精品解析：湖南省汨罗市第一中学2025-2026学年高一上学期12月期中数学试题

2025年11月高一数学期中考试试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合A，集合B中代表元素的取值范围，再根据交集的定义求出． 【详解】集合　 故选：D 【点睛】本题考查集合的表示法，交集的求法，考查运算能力，属于基础题． 2. 命题，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断即可. 【详解】命题，为全称量词命题， 其否定为：，. 故选：A 3. 若关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论，即可结合判别式求解. 【详解】当时，不等式为，此时解集不为空集，不符合题意， 当时，若解集为空集，则，解得， 当时，此时不等式的解集一定不为空集，故不符合题意， 综上可得, 故选：C 4. 设、是实数，则“”是“且”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义判断． 【详解】时不能推出且，例如，满足，此时但， 当且同时成立时，，而，因此有，而，所以，即成立， 因此题中应不必要非充分条件． 故选：B． 5. “”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分必要条件关系判断. 【详解】由，则，所以，即得， 所以由， 当时，有，但，即由不能推出， 所以是的充分不必要条件. 故选：B. 6. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由求出，再由抽象函数的定义域可得，解方程即可得出答案. 【详解】的定义域为， 的定义域为， 由可得： ， 解得：的定义域为. 故选：B. 7. 已知是偶函数，且时是减函数，则与的大小关系 A. ＞ B. ＜ C. ≤ D. 无法比较 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数是偶函数，判断出的图象关于x = 1对称；根据时是减函数及指数函数与的大小关系，即可比较大小． 【详解】平移一个单位得到的图象，且是偶函数 因为偶函数图象关于y轴对称，所以的图象关于x = 1对称 当x < 0 时， ，因为时是减函数，所以 当x ≥ 0 时， ，因为时是增函数，所以 综上所述， 所以选C 【点睛】本题考查了函数图象及其性质的综合应用，指数函数大小关系，属于中档题． 8. 已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件可得方程在区间上有解，构造函数，求出它的值域，得到的范围即可 【详解】若函数与的图象上存在关于轴对称的点， 则方程在区间上有解， 令， 由的图象是开口朝上，且以直线为对称轴的抛物线 故当时，取最小值 当时，取最大值 故的范围为 故选 【点睛】本题主要考查了构造函数法求方程的解以及参数范围，解题的关键是将已知转化为方程在区间上有解，属于基础题． 二、多选题（每题5分，共15分） 9. 群论，是代数学的分支学科，群的定义如下：设G是一个非空集合，“•”是G上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：①对任意的，有；②对任意的，有；③存在，使得对任意的，有，称为单位元；④对任意的，存在，使，称a与b互为逆元．则称G关于“•”新构成一个群．则下列说法正确的有（ ） A. （为虚数单位）关于数的乘法构成群 B. 有理数集关于数的加法构成群 C. 关于数的除法构成群 D. 正实数集关于数的乘法构成群 【答案】ABD 【解析】 【分析】依据群的定义，对每个选项中的集合和相应运算进行逐一分析，判断是否满足群的四个条件，进而确定该集合关于给定运算是否构成群. 【详解】对于A选项： 因为，可以计算里面任意两个元素的乘积结果都属于集合. 因为数的乘法满足结合律，对于复数也不例外. 存在，对于，当时，. 当时，;当时，. 集合也满足逆元，关于数的乘法能够构成群，所以A选项正确. 对于B选项： 对于任意两个有理数，它们的和仍为有理数；有理数的加法也满足结合律. 存在，对于，有. 对于任意的，存在，使得. 所以有理数集关于数的加法构成群，B选项正确. 对于C选项： 取，无意义，不满足对任意的， 有，所以不满足封闭性，C选项错误. 对于D选项： 任意两个正实数的乘积仍然是正实数；实数的乘法满足结合律. 对于任意的，存在使得. 满足.所以D选项正确. 故选：ABD. 10. 设正实数，满足，则（ ） A. 有最大值 B. 有最大值 C. 有最大值 D. 有最大值 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式及基本不等式“1”的妙用逐项求解即得. 【详解】对于A，由，得， 当且仅当即时取等号，A错误； 对于B，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，由B得，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，，当且仅当时取等号， 所以有最小值，D错误. 故选：BC 11. 下列说法中，正确的是（ ） A. 函数在定义域上是减函数 B. 函数是奇函数 C. 函数为奇函数，则函数的图象关于点成中心对称图形 D. 函数为定义在上的奇函数，且，对于任意，都有成立，则的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，的单调递减区间为，A错误；B选项，根据函数奇偶性定义进行判断；C选项，得到，C正确；D选项，令，推出为偶函数，在上单调递增，在上单调递减，从而分和两种情况，结合函数单调性求出解集. 【详解】A选项，的单调递减区间为， 而定义域为，故函数在定义域上不是减函数，A错误； B选项，的定义域为R，又， 故函数是奇函数，B正确； C选项，函数为奇函数，则， 故， 故函数的图象关于点成中心对称图形，C正确； D选项，对于任意，都有成立， 不妨设，则， 令，则， 即在上单调递增， 又为定义在上的奇函数，且， 故， 的定义域为，且， 所以为偶函数，， 故在上单调递减，， 所以当时，， 由于在上单调递增，故， 当时，， 故在上单调递减，故， 故解集为，D正确. 故选：BCD 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知指数函数的图象过点，则该指数函数的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】设出解析式，代入，求出，得到答案. 【详解】设（且），将代入得，解得，负值舍去， 故该指数函数的解析式为. 故答案为： 13. 当时，关于的不等式恒成立，则实数的值为___________. 【答案】或 【解析】 【分析】当时结合题意可得，再分、、三种情况，结合一元二次不等式求解. 【详解】由题意知，当时，有，即，得， 当时，不等式即， 显然当时，不等式恒成立； 当，时，恒成立， 则不等式可化为即， 欲使恒成立，则，即； 当时，不等式即， 由，得，得或，不符合题意； 综上可得或. 故答案为：或. 14. 关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式与二次函数对应关系进行求解即可 【详解】因为的解集为，等价于恒成立，即 所以 【点睛】本题考查一元二次不等式恒成立条件，是基础题型 四、解答题（共80分） 15. 已知集合，． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）或. 【解析】 【分析】（1）利用交集的定义直接求解. （2）利用交集的结果，列式求解. （3）利用并集的结果，结合集合的包含关系列式求解. 【小问1详解】 当时，，或， 所以. 【小问2详解】 当时，则，解得， 所以实数的取值范围是. 【小问3详解】 由，得，则或，解得或， 所以实数的取值范围是或. 16. 已知二次函数的图象经过两点，且函数的最小值是. （1）求的解析式； （2）已知，讨论在区间上的最值. 【答案】（1） （2）当时，，； 当时，，； 当时，，； 【解析】 【分析】（1）由已知两点坐标得到对称轴，即知道顶点坐标，将二次函数设为顶点式，代入一个点坐标求出的值，即可得到的解析式； （2）由二次函数的单调区，讨论不同的取值范围内，得到在区间上的最值. 【小问1详解】 因为图象经过两点，且纵坐标相等， 所以的对称轴为，即的顶点为， 设二次函数的顶点式为， 因为，所以， 所以. 【小问2详解】 当时，在上单调递减， 所以，； 当时，在上单调递减，在上单调递增，且， 所以，； 当时，在上单调递减，在上单调递增，且 所以，； 综上所述：当时，，； 当时，，； 当时，，； 17. 2022年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”变异毒株、“拉姆达”变异毒株，尽管我国疫情得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然严峻，日常防护依然不能有丝毫放松．在日常防护中，医用防护用品必不可少，某公司一年购买某种医用防护用品600吨，每次都购买x吨，运费为6万元/次，一年的存储费用为万元.一年的总费用y（万元）包含运费与存储费用. （1）要使总费用不超过公司年预算260万元，求x的取值范围. （2）要使总费用最小，求x的值. 【答案】（1） （2）30 【解析】 【分析】（1）由题得购买货物的次数为，于是依据题目所给的数据即可得一年的总费用y，再由即可求解的取值范围. （2）先由（1）得一年的总费用y，再直接利用基本不等式即可求出最小时x的值. 【小问1详解】 因为公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨， 所以购买货物的次数为， 故， 化简得，解得， 所以x的取值范围为. 【小问2详解】 由（1）可知， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以当时，一年的总费用最小， 故x的值为30. 18. 新能源汽车是低碳生活的必然选择和汽车产业的发展趋势.某汽车企业为了响应国家号召，年积极引进新能源汽车生产设备，通过分析，全年需要投入固定成本万元.每生产（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每百辆车售价万元，且生产的车辆当年能全部销售完． （1）求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润销售量售价成本） （2）年产量为多少百辆时，企业所获利润最大?并求出最大利润． 【答案】（1），（单位：万元）. （2）年产量百辆时利润最大，最大利润为万元 【解析】 【分析】（1）分析可知，年产量（百辆）时销售收入为万元，利用利润销售量售价成本可得出函数的函数表达式； （2）分别求出当、时，的最大值，比较大小后可得出结论. 【小问1详解】 年产量（百辆）时销售收入为万元， 总成本为， 所以 ，单位：万元. 【小问2详解】 由（1）当时，， 当（百辆）时，取最大值，即（万元）， 当时，， 当且仅当时，即当（百辆）时，等号成立， 因为，所以年产量百辆时利润最大，最大利润为万元． 19. 已知函数的定义域为，对任意的都有，且 时, , 时, . （1）求的值并判断函数的奇偶性； （2）讨论的单调性并证明； （3）若对任意的成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），奇函数 （2） 在上是增函数.以下提供证明: 当 时, 则，由，可得， 又 ，且时, ，故 时, . 又因是定义在上的奇函数,所以. 任取 ,则 ,从而 在 上单调递增, 又因是上的奇函数,则 在 上单调递增,且， 故在上是增函数; （3） 【解析】 【分析】（1）对已知式中的依次赋值，求得，，利用奇偶性定义证明即得； （2）先证明 时, ，由是上的奇函数，可得，再由函数的单调性定义证明在 在上单调递增，再由奇函数即得为上的增函数； （3）通过赋值法，将题设不等式化成，再利用在上是增函数将其化成对任意的 成立问题，结合一次函数的图象即可求得. 【小问1详解】 因对任意的都有. 当时,令 ,则，因，则 ； 再令 ,则，即，因，则. 令 ,则,故是奇函数. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 在中，令 ，可得 ，因，则， 由可得， 即 因在上是增函数，即得对任意的 成立， 设， 则解得或 即实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年11月高一数学期中考试试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 设、是实数，则“”是“且”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 5. “”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是偶函数，且时是减函数，则与的大小关系 A. ＞ B. ＜ C. ≤ D. 无法比较 8. 已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题5分，共15分） 9. 群论，是代数学的分支学科，群的定义如下：设G是一个非空集合，“•”是G上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：①对任意的，有；②对任意的，有；③存在，使得对任意的，有，称为单位元；④对任意的，存在，使，称a与b互为逆元．则称G关于“•”新构成一个群．则下列说法正确的有（ ） A. （为虚数单位）关于数的乘法构成群 B. 有理数集关于数的加法构成群 C. 关于数的除法构成群 D. 正实数集关于数的乘法构成群 10. 设正实数，满足，则（ ） A. 有最大值 B. 有最大值 C. 有最大值 D. 有最大值 11. 下列说法中，正确的是（ ） A. 函数在定义域上是减函数 B. 函数是奇函数 C. 函数为奇函数，则函数的图象关于点成中心对称图形 D. 函数为定义在上的奇函数，且，对于任意，都有成立，则的解集为 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知指数函数的图象过点，则该指数函数的解析式为______． 13. 当时，关于的不等式恒成立，则实数的值为___________. 14. 关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是______． 四、解答题（共80分） 15. 已知集合，． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围． 16. 已知二次函数的图象经过两点，且函数的最小值是. （1）求的解析式； （2）已知，讨论在区间上的最值. 17. 2022年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”变异毒株、“拉姆达”变异毒株，尽管我国疫情得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然严峻，日常防护依然不能有丝毫放松．在日常防护中，医用防护用品必不可少，某公司一年购买某种医用防护用品600吨，每次都购买x吨，运费为6万元/次，一年的存储费用为万元.一年的总费用y（万元）包含运费与存储费用. （1）要使总费用不超过公司年预算260万元，求x的取值范围. （2）要使总费用最小，求x的值. 18. 新能源汽车是低碳生活的必然选择和汽车产业的发展趋势.某汽车企业为了响应国家号召，年积极引进新能源汽车生产设备，通过分析，全年需要投入固定成本万元.每生产（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每百辆车售价万元，且生产的车辆当年能全部销售完． （1）求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润销售量售价成本） （2）年产量为多少百辆时，企业所获利润最大?并求出最大利润． 19. 已知函数的定义域为，对任意的都有，且 时, , 时, . （1）求的值并判断函数的奇偶性； （2）讨论的单调性并证明； （3）若对任意的成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $