专题02 数列的3种综合应用（专项训练）高二数学沪教版2020选择性必修第一册

专题02 数列的3种综合应用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、数列的实际应用 1 题型二、数列与函数、不等式综合 6 题型三、等差数列、等比数列综合 22 B综合攻坚・能力跃升 题型一、数列的实际应用 1．（25-26高三上·上海杨浦·开学考试）我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方千米，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠．设从今年起第n年绿洲面积为万平方千米．则第n年绿洲面积与上一年绿洲面积的关系是 ． 【答案】 【详解】依题意， ，所以. 故答案为： 2．（22-23高二下·上海闵行·期中）某公司生产一种产品，第一年投入资金1000万元，出售产品后收入40万元，预计以后每年的投入资金是上一年的一半，出售产品所得收入比上一年多80万元．同时，当预计投入资金低于20万元时，就按20万元投入，且当年出售产品的收入与上一年相同． (1)设第年的投入资金和收入金额分别为万元，万元，请求出、的通项公式； (2)预计从第几年起该公司开始并持续盈利？请说明理由（盈利是指总收入大于总投入）． 【详解】（1）由题知：， 当，，解得， 所以. . （2）当时， 总利润. 因为， 为增函数， 且，， 所以当时，，当时，， 因为， ， 所以时，，即前6年未盈利. 当时，， 令，解得，所以该公司从第8年开始盈利. 3．（25-26高三上·上海·期中）2025年6月底，某厂的废水池已储存废水75吨，以后每月新产生的6吨废水也存入废水池．该厂2025年7月开始对废水处理后进行排放，7月底排放4吨处理后的废水，计划以后每月月底排放一次，每月排放处理后的废水比上月增加1吨． (1)若按计划排放，该厂在哪一年的几月份排放后，第一次将废水池中的废水排放完毕？ (2)该厂加强科研攻关，提升废水处理技术，经过深度净化的废水可以再次利用．该厂从2026年1月开始对废水池中的废水进行深度净化，首次净化废水5吨，以后每月比上月提高20%的净化能力．试问：哪一年的几月份开始，废水池中的废水能全部被深度净化？ 【详解】（1）设从2025年7月起第个月处理后的废水排放量为， 则数列是首项为4，公差为1的等差数列， 所以， 令，整理得， 解得或， 又因为是正整数，则， 当时，处理后的废水排放量大于新产生的6吨废水，所以不会有废水存积. 故该厂在2026年9月底第一次将废水池中的废水排放完毕； （2）设从2025年7月起第个月深度净化的废水量为吨， 由已知条件，， 当时，数列是首项为5，公比为1.2的等比数列， 则数列的前项和， 而从2025年7月起第个月废水存量为：， 当时，， 当时，， 所以2026年的11月份开始，废水池中的废水能全部被深度净化． 4．（24-25高二上·上海·期中）某产品具有一定的时效性．在这个时效期内，由市场调查可知，在不做广告宣传且每件获利a元的前提下，可卖出b件．若做广告宣传，广告费为千元时比广告费为千元时多卖出件，其中，． (1)求销售量关于广告费用n的函数关系式； (2)当，时，厂家应生产多少件这种产品且广告宣传费用为多少元时才能使利润最大.（利润＝总获利－广告费，并假设厂家生产的产品全部销售完．） 【详解】（1）由题意得，， 因为广告费为千元时比广告费为千元时多卖出件， 所以，… 于是可得 ， 由等比数列求和可得， ， 所以. （2）由（1）可得，设利润为， 则， 所以当，时， ， 若要使最大，则，代入可得， 故，此时， 所以商家应生产7875件产品且广告费用为5000元时利润最大. 5．（23-24高二上·上海杨浦·月考）银行按规定每经过一定的时间结算存（贷）款的利息一次，结算后将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利.现用10000元购买某个理财产品一年. (1)若以月利率的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？ (2)若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率至少为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到）？ 参考数据： 【详解】（1）个月后，本息和为， 个月后，本息和为， 以此类推，个月后，本息和为， 所以个月能获得利息元. （2）设按季结算的利率为， 个季度后，本息和为， 个季度后，本息和为， 以此类推，个季度后，本息和为， 所以个季度能获得利息， 由， 得，即， 所以. 所以当每季度利率至少为时，按季结算的利息不少于按月结算的利息. 6．（2023·上海金山·一模）近两年，直播带货逐渐成为一种新兴的营销模式，带来电商行业的新增长点.某直播平台第1年初的启动资金为500万元，由于一些知名主播加入，平台资金的年平均增长率可达，每年年底扣除运营成本万元，再将剩余资金继续投入直播平合. (1)若，在第3年年底扣除运营成本后，直播平台的资金有多少万元？ (2)每年的运营成本最多控制在多少万元，才能使得直播平台在第6年年底扣除运营成本后资金达到3000万元？（结果精确到万元） 【详解】（1）记为第年年底扣除运营成本后直播平台的资金， 则， 故第3年年底扣除运营成本后直播平台的资金为936万元. （2）， 由，得， 故运营成本最多控制在万元， 才能使得直播平台在第6年年底扣除运营成本后资金达到3000万元. 7．（2023·上海闵行·模拟预测）在当前市场经济条件下，某服装市场上私营个体商店中的商品所标价格a与其实际价值b之间存在着相当大的差距.对购物的消费者来说，这个差距越小越好，而商家则相反，于是就有消费者与商家的“讨价还价”，常见的方法是“对半还价法”，消费者第一次减去定价的一半，商家第一次讨价加上二者差价的一半;消费者第二次还价再减去二者差价的一半，商家第二次讨价，再加上二者差价的一半，如此下去，可得表1: 表1 次数 消费者还价 商家讨价 第一次 第二次 第三次 第n次 消费者每次的还价组成一个数列. (1)写出此数列的前三项，并猜测通项的表达式并求出； (2)若实际价格与定出的价格之比为，利用“对半还价法”讨价还价，最终商家将能有百分之几的利润? 【详解】（1）， ， ， 观察可得， . （2）因为，所以， 故 故商家将有约的利润. 题型二、数列与函数、不等式综合 8．（23-24高二上·上海闵行·期末）已知等差数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)若等比数列的公比为，且满足，求满足的所有正整数的值. 【详解】（1）由题意设等差数列的公差为d，由，， 得，解得， 故； （2）由于等比数列的公比为，且满足， 而，则，故， 则， 又，则， 当时，显然成立， 由于随着n的增大而增大，随着n的增大而增大， 当时，，故时，无解， 故满足的所有正整数的值为. 9．（23-24高三上·上海闵行·期中）等差数列的前项和为，已知，且. (1)求和； (2)设，若恒成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）设公差为，由，且，可得， 解得，所以，. （2）由（1）可得， 所以 ， 因为恒成立， 所以，即实数的取值范围为. 10．（23-24高三上·上海嘉定·期中）已知数列满足，，，（n为正整数）， (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，（n为正整数），是否存在非零整数λ，使得对任意正整数n，都有? 【详解】（1）因为，，所以， 因为，所以， 所以. （2）由（1）得，整理得； 假设存在整数，使得对任意正整数n，都有， 则； 当为奇数时，上式化为，即； 当为偶数时，上式化为，即； 综上可得，因为，所以； 所以存在整数使得对任意正整数n，都有. 11．（25-26高二上·上海普陀·期末）等差数列的公差不为0，是其前n项和．已知，且，，依次成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若对一切正整数n都成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）设首项为，公差为， 因为，，依次成等比数列，所以， 即，化简得， 因为，所以，即， 联立方程组，解得， 则. （2）因为，所以， 因为对一切正整数n都成立， 所以，即， 可得，令，即恒成立， 由基本不等式得，当且仅当时取等，此时解得， 则，，即，可得， 故实数的取值范围为. 12．（24-25高二下·上海·期中）已知函数对任意实数、都满足，且 (1)当时，求的表达式； (2)设，记数列的最小项的项数为，求 的值． (3)设，数列的前项和为，若对恒成立，求最小正整数． 【详解】（1）由题可知，，即 ， 故数列 是首项为，公比为的等比数列，则． （2）由题可知，，又， 则= 当，严格递增；当，严格递减， 所以数列的最小项为，则. （3）由题可知，，又， 故数列是首项为，公差为的等差数列， 则 所以 = . 当时，为单调减函数，故为单调增函数， 又故要满足题意，只需，解得，故最小正整数的取值为2012． 13．（24-25高二上·上海嘉定·期中）设数列的前n项和为.若（），则称是“紧密数列”. (1)已知数列是“紧密数列”，其前5项依次为1，，，x，，求x的取值范围； (2)若数列的前n项和为（），判断是否是“紧密数列”，并说明理由； (3)设数列是公比为q的等比数列.若数列与都是“紧密数列”，求q的取值范围. 【详解】（1）由题意得：，所以. （2）由数列的前n项和（），得 时，， 时，， 验证，当时，，成立， 所以 所以，， 因为对任意，，即， 所以，，即是“紧密数列”. （3）由数列是公比为q的等比数列，得， 因为是“紧密数列”，所以. ①当时，，， 因为， 所以时，数列为“紧密数列”，故满足题意. ②当时，，则. 因为数列为“紧密数列”， 所以，对任意恒成立. （i）当时，， 即，对任意恒成立. 因为，，， 所以，， 所以，当时，，对任意恒成立. （ii）当时，， 即，对任意恒成立. 因为，，. 所以，解得， 又，此时q不存在. 综上所述，q的取值范围是. 14．（23-24高二上·上海·期末）已知是首项为1的等比数列，是首项为2的等差数列，且. (1)求和的通项公式； (2)将和中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列，求数列的前50项和； (3)设数列的通项公式为，，记的前项和为，若对任意的都成立，求正数的取值范围. 【详解】（1）设的公比为，的公差为， 因为且，所以，， 解得，， 所以，； （2），， 因为数列是正偶数构成的等差数列，数列除首项外，其余项都是的倍数， 所以数列的前50项和； （3）因为，， 所以 ， 由得， 即对任意的都成立， 因为，，等号取不到， 当时，，当时，， 所以正数的取值范围是. 15．（23-24高二上·上海青浦·期末）已知数列的前n项和为，且满足，． (1)判断是否为等差数列？并证明你的结论； (2)求和； (3)求证：． 【详解】（1）是等差数列，证明如下： 由题设，显然不可能为0，则，且， 所以是首项、公差都为2的等差数列. （2）由（1）知：，显然时也满足，则， 当时，， 而不满足上式，则. （3）由 ，且， 又当时成立， 综上，. 16．（22-23高二上·上海宝山·期末）已知等差数列和正项等比数列. (1)求； (2)设，记数列的前项和为，求的最小值： (3)设的前项和为，是否存在常数､，使恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【详解】（1）设等差数列公差为，等比数列公比为. 则由题有：，. 故； （2）由（1）可得， 则是以为首项，公差为的递增等差数列，注意到， 则，即求的最小值为； （3） . 因，则若，可得 .注意到 ， 则恒成立，从而可得 ； . 则存在常数，，使恒成立. 17．（22-23高二上·上海普陀·期中）对于无穷数列，若存在正整数，使得对一切正整数都成立，则称无穷数列是周期为的周期数列. (1)已知无穷数列是周期为的周期数列，且，，是数列的前项和，若对一切正整数恒成立，求常数的取值范围； (2)若无穷数列和满足，求证：“是周期为的周期数列”的充要条件是“是周期为的周期数列，且”； (3)若无穷数列和满足，且，是否存在非零常数，使得是周期数列？若存在，请求出所有满足条件的常数；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）解：因为无穷数列是周期为的周期数列，且，， 所以，当为偶数时，； 当为奇数时，， 因为对一切正整数恒成立， 所以，当为偶数时，，故只需即可； 当为奇数时，恒成立，故只需即可； 综上，对一切正整数恒成立，常数的取值范围为 （2）证明：先证充分性： 因为是周期为的周期数列，， 所以，，即， 所以，即 所以，是周期为的周期数列，即充分性成立. 下面证明必要性： 因为是周期为的周期数列， 所以，即 所以，，即 所以，，即， 所以数列是周期为的周期数列， 因为，即 所以，必要性成立. 综上，“是周期为的周期数列”的充要条件是“是周期为的周期数列，且” （3）解：假设存在非零常数，使得是周期数列， 所以，由（2）知，数列是周期为的周期数列，且， 因为， 所以，， 所以数列是周期为， 所以，即，显然方程无解， 所以，不存在非零常数，使得是周期数列. 18．（24-25高二上·上海·月考）已知数列，对于任意的正整数，都有则称数列是严格凹数列． (1)若数列，的通项公式分别为，判断数列，是否为严格凹数列，无需说明理由； (2)证明：“对于任意正整数的，当时，有”是“数列为严格凹数列”的充要条件； (3)函数是定义在正实数集上的严格增函数，且数列是严格凹数列，严格增数列（正整数为常数且）各项均为互不相等的正整数，若恒成立，求实数λ的取值范围． 【详解】（1）不是严格凹数列；是严格凹数列. 已知数列的通项公式为， 所以， ， 则， 所以， 故数列不是严格凹数列． 由数列的通项公式为， 则，， ， 所以， 故数列是严格凹数列． （2）证明充分性： 若对于任意正整数的，当时，有. 对于任意的，令，则满足条件，， 则有,即, 所以数列 为严格凹数列. 证明必要性： 若数列为严格凹数列， 所以对任意的，都有，即. 所以对任意的，当时， 则有， 所以有， 由，则； 又有， 由，则； 又因为， 所以. 故“对于任意正整数的，当时，有” 是“数列为严格凹数列”的充要条件. （3）特例1：令， 则函数是定义在正实数集上的严格增函数. 所以， 则， 故数列是严格凹数列，且， 令，且，则数列为严格增数列， 给定常数时，要使不等式恒成立， 则，即恒成立， 即，解得. 特例2：令， 则函数是定义在正实数集上的严格增函数. 所以， 则， 故数列是严格凹数列，且，严格增数列， 给定常数时，要使不等式恒成立， 则，即恒成立， 即，解得或. 猜想1：给定常数时，对任意满足题意的，数列，数列， 要使不等式恒成立，则. 特例3：给定常数，时，对严格增数列， 要使不等式恒成立，即使恒成立， 注意到：对于函数，，严格增数列， 为定义在正实数集上的严格增函数，满足， 且数列满足， 则，， 当时，恒成立. 考虑到满足题意的函数若不断逼近函数，则的值也不断接近于的值，给出猜想2. 猜想2：给定常数，时，对任意满足题意的，数列，数列， 要使不等式恒成立，则. 证明：由题意数列是严格凹数列，则由（2）所证结论可得， 对于任意，有， 即， 故对任意的，， 由， 所以，则； 故对任意的，， 又， 所以，则； ，依此类推可得， 当，且，时，则. 当时，令， 故， 又，则. 由题意，数列为严格增数列（正整数为常数且），且各项均为互不相等的正整数， 所以，且， 则，， 又， ①若给定常数，对任意满足题意的，数列，数列， 则， 要使，即恒成立. （i）若且时， 任意满足题意的，数列，数列， 则 即当时， ， 故不成立. 当时，由，由单调性可得， 恒成立. （ii）若且时，， 则， 而， 又是定义在正实数集上的严格增函数， 当时，，则， 则. 则当时，恒成立. 由（i）（ii）可知，给定常数时，任意满足题意的，数列，数列， 要使恒成立，则. ②若给定常数，时， 任意满足题意的，数列，数列， 由，， . 又是定义在正实数集上的严格增函数， 则当时，， 则恒成立. 所以若给定常数，时，任意满足题意的，数列，数列， 要使不等式恒成立，则. 综上所述，给定常数，当时，要使恒成立，则； 当时，要使恒成立，则. 19．（23-24高二下·上海·期中）对于有穷数列，若存在等差数列，使得，则称数列是一个长为的“弱等差数列”. (1)证明:数列是“弱等差数列”; (2)设函数，在内的全部极值点按从小到大的顺序排列为，证明： 是“弱等差数列”; (3)证明:存在长为2024的“弱等差数列”，且是等比数列. 【详解】（1）存在数列是等差数列，且，所以数列是“弱等差数列”. （2），令得， 所以极值点即为和图象交点的横坐标， 由和在内的图象可知，在每个周期都有一个交点， 所以令，则，所以是“弱等差数列”. （3）构造正整数等比数列，，其中是待定正整数， 下面证明：存在正整数，使得等比数列是长为2024的“弱等差数列”. 取若存在这样的正整数使得 成立， 所以， 由，得 ， 于是， 又因为，所以当时，， 而， 所以， 最后说明存在正整数使得， 由， 上式对于充分大的成立，即总存在满足条件的正整数. 所以，存在长为2024的“弱等差数列”，且是等比数列. 题型三、等差数列、等比数列综合 20．（23-24高三上·上海松江·期末）已知数列为等差数列，是公比为的等比数列，且． (1)证明：； (2)若集合，求集合中的元素个数． 【详解】（1）证明：设数列的公差为，则， 即， 解得，所以原命题得证. （2）由（1）知，所以， 因为，所以，解得, 由，，故，即， 所以满足等式的解． 故集合中的元素个数为6. 21．（22-23高三上·上海黄浦·开学考试）已知数列的前n项和为，数列满足，． (1)证明是等差数列； (2)是否存在常数a、b，使得对一切正整数n都有成立．若存在，求出a、b的值；若不存在，说明理由． 【详解】（1）解：证明：因为数列的前n项和为， 所以当时，， 当时，， 所以，满足， 所以数列的通项公式为，， 所以，， 所以是等差数列； （2）解：因为， 所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以； 所以， 要使对一切正整数n都有成立． 即， 即， 所以，解得 . 故存在常数，当时，对一切正整数n都有成立. 22．（25-26高二上·上海·期末）设是公差不为零的等差数列.已知，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足：对任意正整数，均有，求数列的前项和. 【详解】（1）解：设等差数列的公差为， 因为，且成等比数列，可得， 所以，整理得，解得或（舍去）， 所以， 所以数列的通项公式. （2）解：由（1）知：，因为数列满足①， 当时，可得，所以； 当时，②， ①-②可得，所以， 所以数列的通项公式为， 当时，可得； 当时， 当时，可得，所以上式成立， 所以数列的前项和. 23．（25-26高三上·上海松江·期中）记为数列的前n项和，已知． (1)若，求的值； (2)证明：数列是等差数列； (3)若，，成等比数列，求的最小值． 【详解】（1）由， 当时，， 则，即，而， 所以. （2）由，则，① 当时，，② ①②，得， 即， 即，所以数列是以1为公差的等差数列. （3）由（2）知，等差数列的公差， 因为，，成等比数列， 所以，则， 即，解得， 所以，函数开口向上，对称轴为, 而，所以或12时，取得最小值. 24．（25-26高二上·上海·期中）已知数列，前项和为， (1)若是等差数列，求； (2)若，求； (3)若是等比数列，项数不少于2，求所有任意不同两项的乘积的总和． 【详解】（1）设等差数列公差为， 由题意， 所以， 所以； （2）当时， ， 当时， ， 综上； （3）由题意：公比， 所以， 则， 记， 所以 . 25．（25-26高三上·上海·期中）已知数列满足，. (1)求的值； (2)证明：数列为等比数列，并求的通项公式； (3)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同的三项、、（其中、、成等差数列成等比数列？若存在，求出所有满足条件的、、；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）由，， 可得，，； （2）由，则， 则数列是以为首项，为公比的等比数列， 即， 即； （3）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列， 可得， 在数列中假设存在不同的三项、、（其中、、成等差数列成等比数列， 可得，即， 由，可得， 则， 则，为方程的两根，可得， 这与、、互异矛盾， 则在数列中不存在不同的三项、、成等比数列. 26．（24-25高二上·上海黄浦·期末）若数列与都是严格增数列且无公共项，将它们的项合并在一起并按由小到大的顺序排列，在得到的新数列中，来自的任意两项均不相邻，则称为的“隔数列”. (1)若是首项与公差均为整数的等差数列，，且数列是数列的“隔数列”，求的通项公式； (2)若，是首项为1，公比为的等比数列，且数列是数列的“隔数列”，求整数的值； (3)设是公比为的无穷等比数列，其前项和为，若是的“隔数列”，求的取值范围． 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，则且， 由数列是数列的“隔数列”， 则，且， 所以且，即，所以或， 所以或； （2）设的公比为， 因为数列是数列的“隔数列”， 即数列是数列的“隔数列”， 所以或， 解得或，即或， 所以或， 所以整数的值为. （3）因为是的“隔数列”， 所以与都是严格增数列， 由是严格增数，可知对一切正整数恒成立， 又由是严格增数列，可知，即对一切正整数恒成立， 所以且， 这时因为对于一切大于等于的整数恒成立， 故必有， 即对一切正整数恒成立， 即对一切正整数恒成立， 即对一切正整数恒成立，所以，即， 所以的取值范围为. 一、单选题 1．（24-25高二上·上海·月考）在数列中，如果存在正整数，使得对于任意的正整数均成立，那么称数列为周期数列，其中叫做数列的周期．已知数列满足，如果，，当数列的周期最小时，该数列前2024项的和是（    ） A．674 B．1348 C．1350 D．2024 【答案】C 【详解】因为，所以， 因为数列是周期数列，且， 当时，可得，则，即，不满足题意， 当时，则，即，解得或（舍去）， 则，不满足题意， 当时，则，即，则或， 当时，，即，解得（舍去）， 当时，，此时，即， 又，即，故， 此时，， ，满足题意， 所以数列的周期最小值为3， 此时；；…， 故此时数列的前2024项和是． 故选：C． 2．（25-26高三上·上海虹口·月考）设数列的前n项的和为，若对任意的正整数n，都有，则称数列满足性质P．关于以下两个命题，下列判断正确的是（   ）． ①存在等差数列满足性质P； ②若等比数列的首项为正数且公比为q，则是满足性质P的充分非必要条件． A．①和②都为真命题 B．①和②都为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 【答案】D 【详解】等差数列的公差为，当时，，不符合题意， 当时，， 函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴， 存在，使得，取不小于的正整数，则有， 即，不符合题意，综上得①为假命题； 等比数列首项，因为数列满足性质P，则有，即， ，于是， 依题意，任意的，，函数在单调递减，值域是， 因此，即. 所以是满足性质P的充分非必要条件，②是真命题. 故选：D 3．（2024·上海奉贤·三模）若数列的前项和为，关于正整数的方程记为，命题：对于任意的，存在等差数列使得有解；命题：对于任意的，存在等比数列使得有解；则下列说法中正确的是（    ） A．命题为真命题，命题为假命题； B．命题为假命题，命题为真命题； C．命题为假命题，命题为假命题； D．命题为真命题，命题为真命题； 【答案】D 【详解】当时，可得且，显然满足； 当时，设等差数列的首项，公差为， 可得，此时， 满足，即存在等差数列使得有解， 当时，设等差数列的首项，公差为， 可得，此时， 满足，即存在等差数列使得有解， 综上可得，对于任意的，存在等差数列使得有解，所以命题为真命题； 当时，取等比数列的首项为，公比为，可得， 则，此时满足，即成立； 当时，取等比数列的首项为，公比为，可得， 此时，满足，即存在等比数列使得有解； 当时，令，即为首项，公比为的等比数列， 此时，满足，即存在等比数列使得有解； 综上可得，对于任意的，存在等比数列使得有解，所以命题为真命题. 故选：D. 4．（25-26高三上·上海金山·月考）设，数列，数列．设．若对任意，长为、、的线段均能构成三角形，则满足条件的正整数n有（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．无数个 【答案】B 【详解】∵长为，，的线段均能构成三角形， ∴， ① 当时，有，即， 又，∴，即恒成立； ② 当时，有，即， ∴，因为，易知随着的增大而增大，所以； 则有，整理可得， 结合数列的函数特性以及指数函数和一次函数增长速度不同，以及， 可知当，，不合题意； 当时，，当时，， 当时，，因此可得， ③ 当时，有，即， 当时，显然成立，当时，， 因为，易知随着的增大而增大，所以， 因此即可，即，所以； 结合数列的函数特性以及指数函数和一次函数增长速度不同，以及，可得， 综上可得 ∴满足条件的n有2个． 故选：B． 5．（22-23高三上·上海长宁·月考）已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16…，设N为项数，求满足条件“且该数列前N项和为2的整数幂”的最小整数N的值为（    ） A．110 B．220 C．330 D．440 【答案】D 【详解】观察可知：该数列可看成：第一行是，第二行是， 第三行是，以此类推，项数分别为1,2,3， 前行数和为， 则 ， 要使，则， 要使前N项和为2的整数幂， 所以：是之后的等比数列部分的和， 即：， 所以， 则，此时， 对应满足的最小条件. 故选：D 二、填空题 6．（25-26高三上·上海杨浦·月考）定义：若数列中存在连续三项之和为4的倍数，则称该数列为“4性数列”；反之，则称其为“非4性数列”.已知数列满足，，且对任意整数，都有等于与之和除以4的余数.若从数列的前40项中任选两项、，将数列中到之间（包含和）的所有项取出，按原来的顺序构成一个新的数列，则取出的所有新数列中，不同的“4性数列”的个数为 . 【答案】207 【详解】，，，，，，，，……， 可以看出该数列周期为， 在前8项中符合“4性数列”条件的有和， 同样满足条件的还有，……，，共有12个三元数组. 考虑符合条件的取出的数列长度，. 若，共有2个； 若，共有4个； 若，各有6个； 当时，各有5、4、3、2、1个， 所以总计个. 故答案为：207 三、解答题 7．（24-25高二上·上海·月考）已知数列，对于任意的，都有，则称数列为“凹数列”． (1)已知数列的前项和分别为，且，试判断数列，数列是否为“凹数列”，并说明理由； (2)已知等差数列，首项为4，公差为，且为“凹数列”，求的取值范围． 【详解】（1）由于为等差数列， 所以为等比数列， ， 任意的，都有， 故，所以数列是为“凹数列”， 任意的，都有， 故，所以数列不是为“凹数列”， （2）因为等差数列的公差为，， 所以， 因为数列是凹数列， 所以对任意，恒成立， 即， 所以，即， 因为， 解得． 所以的取值范围为． 8．（24-25高二下·上海奉贤·期末）已知无穷数列，.若对任意的正整数，都有，则称与“伴随”. (1)若，，判断与是否“伴随”，说明理由； (2)已知数列的前项和为，满足，证明：与“伴随”. 【详解】（1）数列与不“伴随”. 取，， 所以数列与不“伴随”. （2）数列中，，则，解得， ，即， 因此数列是首项为，公比为的等比数列，，， 则， 所以与“伴随”. 9．（22-23高二上·上海虹口·月考）某中学有在校学生2000人，没有患感冒的同学．由于天气骤冷，在校学生患流行性感冒人数剧增，第一天新增患病同学10人，之后每天新增的患病同学人数均比前一天多9人．由于学生患病情况日益严重，学校号召同学接种流感疫苗以控制病情．从第8天起，新增病患的人数均比前一天减少50%，并且每天有10名患病同学康复． (1)求第n天新增病患的人数； (2)按有关方面规定，当天患病同学达到全校人数的15%时必须停课，问该校有没有停课的必要？请说明理由． 【详解】（1）当时，∵，公差为9，∴ 当时，∵，公比为，∴ ∴ （2）设为第n天患病总人数，则 当时， 当时，， 令， . 所以该学校不用面临停课的危险． 10．（2022·上海崇明·一模）保障性租赁住房，是政府为缓解新市民、青年人住房困难，作出的重要决策部署．2021年7月，国务院办公厅发布《关于加快发展保障性租赁住房的意见》后，国内多个城市陆续发布了保障性租赁住房相关政策或征求意见稿．为了响应国家号召，某地区计划2021年新建住房40万平方米，其中有25万平方米是保障性租赁住房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长，另外，每年新建住房中，保障性租赁住房的面积均比上一年增加5万平方米． (1)到哪一年底，该市历年所建保障性租赁住房的累计面积(以2021年为累计的第一年)将首次不少于475万平方米? (2)到哪一年底，当年建造的保障性租赁住房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于? 【详解】（1）设保障性租赁住房面积形成数列， 由题意可知，是等差数列，其中，， 则， 令≥475，即，而为正整数，解得， 故到2030年底，该市历年所建保障性租赁住房的累计面积(以2021年为累计的第一年)将首次不少于475万平方米； （2）设新建住房面积形成数列， 由题意可知，是等比数列，其中，， 则， 由题意知，，则，满足上式不等式的最小正整数， 故到2026年底，当年建造的保障性租赁住房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于． 11．（2022·上海长宁·二模）甲、乙两人同时分别入职两家公司，两家公司的基础工资标准分别为：公司第一年月基础工资数为3700元，以后每年月基础工资比上一年月基础工资增加300元；公司第一年月基础工资数为4000元，以后每年月基础工资都是上一年的月基础工资的1.05倍． (1)分别求甲、乙两人工作满10年的基础工资收入总量（精确到1元） (2)设甲、乙两人入职第年的月基础工资分别为、元，记，讨论数列的单调性，指出哪年起到哪年止相同年份甲的月基础工资高于乙的月基础工资，并说明理由． 【详解】（1）甲的基础工资收入总量 元 乙的基础工资收入总量 元 （2）， ，， 设，即，解得 所以当时，递增，当时，递减 又当，即，解得，所以从第5年到第14年甲的月基础工资高于乙的月基础工资．       ． 12．（24-25高二·上海·随堂练习）在当前市场经济条件下，某服装市场上私营个体商店中的商品所标价格a与其实际价值b之间存在着相当大的差距．对购物的消费者来说，这个差距越小越好，而商家则相反，于是就有消费者与商家的“讨价还价”，常见的方法是“对半还价法”，消费者第一次减去定价的一半，商家第一次讨价加上二者差价的一半；消费者第二次还价再减去二者差价的一半，商家第二次讨价，再加上二者差价的一半，如此下去，可得下表． 次数 消费者还价 商家讨价 第一次 第二次 第三次 … … … 第n次 消费者每次的还价组成一个数列． (1)写出此数列的前三项，并猜测通项的表达式； (2)若实际价格b与定出a的价格之比为，利用“对半还价法”讨价还价，最终商家将能有百分之几的利润？ 【详解】（1），， ， 观察可得， （2）因为，所以，故，故商家将有约的利润． 13．（24-25高一下·上海·期中）党的十八大以来，我国防沙治沙工作取得显著成效，《全国防沙治沙规划（20212030年）》的提出明确了今后一个阶段防沙治沙工作的总体思路、工作重点和目标任务.某地区政府顺势提出了沙漠治理的十年计划.已知第年该地区有土地万平方千米，其中是沙漠，是绿洲.从第年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的改造成绿洲，而原有绿洲的被沙漠所侵蚀后又变成沙漠.设第年的绿洲面积为万平方千米，其中，. (1)证明：为等比数列； (2)假设把沙漠改造成绿洲的改造费为每万平方千米亿元，请计算该地区政府完成沙漠治理计划总共需要拨款的费用. 【详解】（1）由题意，当时， ， 变形为，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， （2）由（1）可得，所以数列的通项公式. 则， 由题意可知，该地区政府完成沙漠治理计划时，把沙漠改造成绿洲的面积为 ， 所需的改造费用为（亿元）. 14．（23-24高二上·上海·期末）如果无穷项的数列满足“对任意正整数，都存在正整数k，使得”，则称数列具有“性质P”． (1)若数列是等差数列，首项，公差，判断数列是否具有“性质P”，并说明理由； (2)若等差数列具有“性质P”，为首项，为公差．求证：且； (3)若等比数列具有“性质P”，公比为正整数，且这四个数中恰有两个出现在中，问这两个数所有可能的情况，并求出相应数列首项的最小值，说明理由． 【详解】（1）解：若，公差，则数列不具有性质． 理由如下： 由题知， 对于和，假设存在正整数， 使得， 则有， 解得，（k不是正整数） 得出矛盾， 所以对任意的，． （2）证明：若数列具有“性质”， 则：①假设，， 则对任意的，． 设，则，矛盾！ ②假设，，则存在正整数， 使得 设，，，，，，，2，，， 则：， 但数列中仅有项小于等于0，矛盾！ ③假设，， 则存在正整数，使得 设，，，，，，，2，，， 则：， 但数列中仅有项大于等于0，矛盾！ 综上，，． （3） 从这四个数中任选两个共有以下6种情况： ． ①对于为正整数， 可以认为是等比数列中的项，，首项的最小值为1． 下面说明此数列具有“性质P”： ，任取， 则为正整数，因此此数列具有“性质P”， ②对于为正整数，认为是等比数列中的项， ，首项的最小值为． 下面说明此数列不具有“性质P”： ，若不为等比数列{an}中的项， 因此此数列不具有“性质P”． 同理可得：每组所在等比数列{an}不具有“性质P． 15．（24-25高一下·上海·期末）定义：若无穷数列满足是公比为的等比数列，则称数列为“数列”．已知数列中，，． (1)若，且数列为“数列”，求数列的通项公式： (2)记数列的前项和为，且，请判断数列是否为“数列”，并说明理由； (3)若数列是“数列”，是否存在正整数，，使得？若存在，请求出所有满足条件的正整数，；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）因为，且数列为“数列”， 所以，即， 所以是以首项为，公差的等差数列， 所以； （2）由已知条件可得，，故，所以． 当时，根据通项公式可得， ①②得，又也成立，所以，                                       设，即，所以，又， 所以是以首项为，公比为的等比数列． 所以，即，                                  所以， 所以是以首项为，公比为的等比数列，故数列是“数列”； （3）由数列是“数列”得， 所以，即，所以， 所以时，， 当时上式也成立，故．                假设存在正整数，，使得，即， 由，可知，所以， 又因为，为正整数，所以，                     又， 所以，则．                           ，则， ，，故存在满足条件的正整数，，且，. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 数列的3种综合应用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、数列的实际应用 1 题型二、数列与函数、不等式综合 3 题型三、等差数列、等比数列综合 7 B综合攻坚・能力跃升 题型一、数列的实际应用 1．（25-26高三上·上海杨浦·开学考试）我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方千米，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠．设从今年起第n年绿洲面积为万平方千米．则第n年绿洲面积与上一年绿洲面积的关系是 ． 2．（22-23高二下·上海闵行·期中）某公司生产一种产品，第一年投入资金1000万元，出售产品后收入40万元，预计以后每年的投入资金是上一年的一半，出售产品所得收入比上一年多80万元．同时，当预计投入资金低于20万元时，就按20万元投入，且当年出售产品的收入与上一年相同． (1)设第年的投入资金和收入金额分别为万元，万元，请求出、的通项公式； (2)预计从第几年起该公司开始并持续盈利？请说明理由（盈利是指总收入大于总投入）． 3．（25-26高三上·上海·期中）2025年6月底，某厂的废水池已储存废水75吨，以后每月新产生的6吨废水也存入废水池．该厂2025年7月开始对废水处理后进行排放，7月底排放4吨处理后的废水，计划以后每月月底排放一次，每月排放处理后的废水比上月增加1吨． (1)若按计划排放，该厂在哪一年的几月份排放后，第一次将废水池中的废水排放完毕？ (2)该厂加强科研攻关，提升废水处理技术，经过深度净化的废水可以再次利用．该厂从2026年1月开始对废水池中的废水进行深度净化，首次净化废水5吨，以后每月比上月提高20%的净化能力．试问：哪一年的几月份开始，废水池中的废水能全部被深度净化？ 4．（24-25高二上·上海·期中）某产品具有一定的时效性．在这个时效期内，由市场调查可知，在不做广告宣传且每件获利a元的前提下，可卖出b件．若做广告宣传，广告费为千元时比广告费为千元时多卖出件，其中，． (1)求销售量关于广告费用n的函数关系式； (2)当，时，厂家应生产多少件这种产品且广告宣传费用为多少元时才能使利润最大.（利润＝总获利－广告费，并假设厂家生产的产品全部销售完．） 5．（23-24高二上·上海杨浦·月考）银行按规定每经过一定的时间结算存（贷）款的利息一次，结算后将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利.现用10000元购买某个理财产品一年. (1)若以月利率的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？ (2)若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率至少为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到）？ 参考数据： 6．（2023·上海金山·一模）近两年，直播带货逐渐成为一种新兴的营销模式，带来电商行业的新增长点.某直播平台第1年初的启动资金为500万元，由于一些知名主播加入，平台资金的年平均增长率可达，每年年底扣除运营成本万元，再将剩余资金继续投入直播平合. (1)若，在第3年年底扣除运营成本后，直播平台的资金有多少万元？ (2)每年的运营成本最多控制在多少万元，才能使得直播平台在第6年年底扣除运营成本后资金达到3000万元？（结果精确到万元） 7．（2023·上海闵行·模拟预测）在当前市场经济条件下，某服装市场上私营个体商店中的商品所标价格a与其实际价值b之间存在着相当大的差距.对购物的消费者来说，这个差距越小越好，而商家则相反，于是就有消费者与商家的“讨价还价”，常见的方法是“对半还价法”，消费者第一次减去定价的一半，商家第一次讨价加上二者差价的一半;消费者第二次还价再减去二者差价的一半，商家第二次讨价，再加上二者差价的一半，如此下去，可得表1: 表1 次数 消费者还价 商家讨价 第一次 第二次 第三次 第n次 消费者每次的还价组成一个数列. (1)写出此数列的前三项，并猜测通项的表达式并求出； (2)若实际价格与定出的价格之比为，利用“对半还价法”讨价还价，最终商家将能有百分之几的利润? 题型二、数列与函数、不等式综合 8．（23-24高二上·上海闵行·期末）已知等差数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)若等比数列的公比为，且满足，求满足的所有正整数的值. 9．（23-24高三上·上海闵行·期中）等差数列的前项和为，已知，且. (1)求和； (2)设，若恒成立，求实数的取值范围. 10．（23-24高三上·上海嘉定·期中）已知数列满足，，，（n为正整数）， (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，（n为正整数），是否存在非零整数λ，使得对任意正整数n，都有? 11．（25-26高二上·上海普陀·期末）等差数列的公差不为0，是其前n项和．已知，且，，依次成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若对一切正整数n都成立，求实数的取值范围． 12．（24-25高二下·上海·期中）已知函数对任意实数、都满足，且 (1)当时，求的表达式； (2)设，记数列的最小项的项数为，求 的值． (3)设，数列的前项和为，若对恒成立，求最小正整数． 13．（24-25高二上·上海嘉定·期中）设数列的前n项和为.若（），则称是“紧密数列”. (1)已知数列是“紧密数列”，其前5项依次为1，，，x，，求x的取值范围； (2)若数列的前n项和为（），判断是否是“紧密数列”，并说明理由； (3)设数列是公比为q的等比数列.若数列与都是“紧密数列”，求q的取值范围. 14．（23-24高二上·上海·期末）已知是首项为1的等比数列，是首项为2的等差数列，且. (1)求和的通项公式； (2)将和中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列，求数列的前50项和； (3)设数列的通项公式为，，记的前项和为，若对任意的都成立，求正数的取值范围. 15．（23-24高二上·上海青浦·期末）已知数列的前n项和为，且满足，． (1)判断是否为等差数列？并证明你的结论； (2)求和； (3)求证：． 16．（22-23高二上·上海宝山·期末）已知等差数列和正项等比数列. (1)求； (2)设，记数列的前项和为，求的最小值： (3)设的前项和为，是否存在常数､，使恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 17．（22-23高二上·上海普陀·期中）对于无穷数列，若存在正整数，使得对一切正整数都成立，则称无穷数列是周期为的周期数列. (1)已知无穷数列是周期为的周期数列，且，，是数列的前项和，若对一切正整数恒成立，求常数的取值范围； (2)若无穷数列和满足，求证：“是周期为的周期数列”的充要条件是“是周期为的周期数列，且”； (3)若无穷数列和满足，且，是否存在非零常数，使得是周期数列？若存在，请求出所有满足条件的常数；若不存在，请说明理由. 18．（24-25高二上·上海·月考）已知数列，对于任意的正整数，都有则称数列是严格凹数列． (1)若数列，的通项公式分别为，判断数列，是否为严格凹数列，无需说明理由； (2)证明：“对于任意正整数的，当时，有”是“数列为严格凹数列”的充要条件； (3)函数是定义在正实数集上的严格增函数，且数列是严格凹数列，严格增数列（正整数为常数且）各项均为互不相等的正整数，若恒成立，求实数λ的取值范围． 19．（23-24高二下·上海·期中）对于有穷数列，若存在等差数列，使得，则称数列是一个长为的“弱等差数列”. (1)证明:数列是“弱等差数列”; (2)设函数，在内的全部极值点按从小到大的顺序排列为，证明： 是“弱等差数列”; (3)证明:存在长为2024的“弱等差数列”，且是等比数列. 题型三、等差数列、等比数列综合 20．（23-24高三上·上海松江·期末）已知数列为等差数列，是公比为的等比数列，且． (1)证明：； (2)若集合，求集合中的元素个数． 21．（22-23高三上·上海黄浦·开学考试）已知数列的前n项和为，数列满足，． (1)证明是等差数列； (2)是否存在常数a、b，使得对一切正整数n都有成立．若存在，求出a、b的值；若不存在，说明理由． 22．（25-26高二上·上海·期末）设是公差不为零的等差数列.已知，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足：对任意正整数，均有，求数列的前项和. 23．（25-26高三上·上海松江·期中）记为数列的前n项和，已知． (1)若，求的值； (2)证明：数列是等差数列； (3)若，，成等比数列，求的最小值． 24．（25-26高二上·上海·期中）已知数列，前项和为， (1)若是等差数列，求； (2)若，求； (3)若是等比数列，项数不少于2，求所有任意不同两项的乘积的总和． 25．（25-26高三上·上海·期中）已知数列满足，. (1)求的值； (2)证明：数列为等比数列，并求的通项公式； (3)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同的三项、、（其中、、成等差数列成等比数列？若存在，求出所有满足条件的、、；若不存在，请说明理由. 26．（24-25高二上·上海黄浦·期末）若数列与都是严格增数列且无公共项，将它们的项合并在一起并按由小到大的顺序排列，在得到的新数列中，来自的任意两项均不相邻，则称为的“隔数列”. (1)若是首项与公差均为整数的等差数列，，且数列是数列的“隔数列”，求的通项公式； (2)若，是首项为1，公比为的等比数列，且数列是数列的“隔数列”，求整数的值； (3)设是公比为的无穷等比数列，其前项和为，若是的“隔数列”，求的取值范围． 一、单选题 1．（24-25高二上·上海·月考）在数列中，如果存在正整数，使得对于任意的正整数均成立，那么称数列为周期数列，其中叫做数列的周期．已知数列满足，如果，，当数列的周期最小时，该数列前2024项的和是（    ） A．674 B．1348 C．1350 D．2024 2．（25-26高三上·上海虹口·月考）设数列的前n项的和为，若对任意的正整数n，都有，则称数列满足性质P．关于以下两个命题，下列判断正确的是（   ）． ①存在等差数列满足性质P； ②若等比数列的首项为正数且公比为q，则是满足性质P的充分非必要条件． A．①和②都为真命题 B．①和②都为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 3．（2024·上海奉贤·三模）若数列的前项和为，关于正整数的方程记为，命题：对于任意的，存在等差数列使得有解；命题：对于任意的，存在等比数列使得有解；则下列说法中正确的是（    ） A．命题为真命题，命题为假命题； B．命题为假命题，命题为真命题； C．命题为假命题，命题为假命题； D．命题为真命题，命题为真命题； 4．（25-26高三上·上海金山·月考）设，数列，数列．设．若对任意，长为、、的线段均能构成三角形，则满足条件的正整数n有（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．无数个 5．（22-23高三上·上海长宁·月考）已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16…，设N为项数，求满足条件“且该数列前N项和为2的整数幂”的最小整数N的值为（    ） A．110 B．220 C．330 D．440 二、填空题 6．（25-26高三上·上海杨浦·月考）定义：若数列中存在连续三项之和为4的倍数，则称该数列为“4性数列”；反之，则称其为“非4性数列”.已知数列满足，，且对任意整数，都有等于与之和除以4的余数.若从数列的前40项中任选两项、，将数列中到之间（包含和）的所有项取出，按原来的顺序构成一个新的数列，则取出的所有新数列中，不同的“4性数列”的个数为 . 三、解答题 7．（24-25高二上·上海·月考）已知数列，对于任意的，都有，则称数列为“凹数列”． (1)已知数列的前项和分别为，且，试判断数列，数列是否为“凹数列”，并说明理由； (2)已知等差数列，首项为4，公差为，且为“凹数列”，求的取值范围． 8．（24-25高二下·上海奉贤·期末）已知无穷数列，.若对任意的正整数，都有，则称与“伴随”. (1)若，，判断与是否“伴随”，说明理由； (2)已知数列的前项和为，满足，证明：与“伴随”. 9．（22-23高二上·上海虹口·月考）某中学有在校学生2000人，没有患感冒的同学．由于天气骤冷，在校学生患流行性感冒人数剧增，第一天新增患病同学10人，之后每天新增的患病同学人数均比前一天多9人．由于学生患病情况日益严重，学校号召同学接种流感疫苗以控制病情．从第8天起，新增病患的人数均比前一天减少50%，并且每天有10名患病同学康复． (1)求第n天新增病患的人数； (2)按有关方面规定，当天患病同学达到全校人数的15%时必须停课，问该校有没有停课的必要？请说明理由． 10．（2022·上海崇明·一模）保障性租赁住房，是政府为缓解新市民、青年人住房困难，作出的重要决策部署．2021年7月，国务院办公厅发布《关于加快发展保障性租赁住房的意见》后，国内多个城市陆续发布了保障性租赁住房相关政策或征求意见稿．为了响应国家号召，某地区计划2021年新建住房40万平方米，其中有25万平方米是保障性租赁住房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长，另外，每年新建住房中，保障性租赁住房的面积均比上一年增加5万平方米． (1)到哪一年底，该市历年所建保障性租赁住房的累计面积(以2021年为累计的第一年)将首次不少于475万平方米? (2)到哪一年底，当年建造的保障性租赁住房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于? 11．（2022·上海长宁·二模）甲、乙两人同时分别入职两家公司，两家公司的基础工资标准分别为：公司第一年月基础工资数为3700元，以后每年月基础工资比上一年月基础工资增加300元；公司第一年月基础工资数为4000元，以后每年月基础工资都是上一年的月基础工资的1.05倍． (1)分别求甲、乙两人工作满10年的基础工资收入总量（精确到1元） (2)设甲、乙两人入职第年的月基础工资分别为、元，记，讨论数列的单调性，指出哪年起到哪年止相同年份甲的月基础工资高于乙的月基础工资，并说明理由． 12．（24-25高二·上海·随堂练习）在当前市场经济条件下，某服装市场上私营个体商店中的商品所标价格a与其实际价值b之间存在着相当大的差距．对购物的消费者来说，这个差距越小越好，而商家则相反，于是就有消费者与商家的“讨价还价”，常见的方法是“对半还价法”，消费者第一次减去定价的一半，商家第一次讨价加上二者差价的一半；消费者第二次还价再减去二者差价的一半，商家第二次讨价，再加上二者差价的一半，如此下去，可得下表． 次数 消费者还价 商家讨价 第一次 第二次 第三次 … … … 第n次 消费者每次的还价组成一个数列． (1)写出此数列的前三项，并猜测通项的表达式； (2)若实际价格b与定出a的价格之比为，利用“对半还价法”讨价还价，最终商家将能有百分之几的利润？ 13．（24-25高一下·上海·期中）党的十八大以来，我国防沙治沙工作取得显著成效，《全国防沙治沙规划（20212030年）》的提出明确了今后一个阶段防沙治沙工作的总体思路、工作重点和目标任务.某地区政府顺势提出了沙漠治理的十年计划.已知第年该地区有土地万平方千米，其中是沙漠，是绿洲.从第年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的改造成绿洲，而原有绿洲的被沙漠所侵蚀后又变成沙漠.设第年的绿洲面积为万平方千米，其中，. (1)证明：为等比数列； (2)假设把沙漠改造成绿洲的改造费为每万平方千米亿元，请计算该地区政府完成沙漠治理计划总共需要拨款的费用. 14．（23-24高二上·上海·期末）如果无穷项的数列满足“对任意正整数，都存在正整数k，使得”，则称数列具有“性质P”． (1)若数列是等差数列，首项，公差，判断数列是否具有“性质P”，并说明理由； (2)若等差数列具有“性质P”，为首项，为公差．求证：且； (3)若等比数列具有“性质P”，公比为正整数，且这四个数中恰有两个出现在中，问这两个数所有可能的情况，并求出相应数列首项的最小值，说明理由． 15．（24-25高一下·上海·期末）定义：若无穷数列满足是公比为的等比数列，则称数列为“数列”．已知数列中，，． (1)若，且数列为“数列”，求数列的通项公式： (2)记数列的前项和为，且，请判断数列是否为“数列”，并说明理由； (3)若数列是“数列”，是否存在正整数，，使得？若存在，请求出所有满足条件的正整数，；若不存在，请说明理由． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $