2027年1月辽宁省普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷01

2027年1月辽宁省普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟试卷01 考试时间：90分钟 满分：100分 一、选择题（本大题共12题，每小题3分，共计36分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1．复数的虚部为（ ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用复数的定义，即可求解. 【详解】依题意,,其虚部为.故选A. 故选：A. 2.设集合，，若，则（ ）． A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【详解】因为，则有： 若，解得，此时，，不符合题意； 若，解得，此时，，符合题意； 综上所述：. 故选B. 3.已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知，，所以， 所以 . 故选B. 4.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将函数的图象先向左平移个单位长度，得到函数的图象，再将该函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变，即可得到函数的图象（提示：将已知图象逆向变换即可得到原始图象）. 故选A. 5.如图所示,两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站南偏西40°方向上,灯塔B在观察站南偏东60°方向上,则灯塔A在灯塔B的( ) A．北偏东10°方向上 B．北偏西10°方向上 C．南偏东80°方向上 D．南偏西80°方向上 【答案】D 【详解】由条件及题图可知,△ABC为等腰三角形,所以∠BAC=∠ABC=40°．又∠BCD=60°,所以∠CBD=30°,所以∠DBA=10°,因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°方向上． 故选D． 6.函数f(x)=0.3x-的零点所在区间是( ) A.(0,0.3) B.(0.3,0.5) C.(0.5,1) D.(1,2) 【答案】B 【命题点】判断零点所在区间 【详解】易知y=0.3x与y=-在[0,+∞)上单调递减,所以f(x)在[0,+∞)上单调递减. f(0)=1>0,f(0.3)=0.30.3-0.>0,f(0.5)=-<0,f(1)=-0.7<0,f(2)=0.09-<0, 根据零点存在定理可得,零点所在区间是(0.3,0.5).故选B. 【思路导引】分析函数f(x)的单调性→计算区间端点的函数值→根据区间端点的函数值的符号,利用零点存在定理确定零点所在区间 【知识速记】零点存在定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是一条连续不断的曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点. 7.已知命题，；命题不等式恒成立，那么命题（ ） A．且是真命题 B．或是假命题 C．是真命题 D．是假命题 【答案】B 【分析】判断出命题、的真假，然后利用复合命题的真假可判断各选项的正误. 【详解】对于命题，，即，命题为假命题； 对于命题，当时，，命题为假命题. 所以，且是假命题，或是假命题，是真命题. 故选B. 8.函数的部分图象如图所示，则（ ） A． B．函数在区间上单调递增 C．的图象关于点对称 D．若在区间上恰有一个最大值2和一个最小值，则实数的取值范围为 【答案】D 【详解】由图可得， 函数的最小正周期， 又，所以， 则，由， 得，解得， 又，所以，故A错误； 由上分析，得， 令， 解得， 故函数的单调递增区间为； 令，解得， 故函数的单调递减区间为， 则函数在区间上单调递减，在上单调递增，故B错误； 因为， 故函数的图象不关于点对称，故C错误； 当时，则， 要使在区间上恰有一个最大值2和一个最小值，需使，解得，故D正确． 9.若向量，满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由 得， . 由 两边平方得： 化简得 ，即 （说明 ）. 又由 平方得： ， 代入已知数值： ，解得 . . 故选 B.. 10.中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图（2），在半圆O中作出两个扇形OAB和OCD，用扇环形ABDC（图中阴影部分）制作折叠扇的扇面.记扇环形ABDC的面积为，扇形OAB的面积为，当与的比值为时，扇面的形状较为美观，则此时弧CD与弧AB的长度之比为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据扇形的面积公式，求得两扇形的半径比，结合弧长公式，即可求解. 【详解】 设扇形的半径为，半圆半径为，， 则， 所以，可得， 解得， 则弧CD与弧AB的长度之比为. 故选：B. 11.已知所在平面上的动点满足，则点的轨迹过的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【详解】， ， ， ，即，即， 在边的垂直平分线上， 由三角形外心的定义知，点的轨迹过的外心. 故选：B． 12.设函数，在区间恰有三个最值点，两个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由函数，其中，可得， 因为函数在区间恰有三个最值点、两个零点， 由图象如图， 由图可知，，解得，所以的取值范围为. 二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共计12分） 13．已知函数，，对任意的，总存在，使成立，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【详解】当时，， 当时，， 则时，； 在上单调递增，则， 因对任意的，总存在，使成立， 则， 则且，得，则实数a的取值范围是. 14.在中，内角的对边分别是，已知，，则 . 【答案】 【详解】，所以， ，，， 即，，，， ， , 由余弦定理得，. 15.若函数在上单调递增，则 ． 【答案】 【详解】由题意得，，解得， 函数的单调递增区间为， 又在上单调递增，， ，当时，不等式，解得. 16.在中，若，，则的面积最大值为 . 【答案】 【详解】因， 则， 则由正弦定理可得，， 因，则， 则由余弦定理得， 则， 则， 因，则，等号成立时， 则， 故的面积最大值为. 三、解答题（本题共5小题，共52分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17．（10分）记的内角的对边分别为，若，且. (1)求及； (2)若点在边上，且，求的面积. 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据三角恒等变换即可得，继而求解,由正弦定理边角互化即可求解, （2）根据向量的线性运算，结合模长公式可得，即可由面积公式求解. 【详解】（1）由得：， ， ，，故， 由于,所以， 由正弦定理以及可得，所以， （2）， ， ， ， 由于，，所以，解得或（舍去） 所以 18．（10分）汽车智能化——无人驾驶汽车成为汽车行业发展趋势.某汽车研发部门为了解客户对无人驾驶汽车的性能满意情况，随机抽取200名客户对无人驾驶汽车的性能进行打分，发现得分均在内，将这些数据分成6组：，，，，并绘制出样本的频率分布直方图，因保存不当，使得图形残缺，如图所示. （1） 求样本中得分在内的客户人数并估计样本的中位数； （2） 已知得分在内的样本数据的平均值为63，方差为5，得分在内的样本数据的平均值为78，方差为2，求得分在内的样本数据的平均值与方差. 【答案】（1）60人 75分 （2）73 53 （1）【解】由题可知,得分在内的频率为, 所以样本中得分在内的客户人数为. 由图可知,得分在内的频率为,在内的频率为, 设样本的中位数为,则,,解得, 故样本的中位数为75. （2） 根据频率分布直方图可知,得分在,内的样本数据的频数分别为30,60,所以得分在内的样本数据的平均值为. 得分在内的样本数据的方差为. 19．（10分）已知的内角的对边为，且 （1）求; （2）若的面积为 ①已知为的中点，且，求底边上中线的长; ②求内角的角平分线长的最大值. 【答案】（1） （2）①；② 【详解】（1）由正弦定理得，即， 故，因为，所以， 所以. （2）①由（1）知，因为的面积为， 所以，解得， 且，解得，由于， 所以 ，所以，即. ②因为为角的角平分线，所以， 由于， 得到， 由于，所以， 由二倍角公式得，则，解得， 又，所以， 由于，当且仅当时，等号取得到， 故，故. 20．（10分）函数（，）的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）将该函数的图象向左平移个单位长度，向上平移1个单位长度，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，当时，求的值域． 【答案】（1） （2） 【详解】（1）解：由图象可知，函数的最大值为2，所以. 观察图象，点为函数图象下降过程中的零点，点为函数图象的最高点， 所以，解得. 因为且，所以. 此时，将点代入解析式，得 ， 即 . 所以 ，解得 . 因为 ，令，解得. 所以函数的解析式为 . （2）解：将的图象向左平移个单位长度，得到的图象； 再向上平移个单位长度，得到的图象； 再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍 得到的图象. 因为，所以 . 由余弦函数的性质可知，当 ，即时， 取得最小值； 当或时， 取得最大值. 所以 . 所以 . 故函数的值域为 . 21．（12分）已知函数，. （1）当时，解不等式； （2）证明：当时，函数有唯一的零点x0，且恒成立. 【答案】（1）； （2）见详解. 【详解】（1）当时，，由可得， 解得，即， 故不等式的解为. （2）因为与均为增函数， 所以在上单调递增， 当时，， ， 所以存在唯一的，使得， 即函数有唯一零点， 所以，即， 所以，即， 所以， 因为，所以， 所以，当且仅当与时等号成立. 当时，由知，即，所以等号不成立， 所以. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ) ( ) 2027年1月辽宁省学考仿真模拟试卷01 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [ ／ ] 1 ．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2 ．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 )数学·答题卡 一、选择题（本大题共12题，每小题3分，共计36分。 ( 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 12 [A] [B] [C] [D] ) ( 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 3 分，共计 12 分） ) ( 13 ． _______________________ 14 ． _______________________ 15 ． _______________________ 16 ． _______________________ 三、解答题（本题共 5 小题，共 52 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17. （ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18. （ 10 分） 19 （ 10 分）． ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20. （ 10 分） 21. （ 12 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 第4页 第5页 第6页 第1页 第2页 第3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年1月辽宁省普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟试卷01·参考答案 一、选择题（本大题共12题，每小题3分，共计36分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B A D B B D B B 题号 11 12 答案 B C 二、（本题共4小题，每小题3分，共计12分） 13．[1,5] 14． 15． 16． 三、解答题（本题共5小题，共52分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17．【详解】（1）由得：， ，……（2分） ，，故， 由于,所以， 由正弦定理以及可得，所以，……（5分） （2）， ，……（7分） ， ， 由于，，所以，解得或（舍去）……（9分） 所以……（10分） 18．1．【答案】（1）60人 75分 （2）73 53 （1）【解】由题可知,得分在内的频率为, 所以样本中得分在内的客户人数为.……（1分） 由图可知,得分在内的频率为,在内的频率为, 设样本的中位数为,则,,解得,……（3分） 故样本的中位数为75.……（5分） （2） 根据频率分布直方图可知,得分在,内的样本数据的频数分别为30,60,所以得分在内的样本数据的平均值为.……（7分） 得分在内的样本数据的方差为.……（10分） 19．【详解】（1）由正弦定理得，即， ，因为，所以， 所以.……（3分） （2）①由（1）知，因为的面积为， 所以，解得，……（4分） 且，解得，由于， 所以 ，所以，即.……（6分） ②因为为角的角平分线，所以， 由于， 得到， 由于，所以， 由二倍角公式得，则，解得， 又，所以， 由于，当且仅当时，等号取得到，……（8分） 故，故.……（10分） 20．【详解】（1）由图象可知，函数的最大值为，所以. ……（1分） 观察图象，点为函数图象下降过程中的零点，点为函数图象的最高点， 所以，解得. 因为且，所以. ……（2分） 此时，将点代入解析式，得 ， 即 . 所以 ，解得 . 因为 ，令，解得. ……（3分） 所以函数的解析式为 .……（4分） （2）将的图象向左平移个单位长度，得到的图象； 再向上平移个单位长度，得到的图象； 再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍 得到的图象. ……（6分） 因为，所以 . 由余弦函数的性质可知，当 ，即时， 取得最小值； 当或时， 取得最大值. 所以 . 所以 . 故函数的值域为 .……（10分） 21．【详解】（1）当时，，由可得， 解得，即， 故不等式的解为.……（3分） （2）因为与均为增函数， 所以在上单调递增，……（4分） 当时，， ， 所以存在唯一的，使得， 即函数有唯一零点，……（6分） 所以，即， 所以，即， 所以，……（8分） 因为，所以， 所以，当且仅当与时等号成立. 当时，由知，即，所以等号不成立， 所以.……（10分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年1月辽宁省普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟试卷01 考试时间：90分钟 满分：100分 一、选择题（本大题共12题，每小题3分，共计36分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1．复数的虚部为（ ） A． B．4 C． D． 2.设集合，，若，则（ ）． A．2 B．1 C． D． 3.已知，，则（ ） A． B． C． D． 4.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A． B． C． D． 5.如图所示,两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站南偏西40°方向上,灯塔B在观察站南偏东60°方向上,则灯塔A在灯塔B的( ) A．北偏东10°方向上 B．北偏西10°方向上 C．南偏东80°方向上 D．南偏西80°方向上 6.函数f(x)=0.3x-的零点所在区间是( ) A.(0,0.3) B.(0.3,0.5) C.(0.5,1) D.(1,2) 7.已知命题，；命题不等式恒成立，那么命题（ ） A．且是真命题 B．或是假命题 C．是真命题 D．是假命题 8.函数的部分图象如图所示，则（ ） A． B．函数在区间上单调递增 C．的图象关于点对称 D．若在区间上恰有一个最大值2和一个最小值，则实数的取值范围为 9.若向量，满足，则（ ） A． B． C． D． 10.中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图（2），在半圆O中作出两个扇形OAB和OCD，用扇环形ABDC（图中阴影部分）制作折叠扇的扇面.记扇环形ABDC的面积为，扇形OAB的面积为，当与的比值为时，扇面的形状较为美观，则此时弧CD与弧AB的长度之比为（       ） A． B． C． D． 11.已知所在平面上的动点满足，则点的轨迹过的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 12.设函数，在区间恰有三个最值点，两个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共计12分） 13．已知函数，，对任意的，总存在，使成立，则实数a的取值范围是 . 14.在中，内角的对边分别是，已知，，则 . 15.若函数在上单调递增，则 ． 16.在中，若，，则的面积最大值为 . 三、解答题（本题共5小题，共52分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17．（10分）记的内角的对边分别为，若，且. (1)求及； (2)若点在边上，且，求的面积. 18．（10分）汽车智能化——无人驾驶汽车成为汽车行业发展趋势.某汽车研发部门为了解客户对无人驾驶汽车的性能满意情况，随机抽取200名客户对无人驾驶汽车的性能进行打分，发现得分均在内，将这些数据分成6组：，，，，并绘制出样本的频率分布直方图，因保存不当，使得图形残缺，如图所示. （1）求样本中得分在内的客户人数并估计样本的中位数； （2）已知得分在内的样本数据的平均值为63，方差为5，得分在内的样本数据的平均值为78，方差为2，求得分在内的样本数据的平均值与方差. 19．（10分）已知的内角的对边为，且 （1）求; （2）若的面积为 ①已知为的中点，且，求底边上中线的长; ②求内角的角平分线长的最大值. 20．（10分）函数（，）的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）将该函数的图象向左平移个单位长度，向上平移1个单位长度，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，当时，求的值域． 21．（12分）已知函数，. （1）当时，解不等式； （2）证明：当时，函数有唯一的零点x0，且恒成立. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $