球；两个红球，两个绿球. 选项A：这个事件既不互斥也不对立；选项B，是互斥事件，但是不是对立事件；选项C，既不互斥又不对立；选项D，是互斥事件也是对立事件. 故答案为B. 【点睛】本题考查互斥事件与对立事件．首先要求理解互斥事件和对立事件的定义，理解互斥事件与对立事件的联系与区别．同时要能够准确列举某一事件所包含的基本事件．属简单题 4．C 【分析】根据集合的交集与补集运算即可. 【详解】解：因为集合，所以，又全集，所以. 故选：C. 5．D 【详解】试题分析：因为，所以函数是偶函数，又＋＝在上是减函数，故选D． 考点：1、函数的奇偶性；2、函数的单调性． 6．D 【分析】联立直线与椭圆方程得到关于的一元二次方程，根据韦达定理以及弦长公式可求解出结果. 【详解】设与椭圆交于， 联立可得， 且，， 所以， 故选：D. 7．D 【分析】由和互斥事件、对立事件定义即可判断AB；由即可判断C；由交事件定义计算即可判断D. 【详解】将2个红球、2个绿球和2个蓝球分别记为， 则从袋中一次性随机取出2个球的样本空间为共15个样本点， 由题意共3个样本点，共9个样本点， 共14个样本点，共6个样本点， 所以，故A与D不互斥，故A错误； ，故B与C不互斥，故B错误； 因为，一个样本点， 所以，即，故C错误； ，故D正确. 故选：D 8．A 【分析】分别取，的中点G，H，连接，，，，，，则可得是异面直线与所成的角或其补角，然后根据已知条件在中求解即可. 【详解】如图，分别取，的中点G，H，连接，，，，，， 则四边形和四边形为矩形， 所以，‖，，‖， 因为，‖，所以，‖， 所以四边形为平行四边形，所以‖， 因为分别为的中点，所以,‖， 因为为的中点，所以， 因为，‖，所以，‖， 所以四边形为平行四边形，所以‖， 所以‖， 所以是异面直线与所成的角或其补角. 因为，，M，Q分别是棱，的中点， 所以，， 所以，所以， 所以， 在中，由余弦定理得 ， 取的中点，连接，则平面， 因为平面，所以， 在中，由余弦定理得 , 所以， 在中，由余弦定理得， 所以异面直线与所成角的余弦值为， 故选：A. 9．AB 【分析】A选项，由平均数的定义得到；B选项，由方差得定义计算出的方差及标准差；C选项，由标准差等于方差的算术平方根，可知标准差不同；D选项，由得到，D错误. 【详解】A选项，由题意得， 则，故A正确； B选项，由题意得， 所以 ，B正确； C选项，因为标准差等于方差的算术平方根，故两组样本数据的样本标准差不同，C错误； D选项，由于，故中最大值和最小值，经过变化后仍然为中的最大值和最小值， 即，则，D错误. 故选：AB 10．BC 【分析】根据线面垂直的判定定理与性质定理可得，即可判断A；根据几何性质可得，结合线面平行判定定理可得平面，即可判断B；根据线性平行，线面垂直，结合勾股定理可得点在侧面内的运动轨迹是以为圆心，1为半径的半圆，即可判断C；当为的中点时，取的中点，三棱锥的外接球即为三棱柱的外接球，由几何计算结合正弦定理得外接圆半径，从而得外接球的半径，即可判断D. 【详解】 对于A，如图1，取的中点，连接， 因为，所以， 所以，则可得， 又平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为平面， 所以平面，又平面，所以，故A错误； 对于B，如图2，当为的中点时，易证得四边形为平行四边形，所以， 因为平面平面，所以平面，故B正确； 对于C，如图3，取的中点，连接， 在正方体中，平面，且， 所以平面，因为平面，所以， 则， 则点在侧面内的运动轨迹是以为圆心，1为半径的半圆， 其轨迹长度为，故C正确； 对于D，如图4，当为的中点时，取的中点， 三棱锥的外接球即为三棱柱的外接球， 设与的外心分别为，则球心为的中点， 易求得，由余弦定理，， 所以， 由正弦定理，， 所以所求外接球的半径， 其表面积为，故D错误. 故选：BC. 11．ABD 【分析】根据指数函数的性质判断A，根据相等函数的定义判断B，求出函数的单调区间，即可判断C，、为关于的方程的两解，利用韦达定理得到方程，即可判断D. 【详解】对于A：当时，在定义域上单调递增，所以， 又，所以，故A正确； 对于B：因为，又， 所以与的定义域均为，且解析式一致，故与是同一函数，故B正确； 对于C：的单调递减区间为，，故C错误； 对于D：因为不等式的解集为， 所以、为关于的方程的两解， 所以，解得，故D正确. 故选：ABD 12．3 【分析】由角的终边经过点，且，可得利用三角函数的定义即可确定的值. 【详解】因为角的终边经过点，且， 所以 则 故答案为：3. 13． 【分析】根据两角和的余弦函数的公式，化简、运算，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，可得 . 故答案为. 【点睛】本题主要考查了两角和的余弦公式的逆用化简，其中解答中熟记两角和的余弦函数的公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 14． 【分析】用和表示，即可得到的取值范围. 【详解】， 因为，所以， 又因为，所以， 则， 所以，的取值范围是. 15．详见解析. 【分析】取的中点，连接，，根据线面平行的判定定理，即得. 【详解】取的中点，连接，， 因为，，分别是，，的中点， 所以，且，， 因为，且， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面. 16．（1）单调增区间为，  （2） 【分析】（1）通过向量的坐标运算求出，通过三角公式整理化简，然后可求得其单调区间； （2）将方程有根转化为在上有解，求出在上的值域即可. 【详解】（1） ， 则此函数单调增区间：， ， 设，， 则， 所以函数在上的单调增区间为，； （2）当时，若方程有根， 所以在上有解， 由，得， 所以，则， 所以. 【点睛】本题考查三角函数恒等变形，三角函数的性质，是基础题. 17． 【分析】分类讨论，当满足题意；当时，列出不等式组求解即可． 【详解】当时，符合题意； 当时，由题可知，即，解得； 综上所述，． 18．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，证明平面平面，根据面面平行的性质即可证明结论； （2）建立空间直角坐标系，设棱长，求得相关点坐标，求出平面的法向量，利用空间向量的夹角公式即可求得答案. 【详解】（1）证明：连接， 因为分别是棱的中点，所以, 平面,平面,所以平面， 因为分别是棱，的中点，所以,. 所以四边形是平行四边形，则,. 平面,平面,所以平面， 因为平面，且，所以平面平面， 因为平面，所以平面. （2）取的中点O，连接，， 因为是等边三角形，故, 而平面,故平面,平面, 则， 即，，两两垂直， 则以O为原点，分别以的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系, 设，由知，， 则，,,， 从而, 设平面的法向量为， 则,令，得, 设直线与平面所成的角为， 则. 19．(1) (2)甲、乙两班全部学生的平均成绩为73分，方差为：42，说法是错误的 【分析】（1）由古典概型概率计算公式即可求解； （2）由总体样本方差公式代入数据即可判断. 【详解】（1）则选取的5人中，来自甲班的有2人，来自乙班的有3人 . 记乙班的3位学生为a，b，c，甲班的2位学生为D，E， 则从5人中任选2人，样本空间可记为： ，共包含10个样本， 用A表示“这2人两人来自不同班级”， 则，A包含6个样本， 故所求概率. （2）设甲班成绩的平均数为，方差为；乙班成绩的平均数为，方差为， 则，，，， 所以甲、乙两班全部学生的平均成绩为， 即甲、乙两班全部学生的平均成绩为73分. 两个班级全体成绩的方差为： 故此人的说法是错误的 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $