精品解析：辽宁省大连市2025-2026学年高二上学期学业水平合格性考试数学试题

2026年大连市高中学业水平合格性考试 高二数学 本试卷共4页.考试结束后，将答题卡交回. 注意事项： 1．答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2．答题时请按要求用笔. 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. {1} B. {-1} C. {1，2} D. {1，2，3，4} 2. （ ） A. B. C. D. 3. 下列函数是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知命题，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 设，则的值为 A. 0 B. 1 C. 2 D. -1 6. 如图，四边形ABCD是平行四边形，则（ ） A. B. C. D. 7. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 8. “”是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，那么该四棱锥的体积是（ ） A. 1 B. C. D. 4 10. 函数f(x)＝3x－x2的零点所在区间是 A. (0，1) B. (1，2) C. (－2，－1) D. (－1，0) 11. 已知，则（ ） A. B. C. D. 12. 从1，2，3，4，5这五个数字中任取两数，则所取两数均为偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分.要求直接写出答案，不必写出计算过程或推证过程. 13. 计算：_______． 14. 已知平面向量，，且．则_______． 15. 函数在区间上的最大值为_______. 16. 某大学A，B，C三个专业的在校学生人数见下表： 专业类别 A B C 合计 学生人数 1000 1700 1600 4300 现采用分层抽样的方法，调查这三个专业学生对参加某项社会实践活动的意向.在抽取的样本中，专业的学生有320人，则样本中专业的学生人数为_______. 三、解答题：本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知函数． （1）写出f(x)的最小正周期； （2）求f(x)在区间上的最小值和最大值． 18. 已知在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，，. （1）求； （2）求的余弦值. 19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，M，N分别是PA，PB的中点，求证： （1）平面ABCD； （2）平面PAD. 20. 对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图（如图），但是年龄组为的数据不慎丢失，则依据此图可得： （1）年龄组对应小矩形的高度是多少? （2）据此估计该市“四城同创”活动中志愿者年龄在的人数是多少? 21. 如图，从山顶到山脚有两条线路供游人选择，一条从沿直线路径步行到达，另一条从乘缆车到达后，然后沿直线路径步行到，已知米，经测量得（且为锐角）． （1）求路径的长； （2）甲从以m/min的速度沿步行1min后，乙乘缆车以130m/min的速度驶向，求甲出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年大连市高中学业水平合格性考试 高二数学 本试卷共4页.考试结束后，将答题卡交回. 注意事项： 1．答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2．答题时请按要求用笔. 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. {1} B. {-1} C. {1，2} D. {1，2，3，4} 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据集合的交集运算求解即可. 【详解】解：因为， 所以 故选：A 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据特殊角三角函数值直接计算求解. 【详解】. 故选：B. 3. 下列函数是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合奇偶函数的定义逐一判断选项即可. 【详解】A：由奇偶函数的定义域关于原点对称知，A错误； B：函数，得，故B错误； C：函数，得，故C正确； D：函数，得，故D错误. 故选：C 4. 已知命题，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】由存在量词命题的否定定义可判断. 【详解】由题意得，为，. 故选：A 5. 设，则的值为 A. 0 B. 1 C. 2 D. -1 【答案】B 【解析】 【分析】选取解析式代入可得结论． 【详解】由题意． 故选：B． 【点睛】本题考查分段函数，分段函数求值关键是要判断自变量的范围，根据不同范围选取不同的表达式计算． 6. 如图，四边形ABCD是平行四边形，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量加法的三角形法则计算可得； 【详解】解： 故选：A 7. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据使式子有意义得到方程，解得即可； 【详解】解：因为，所以，解得，所以函数的定义域为 故选：A 8. “”是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质进行判断即可． 【详解】充分性：若，根据不等式基本性质可得，充分性成立； 必要性：若，根据不等式基本性质可得，必要性成立； 因此“”是的充要条件， 故选：C. 9. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，那么该四棱锥的体积是（ ） A. 1 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先求得四棱锥的底面积和高，再由体积公式求解即可. 【详解】由底面为正方形，得，底面面积为， 底面，，即高为2， 所以该四棱锥的体积是. 故选：C. 10. 函数f(x)＝3x－x2的零点所在区间是 A. (0，1) B. (1，2) C. (－2，－1) D. (－1，0) 【答案】D 【解析】 【分析】计算f(-1)＜0，f（0）＞0，根据零点存在性定理，可得结论． 【详解】∵f（﹣1）＝﹣1＝＜0，f（0）＝1﹣0＝1＞0 ∴根据零点存在性定理，可得函数f（x）＝3x﹣x2的零点所在区间是（﹣1，0） 故选D． 【点睛】判断函数零点(方程的根)所在区间的方法 (1)解方程法：当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上． (2)定理法：利用零点存在性定理进行判断． (3)数形结合法：画出相应的函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断． 11. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据余弦二倍角公式计算即可得到答案. 【详解】. 故选：D 【点睛】本题主要考查余弦二倍角公式，属于简单题. 12. 从1，2，3，4，5这五个数字中任取两数，则所取两数均为偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出基本事件的总数以及所取两数均为偶数包含的基本事件的个数，由古典概率公式即可求解. 【详解】从中抽取两个数基本事件有： 共种， 所取的两个数均为偶数的有，共种， 所以所取两数均为偶数的概率为， 故选：A. 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分.要求直接写出答案，不必写出计算过程或推证过程. 13. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】运用对数的运算公式进行求解即可. 【详解】. 故答案为： 14. 已知平面向量，，且．则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量共线（平行）的坐标表示建立等式，即可求解. 【详解】因为平面向量，，且． 所以，解得. 故答案为：. 15. 函数在区间上的最大值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的单调性，结合最大值的定义进行求解即可. 【详解】，该二次函数的对称轴为，且开口向上， 所以该二次函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 因为， 所以， 因此该二次函数在区间上的最大值为. 故答案为： 16. 某大学A，B，C三个专业的在校学生人数见下表： 专业类别 A B C 合计 学生人数 1000 1700 1600 4300 现采用分层抽样的方法，调查这三个专业学生对参加某项社会实践活动的意向.在抽取的样本中，专业的学生有320人，则样本中专业的学生人数为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据专业和专业学生的入样比相等可计算出样本中专业的学生人数. 【详解】设样本中专业的学生人数为， 根据专业和专业学生的入样比相等可得，解得. 故样本中专业的学生人数为人. 故答案为：. 三、解答题：本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知函数． （1）写出f(x)的最小正周期； （2）求f(x)在区间上的最小值和最大值． 【答案】（1） ；（2）最小值为，最大值为． 【解析】 【分析】（1）根据函数解析式写出最小正周期；（2）根据正弦函数单调性判断函数在区间上的单调性，从而求得最值. 【详解】解：（1）f(x)的最小正周期为． （2）因为， 所以． 所以函数在上单调递增， 当，即x＝0时，f(x)取得最小值； 当，即时，f(x)取得最大值． 所以f(x)在区间上的最小值为，最大值为． 18. 已知在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，，. （1）求； （2）求的余弦值. 【答案】（1）-16（2） 【解析】 【分析】（1）求出向量坐标，由数量积的坐标运算计算数量积； （2）根据数量积的定义可求得两向量夹角余弦值． 【详解】解：（1）由已知，得，. 所以. （2）. 【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查求向量夹角，掌握数量积的坐标运算是解题关键． 19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，M，N分别是PA，PB的中点，求证： （1）平面ABCD； （2）平面PAD. 【答案】（1） 因为M，N分别是PA，PB的中点, 所以. 又因为平面ABCD， 平面ABCD， 所以平面ABCD. （2） 因为平面ABCD，平面ABCD， 所以， 因为四边形ABCD是矩形， 所以. 又，平面PAD， 所以平面PAD. 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线性质和线面平行判定定理可证； （2）利用线面垂直的性质可知，然后由矩形性质和线面垂直的判定定理可证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图（如图），但是年龄组为的数据不慎丢失，则依据此图可得： （1）年龄组对应小矩形的高度是多少? （2）据此估计该市“四城同创”活动中志愿者年龄在的人数是多少? 【答案】（1）；（2）440. 【解析】 【分析】（1）根据所有小矩形的面积和为1列方程，进而可解得结果； （2）先求出志愿者年龄在内的频率，进而可求得人数. 【详解】（1）设[25，30）年龄组对应小矩形的高度为，则，解得． （2）志愿者年龄在年龄组的频率为，故志愿者年龄在年龄组的人数约为． 21. 如图，从山顶到山脚有两条线路供游人选择，一条从沿直线路径步行到达，另一条从乘缆车到达后，然后沿直线路径步行到，已知米，经测量得（且为锐角）． （1）求路径的长； （2）甲从以m/min的速度沿步行1min后，乙乘缆车以130m/min的速度驶向，求甲出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最小． 【答案】（1）1260；（2）分钟. 【解析】 【分析】（1）求出，再由正弦定理得出路径的长； （2）设乙出发t分钟后，甲，乙两人距离为d，由余弦定理求出，再由的范围得出所求时间. 【详解】（1）在中，由得，由，A为锐角得， ∴． ∵， ∴． （2）设乙出发t分钟后，甲，乙两人距离为d，则 ． ∵ ∴当时，甲，乙两人距离最短，此时甲已出发分钟． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $