湖南永州市第一中学2026-2027学年高一上学期期中数学试题

永州一中2026年下期高一期中数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知全集，集合，集合，则（ ） A． B． C． D． 2．函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 3．若幂函数的图象经过点，则（ ） A． B． C． D． 4．若函数为奇函数，则（ ） A． B． C． D． 5．函数（）的图象不可能是（ ） A． B． C． D． 6．已知，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．若存在，，且，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．已知定义在上的函数满足对任意的正数，，都有，若，则（ ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．下列函数与表示的不是同一个函数的是（ ） A．， B．， C．， D．， 10．已知函数，则（ ） A． B． C．函数在定义域内单调递增 D．的解集为 11．高一课外兴趣小组通过课本的推论，探究到函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是是偶函数．则下列说法正确的是（ ） A．图象的对称中心为点 B．的图象关于直线对称 C．图象的对称中心为点 D．的图象关于点对称 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．已知，，则的值为__________． 13．已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是__________． 14．函数，若对于任意，，当时，都有，则实数的取值范围是__________． 四、解答题（本题共5题，共77分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤．） 15．计算（需写出化简过程）． （1），（，）； （2）． 16．给定函数，，，用表示，中的较大者，记为． （1）求函数的解析式并画出其图象； （2）对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 17．随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． （1）写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-总成本）； （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 18．已知函数． （1）当时，求关于的不等式的解集； （2），关于的方程在总有两个不同实数解，求实数的取值范围； （3）若在区间上恒成立，求实数的取值范围． 19．已知函数，若对于其定义域中任意给定的实数，都有，就称函数满足性质． （1）写出一个满足性质的函数，并注明定义域； （2）若满足性质，在上单调，且对都成立，解关于的不等式； （3）在（2）的条件下，已知，，，若，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 永州一中2026年下期高一期中测试答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B B B D A B A D ABC ABD AD 12． 13． 14． 15．（1）；（2）10 【详解】（1）原式； 6分 （2）原式 ． 13分． 16．（1） 图象如下解析；（2）． 【详解】（1）①当即时，，则， ②当即或时，，则， 故图象如下： 8分 （2）方法1：由（1）得，当时，， 则在上恒成立等价于在上恒成立． 令，，原问题等价于在上的最小值． ①当即时，在上单调递增， 则，故． ②当即时，在上单调递减，在上单调递增， 则，由时，，故不合题意． 综上所述，实数的取值范围为． 15分 方法2：分离参数 （2）当时，． 不等式恒成立，即： 整理得： 因为，则，两边同时除以得： 设，其在上单调递增， 所以当时，取得最小值： 所以： 即实数的取值范围为． 方法3： （2）对于任意的，不等式恒成立， 可得的图象恒在的上方， 因为恒过定点， 结合图象可得，解得，即实数的取值范围是． 17．（1）； （2）年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元． 【详解】（1）当时，； 当时，， ． 7分 （2）若，，当时，万元； 若，， 当且仅当时，即时，万元， 由于，故该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元． 15分 18．（1）；（2）；（3） 【详解】（1）当时，则， 由，则，解得或； 所以不等式的解集为． 4分 （2）由题意得在总有两个不同实数解， 即在总有两个不同实数解， 由解得或，所以，则， 因为对时在总有两个不同实数解恒成立，所以， 故的取值范围为． 10分 （3）由即在上恒成立，得， 令（），则， 当且仅当，即时取等号，所以． 故实数的取值范围为． 17分 19．（1）（）答案不唯一，（），（）也是正确的． （2）①当时，不等式解集为； ②当时，不等式解集为； ③当时，不等式解集为； ④当时，不等式解集为； ⑤时，不等式解集为． （3）证明：已知，，，若，，， 在上是单调函数，，，． 【详解】（1）函数（）； 答案不唯一，（），（）也是正确的； 3分 （2）若满足性质，且定义域为． 若在上单调，且在时恒有， 而时，得到， 在上单调，在时恒有，， 所以在上是单调函数，只能是单调递减函数， 5分 得到，即， 7分 因为在上是单调减函数，所以， 即，即， 9分 ①当时，不等式为，不等式解集为； ②当时，即时，不等式为，不等式解集为； ③当时，，不等式解集为； ④当时，，不等式解集为； ⑤时，不等式解集为． 14分 （3）证明：已知，，，若， ，， 15分 在上是单调函数，，，． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $