专题05 位似（题型专练）数学新教材人教版九年级下册

专题05 位似 （题型突破·举一反三） 题型01 位似图形的识别与位似中心的确定 题型02 位似图形的性质 题型03 平面直角坐标系中的位似（作图，求值） ▌题型01 位似图形的识别与位似中心的确定 1．位似图形的定义：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或在同一直线上），这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心。 2．判定两个图形是位似图形的三个条件：①两个图形相似；②对应顶点的连线都经过同一点；③对应边互相平行（或在同一直线上）。 3．确定位似中心的方法：任取两对对应点，分别连结（必要时延长）后相交，其交点就是位似中心；若对应点的连线互相平行，则这两个图形不位似。 4．易错提醒：相似图形不一定是位似图形；位似图形一定是相似图形。平移、旋转得到的图形与原图形相似但通常不位似。 【典例1】（2026·四川成都·一模）从物体上出发的光，沿直线穿过小孔，照在小孔另一侧的屏上会形成像，这就是小孔成像现象．大约在公元前四世纪，《墨经》中就记载了小孔成像的实验．如图是小孔成像的示意图（物距小于像距），其中体现的变换是（   ） A．位似变换 B．对称变换 C．旋转变换 D．平移变换 【变式1-1】（24-25九年级上·吉林长春·期中）按下列方法，将的三边缩小为原来的，如图所示，任取一点，连接，，，并取它们的中点D，E，F，连接，，得到，则下列说法正确的序号有______． ①与是位似图形；②与是相似图形；③与的周长之比为；④与的面积之比为． 【变式1-2】（2026·河北保定·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，，，，，，若以为边的三角形与位似，则这两个三角形的位似中心可能为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（26-27九年级上·江西·期中）如图，正方形与正方形是位似图形，且位似中心位于两正方形的同侧．已知，则位似中心的坐标是___________． ▌题型02 位似图形的性质 1．相似图形的一切性质都成立：对应角相等、对应边成比例；周长比等于相似比k；面积比等于k²；对应高、对应中线、对应角平分线之比都等于k。 2．位似特有的性质：①对应顶点的连线都经过位似中心；②对应边互相平行（或在同一直线上）；③任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比k；④位似中心可以在图形内部、外部、边上或顶点处。 3．同侧与异侧：两个图形在位似中心同侧时对应点方向相同；在位似中心两侧时图形“倒立”，此时对应点连线仍过位似中心。 【典例2】（26-27九年级上·山西朔州·期中）如图，和是以点O为位似中心的位似三角形，已知，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】（26-27九年级上·甘肃·期中）如图，以点为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的面积是3，则四边形的面积是（     ） A．9 B．18 C．24 D．27 【变式2-2】（2026·辽宁沈阳·一模）如图，与是位似图形，点O是位似中心，，若，则_________． 【变式2-3】（25-26九年级上·上海·单元复习）如图，以点为位似中心的与的周长比为，则的值是多少？ ▌题型03 平面直角坐标系中的位似（作图，求值） 1．位似坐标：可将位似中心平移到原点，做好位似后再平移，异侧时需要将横纵坐标加“负号”。 2．画图步骤：定位似中心；逐顶点算坐标；描点、连线、标注顶点字母（加“′”或下标）；检验：对应边应平行（同向位似时同向平行，反向时仍平行但方向相反）。 【典例3】（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，在由边长为个单位的小正方形组成的网格中，点，，，均为格点，请利用无刻度的直尺作图． (1)以点为位似中心，将在网格中放大为原来的倍，得到，请画出． (2)作出上的点，使． 【变式3-1】（26-27九年级上·河南郑州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是． (1)在图①中，以点为位似中心，画出的位似图形，使与其相似比为； (2)在图②中线段上画一个点，使． 【变式3-2】（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，△ABC在平面直角坐标系内三顶点的坐标分别为，，． (1)是________三角形 (2)以点B为位似中心，在点B的下方画出,使与位似，且位似比为． (3)若内部有一点，直接写出经过（2）中位似变换后的对应点的坐标为________ 【变式3-3】（2026九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)以原点为位似中心，在图中画出的位似图形，使与的相似比为，点、、分别与点、、对应，且点在第一象限； (2)在（1）的条件下，与的面积比为 ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05 位似 (题型突破举一反三) ■题型01位似图形的识别与位似中心的确定 三典例精析 【典例1】 【答案】A 【详解】解：由题意知，物和像属于位似变换， 故选：A. 三举一反目 【变式1-1】 【答案】①②③ 【详解】解：如图符合位似图形的定义， ∴.①△ABC与△DEF是位似图形，正确： ,位似是相似的特殊形式 .②△ABC与△DEF是相似图形，正确： ∴③△ABC与△DEF周长之比等于相似比为2：1，正确； ∴④△ABC与△DEF的面积之比等于相似比的平方为4：1，错误； .正确的为：①②③. 故答案为：①②③. 【变式1-2】 【答案】C 【详解】解：假设A→D、A分F的对应情况成立： 设直线D:=众+b代入433》D-6-2得 3b=8即y x+8 3 设直线AFy=c+b·代入3,3引F0.-2》得- 5 3'b=-2,即y= 32 1/7 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 验证选项A、(O,6):不在AD、AF上： B、(0,7):不在AD、AF上： C、(-2,0):不在AD、AF上： D、(-1.5,0):不在AD、AF上. .排除A→D、A分F的对应情况，仅保留A→E 设直线AE:y=x+b,代入A(-3,3)、E(0,-6),得y=-3x-6. 设直线BD:y=+b,代入B0,)D(-6,-2)得y=2x+1. y=-3x-6 联立 y=。x+1,解得 1 ,交点为 x=-2y=0 (-2,0) 故选：C」 【变式1-3】 【答案】（-6,7) 【详解】解：，位似中心位于两正方形的同侧， 点C和E是对应点，点D和F是对应点， 由题意可得C(-2,3), 设直线CE的解析式为：y=ar+c, [3=-2a+c a=-1 则11=c ,解得： c=1 故直线CE的解析式为：y=-x+1, 设直线DF的解析式为：y=d+e, 2 d=- 则1=3d+e,解得： 3 e=3 e-3 故直线DF的解折式为：y= 3+3. y=-2 31 +3 则1 ,解得： x=-6 y=-x+1 y=7 2/7 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 即位似中心是： （-6,7) 题型02位似图形的性质 三典例精析 【典例2】 【答案】C 【详解】解：'△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似三角形， △ABC的周长OB △DEF的周长OE △ABC的周长4 △DEF的周长7'OE=14' 4 OB 714’ .OB=8 3 举一反三 【变式2-1】 【答案】D 【详解】解： :四边形A'B'CD'是四边形ABCD关于0点为位似中心的位似图形， AB OA 1 B O4'3' :四边形A'B'CD'与四边形ABCD相似比为3， ∴四边形A'B'CD'的面积=9×四边形ABCD的面积=9×3=27 【变式2-2】 【答案】128 OB3 【详解】解：“△ABC与ADEF是位似图形，且BE BC 3 六△ABC∽△DEF,且相似比为EF8, 3/7 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BC 2 9 EF 64 :S48c=18 .S.DEF = 6 -S.ABC =128 9 【变式2-3】 【答案】2：1 【详解】解：：△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，△ABC与△DEF的周长比为2：3， AB 2 :AB∥DE'△ABC∽△DEF,且相似比DE3, .△AOB∽ADOE. OA AB 2 OD DE 3' .OA:AD=2:1 1题型03 平面直角坐标系中的位似（作图，求值） E 典例精析 【典例3】 【答案】见详解 【详解】(1)解：△A,B,C2如图所示， (2)解：取格点E、F,连接EF,交AC于D,点D即为所求 4/7 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 如图所示 证明：由网格可知，AE=2,CF=3,AE‖CF、 ∴△ADE△CDF, AD AE 2 CD CF 3 ∴点D即为所求. 举一反目 【变式3-1】 【答案】见详解 【详解】(1)解：·△ABC与△ABC的相似比为2：l,点O为位似中心， ·分两种情况： 当两个三角形在点O同侧时，令要作的位似图形为△4，B,C2, :△ABC三个顶点的坐标分别是A(2,2),B(4,0),C(4,4), 取0A、0B、0C中点4，(1,1)，B,(2,0)C2(2,-2),连接4，、B2C2得到△4，B,C2, AB OA =2 A,B,OA, △ABC与△4，B,C2的相似比为2：1： 当两个三角形在点O异侧时，令要作的位似图形为△A4,BC, 作A,(1,1),B,(2,0),C,(2,-2)关于点0的对称点4(-1，-)，B（-2,0),C(-2,2),连接 4BC得到△4BC, B=0=2 AB OA ∴.△ABC与△AB,C1的相似比为2：1 5/7 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 54 C -5-4-3-20 (2)解：由图可知，AM=2,BN=3,且△AMP△BNP, AP AM 2 PB BN 3 M 【变式3-2】 【答案】(1)等腰直角：(2)见详解；（③）（-1,0) 【详解】(1)解：由题可知：AB=V32+12=√10，BC=AC=V2+22=√5， .BC2+AC2=5+5=10=AB2, .△ABC是等腰直角三角形. (2) 54-32-191. (3)解：由(2)得以点B为位似中心，且位似比为3：1，经过(2)中位似变换后P的对应点乃， xp-xa=yp-y8 PB 1 ·x-x8yA-ygRB3 :点P(-3,2),B(-4,3), 6/7 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 -3-（-4)2-31 x-(-4)y-33' .x=-1,y=0, (-1,0) 【变式3-3】 【答案】(1)见详解；(2)1：9 【详解】(1)△AB'C即为所求： 7-6-5-4-32-1 .23.4.3.67x (2)解：：△ABC与△AB'C的相似比为1：3， ∴△ABC与△AB'C'的面积比为(1：3)=1：9 故答案为：1：9 7/7 专题05 位似 （题型突破·举一反三） 题型01 位似图形的识别与位似中心的确定 题型02 位似图形的性质 题型03 平面直角坐标系中的位似（作图，求值） ▌题型01 位似图形的识别与位似中心的确定 1．位似图形的定义：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或在同一直线上），这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心。 2．判定两个图形是位似图形的三个条件：①两个图形相似；②对应顶点的连线都经过同一点；③对应边互相平行（或在同一直线上）。 3．确定位似中心的方法：任取两对对应点，分别连结（必要时延长）后相交，其交点就是位似中心；若对应点的连线互相平行，则这两个图形不位似。 4．易错提醒：相似图形不一定是位似图形；位似图形一定是相似图形。平移、旋转得到的图形与原图形相似但通常不位似。 【典例1】（2026·四川成都·一模）从物体上出发的光，沿直线穿过小孔，照在小孔另一侧的屏上会形成像，这就是小孔成像现象．大约在公元前四世纪，《墨经》中就记载了小孔成像的实验．如图是小孔成像的示意图（物距小于像距），其中体现的变换是（   ） A．位似变换 B．对称变换 C．旋转变换 D．平移变换 【答案】A 【详解】解：由题意知，物和像属于位似变换． 故选：A． 【变式1-1】（24-25九年级上·吉林长春·期中）按下列方法，将的三边缩小为原来的，如图所示，任取一点，连接，，，并取它们的中点D，E，F，连接，，得到，则下列说法正确的序号有______． ①与是位似图形；②与是相似图形；③与的周长之比为；④与的面积之比为． 【答案】①②③ 【详解】解：如图符合位似图形的定义， ∴①与是位似图形， 正确； ∵位似是相似的特殊形式， ∴②与是相似图形， 正确； ∴③与周长之比等于相似比为，正确； ∴④与的面积之比等于相似比的平方为， 错误； ∴正确的为：①②③． 故答案为：①②③． 【变式1-2】（2026·河北保定·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，，，，，，若以为边的三角形与位似，则这两个三角形的位似中心可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：假设、的对应情况成立: 设直线：，代入、，得，，即． 设直线：，代入、，得，，即． 验证选项A、：不在、上； B、：不在、上； C、：不在、上； D、：不在、上． 排除、的对应情况，仅保留． 设直线：，代入、，得． 设直线：，代入、，得． 联立，解得，，交点为． 故选：． 【变式1-3】（26-27九年级上·江西·期中）如图，正方形与正方形是位似图形，且位似中心位于两正方形的同侧．已知，则位似中心的坐标是___________． 【答案】 【详解】解：∵位似中心位于两正方形的同侧， ∴点C和E是对应点，点D和F是对应点， 由题意可得， 设直线的解析式为：， 则 ，解得： ， 故直线的解析式为：， 设直线的解析式为：， 则 ，解得： ， 故直线的解析式为：， 则 ，解得： ， 即位似中心是：． ▌题型02 位似图形的性质 1．相似图形的一切性质都成立：对应角相等、对应边成比例；周长比等于相似比k；面积比等于k²；对应高、对应中线、对应角平分线之比都等于k。 2．位似特有的性质：①对应顶点的连线都经过位似中心；②对应边互相平行（或在同一直线上）；③任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比k；④位似中心可以在图形内部、外部、边上或顶点处。 3．同侧与异侧：两个图形在位似中心同侧时对应点方向相同；在位似中心两侧时图形“倒立”，此时对应点连线仍过位似中心。 【典例2】（26-27九年级上·山西朔州·期中）如图，和是以点O为位似中心的位似三角形，已知，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：和是以点O为位似中心的位似三角形， ， ，， ， ． 【变式2-1】（26-27九年级上·甘肃·期中）如图，以点为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的面积是3，则四边形的面积是（     ） A．9 B．18 C．24 D．27 【答案】D 【详解】解：∵四边形是四边形关于O点为位似中心的位似图形， ∴， ∴四边形与四边形相似比为3， ∴四边形的面积四边形的面积． 【变式2-2】（2026·辽宁沈阳·一模）如图，与是位似图形，点O是位似中心，，若，则_________． 【答案】 【详解】解：∵与是位似图形，且， ∴，且相似比为， ∴， ∵， ∴． 【变式2-3】（25-26九年级上·上海·单元复习）如图，以点为位似中心的与的周长比为，则的值是多少？ 【答案】 【详解】解：∵与是以点为位似中心的位似图形，与的周长比为， ，，且相似比， ， ， ． ▌题型03 平面直角坐标系中的位似（作图，求值） 1．位似坐标：可将位似中心平移到原点，做好位似后再平移，异侧时需要将横纵坐标加“负号”。 2．画图步骤：定位似中心；逐顶点算坐标；描点、连线、标注顶点字母（加“′”或下标）；检验：对应边应平行（同向位似时同向平行，反向时仍平行但方向相反）。 【典例3】（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，在由边长为个单位的小正方形组成的网格中，点，，，均为格点，请利用无刻度的直尺作图． (1)以点为位似中心，将在网格中放大为原来的倍，得到，请画出． (2)作出上的点，使． 【答案】见详解 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：取格点、，连接，交于，点即为所求． 如图所示 证明：由网格可知，，，， ∴， ∴， ∴点即为所求． 【变式3-1】（26-27九年级上·河南郑州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是． (1)在图①中，以点为位似中心，画出的位似图形，使与其相似比为； (2)在图②中线段上画一个点，使． 【答案】见详解 【详解】（1）解：与的相似比为，点为位似中心， 分两种情况： 当两个三角形在点同侧时，令要作的位似图形为， 三个顶点的坐标分别是， 取中点，连接得到， ， 与的相似比为； 当两个三角形在点异侧时，令要作的位似图形为， 作关于点的对称点，连接得到， ， 与的相似比为 ； （2）解：由图可知，，且， ． 【变式3-2】（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，△ABC在平面直角坐标系内三顶点的坐标分别为，，． (1)是________三角形 (2)以点B为位似中心，在点B的下方画出,使与位似，且位似比为． (3)若内部有一点，直接写出经过（2）中位似变换后的对应点的坐标为________ 【答案】(1)等腰直角；(2)见详解；(3) 【详解】（1）解：由题可知：，， ∴， ∴是等腰直角三角形． （2） （3）解：由（2）得以点为位似中心，且位似比为，经过（2）中位似变换后的对应点， ∴， ∵点，， ∴， ∴，， ∴． 【变式3-3】（2026九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)以原点为位似中心，在图中画出的位似图形，使与的相似比为，点、、分别与点、、对应，且点在第一象限； (2)在（1）的条件下，与的面积比为 ． 【答案】(1)见详解；(2) 【详解】（1）即为所求： （2）解：∵与的相似比为， ∴与的面积比为． 故答案为：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $