第2章 圆（8考点+11易错+易错训练）（知识清单）数学新教材湘教版九年级下册
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精品
内容正文：
第2章 圆
知识点一 圆的对称性
1. 圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，定点称为圆心，定长称为半径。
2. 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。
3. 弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。
4. 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
5. 圆的对称性：圆既是轴对称图形（任意一条直径所在的直线都是对称轴），又是中心对称图形（对称中心为圆心），还是旋转对称图形。
知识点二 圆心角与圆周角
1. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
2. 圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
3. 圆心角、弧、弦的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；反之，相等的弧（或弦）所对的圆心角相等。
4. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
5. 圆周角定理推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
6.
圆周角定理推论2：直径所对的圆周角是直角（）。
7.
圆周角定理推论3：的圆周角所对的弦是直径。
知识点三 垂径定理
1. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
2. 垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
3. 垂径定理的延伸：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
知识点四 确定圆的条件
1. 确定圆的条件：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
2. 三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，外心是三角形三边垂直平分线的交点。
3. 三角形的外心性质：锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心在斜边中点上；钝角三角形的外心在三角形外部。
知识点五 直线与圆的位置关系
1.
直线与圆相交：直线与圆有两个公共点，此时圆心到直线的距离小于半径（）。
2.
直线与圆相切：直线与圆有唯一公共点，此时圆心到直线的距离等于半径（），这条直线叫做圆的切线，公共点叫做切点。
3.
直线与圆相离：直线与圆没有公共点，此时圆心到直线的距离大于半径（）。
4. 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
5. 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
6. 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
知识点六 三角形的内切圆
1. 三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心。
2. 三角形的内心：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，内心到三角形三边的距离相等。
3. 三角形的内心性质：内心一定在三角形内部。
知识点七 正多边形与圆
1. 正多边形的外接圆：经过正多边形各顶点的圆叫做正多边形的外接圆，外接圆的圆心叫做正多边形的中心。
2. 正多边形的内切圆：与正多边形各边都相切的圆叫做正多边形的内切圆。
3. 正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径。
4. 正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距。
5.
正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，正边形的中心角为。
知识点八 弧长与扇形面积
1.
弧长公式：半径为的圆中，的圆心角所对的弧长。
2.
扇形面积公式（一）：半径为的圆中，圆心角为的扇形面积。
3.
扇形面积公式（二）：扇形面积（其中为扇形的弧长，为半径）。
易错点1 利用垂径定理求值
易错提醒
1.未正确构造"半径-弦心距-半弦"直角三角形，导致无法建立勾股定理关系式；忽略推论中"被平分的弦不能是直径"的适用条件。
2.①过圆心作弦的垂线，构造的直角三角形列方程求解；②见弦想中点、见中点想垂线，已知弦中点则连圆心与该点必垂直于弦；③被平分的弦不能是直径，若恰好为直径需单独讨论；④灵活运用推论：平分弧的直径垂直平分该弧所对的弦，反之亦然。
【对点训练】1．（2026·湖南长沙·一模）如图，是的直径，弦于点，连接，已知，则的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【答案】A
【分析】根据垂径定理得到，设的长为x，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：∵是的直径，弦于点，
∴，
∵，
∴，
设的长为x，
则，
∴，
解得：，（大于半径，舍去）．
即的长为2．
易错点2 垂径定理的实际应用
易错提醒
1.无法将实际问题抽象为圆的几何模型，弦心距表示错误（如误将弦心距当作半径减某段长度），混淆弦在圆心同侧和异侧两种情况。
2.①画出圆的示意图，标出圆心、弦、半径等关键元素，明确已知量和未知量；②正确表示弦心距——弦在圆心下方时d=R-h（h为弓形高），上方时需根据题意判断；③注意分类讨论弦与圆心的位置关系；④求解后检验结果合理性（如水深不能为负、半径必须为正）。
【对点训练】2．（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，圆弧形桥拱的跨度米，拱高米，则拱桥的半径为（ ）
A．3米 B．8米 C．10米 D．20米
【答案】C
【分析】设圆弧形桥拱的圆心是O，半径为r米，连接，则O、D、C三点共线，根据垂径定理得米，再由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】解：设圆弧形桥拱的圆心是O，半径为r米，如图，连接，则O、D、C三点共线，
∵拱高为，
∴，
∵米，
∴米，
在中，根据勾股定理，得：，
即，
解得：，
即拱桥的半径为10米．
易错点3 圆心角、弦、弧之间的关系
易错提醒
1.忽略"同圆或等圆"前提条件直接套用结论；混淆圆心角与圆周角的关系，将圆心角度数误认为圆周角度数的一半。
2.①严格把握定理前提——必须在同圆或等圆中才能使用圆心角=弧=弦的互推关系；②牢记：圆心角度数=所对弧度数，圆周角度数=所对弧度数的一半（圆周角=圆心角/2）；③必须是同弧（或等弧）所对的角才能建立关系；④多条弧或多条弦时，善用等量代换和传递性转化。
【对点训练】3．（2025·湖南长沙·三模）如图，、、是上的点，，垂足为点，，若，则的长为（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】B
【分析】通过连接，利用垂径定理、平行线性质和等腰三角形性质，推导出与的关系来求解．
【详解】解：连接，
，
∴， ．，
，
．
又，
．
∴是等边三角形，
∴
，是等边三角形，
．
故选： ．
【点睛】本题主要考查了垂径定理、平行线的性质、等腰三角形的性质以及等边三角形的判定及性质，熟练掌握垂径定理和利用角度、边的关系推导线段间的数量关系是解题的关键．
易错点4 利用圆周角定理求角度
易错提醒
1.找不到正确的同弧所对圆周角导致角度转化失败；忽略"直径所对的圆周角是直角"这一重要推论。
2.①紧扣同弧或等弧——标出目标角所对的弧，再找同弧上的其他圆周角或该弧所对的圆心角；②见直径想直角——出现直径立即连两端点与圆上另一点构造直角三角形；③善用等弧对等角进行等量代换，利用圆内接四边形对角互补进行角度转移；④注意适用条件：角顶点必须在圆上，两边必须与圆相交。
【对点训练】4．（2026·湖南长沙·二模）如图，，，都是的半径，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求得，再由，求得，则，于是得到问题的答案．
【详解】解：，，
，
，
，
，
．
易错点5 利用圆周角定理推论求解
易错提醒
1.推论条件不满足而误用，如未确认弦是否为直径就使用直径对直角；混淆圆内接四边形对角与邻角关系；弦切角与普通圆内角混淆。
2.①逐一验证推论适用条件：用直径对直角前确认该弦是直径；用对角互补前确认四点共圆；用弦切角定理前确认一边是切线另一边是弦；②牢记推论链：直径→90°圆周角→直角三角形→勾股定理和三角函数；等弧→等圆周角→等腰三角形；圆内接四边形→对角互补+外角等于内对角；③善用角度计算证明四点共圆；④区分圆周角、圆心角、圆外角、圆内角的不同性质。
【对点训练】5．（2026·湖南株洲·模拟预测）如图， 和均为⊙的内接三角形，且为直径，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据圆内直径所对的圆周角为90°，同弧所对的圆周角相等得到，再利用三角形内角和180°，求出的度数．
【详解】解：∵为直径，
∴，
∵，，
∴，
∴．
易错点6 点与圆的位置关系探究
易错提醒
1.计算点到圆心距离d与半径R大小关系时出错；圆心不在原点时两点间距离公式运用不熟练；反求参数范围时不等式方向搞反。
2.①核心判定：计算，比较d与R，d<R点在圆内，d=R点在圆上，d>R点在圆外；②圆心坐标未知时先利用题目条件求出；③反求参数范围时注意不等式方向——点在圆内对应d²<R²（避免开方），点在圆外对应d²>R²；④注意边界情况——在圆上含等号，在圆内不含等号。
【对点训练】6．（23-24九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，中，，，，于点D，以点C为圆心，5为半径作，则点D在 ___________．(填“外”“内”或“上”)
【答案】内
【分析】本题考查了勾股定理，点与圆的位置关系.
先根据勾股定理求出的长，再由三角形的面积公式求出的长，然后根据点与圆的位置关系即可得出结论．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴点D在圆C内．
故答案为：内．
易错点7 三角形外心的性质与确定
易错提醒
1.混淆外心与重心、垂心、内心；求外接圆半径时不知如何构造方程；对锐角、直角、钝角三角形外心位置缺乏分类讨论意识。
2.①明确外心定义——三边垂直平分线的交点，到三顶点距离相等，该距离即为外接圆半径R；②牢记特殊三角形外心位置：锐角三角形在内部，直角三角形在斜边中点（R=斜边/2），钝角三角形在外部；③坐标系中求外心：设(x,y)，利用到两顶点距离相等列方程联立求解。
【对点训练】7．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，中，，则它的外心与顶点C的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了直角三角形的外接圆半径的求法，熟记直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，以斜边的一半为半径的圆是解题关键．直角三角形的外心与斜边中点重合，因此外心到直角顶点的距离正好是斜边的一半；由勾股定理易求得斜边的长，进而可求出外心到直角顶点C的距离．
【详解】解：∵中，，
，
斜边上的中线长，
因而外心到直角顶点C的距离等于斜边的中线长.
故选：B．
易错点8 切线的判定方法
易错提醒
1.仅凭直观观察下结论缺乏严格证明；使用判定定理时忘记同时验证"过半径外端"和"垂直于半径"两个条件；混淆切线性质定理与判定定理的方向。
2.①掌握三种判定方法：定义法（联立方程Δ=0）、距离法（d=R）、判定定理（过半径外端且垂直于该半径的直线是切线）；②已知直线过圆上某点→连圆心与该点（构造半径）→证垂直；未知直线过圆上某点→作圆心到直线垂线→证垂足到圆心距离=R；③性质定理（已知切线→推出垂直）与判定定理（已知垂直+过端点→推出切线）方向不可颠倒。
【对点训练】8．（2026·湖南湘潭·一模）如图，在中，，以为直径作，交于点，过点作，垂足为．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为，，求的长．
【答案】(1)
证明：连接
，
，
又，
，
，
，
又，
，
又∵是半径，
是的切线.
(2)
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，圆的切线的判定定理，勾股定理，掌握圆的相关性质是解题关键．
（1）连接，根据等边对等角的性质，推出，进而得到，即可证明得到结论；
（2）连接，由直径所对的圆周角为得出，，由勾股定理求出，再利用面积法求高即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：连接，
是的直径，
又，
在中，，，
由勾股定理得，
，
．
易错点9 切线性质的应用
易错提醒
1.忘记连接切点与圆心构造垂直关系；忽略"从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等"的性质；混淆切线长与点到圆心的距离。
2.①见切线连半径——出现切线立即连圆心与切点，得切线与半径垂直（90°角）；②切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，且该点到圆心连线平分两切线夹角；③将切线长、半径、点到圆心距离放入直角三角形中用勾股定理列方程；④区分切线长（从圆外点到切点）和切线上的其他线段长。
【对点训练】9．（2026·湖南永州·二模）如图，在中，，点在边上，以点为圆心，为半径作圆，与交于点，恰与相切于点，连接，，．
(1)求证：平分；
(2)求的长．
【答案】(1)证明：连接，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
平分．
(2)
【分析】（1）由切线的性质结合已知可证明，再由平行线的性质结合等边对等角等量代换证明，即可得证；
（2）设，进而表示出，在中，利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：设，则，
在中，，
即，解得．
即的长为．
易错点10 扇形弧长、面积的计算
易错提醒
1.弧度制与角度制混淆导致公式用错；已知弧长求面积时无法正确建立关系；弓形面积计算中忘记判断是加还是减三角形面积。
2.①牢记角度制公式：弧长，扇形面积；②已知弧长求扇形面积直接用最简便；③弓形面积=扇形面积-三角形面积（劣弧）或扇形面积+三角形面积（优弧），务必画图判断。
【对点训练】10．（2026·湖南·模拟预测）为了配合国家文物数字化战略，某团队在扫描一件菱形文物时，将边长为1的菱形的顶点A设为扫描原点，当菱形绕点A旋转，使B、C两点恰好落在扇形的弧上时，求扫描路径中弧的长度等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接，证明出是等边三角形，得到，然后利用弧长公式求解．
【详解】解：连接，
∵菱形的边长为1，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形．
∴，
∴弧的长度．
易错点11 正多边形的有关计算
易错提醒
1.混淆正n边形中心角与每个内角（）；将边心距当作半径使用；内接与外切时混淆半径概念。
2.①牢记基本量：中心角=，每个内角=，每个外角=；②正n边形可内接于圆（顶点在圆上，外接圆半径R为顶点到中心距离）也可外切于圆（各边与圆相切，边心距r为中心到边距离）；③将正多边形问题转化为直角三角形问题：连接中心与顶点、中心与边中点，构造R、r、a/2组成的直角三角形用勾股定理和三角函数求解；④面积公式S=×周长×边心距=×n×a×r。
【对点训练】11．（25-26九年级上·湖南衡阳·期末）如图，是正五边形的外接圆，连接，则的度数为________．
【答案】72°/72度
【分析】本题主要考查了正多边形的性质，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握以上性质．
利用正五边形的性质求出的度数，然后再利用圆周角定理进行求解即可．
【详解】解：∵五边形为正五边形，
∴五边形的各边都相等，
∴的度数为，
∴，
故答案为：．
一、单选题
12．（24-25九年级下·湖南岳阳·阶段检测）下列说法中正确的是（ ）
A．在同圆和等圆中，相等的弧所对的圆周角相等
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
C．经过不在同一条直线上的四个点一定能作圆
D．三角形的外心一定在三角形内
【答案】A
【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理以及圆的有关知识．解题的关键是熟记定理．
根据圆周角定理，垂径定理，圆的作图，圆的外心分别对A，B，C，D 作出判断即可．
【详解】解：A．根据弦、弧、圆周角的关系可判断说法正确；
B．平分弦(非直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，所以说法错误；
C．经过不在同一直线上的三点一定能作圆，所以说法错误；
D．钝角三角形的外心在三角形外，所以说法错误．
故选A．
13．（2026·湖南长沙·一模）如图，四边形内接于，连接．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆的内接四边形的性质求出，根据圆周角定理即可计算出答案．
【详解】解：四边形内接于，
，
由圆周角定理可得：．
14．（2024·湖南·一模）如图，四边形是的内接四边形，，则的度数为（ ）
A．55度 B．45度 C．35度 D．25度
【答案】B
【分析】此题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形对角互补是解答本题的关键．
由圆内接四边形对角互补求出的度数即可．
【详解】解：四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
，
故选：B．
15．（24-25九年级上·湖南常德·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为：，，，经画图操作可知，的外心坐标应是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了三角形外心的知识，注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，解此题的关键是数形结合思想的应用．首先由的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作与的垂线，两垂线的交点即为的外心．
【详解】解：的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，
作图得：
与的垂直平分线交点即为的外心，
的外心坐标是，
故选：D．
16．（2026·湖南长沙·一模）如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求的度数，再利用平行线的性质得，最后计算．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴．
17．（2026·湖南长沙·二模）如图，以为直径作半圆，点C在半圆O上，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】因为是半圆O的直径，所以，与等底等高，即面积相等，所以求阴影部分的面积转换为求扇形的面积，因为与是劣弧所对的圆周角和圆心角，根据圆周角定理得，是的邻补角，求出，即扇形的圆心角，再利用扇形的面积公式，即可求出．
【详解】解：是半圆O的直径，
，
与等底等高，面积相等，
，
与是劣弧所对的圆周角和圆心角，
，
，
，
．
18．（2026·湖南长沙·二模）如图，是的内切圆，若的周长为8，面积为4，则的半径是（ ）
A．1 B． C．1.5 D．2
【答案】A
【分析】连接圆心与三角形三个顶点，将大三角形分割为三个小三角形，利用三角形面积公式（其中为周长，为内切圆半径）建立等量关系求解．
【详解】解：设的半径为，
连接，
∵是的内切圆，
∴点到的距离都等于，
∴
，
∵的周长为8，面积为4，
∴，
解得．
二、填空题
19．（2026·湖南怀化·三模）如图，已知是的直径，，则的度数是______．
【答案】
【分析】先根据圆周角定理可得，，再根据直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：由圆周角定理得，，
∵是的直径，
∴，
则．
20．（2026·湖南邵阳·二模）已知某扇形的半径为6厘米，弧长为厘米，则该扇形的面积是__________平方厘米（结果保留）．
【答案】
【分析】直接利用扇形面积公式计算得到结果.
【详解】解：扇形的面积公式为 ，其中是扇形的弧长，是扇形的半径，
将，代入公式得：
.
21．（2026·湖南长沙·二模）如图，拱桥可以近似地看作一个圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，如果这些钢索中最长的一根的长度为，则该圆弧的半径为______m．
【答案】130
【分析】本题考查了圆的综合应用，解题的关键是建立坐标系，以中点为原点，利用圆上三点坐标建立方程组求解．设圆心坐标为，由在圆上得，由最高点在圆上得，联立解方程即可求出半径．
【详解】解：以的中点为原点，所在直线为轴建立坐标系，
则，圆弧最高点坐标为，
由对称性知圆心在轴上，设圆心为，半径为，
在圆上，
, 即，①
最高点在圆上，
，②
将②代入①，得
，
解得，
．
故答案为：130．
22．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，的半径为，正六边形内接于，则图中阴影部分面积为_____（结果保留）．
【答案】
【分析】本题考查了正多边形和圆的综合，扇形面积等知识点，连接，由题意得：，推出是等边三角形，，，进而得，，证，推出即可求解；
【详解】解：连接，交于，如图所示：
由题意得：，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，即平分；
∴，，
∵，
∴；
∴；
∴，
故答案为：
23．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，已知正方形的边长为14，点M和N分别从B、C同时出发，以相同的速度沿、向终点C、D运动，连接、，交于点P，连接，则长的最小值为______．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，直角三角形的特征，两点之间线段最短等；由正方形的性质及可判定，由全等三角形的性质得，取的中点，连接，当、、三点共线时，的值最小，结合勾股定理即可求解；掌握正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，直角三角形的特征，能由圆外一点到圆上任一点距离最小找出取得最小值的条件是解题的关键．
【详解】解：四边形是正方形，
，
，
，
点M和N分别从B、C同时出发，
以相同的速度沿、向终点C、D运动，
，
在和中
，
（），
，
，
，
如图，取的中点，连接，
，
点在以为圆心，为半径的上，
当、、三点共线时，的值最小，
，
；
故答案：．
三、解答题
24．（2026·湖南长沙·二模）如图，是半圆的直径，为半圆上一点，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线，连接．
(1)求证：平分；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)证明：如图：连接，
由题意得：，，
平分．
(2)
【分析】（1）如图：连接，根据作图过程可知，，，可证可得即可证明结论；
（2）由圆周角定理可得，再根据直角三角形两锐角互余可得，再根据角平分线的定义求解即可．
【详解】（1）证明：略．
（2）解：是半圆的直径，
，
，
由（1）可得：平分
，即的度数为．
25．（2026·湖南岳阳·一模）如图，已知为的直径，是弦，点D为半径的延长线上一点，连接，．
(1)求证：是的切线．
(2)若，求的长度（结果保留）．
【答案】(1)证明：，
，
，
，
，
为的直径，
是的切线；
(2)
【分析】（1）证明，即可求得；
（2）根据，求得的长，利用弧长公式即可解答．
【详解】（1）略
（2）解：，
，
，
．
26．（2026·湖南长沙·三模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
(1)画出将向左平移5个单位，再向下平移2个单位后的；
(2)画出将绕着点O逆时针旋转90°后的，并求线段扫过的图形的面积．（结果保留）
【答案】(1)解：如图，为所求；
(2)解：如图，为所求．
线段扫过的图形的面积为
【分析】（1）根据平移的方向和距离作图即可；
（2）根据旋转的性质作图即可．线段扫过的图形为以为半径，圆心角为的扇形，根据扇形的面积公式求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：由图可得，
线段扫过的图形的面积为．
27．（25-26九年级下·湖南衡阳·阶段检测）如图，为半圆的直径，为半圆上一点，连接，点为中点，过作，交的延长线于点．
(1)求证：是半圆的切线．
(2)若，，求的长．
【答案】(1)
证明：如图，连接，
点为中点，
垂直平分，
，
，
是的半径，且，
是的切线，
即是半圆的切线．
(2)
【分析】（1）由点为中点，根据垂径定理得垂直平分，由，得，即可证明是半圆的切线；
（2）由，得，则，所以，由勾股定理得，则．
【详解】（1）略
（2）解：如图，设与交于点，
，，
，
，
，
，
，
，
，
的长是．
28．（24-25九年级下·湖南湘潭·自主招生）图中正五边形内接于中，连接，，，交于点F．
(1)求证：；
(2)求证：F点为的黄金分割点．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了正五边形的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质及黄金分割点的证明；解题的关键是利用正五边形的弧与角的关系，通过等腰三角形性质和相似三角形（正确的是）推导黄金分割关系．
（1）利用正五边形内角和与等腰三角形性质，求出和的度数，证明两角相等，从而得到；
（2）通过证明，得到比例式，结合，推导出，证明为的黄金分割点．
【详解】（1）证明：∵ 五边形是正五边形，
∴ 每个内角为，
∴，
又∵，
∴ ，
∴ ，
∵的度数 ，
∴ ，
在中，，
∴ ，
∴ ．
（2）证明：∵ 五边形是正五边形，
∴ ，，
∴ ，即，
∵的度数为度数与度数之和，为，
∴，
同理，，
∴ ，即，
又，
∴ ，
∴ ，即，
∵ ，
∴ ，
∴ 点为的黄金分割点．
29．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，E是正方形的边的中点，将该正方形沿折叠，点C落在处，分别与、、相切，切点分别为F、G、H．
(1)求证：；
(2)若正方形的边长是，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)阴影部分面积为
【分析】（1）在正方形中，，根据折叠可得，则，结合，得出，由折叠可知，即可证明．
（2）延长与交于点K，连接，，，，，在正方形中，，，根据切线的性质得出，，证出四边形为正方形，则．根据折叠可得，，，则，证明，得出，，由（1）得，则，证明，求出，再求出的半径，根据阴影部分面积求解即可．
【详解】（1）证明：在正方形中，，
在四边形中，根据折叠可得，
∴，
又∵，
∴，
由折叠可知，
∴．
（2）解：延长与交于点K，连接，，，，，
在正方形中，，，
∵分别与、、相切，切点分别为F、G、H，
∴，，
∴四边形为正方形，
∴，．
∵E是正方形的边的中点，
∴，
根据折叠可得，，，
∴，
在与中，，，
∴，
∴，，
由（1）得，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的半径为，
∴阴影部分面积．
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第2章 圆
知识点一 圆的对称性
1. 圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，定点称为圆心，定长称为半径。
2. 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。
3. 弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。
4. 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
5. 圆的对称性：圆既是轴对称图形（任意一条直径所在的直线都是对称轴），又是中心对称图形（对称中心为圆心），还是旋转对称图形。
知识点二 圆心角与圆周角
1. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
2. 圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
3. 圆心角、弧、弦的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；反之，相等的弧（或弦）所对的圆心角相等。
4. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
5. 圆周角定理推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
6.
圆周角定理推论2：直径所对的圆周角是直角（）。
7.
圆周角定理推论3：的圆周角所对的弦是直径。
知识点三 垂径定理
1. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
2. 垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
3. 垂径定理的延伸：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
知识点四 确定圆的条件
1. 确定圆的条件：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
2. 三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，外心是三角形三边垂直平分线的交点。
3. 三角形的外心性质：锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心在斜边中点上；钝角三角形的外心在三角形外部。
知识点五 直线与圆的位置关系
1.
直线与圆相交：直线与圆有两个公共点，此时圆心到直线的距离小于半径（）。
2.
直线与圆相切：直线与圆有唯一公共点，此时圆心到直线的距离等于半径（），这条直线叫做圆的切线，公共点叫做切点。
3.
直线与圆相离：直线与圆没有公共点，此时圆心到直线的距离大于半径（）。
4. 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
5. 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
6. 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
知识点六 三角形的内切圆
1. 三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心。
2. 三角形的内心：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，内心到三角形三边的距离相等。
3. 三角形的内心性质：内心一定在三角形内部。
知识点七 正多边形与圆
1. 正多边形的外接圆：经过正多边形各顶点的圆叫做正多边形的外接圆，外接圆的圆心叫做正多边形的中心。
2. 正多边形的内切圆：与正多边形各边都相切的圆叫做正多边形的内切圆。
3. 正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径。
4. 正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距。
5.
正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，正边形的中心角为。
知识点八 弧长与扇形面积
1.
弧长公式：半径为的圆中，的圆心角所对的弧长。
2.
扇形面积公式（一）：半径为的圆中，圆心角为的扇形面积。
3.
扇形面积公式（二）：扇形面积（其中为扇形的弧长，为半径）。
易错点1 利用垂径定理求值
易错提醒
1.未正确构造"半径-弦心距-半弦"直角三角形，导致无法建立勾股定理关系式；忽略推论中"被平分的弦不能是直径"的适用条件。
2.①过圆心作弦的垂线，构造的直角三角形列方程求解；②见弦想中点、见中点想垂线，已知弦中点则连圆心与该点必垂直于弦；③被平分的弦不能是直径，若恰好为直径需单独讨论；④灵活运用推论：平分弧的直径垂直平分该弧所对的弦，反之亦然。
【对点训练】1．（2026·湖南长沙·一模）如图，是的直径，弦于点，连接，已知，则的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
易错点2 垂径定理的实际应用
易错提醒
1.无法将实际问题抽象为圆的几何模型，弦心距表示错误（如误将弦心距当作半径减某段长度），混淆弦在圆心同侧和异侧两种情况。
2.①画出圆的示意图，标出圆心、弦、半径等关键元素，明确已知量和未知量；②正确表示弦心距——弦在圆心下方时d=R-h（h为弓形高），上方时需根据题意判断；③注意分类讨论弦与圆心的位置关系；④求解后检验结果合理性（如水深不能为负、半径必须为正）。
【对点训练】2．（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，圆弧形桥拱的跨度米，拱高米，则拱桥的半径为（ ）
A．3米 B．8米 C．10米 D．20米
易错点3 圆心角、弦、弧之间的关系
易错提醒
1.忽略"同圆或等圆"前提条件直接套用结论；混淆圆心角与圆周角的关系，将圆心角度数误认为圆周角度数的一半。
2.①严格把握定理前提——必须在同圆或等圆中才能使用圆心角=弧=弦的互推关系；②牢记：圆心角度数=所对弧度数，圆周角度数=所对弧度数的一半（圆周角=圆心角/2）；③必须是同弧（或等弧）所对的角才能建立关系；④多条弧或多条弦时，善用等量代换和传递性转化。
【对点训练】3．（2025·湖南长沙·三模）如图，、、是上的点，，垂足为点，，若，则的长为（ ）
A． B．3 C． D．4
易错点4 利用圆周角定理求角度
易错提醒
1.找不到正确的同弧所对圆周角导致角度转化失败；忽略"直径所对的圆周角是直角"这一重要推论。
2.①紧扣同弧或等弧——标出目标角所对的弧，再找同弧上的其他圆周角或该弧所对的圆心角；②见直径想直角——出现直径立即连两端点与圆上另一点构造直角三角形；③善用等弧对等角进行等量代换，利用圆内接四边形对角互补进行角度转移；④注意适用条件：角顶点必须在圆上，两边必须与圆相交。
【对点训练】4．（2026·湖南长沙·二模）如图，，，都是的半径，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
易错点5 利用圆周角定理推论求解
易错提醒
1.推论条件不满足而误用，如未确认弦是否为直径就使用直径对直角；混淆圆内接四边形对角与邻角关系；弦切角与普通圆内角混淆。
2.①逐一验证推论适用条件：用直径对直角前确认该弦是直径；用对角互补前确认四点共圆；用弦切角定理前确认一边是切线另一边是弦；②牢记推论链：直径→90°圆周角→直角三角形→勾股定理和三角函数；等弧→等圆周角→等腰三角形；圆内接四边形→对角互补+外角等于内对角；③善用角度计算证明四点共圆；④区分圆周角、圆心角、圆外角、圆内角的不同性质。
【对点训练】5．（2026·湖南株洲·模拟预测）如图， 和均为⊙的内接三角形，且为直径，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
易错点6 点与圆的位置关系探究
易错提醒
1.计算点到圆心距离d与半径R大小关系时出错；圆心不在原点时两点间距离公式运用不熟练；反求参数范围时不等式方向搞反。
2.①核心判定：计算，比较d与R，d<R点在圆内，d=R点在圆上，d>R点在圆外；②圆心坐标未知时先利用题目条件求出；③反求参数范围时注意不等式方向——点在圆内对应d²<R²（避免开方），点在圆外对应d²>R²；④注意边界情况——在圆上含等号，在圆内不含等号。
【对点训练】6．（23-24九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，中，，，，于点D，以点C为圆心，5为半径作，则点D在 ___________．(填“外”“内”或“上”)
易错点7 三角形外心的性质与确定
易错提醒
1.混淆外心与重心、垂心、内心；求外接圆半径时不知如何构造方程；对锐角、直角、钝角三角形外心位置缺乏分类讨论意识。
2.①明确外心定义——三边垂直平分线的交点，到三顶点距离相等，该距离即为外接圆半径R；②牢记特殊三角形外心位置：锐角三角形在内部，直角三角形在斜边中点（R=斜边/2），钝角三角形在外部；③坐标系中求外心：设(x,y)，利用到两顶点距离相等列方程联立求解。
【对点训练】7．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，中，，则它的外心与顶点C的距离为（ ）
A． B． C． D．
易错点8 切线的判定方法
易错提醒
1.仅凭直观观察下结论缺乏严格证明；使用判定定理时忘记同时验证"过半径外端"和"垂直于半径"两个条件；混淆切线性质定理与判定定理的方向。
2.①掌握三种判定方法：定义法（联立方程Δ=0）、距离法（d=R）、判定定理（过半径外端且垂直于该半径的直线是切线）；②已知直线过圆上某点→连圆心与该点（构造半径）→证垂直；未知直线过圆上某点→作圆心到直线垂线→证垂足到圆心距离=R；③性质定理（已知切线→推出垂直）与判定定理（已知垂直+过端点→推出切线）方向不可颠倒。
【对点训练】8．（2026·湖南湘潭·一模）如图，在中，，以为直径作，交于点，过点作，垂足为．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为，，求的长．
易错点9 切线性质的应用
易错提醒
1.忘记连接切点与圆心构造垂直关系；忽略"从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等"的性质；混淆切线长与点到圆心的距离。
2.①见切线连半径——出现切线立即连圆心与切点，得切线与半径垂直（90°角）；②切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，且该点到圆心连线平分两切线夹角；③将切线长、半径、点到圆心距离放入直角三角形中用勾股定理列方程；④区分切线长（从圆外点到切点）和切线上的其他线段长。
【对点训练】9．（2026·湖南永州·二模）如图，在中，，点在边上，以点为圆心，为半径作圆，与交于点，恰与相切于点，连接，，．
(1)求证：平分；
(2)求的长．
易错点10 扇形弧长、面积的计算
易错提醒
1.弧度制与角度制混淆导致公式用错；已知弧长求面积时无法正确建立关系；弓形面积计算中忘记判断是加还是减三角形面积。
2.①牢记角度制公式：弧长，扇形面积；②已知弧长求扇形面积直接用最简便；③弓形面积=扇形面积-三角形面积（劣弧）或扇形面积+三角形面积（优弧），务必画图判断。
【对点训练】10．（2026·湖南·模拟预测）为了配合国家文物数字化战略，某团队在扫描一件菱形文物时，将边长为1的菱形的顶点A设为扫描原点，当菱形绕点A旋转，使B、C两点恰好落在扇形的弧上时，求扫描路径中弧的长度等于（ ）
A． B． C． D．
易错点11 正多边形的有关计算
易错提醒
1.混淆正n边形中心角与每个内角（）；将边心距当作半径使用；内接与外切时混淆半径概念。
2.①牢记基本量：中心角=，每个内角=，每个外角=；②正n边形可内接于圆（顶点在圆上，外接圆半径R为顶点到中心距离）也可外切于圆（各边与圆相切，边心距r为中心到边距离）；③将正多边形问题转化为直角三角形问题：连接中心与顶点、中心与边中点，构造R、r、a/2组成的直角三角形用勾股定理和三角函数求解；④面积公式S=×周长×边心距=×n×a×r。
【对点训练】11．（25-26九年级上·湖南衡阳·期末）如图，是正五边形的外接圆，连接，则的度数为________．
一、单选题
12．（24-25九年级下·湖南岳阳·阶段检测）下列说法中正确的是（ ）
A．在同圆和等圆中，相等的弧所对的圆周角相等
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
C．经过不在同一条直线上的四个点一定能作圆
D．三角形的外心一定在三角形内
13．（2026·湖南长沙·一模）如图，四边形内接于，连接．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
14．（2024·湖南·一模）如图，四边形是的内接四边形，，则的度数为（ ）
A．55度 B．45度 C．35度 D．25度
15．（24-25九年级上·湖南常德·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为：，，，经画图操作可知，的外心坐标应是（ ）
A． B． C． D．
16．（2026·湖南长沙·一模）如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为（ ）
A． B． C． D．
17．（2026·湖南长沙·二模）如图，以为直径作半圆，点C在半圆O上，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
18．（2026·湖南长沙·二模）如图，是的内切圆，若的周长为8，面积为4，则的半径是（ ）
A．1 B． C．1.5 D．2
二、填空题
19．（2026·湖南怀化·三模）如图，已知是的直径，，则的度数是______．
20．（2026·湖南邵阳·二模）已知某扇形的半径为6厘米，弧长为厘米，则该扇形的面积是__________平方厘米（结果保留）．
21．（2026·湖南长沙·二模）如图，拱桥可以近似地看作一个圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，如果这些钢索中最长的一根的长度为，则该圆弧的半径为______m．
22．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，的半径为，正六边形内接于，则图中阴影部分面积为_____（结果保留）．
23．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，已知正方形的边长为14，点M和N分别从B、C同时出发，以相同的速度沿、向终点C、D运动，连接、，交于点P，连接，则长的最小值为______．
三、解答题
24．（2026·湖南长沙·二模）如图，是半圆的直径，为半圆上一点，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线，连接．
(1)求证：平分；
(2)若，求的度数．
25．（2026·湖南岳阳·一模）如图，已知为的直径，是弦，点D为半径的延长线上一点，连接，．
(1)求证：是的切线．
(2)若，求的长度（结果保留）．
26．（2026·湖南长沙·三模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
(1)画出将向左平移5个单位，再向下平移2个单位后的；
(2)画出将绕着点O逆时针旋转90°后的，并求线段扫过的图形的面积．（结果保留）
27．（25-26九年级下·湖南衡阳·阶段检测）如图，为半圆的直径，为半圆上一点，连接，点为中点，过作，交的延长线于点．
(1)求证：是半圆的切线．
(2)若，，求的长．
28．（24-25九年级下·湖南湘潭·自主招生）图中正五边形内接于中，连接，，，交于点F．
(1)求证：；
(2)求证：F点为的黄金分割点．
29．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，E是正方形的边的中点，将该正方形沿折叠，点C落在处，分别与、、相切，切点分别为F、G、H．
(1)求证：；
(2)若正方形的边长是，求图中阴影部分的面积．
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