专题06 数列的综合应用（高效培优专项训练）高二数学沪教版选择性必修第一册

学科网·上好课 题型一新定义数列 题型二重构数列 题型三奇偶数列 题型四三角函数相关的数列 题型五不等式相关的数列问题 题型一：新定义数列 1.B 2.D 3.B 4.42m1-2 2-2-3n 7 题型二：重构数列 10 2.A 3.B 4.0 5.c 6.38 7.【答案】(1)4n=n,b,=2”, (2)1478 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06数列的综合应用 题型归纳 题型专练 EN'. 1/3 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型三：奇偶数列 1.A 2.D 3.226 4.【答案】(1)4=-2，a2=3,4=-4 n+l,n为偶数 (2)an= -(n+1),n为奇数· (3) 1-1-1-1） 由题可知aa1=-+1n+2),所以a,aa+a+2气n+1n+2J' 1 所以数列 mw-g…- 由neN,所以>， 义医为江#消选藏所议当。=1时，亿L宁时古 所以≤名 1 5.【答案】(1) a,=2n(neN') (2) T2n=2m2+ 16(n+1) 题型四：三角函数相关的数列 1.c 2.B 3.A 4.C 5.D 6.D 2/3 函学科网·上好课 7.A 题型五：不等式相关的数列问题 1.A 2.C 3.B 4.B 5. 6.【答案】(1)a,=2”-1(n∈N) (2)2<57 7.【答案】(1)an=2n-1,b,=2”: 218 www.zxxk.com 3/3 上好每一堂课 专题06 数列的综合应用 题型一 新定义数列 题型二 重构数列 题型三 奇偶数列 题型四 三角函数相关的数列 题型五 不等式相关的数列问题 题型一：新定义数列 1．定义：若（为非零常数），则称为“差等比数列”．已知在“差等比数列”中，，则的值是（　　） A． B． C． D． 2．若数列满足（q为常数，且），则称为差等比数列，其中q为公差比.已知差等比数列中，，，且公差比为2，则（　　） A．1024 B．1022 C．2048 D．2046 3．若数列满足（，为常数），则称数列为调和数列．已知数列为调和数列，且，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 4．记上的可导函数的导函数为，满足的数列称为“牛顿数列”．若函数，数列为牛顿数列，设，已知，，则_____，数列的前项和为，则_____． 5．对于数列，，若（为常数），则称是的“和数列”.已知为等差数列，，且是的“和数列”，则，数列的前项和________. 题型二：重构数列 1．已知等差数列的首项，取子数列，（，，，…），则（　　） A．是等差数列 B．是等比数列 C．是公比为2的等比数列 D．存在，使是等比数列 2．设为数列，为正整数集的无限子集，且，则数列称为数列的一个子列.已知数列为等差数列，的某个子列构成等比数列，若，则数列的前项和为：（　　）. A． B． C． D． 3．已知数列满足：且，数列与的公共项从小到大排列成数列，则（ ） A． B． C． D． 4．已知等比数列的首项为，公比为.在与之间插入个1，所有项依原顺序组成新数列，则的前25项和为（　　） A． B． C． D． 5．已知数列是首项和公比均为3的等比数列，在数列的任意相邻两项与（其中）之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新数列，则数列的前50项和（　　） A．402 B．404 C．408 D．412 6．已知数列，的通项公式分别为，．将，中的所有项从小到大依次排列构成一个新数列，若与都是中的项，则正整数________． 7．已知等差数列和等比数列满足，，，． (1)求数列，的通项公式； (2)设数列中不在数列中的项按从小到大的顺序构成数列，记数列的前项和为，求． 题型三：奇偶数列 1．已知数列的前n项和为，且，则的值为（　　） A．300 B．240 C．210 D．180 2．若数列的通项公式分别为，且，对任意n∈N*恒成立，则实数a的取值范围是（　　） A． B．[-1,1) C．[-2,1) D． 3．已知数列满足，，若为数列的前n项和，则________________________． 4．已知数列的前项和为，且 (1)求、、的值； (2)求数列的通项； (3)设数列的前项和为，证明：． 5．记是数列的前项和，，且数列是等差数列． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 题型四：三角函数相关的数列 1．已知数列满足，，则该数列的前22项和为（　　） A．69 B．88 C．89 D．96 2．数列满足，，则数列的前60项和为（　　） A． B． C． D． 3．数列满足，则数列的前60项和为 A． B． C． D． 4．数列满足，，，则（　　） A．1010 B．2020 C． D． 5．已知数列满足（），则（　　） A． B． C． D． 6．记为数列的前n项和，若，，且，则（　　） A． B． C． D． 7．已知数列满足，且，若函数，记，则数列的前项和为（　　） A．2017 B．﹣2017 C．0 D．1 题型五：不等式相关的数列问题 1．数列满足，设数列的前项和为，且对任意恒成立，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 2．已知等差数列满足：，，公差，则数列的前项和的最大值为 A． B． C． D． 3．已知正项等比数列中，，且，，成等差数列，若对任意恒成立，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 4．已知数列的前n项和为，且满足，，则使得不等式成立的实数k的最大值为（　　） A． B． C．1 D． 5．中国古代以“三分损益法”确定十二律管的长度.从黄钟出发，交替进行“损一”（乘）和“益一”（乘）操作，依次生得十二律管.记（黄钟），第次损益后所得律管的长度为，已知损益规则为 ，设，则数列的前12项中，最大值是______. 6．已知数列中，，；数列为等差数列，且满足：，． (1)求数列的通项公式； (2)令，若数列为严格减数列，求实数的取值范围． 7．已知正项数列的前项和为，且；数列是单调递增的等比数列，公比为，且的等差中项为；的等比中项为. (1)求，的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若存在使得成立，求实数的最大值. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 数列的综合应用 题型一 新定义数列 题型二 重构数列 题型三 奇偶数列 题型四 三角函数相关的数列 题型五 不等式相关的数列问题 题型一：新定义数列 1．定义：若（为非零常数），则称为“差等比数列”．已知在“差等比数列”中，，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由题意可得，，即有数列为首项为1，公比为2的等比数列，由等比数列的通项公式，即可得到所求值． 【详解】 解：在“差等比数列” 中，，，， 可得，， 即有数列为首项为1，公比为2的等比数列， 可得， 则的值为． 故选：B． 本题考查数列的新定义的理解和运用，考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查运算能力，属于基础题． 2．若数列满足（q为常数，且），则称为差等比数列，其中q为公差比.已知差等比数列中，，，且公差比为2，则（　　） A．1024 B．1022 C．2048 D．2046 【答案】D 【分析】由题意证明数列是以4为首项，2为公比的等比数列，并求出的通项，再用累加法求出的通项，从而得到. 【详解】，，，， 数列是以4为首项，2为公比的等比数列，， 当时，， . 故选：D. 3．若数列满足（，为常数），则称数列为调和数列．已知数列为调和数列，且，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数列的定义得数列是一个等差数列，应用等差数列前n项和公式及下标和的性质得到，最后应用基本不等式求目标式最大值，注意取值条件. 【详解】根据题意，若数列满足（常数），则称为调和数列， 已知数列为调和数列，令，则， 即数列是一个等差数列，设其通项为，公差为， 已知，即等差数列的前项和为， 根据等差数列求和公式，得，解得， 由等差数列的下标性质，得，即， 由，所以 当且仅当时，等号成立，此时，即， 此时公差，数列为常数列，前项和为，符合题意， 综上，的最大值为. 4．记上的可导函数的导函数为，满足的数列称为“牛顿数列”．若函数，数列为牛顿数列，设，已知，，则_____，数列的前项和为，则_____． 【答案】 【分析】先由导数算出牛顿迭代的具体形式，再把与相除，发现每次取平方，从而，按等比数列求通项与前项和． 【详解】由得， 故， 从而． 两式相除得， 于是， 即是首项为、公比为的等比数列， 所以，． 5．对于数列，，若（为常数），则称是的“和数列”.已知为等差数列，，且是的“和数列”，则，数列的前项和________. 【答案】 【分析】先求等差数列的通项公式，结合“和数列”的定义推导的通项，判断为等比数列后利用等比数列前项和公式计算即可. 【详解】设等差数列的公差为，. 根据等差数列通项公式，有，代入，，解得， 因此. 由“和数列”的定义可知，故，即. 因此是首项为，公比为的等比数列，代入等比数列前项和公式得： 题型二：重构数列 1．已知等差数列的首项，取子数列，（，，，…），则（　　） A．是等差数列 B．是等比数列 C．是公比为2的等比数列 D．存在，使是等比数列 【答案】D 【分析】对AB，举反例当时，数列既不成等差数列，也不成等比数列；对C，当时，可得数列的公比为1，可判断；对D，当时，，可判断. 【详解】设等差数列的公差为，则， 所以. 对于AB，当时，，，，数列既不成等差数列，也不成等比数列，故A，B错误； 对于C，当时，数列为常数列且，所以数列的公比为1，故C错误； 对于D，当时，，所以数列是公比为2的等比数列，故D正确. 2．设为数列，为正整数集的无限子集，且，则数列称为数列的一个子列.已知数列为等差数列，的某个子列构成等比数列，若，则数列的前项和为：（　　）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】我们先根据已知的，，求出数列的公比，进而找出数列的规律，最后根据规律求出前50项的和. 【详解】设，为等差数列，设其公差为. 因为，，，所以，，构成等比数列. 则，即. 设，则，. ，展开可得，化简得，因为（若，则数列为常数列，不符合题意），所以. 由，，构成等比数列，公比. 因为是等比数列，所以. 又因为是的子列，，. ，即，化简得， 进一步得到. . 对于，这是首项为，公比为的等比数列的前50项和， 根据等比数列求和公式（这里，，）， 可得. 所以. 故选：A. 3．已知数列满足：且，数列与的公共项从小到大排列成数列，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用赋值法求出，根据判断出数列是等比数列，求出，进而求出.利用等比数列的定义证明出数列 是等比数列，得到，即可求解. 【详解】∵对任意， 所以令 可得 ，则. ∴对任意 ，都有 又 ，， ∴数列 是首项、公比均为2的等比数列，则 . 设 . 下面证明数列 是等比数列 证明： ． 假设 ，则 ， 不是数列 中的项； 而 是数列 中的第项． 从而 所以 是首项为8，公比为4的等比数列．所以 故选：B 4．已知等比数列的首项为，公比为.在与之间插入个1，所有项依原顺序组成新数列，则的前25项和为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先写出等比数列的各项，统计在相邻两项之间插入的个数，判断前项里面包含原等比数列多少项，以及插入多少个数字，再求和得出结果. 【详解】等比数列，，，得， 在和之间插入个. 在与之间共插入个，，则， 所以前项和 . 5．已知数列是首项和公比均为3的等比数列，在数列的任意相邻两项与（其中）之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新数列，则数列的前50项和（　　） A．402 B．404 C．408 D．412 【答案】C 【分析】分析新数列前50项由共插入多少项，通过分组求和计算前50项和． 【详解】因为，，，，， ，，，，， 由题意前5项共插入项， 则数列的前50项的和 ． 6．已知数列，的通项公式分别为，．将，中的所有项从小到大依次排列构成一个新数列，若与都是中的项，则正整数________． 【答案】38 【分析】，中没有公共项，分析与两项中间数字的情况求解. 【详解】中的项都是奇数，中的项都是偶数，，中没有公共项， 设，，两项之间共32项， 若，取，，此时两项之间共32个奇数，符合题意， 小于64的项包含共32项，共5项，所以； 若，此时和两项之间总项数不会等于32项，不符合题意， 综上， 7．已知等差数列和等比数列满足，，，． (1)求数列，的通项公式； (2)设数列中不在数列中的项按从小到大的顺序构成数列，记数列的前项和为，求． 【答案】(1)，，. (2) 【分析】（1）由及求出，再由求出公比，即可求出，进而用指对互化得； （2）由通项知数列的前项是由数列的前项去掉数列的前项后构成的，再用等差、等比数列的求和公式作差． 【详解】（1）因为等差数列和等比数列满足，，，， 所以，即，则等比数列的公比. 所以. 所以. 则，，． （2）由（1）得，即是数列中的第项． 设数列的前n项和为，数列的前n项和为， 因为，，， 所以数列的前项是由数列的前项去掉数列的前项后构成的. 所以． 题型三：奇偶数列 1．已知数列的前n项和为，且，则的值为（　　） A．300 B．240 C．210 D．180 【答案】A 【分析】设n为奇数，则n+1为偶数，n+2为奇数，由，得到，，从而有，得到数列的奇数项和偶数项为等差数列求解. 【详解】解：设n为奇数，则n+1为偶数，n+2为奇数， 所以，， 两式相减得， 所以的奇数项是以1为首项，以3为公差的等差数列； 当时，， 所以的偶数项是以2为首项，以3为公差的等差数列； 所以， ， ， 故选：A 2．若数列的通项公式分别为，且，对任意n∈N*恒成立，则实数a的取值范围是（　　） A． B．[-1,1) C．[-2,1) D． 【答案】D 【分析】先化简两个数列通项，再根据不等式建立关系，最后对n进行奇偶讨论. 【详解】由题意可得，同理， 因为，所以， 当为偶数时，，令， 为任何正偶数时，都成立，则， 越大，就越小，单调递增 则，则； 当为奇数时，，即，令， 为任何正奇数时，都成立，越大，就越小，单调递增， 而，故，所以； 综上所述. 3．已知数列满足，，若为数列的前n项和，则________________________． 【答案】 【分析】根据题意，需要将递推公式分奇数项和偶数项分别找规律，其中奇数项是等差数列，偶数项是等比数列，再分组求和. 【详解】当时，，得，得奇数项是首项，公差的等差数列， 前项中奇数项共15项，； 当时，，得，得偶数项是首项，公比的等比数列， 前项中偶数项共15项，，则. 4．已知数列的前项和为，且 (1)求、、的值； (2)求数列的通项； (3)设数列的前项和为，证明：． 【答案】(1)，，． (2)． (3) 由题可知，所以， 所以数列的前项和， 由，所以， 又因为单调递减，所以当时，， 所以． 【分析】（1）利用公式求解； （2）利用公式，分为奇数和偶数求解； （3）利用裂项相消法求解. 【详解】（1）由条件知， ，． （2）当为奇数且时，，也符合， 所以当为奇数时，； 当为偶数时，； 所以数列． （3）略 5．记是数列的前项和，，且数列是等差数列． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由数列是等差数列，求得，从而得，再由与的关系，求得的通项公式； （2）由（1）求得，根据等差数列前项和公式求得奇数项的和，由裂项相消求和法求得偶数项的和，即可求得数列的前项和． 【详解】（1）由，得， 所以， 所以， 所以数列是首项为，公差为的等差数列. 所以， 所以. 当时，， 所以； ，符合上式， 所以. （2）， 所以， . 所以 . 题型四：三角函数相关的数列 1．已知数列满足，，则该数列的前22项和为（　　） A．69 B．88 C．89 D．96 【答案】C 【分析】利用条件分奇偶讨论的关系，利用分组求和法计算即可. 【详解】当为奇数时，， 当为偶数时，， 所以 故选：C 2．数列满足，，则数列的前60项和为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，分奇偶可得，，再利用分组求和法求解作答. 【详解】由，得，，而， 因此数列的所有项均为1，有， ， 所以数列的前60项和为， 故选：B 3．数列满足，则数列的前60项和为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用题目所给数列的递推公式，分成为偶数和为奇数两类，找出数列的规律，然后利用这个规律求数列前项的和. 【详解】当时，，当时，，两式相加得，故.由得.所以.故.所以选A. 4．数列满足，，，则（　　） A．1010 B．2020 C． D． 【答案】C 【分析】利用二倍角余弦公式，计算化简可知，偶数项是以2为首项，2为公比的等比数列，代入可求. 【详解】 当n为偶数时，， 即偶数项是以2为首项，2为公比的等比数列， . 故选：C. 5．已知数列满足（），则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分为偶数与奇数进行讨论，结合三角函数诱导公式可求出及，即可得解. 【详解】当为偶数时，， ， 故， 故； 当为奇数时，， ， 故， 故； 故. 6．记为数列的前n项和，若，，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别为为奇数和为偶数两种情况分别对题目中的递推公式进行化简，可得到的奇数项为常数列，偶数项为等比数列，分别用分组求和法即可求解． 【详解】当为奇数时，，， 则可化为， 因为，所以， 当为偶数时，，， 则可化为， 因为，所以的偶数项是首项为，公比为的等比数列， 所以 ． 7．已知数列满足，且，若函数，记，则数列的前项和为（　　） A．2017 B．﹣2017 C．0 D．1 【答案】A 【分析】利用等差数列的概念与性质以及正、余弦函数的诱导公式、对称性进行求解. 【详解】∵，∴数列是等差数列， ∵， ∴， ∵函数， ∴，， ∵， 利用诱导公式知， ，所以，同理，，… 所以数列的前2017项和为：2×1008+1=2017，故B，C，D错误. 故选：A． 题型五：不等式相关的数列问题 1．数列满足，设数列的前项和为，且对任意恒成立，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据前项和与通项公式之间的关系可得，利用裂项相消法可得，结合恒成立问题可得，运算求解即可. 【详解】因为数列满足， 当时，则； 当时，则，可得，即； 且符合上式，所以. 则， 可得，即， 若对任意恒成立，则， 且，可得，解得或（舍去）， 所以实数的取值范围为. 2．已知等差数列满足：，，公差，则数列的前项和的最大值为 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，解得，则 ， 又，，故，， 又公差，由，得，故或最大，最大值为，故选C． 3．已知正项等比数列中，，且，，成等差数列，若对任意恒成立，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等比数列和等差数列的性质求出数列的通项公式，再将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题. 【详解】设正项等比数列的公比为，已知，则， 由成等差数列，根据等差数列中项性质得：， 将代入上式，两边同除以（）得： 即，解得（舍去负根，因数列是正项等比数列）， 因此，不等式对任意恒成立， 代入得：， 分离参数得：，对任意恒成立， 因此只需大于数列的最大值即可，令， 则， 当时，，即， 当时，，则，即， 所以，则， 所以，即的取值范围是. 4．已知数列的前n项和为，且满足，，则使得不等式成立的实数k的最大值为（　　） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据和与的关系，结合等比数列性质，即可求解得到数列本身的通项，表示，代入到原不等式中，通过比较即可求解. 【详解】因为，，因此当时，， 所以两式相减得，，所以，， 当时，，满足递推关系，所以的递推公式为， 则为首项为，公比为的等比数列，通项公式为， 因此， 代入得，，化简得， 设，则上式等价于， 所以，， 当时，，，单调递增，当时，，，单调递减， ，，当时，，所以，因此的最小值为， 即，因此的最大值为， 故选择B选项. 5．中国古代以“三分损益法”确定十二律管的长度.从黄钟出发，交替进行“损一”（乘）和“益一”（乘）操作，依次生得十二律管.记（黄钟），第次损益后所得律管的长度为，已知损益规则为 ，设，则数列的前12项中，最大值是______. 【答案】/ 【分析】根据给定条件，求出数列的通项公式，再利用单调性求出最大值. 【详解】依题意，当为不小于3的奇数时，依次为偶数、奇数， 则，数列中所有奇数项，构成以为首项，为公比的等比数列， 当为奇数时，；当为偶数时，， 因此当为奇数时，； 当为偶数时，， 由函数为R上的减函数，得当为奇数时，， 当为偶数时，，而， 所以数列的前12项中，最大值是. 6．已知数列中，，；数列为等差数列，且满足：，． (1)求数列的通项公式； (2)令，若数列为严格减数列，求实数的取值范围． 【答案】(1)​ (2)​ 【分析】（1）将递推式变形，构造等比数列，利用等比数列的通项公式求解． （2）由第（1）问及已知条件求出的通项公式，化简，再将严格递减条件转化为对所有正整数恒成立，求参数范围． 【详解】（1）由，得，又，所以数列是首项为2、公比为2的等比数列． 因此，故． （2）由第（1）问得，由得． 设等差数列的公差为，则，所以． 因为，所以． 数列为严格减数列的充要条件是对任意，均有，即． 因为，所以，且当时取到最小值，故上述不等式对所有正整数恒成立的充要条件为． 7．已知正项数列的前项和为，且；数列是单调递增的等比数列，公比为，且的等差中项为；的等比中项为. (1)求，的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若存在使得成立，求实数的最大值. 【答案】(1)，； (2). 【分析】(1)利用与的关系可得，利用等比数列性质及等差中项、等比中项性质可得. (2)分组求和可得，可将原不等式转化为，可得到的最大值. 【详解】（1）当时，由，得，解得， 当时，由，可得，， 两式相减得， 所以， 即，因为， 所以， 即可得是且公差为的等差数列. 即. 由题意得，即，解得或， 因为是递增的等比数列， 所以，所以，得， 所以， 即，. （2）由(1)得，，， 所以. 若存在使得成立，即能成立， 设，则， 所以是递减数列，故的最大值为， 因此的最大值为. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $