(三)数列求和、数列的应用、数学归纳法-【衡水金卷·先享题】2024-2025学年高二数学选择性必修3同步周测卷（新高考人教B版）

U 置学「人数B极】选择性必修第三面第1页〈共4页) 衡水会卷·究享最·高二同步两测卷耳 U 整竿（人数B版）选择性垒馋第三面蓖2页《共1页) 网，解答题（木题共3小圈，共48分。答风写必要的文字说明，正明过程或演算步露） 11.(本小题满分13分) 已知数列a.的前w项和为S.,且=1，a.1=位，一2十3知十1(n∈N'. 1)求4：44山4 (2)精想数列{：，1的通项公式，并用要学归第法证明 12.(本小题满分15分) 已知数列以.的能和项积为，且关士 (1)证明：从)是等差数列： (2)从{6.1中依次取出第1项，第2项，第4项，·，第21项，按原来顺序祖成一个 新数列{c,,求数列(r(。一1的前n项和. 置学「人数B板】选揉性必婚第三面第3页〈共4页】 衡水金幕·先享题· 13,木小题清分20分) 市民小张计划货款？5万元用于购买一套商品住册，银行给小张是供了再种贷款方 式：①等额本金：在还款期内把贷款总额等分，每月搭还同等数潮的本金和利余货款 在该月所产生的利息，因此每月的还款额垦递诚道势，且从第二个还款月开始，每个 月的还款输与上个月的还款额的差均相同：②等额本息：银行从每月的月供款巾，先 收到余本金利息，后收本金，利息在月侯款中的比例会陆剩余本金的减少而降岳，本 金在月供款中的比例因增加面升高，但月供总篇保持不变，银行规定，在贷款到账日 的次月当天开始首次还款（知2024年7月8日贷款到张，期2024年8月8日首次 还款)，已知该笔贷款的年限为25年，月利率为0,4%， 《1)若小张深取等俪本金的还款万式，且第个还款月应还5500元，最后一个还款 月成还2510元.试计算该笔货数的总利息： (2)若小张采数等征本息的还款方式，银行规定，每月还款颜不得超过家底平均月政 人的一半.已知小张的家庭平均月收人为1万元，判断小张巾请该笔线款是否能够 茯数（不考虑其他岗赏）： 《3)对比两种还款方式，体会建议小张选释愿种还款方式，并说明理由 参考数据：L.004=3.3 离二同步因测卷三 签竿（人数B版）选择性必馋第三面第4页《共1页)高二周测卷 ·数学（人教B版）选择性必修第三册· 高二同步周测卷/数学 选择性必修第三册（三）》 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： 1.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力W,空间想象能力V,数据处理能力 1.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模①直观想象⑤数学运算⑤数据分析 能力要求 学科素养 预估难度 题号 分 知识点 题型 (主题内容) 11 ①② ③① 档次系数 1 选择题 分组求和法求和 易 0.80 2 选择题 5 数学归纳法的原理 易 0.72 3 选择题 5 数列的实际应用 易 0.70 4 选择题 5 倒序相加法求和 中 0.55 5 选择题 5 数列的通项与前 % 0.45 项和 选择题 5 等比数列的应用 中 0.30 1 选择题 6 数列的前n项和 易 0.70 8 选择题 6 分组求和法 √ 难0.28 9 填空题 并项求和法 中 0.55 10 填空题 5 数列的实际应用 中 0.35 11 解答题 13 数学归纳法的应用 中 0.60 12 解答题 15 等差数列的证明，错位 相减法求和 中 0.35 13 解答题 20 数列的实际应用 0.28 香耆答案及解析 一、选择题 1.A【解折】数列1357…的通项公 1 中2十…十中>是当m=+1时中十 13 式为a,=2m-1+(2),所以5=(1+2) 十1十2十十十1十k十>，相比从n=友到”= +1,可知多增加的项为2十中一中 1 (3+是)+(5+是)+(+是)+…+(2m-1+2》 1 1 =+1- 品故选A 2欢+12(k+1)故选D 3.C【解析】设年增长*为x,由题意可知，每年的年 2.D【解析】根据数学归纳法可知：当n=k时，十1十 产量成等比数列，记为{a.},记2015年的年产量为 ·75· ·数学（人教B版）选择性必修第三册· 参考答案及解析 a1,41=75(1+x),则2024年的年产量为41m= ”=#(n十1)(21+1)_”=n(n+2)(2n-1) 751+x)=90,所以(1十x)"=号，所以2034年的 12 4 12 所以Sa 38×(38+2)×(2×38-1D=9500,故D 年产量为a0=a0(1十x)“=90(1十x)10=108(万 12 吨).故选C 正确：当n为奇数时，S,=S1一a+1= 4.C【解析】根据等比数列的性质及a1a:25=1,可得 (n+1)(n+3)(2m+1)_ aa,=1,即a=f)= 12 2(n+1)2 4 (n-1)(n十1)(2m十32，所以S, 12 f(x)十f()=1+7十1-1+= 1 1+x =4,令 (19-1)×(19+1)×(2×19+32=1230,故C错 12 T=f(a:)+f(a:)+…+f(a2s),则T= 误.故选ABD, f(a:m)+f(a2)+…+f(a1),.2T=f(a1)+ 三、填空题 f(ags)+f(a:)+f(a22:)+…+f(ago5)十 9.一2【解析】因为4.=(-1)"(3n-1).所以Sm= f(a1)=4×2025,.T=4050.故选C. (-2)+5+(-8)+11+·+(-56)+59= 5.A【解析】因为S.+a,=1024,所以当N=1时， (-2+5)+(-8+11)+…+(-56+59)=3×10 a1=512:当n≥2时，S.-1十a.-1=1024,则S.十a. =30,则S1=S。+a1=30-62=-32,故S+ =-2. (5-1十a-4)=20.-a1=0,即a=za,-1…所以 10.10【解析】由题意设每个月的收入为数列{4.}，其 数列(a,)是以512为首项，号为公比的等比数列，所 前n项和记作S。,前6个月的收入成等比数列，且公 比为号，第7个月开始收人成等差数列，公差为2 以a,=512×(分)=2，数列(a,}单调递减， 当n≤10时，a.≥1，当n≥11时，4.<1，所以当n=9 则S 20×[1-()] 一100 或n=10时，数列(a,}前n项的积最大，最大值为 6 1 2°×2*×2×…×2×2×2°=29.故选A. 6.B【解析】设每年应该存人x万元，则2024年年初 198.6,又a,=a,+2=20×(号)+2≈51.76，则 存人的钱到2031年年初本利和为x(1+2%),2025 as=53.76,ag=55.76,aa=57.76,所以5≈ 年年初存入的钱到2031年年初本利和为 198.6+51.76+53.76+55.76=359.88,S1m=S+ x(1+2%).…,2030年年初存人的钱到2031年年 ao=417.64>400,所以该企业用所得收入偿还400 初本利和为r(1+2%),则r(1+2%)+x(1+2%) 万元的无息贷款只需10个月 ++x(1+2%)7=40.即1.02x-102)=40. 四、解答题 1-1.02 11.解：(1)因为a+1=na。-2n2+3n+1(n∈N). 解得x≈5.3.故选B. 所以当n=1时，a:=a1一2×12十3×1十1=3： 二、选择题 (2分) 7.ACD【解析】对于am+,=amam,令m=n=1,得ai 当n=2时，aa=2a2-2×22+3×2+1=5:(4分) ag=1,则a=士1，令m=2,则a+4=aea,=aw,所以 当n=3时，a1=3a-2×32+3×3+1=7.(6分) a丝o2:=ag=1,a22=a1一士1，放A正确，B错误：易 (2)猜想a.=2一1(n∈N·),证明如下： 得a.=1,aw-t=a1,则S2g4=1012a1+1012ag= 当n=1时，由题知a1=1,猜想成立： 1012a1十1012=2024，解得41=1，故C正确： S:s=1013a1+1012ag=1013a1+1012=-1,解 假设当n=k(k∈N,k≥1)时，猜想成立，即a= 2k-1, (8分) 得a:=一1，故D正确.故选ACD. 则当n=k十1时，a-1=kae一22十3k十1=k(2k 8.ABD【解析】由题意可知当n为奇数时，a,= 1)-22+3k+1=2k+1=2(k+1)-1, 号(m-1):当n为偶数时，a,=号.当=20时， 所以当n=k+1时，aw=2m一1(n∈N)成立. (12分) am-号×20=200，故A正角：当1=30时a 综上所述，任意n∈N,有a。=2m-L. (13分) 专×(39-1=760.放B正确：当n为偶数时.8 12.解：(1)因为数列{a}的前n项积为b., b。(n≥2) 2×(1-1)+号×2+号×(3-1)++ 所以a一 [(n-10-1门+之r=合×(1+2+…+) 化简可得6.一b。1=2(≥2)， (3分) ·76· 高二周测卷 ·数学（人教B版）选择性必修第三册· 因为6=a1, 所以r,1-1.004 =750000×1.004",(12分) 放当=1时，子十公=1，解得6=3， 1-1.004 (5分) 所以，x= 750000X1.004m×0.004 所以{b。}是首项为3，公差为2的等差数列.(7分) 1.004-1 (2)由(1)可得b,=3+2(m-1)=2n+1, (8分) ≈750000×3.31X0.004≈4298.7. 所以c.=-1=2·2-1十1=2十1， 3.31-1 故n(c.一1)=n·2", 1 (10分) 因为4298.7<10000×2=5000， 令数列{#(c。一1))的前n项和为T。, 所以小张该笔贷款能够获批。 (16分) 则T.=1×2+2×22+3×22+…+n·2①， 2T.=1×2+2×23+3×24+…+(n-1)·2+n (3)小张采取等额本息还款方式的总利息约为 ·2+1②， 4298.7×300-750000=539610(元). 由①-②得-T=2+2+22+…十2n·2+ 由(1)可知，小张采取等额本金还款方式的总利息为 451500元， =(1-n)·2+1-2, (14分) 又539610>451500. 所以T,=2+(n一1)·2+ (15分) 所以从节省利息的角度来考虑，建议小张选择等额 13.解：(1)由题意可知，在等额本金的还款方式中，每月 本金的还款方式 (20分) 的还款额构成等差数列.记为{a,}, 也可以回答： 数列{a。}的前n项和记为S。, 因为以等额本息方案，每月还款只需要均还4298.7 则a1=5500,a%=2510, 元，而以等额本金在前面的10年内还款金额都比这 所以Sm=300X(5500+25102=1201500. 个金额高， 2 故小张该笔贷款的总利息为1201500一750000= d4=550,22510=10,5500-4300-120. 299 10 451500(元). (8分) 对于小张可能会造成更大的还款压力， (2)若小张采取等额本息的还款方式， 因此从前几年还款压力大小的角度来考虑，建议小 设小张每月的还款额为x元， 张选择等额本息的还款方式. (20分) 则x+(1+0.004)x+(1+0.004)”x+…+(1+ 0.004)x=750000×(1+0.004)00, ·77