湖南省岳阳市2026-2027学年高一上学期期中自编模拟试卷数学试题

湖南省岳阳市2026-2027学年高一上学期期中自编模拟试卷 数学试题 注意事项： 1. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。 2. 请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。 3. 作答选择题必须用 2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。作答非选择题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。 4. 本试卷共 4 页，满分 150 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1.已知全集，集合，则（） A. B. C. D. 2.若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 3.已知，，且，则的最小值是（） A. B. C. D. 4.已知，则下列不等式中一定成立的是（） A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 5.已知集合，，下列对应关系是从集合到集合的函数是（） A. B. C. D. 6.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（） A. B. C. D. 7.若直线与函数（且）的图象有两个公共点，则的取值不可以是（） A. B. C. D.3 8.设若函数是单调递增函数，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.设集合，，则（） A. B. C.若集合，则 D.若集合，则 10.下列四组函数中表示同一个函数的是（ ） A.， B.， C.， D.， 11.下列说法正确的是（ ） A.函数的最小值是 B.若，则 C.若，则 D.设，且，则的最小值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.设全集，且，若，则                   . 13.函数的单调递减区间为                   . 14.若直线与函数的图象有两个交点，且这两个交点关于轴对称，则实数的值为                   . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.已知集合，集合. (1) 求集合； (2) 若集合，求实数的值； (3) 若，求实数的取值范围． 16.为宣传村镇特点，助力乡村振兴，设计专业的大学生小王应某村委会要求，设计一个长为米，宽为米的矩形广告牌，使得该广告牌的面积等于一个长为米，宽为米的矩形的面积. (1) 求关于的函数； (2) 若村委会要求广告牌的面积最小，小王应如何设计该广告牌？ 17.函数是定义在上的奇函数，且． (1)求实数、，并确定函数的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义证明你的结论； (3)求的值域． 18.已知函数，其中. (1)若的图象关于直线对称时，求的值； (2)当时，解关于的不等式； (3)当时，令，若，且，函数在上有最大值9，求的值. 19.已知函数是定义在上的奇函数. (1) 求实数的值； (2) 用定义证明函数在上是增函数； (3) 若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省岳阳市2026-2027学年高一上学期期中自编模拟试卷 数学试题 注意事项： 1. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。 2. 请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。 3. 作答选择题必须用 2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。作答非选择题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。 4. 本试卷共 4 页，满分 150 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1.已知全集，集合，则（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由，，得， 由此可得. 故选：A. 2.若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】命题”，使得“是假命题， 故，恒成立. 当时，不等式化为，恒成立，满足条件. 当时，结合二次函数性质得， 化简得， 解得. 综上可得， 即实数的取值范围是. 故选：B. 3.已知，，且，则的最小值是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由， 代入得，等式不成立， 故. 整理得，结合，得， 从而. ， 由基本不等式得. 当且仅当， 即，时等号成立， 故的最小值为. 故选：B. 4.已知，则下列不等式中一定成立的是（） A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 【答案】B 【解析】取，，满足，此时， 故A错误. 由，得， 从而， 故B正确. ， 可得，， 即， 故C错误. ， 当时，， 故D错误. 故选：B. 5.已知集合，，下列对应关系是从集合到集合的函数是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由函数定义，到的函数要求对任意，都存在唯一的与之对应. 对选项A，对应关系为， 当时，， 故A错误. 对选项C，对应关系为， 当时，无意义， 故C错误. 对选项D，对应关系为， 当时，， 故D错误. 对选项B，对应关系为， 当时，， 当时，， 当时，，所有都有唯一对应， 故B正确. 故选：B. 6.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由的定义域为得，的定义域满足， 解第一个不等式得，解第二个不等式得，取交集得. 故的定义域为. 故选：B. 7.若直线与函数（且）的图象有两个公共点，则的取值不可以是（） A. B. C. D.3 【答案】D 【解析】当时,单调递减,值域为.的值域为,且在单调递减,在单调递增. 结合直线与图象有两个公共点,得. 所有的实数均满足该不等式. 当时,单调递增,值域为.的值域为,且在单调递减,在单调递增. 结合直线与图象有两个公共点,得. 化简得,结合,得. 综上,的取值范围为. 选项中不在该区间内. 答案为D. 8.设若函数是单调递增函数，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】时，， 要使在上单调递增，得，解得. 时，为指数函数，要使函数单调递增，得，解得. 由分段函数单调递增的衔接条件，处满足左段值不大于右段值， 即，化简得，解得. 结合三个条件取交集，得实数的取值范围是. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.设集合，，则（） A. B. C.若集合，则 D.若集合，则 【答案】ACD 【解析】是模余的整数集合，是模余的整数集合，同一整数模余数唯一， 故，A正确. 所有的倍数既不属于也不属于， 故，B错误. 对任意，， 由得，满足集合的元素特征， 故，C正确. 对任意，， 由得，满足集合的元素特征， 故，D正确. 故选：ACD. 10.下列四组函数中表示同一个函数的是（ ） A.， B.， C.， D.， 【答案】BC 【解析】对选项A，的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一个函数. 对选项B，与的定义域均为，对应关系相同，是同一个函数. 对选项C，，两函数定义域均为，对应关系相同，是同一个函数. 对选项D，的定义域为， 由得的定义域为，定义域不同，不是同一个函数. 故选：BC. 11.下列说法正确的是（ ） A.函数的最小值是 B.若，则 C.若，则 D.设，且，则的最小值是 【答案】BCD 【解析】令，得，原函数化为，该函数在上单调递增，最小值为， 故A错误. 由是上的增函数，得时，结合，不等式两边同乘负数不等号方向改变， 故，B正确. 由，不等式两边同乘得，两边同乘得， 整理得， 故C正确. 由，，得， 由均值不等式得， 当且仅当即时等号成立， 故的最小值为，D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.设全集，且，若，则                   . 【答案】 【解析】由全集，，得. 即，是方程的两根， 由根与系数的关系得. 故答案为：. 13.函数的单调递减区间为                   . 【答案】 【解析】由有意义，得，解得. 令，，得在单调递增，在单调递减. 外层函数在单调递减，结合复合函数同增异减法则， 得的单调递减区间为. 14.若直线与函数的图象有两个交点，且这两个交点关于轴对称，则实数的值为                   . 【答案】 【解析】设直线与函数的两个交点为，，且， 由得，. 由两交点关于轴对称得， 所以， 即， 代入得， 整理得， 解得. 当时，，无实根，此时的图象与直线至多有一个交点，不符合题意，舍去. 故. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.已知集合，集合. (1) 求集合； (2) 若集合，求实数的值； (3) 若，求实数的取值范围． 【答案】(1) 解：因式分解得, 解得或, 故. (2) 解：,代入, 得, 整理得, 因式分解得, 解得或. 当时,方程化为, 解得或,即,,符合条件. 当时,方程化为, 解得或,即,,符合条件. 故或. (3) 解：,故. 当时,方程无实根,, 展开化简得, 解得. 当时,由韦达定理得解得且,矛盾,无解. 当时,由韦达定理得解得且,矛盾,无解. 当时,由韦达定理得解得且,矛盾,无解. 综上,实数的取值范围为. 16.为宣传村镇特点，助力乡村振兴，设计专业的大学生小王应某村委会要求，设计一个长为米，宽为米的矩形广告牌，使得该广告牌的面积等于一个长为米，宽为米的矩形的面积. (1) 求关于的函数； (2) 若村委会要求广告牌的面积最小，小王应如何设计该广告牌？ 【答案】(1) 解：由题意得，结合， 整理得，故. 由，得，结合得， 整理得，解得， 故关于的函数为. (2) 解：法：由基本不等式得， 整理得，解得舍去）， 故，当且仅当时等号成立， 代入计算得，，此时广告牌面积取得最小值. 法：设广告牌面积为，则， 化简得， 由基本不等式得， 当且仅当， 即时等号成立，此时. 故小王应设计长为米，宽为米的矩形广告牌，满足面积最小的要求. 17.函数是定义在上的奇函数，且． (1)求实数、，并确定函数的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义证明你的结论； (3)求的值域． 【答案】解：(1)函数是定义在上的奇函数，且，得，. 由，得，解得， 所以，且时，由，， 故，. (2)所以, 由于，所以, 故,即, 故在上单调递增. (3)当时,. 当时,,由,得. 当时,令,则,由,得. 综上,的值域为. 18.已知函数，其中. (1)若的图象关于直线对称时，求的值； (2)当时，解关于的不等式； (3)当时，令，若，且，函数在上有最大值9，求的值. 【答案】解：(1)由二次函数的对称轴为, 且图象关于直线对称,得, 故. (2)当时,, 由得, 解得或, 故不等式的解集为. (3)当时,, 故； 设. 当时,,得； 因为在上为增函数, 所以, 解得或, 又,故. 当时,,得； 因为在上为增函数, 所以, 解得或, 又,故. 综上,或. 19.已知函数是定义在上的奇函数. (1) 求实数的值； (2) 用定义证明函数在上是增函数； (3) 若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) 解：函数是定义在上的奇函数， 故. 代入解析式得， 解得. 此时，计算得，满足奇函数定义. 故. (2) 证明：由(1)得. 任取，且. 在上单调递增， 故. 从而，可得. 整理得， 即. 故函数在上是增函数. (3) 解：不等式对任意恒成立. 由奇函数性质得. 结合是上的增函数，得对任意恒成立. 即对任意恒成立. 当时，不等式化为，恒成立，符合要求. 当时，需满足. 解不等式组得. 综上，实数的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $