第6章 平面图形的初步认识——角的计算 专题复习讲义 2026—2027学年苏科版七年级数学上册

第6章 平面图形的初步认识——角的计算 专题复习讲义 —学年苏科版七年级数学上册 学生版 内容导航 一、知识梳理 1 二、典例与变式 4 一、角度单位与计算 4 二、角的和差 5 三、余角和补角 6 四、角平分线 7 五、射线位置与分类 9 六、射线转动与分阶段计算 11 三、A组 基础巩固 13 四、B组 能力突破 16 五、C组 综合运用 19 六、D组 期中期末衔接 21 一、知识梳理 一、角度单位与计算 ，。化小单位用乘法，化大单位用除法；度数的小数部分要逐级换算。例如。反过来，。 不能把写成。 加法中满进；减法中借度变成分，借分变成秒。例如。若度、分、秒都有，应从秒位检查，逐级进退位。 把一个角平均分成若干份，除不尽的度数先化成分，除不尽的分再化成秒。例如，不是。数值较繁时可先全化成秒计算，再还原成度分秒；无须每题都这样做。 对应例及变式～。 二、角的和差 射线在内部时，。只有内部条件成立，才能把大角分成两个不重叠小角。若只知道三个角共顶点，不得不看射线位置就相加。 两个角重叠时，相加会把公共角算两遍。例如、、、按顺序排列在一个小于平角的角内，则。这是将两个角分别拆成小角后得到的，不作为无条件公式套用。 射线与互为反向射线时，。写“、、共线”却不说明位置，未必能得到平角；需由题干或原图确认在、之间。 短例：在内部，、，则；已知的是内部两部分，所以相加。 同一量角器、同一套刻度上，两条射线分别对准两个读数时，它们之间的角等于较大读数减去较小读数。只有一边对准这套刻度的，另一边的读数才直接是角的度数。不能把不同方向的两套刻度混用。 短例：同一半圆内，两条射线在同一套刻度上的读数分别为、，它们的夹角为，不是。 对应例及变式～。 三、余角和补角 两个角的和为，互为余角；和为，互为补角。余补说的是数量关系，两个角不必共顶点、相邻，不能画一幅相邻图后就把这种位置当必要条件。 对小于的角，余角为，补角为；所以补角比余角大。例如，余角，补角。同一个角的两个余角相等，同一个角的两个补角相等；等角对应的余角或补角也相等。 互补的两角可以一锐一钝，也可以都是直角，不能把“互补”当成“都有余角”。本讲按通常正角范围讨论余角：钝角没有余角。解出一个角后，如题目还问余角， 要先核角的大小再计算。 遇到倍数或和差条件，可设其中一个角为未知数，其余角用减它或减它表示；方程解出的角不一定是最后所求，须回看目标。 对应例及变式～。 四、角平分线 射线平分，表示在内部，并且。因此半角＝整体的一半，整体＝半角的倍。角的名称中间字母是顶点，平分线必须从该顶点出发。 多条平分线同时出现，逐条写清各自平分哪个角。例如平分、平分时，若为一份，则也是一份、是两份；不能把每个相邻角都看成同一份。 目标角可能由两个小角相加，也可能相减。先用已知大小判断射线先后，再写关系。若两平分线分别平分组成一个平角的两部分，它们之间的角为两部分的一半之和，即；结论必须带有“组成平角且在同侧”这一位置条件。 短例：平分的，则；若再有在内且，则，这一步是角差而不是再除以。 对应例及变式～。 五、射线位置与分类 同一平面内，仅给和，不一定确定与位于直线同侧还是异侧。先分别画出允许的位置，再写角差或角和。若题设还有“锐角”“钝角”“内部”等条件，要据此筛掉不符合的候选。 当两角位于两侧，它们经过那一侧的和可能大于。若题目求不大于的小角，应由周角减去这一和，不能把大于的和直接当作答案。 遇到平分线，必须在每种位置中重新平分对应角；不能把第一幅图算出的平分线位置搬到另一幅图。 射线转动题首先看起边、终边、转动方向和是否包含端点。同一个目标角可以在固定射线两侧出现；列式算出的候选还要放回允许范围检查。 若要求“内部”，落在边上的候选不合题意。 短例：、，同侧时，异侧时为。若再要求为钝角，只保留。这说明分类结果还要按附加条件筛选。 对应例及变式～。 六、射线转动与分阶段计算 射线匀速转动时，转过的角度＝每秒转过的角度×实际转动时间。题目中的“每秒转过多少度”表示转动速度。先确定射线从哪里出发、向哪里转动、在哪里停止， 再确定它所在的位置。 到达目标位置所需的时间＝需要转过的角度÷转动速度。射线到达目标位置并停止后，位置不再改变，不能继续用“速度×从开始到现在的总时间”计算它转过的角度。 例如，，从向以每秒的速度转动，到达后停止。需要秒到达。秒时转过；秒时已经停止，转过的角度仍是，不是。 两条射线同时转动时，先分别求出它们的停止时间。若一条先停止，要把“两条都在转动”和“只有另一条还在转动”分开计算。若两条射线在停止前重合，还要看重合前后谁在前、谁在后，才能正确写角的和差。 例如，两条射线分别在第秒和第秒停止，那么前秒两条都在转；第秒到第秒只有后一条在转；第秒以后两条都不再转。每一段中，都应先画清当时的位置，再列所求角之间的关系。 题目要求某条固定射线平分两动射线所夹的角时，固定射线必须位于两动射线之间，且两边的角相等。列方程得到的时间还须回到原题检查：是否属于所列的时段、射线是否已经停止、位置是否符合“内部”或“不重合”等条件。不符合的时间不能作为答案。 对应例及变式～。 二、典例与变式 一、角度单位与计算 例1、 把化成度、分、秒，再把化成度。 变式1-1、 计算。 变式1-2、 计算。 变式1-3、 把的角分成个相等的角，求每个角的度数，结果用度、分、秒表示。 二、角的和差 例2、 射线在内部， ， 。求的度数。 变式2-1、 点在线段上，且不与、重合， 射线、在直线同侧，且在 内部。已知， 。求的度数。 变式2-2、 射线在内部， ，比的 倍大。求、 的度数。 变式2-3、 角与角互余，角与角互补，角。求角、角的度数。 三、余角和补角 例3、 角与角互补，角比角的倍小。求角、角的度数。 变式3-1、 一个角的余角比这个角的一半大，求这个角的补角。 变式3-2、 角与角互余，角与角也互余，角。求角、角的度数。 变式3-3、 角的补角等于角的余角，角。求角的度数，并判断角是否有余角。 四、角平分线 例4、 射线在内部， ，，射线 平分。求的度数。 变式4-1、 点在线段上，且不与、重合， 射线不在直线上。射线、 分别平分、， 。求的度数。 变式4-2、 射线平分，射线平分 ，。求 的度数。 变式4-3、 射线在内部， ，， 射线平分。求 的度数。 五、射线位置与分类 例5、 同一平面内，， 。求的 所有可能度数。 变式5-1、 同一平面内，， 。求的所有可能度 数。本题指不大于的角。 变式5-2、 同一平面内，， ，射线平分。 求的所有可能度数。 变式5-3、 ，射线平分。 射线从出发，在内部绕点 向转动，到达后停止。当 时，求射线从 转过的角度。 六、射线转动与分阶段计算 例6、 已知，射线在 内部，。射线从的 位置出发，在内部向匀速转 动，速度为每秒，到达后停止； 同时，射线从的位置出发，在 内部向匀速转动，速度为每 秒，到达后停止。一条射线停止 后，另一条仍按原规则运动。设开始转 动后的时间为秒，。 （1）停止时，是多少度？ （2）当与不重合，且平分 时，求所有符合条件的的值。 变式6-1、 已知，射线在 内部，。射线从的 位置出发，在内部向匀速转 动，速度为每秒；同时，射线从 的位置出发，在内部向匀 速转动，速度为每秒。两条射线各自 到达后停止，一条停止后，另一条仍 按原规则运动。设开始转动后的时间为 秒，。当时， 求的值。 变式6-2、 已知。射线从的 位置出发，在内部向匀速转 动，速度为每秒；同时，射线从 的位置出发，在内部向匀 速转动，速度为每秒。两条射线各自 到达目标射线后停止，一条停止后，另 一条仍按原规则运动。设开始转动后的 时间为秒，。当 时， 求所有符合条件的的值。 变式6-3、 已知，射线在 内部，。射线从 的位置出发，在内部向匀速 转动；同时，射线从的位置出 发，在内部向匀速转动，速 度为每秒。两条射线各自到达目标射 线后停止，一条停止后，另一条仍按原 规则运动。开始转动秒时，仍在 内部，且平分。 （1）求的转动速度。 （2）求开始转动秒时 的度数。 三、A组 基础巩固 A1、 下列四个角中，与相等的是（ ）。． ． ． ． A2、 计算：（1）；（2）。 A3、 角，求角的余角与补角。 A4、 射线在内部， ，，求 。 A5、 射线平分，， 求。 A6、 点在线段上，且不与端点重合。射 线不在直线上， ，求。 A7、 角与角都与角互补，角，求角、角。 A8、 射线在内部， ，。求 ，并判断是否平分。 四、B组 能力突破 B1、 一个角的余角比它的倍小，求这个角。 B2、 射线、都在内部，在 内部。， ，，求 。 B3、 射线在内部，平分 。， ，求。 B4、 射线平分，射线在 内部，， ，求。 B5、 同一平面内，， ，且为钝角，求 。 B6、 角、角互余，角的补角比角的倍小，求角、角。 B7、 点在线段上，且不与端点重合，射 线不在直线上。平分 ，，求。 B8、 点在线段上，且不与端点重合。射 线在直线一侧，平分 ，平分，在 内部，。求 和。 B9、 同一平面内，， ，平分。若 是锐角，求的度数。 五、C组 综合运用 C1、 ，平分。射线 在内部，且 。求 的度数。 C2、 点在线段上，且不与端点重合。射 线、在直线同侧，且在 内部。平分，平 分。，求。 C3、 ，射线在内 部，。射线在 内部，且。求 的度数。 C4、 小于，射线平分 。射线在内部，且 ，。求 所有可能的度数。 六、D组 期中期末衔接 一、年期末真题 D1、（2025年1月北京朝阳七年级第一学期期末检测（选用），第14题； 非官方公开扫描。） 若，则的补角等于________。 D2、（2025年1月北京延庆七年级上学期期末，第27题第（2）问节选（含公共条件）；非官方公开重排卷。） 已知，点是直线上的一点， ，平分。（原 图中、、依次共线；本句为原图位 置的文字说明。）如图，当射线在 的内部时：①补全图形；②若 ，直接写出的度数（ 用含的式子表示）。 二、原创考试题型训练（非真题） D3、（原创考试题型训练，非真题。） 把量角器的中心与点重合，沿同一套刻度读取射线、、的位置，读数记录 如下。三条射线都位于量角器所表示的同一个半圆内，按读数由小到大的顺序依次为 、、。 射线 读数 （1）求和 的度数。 （2）射线平分，求 的度数。 D4、（原创考试题型训练，非真题。） 小于，射线、都在 内部，且在内部， 、、、互不重合。已知 ，。小明记 录的度数有以下三个备选值： 、、。 从中选出能与全部条件同时成立的度 数，并求此时的度数。 第 1 页 共 22 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 平面图形的初步认识——角的计算 专题复习讲义 —学年苏科版七年级数学上册 教师详解版 内容导航 一、知识梳理 1 二、典例与变式 4 一、角度单位与计算 4 二、角的和差 5 三、余角和补角 6 四、角平分线 7 五、射线位置与分类 9 六、射线转动与分阶段计算 15 三、A组 基础巩固 20 四、B组 能力突破 23 五、C组 综合运用 28 六、D组 期中期末衔接 32 一、知识梳理 一、角度单位与计算 ，。化小单位用乘法，化大单位用除法；度数的小数部分要逐级换算。例如。反过来，。 不能把写成。 加法中满进；减法中借度变成分，借分变成秒。例如。若度、分、秒都有，应从秒位检查，逐级进退位。 把一个角平均分成若干份，除不尽的度数先化成分，除不尽的分再化成秒。例如，不是。数值较繁时可先全化成秒计算，再还原成度分秒；无须每题都这样做。 对应例及变式～。 二、角的和差 射线在内部时，。只有内部条件成立，才能把大角分成两个不重叠小角。若只知道三个角共顶点，不得不看射线位置就相加。 两个角重叠时，相加会把公共角算两遍。例如、、、按顺序排列在一个小于平角的角内，则。这是将两个角分别拆成小角后得到的，不作为无条件公式套用。 射线与互为反向射线时，。写“、、共线”却不说明位置，未必能得到平角；需由题干或原图确认在、之间。 短例：在内部，、，则；已知的是内部两部分，所以相加。 同一量角器、同一套刻度上，两条射线分别对准两个读数时，它们之间的角等于较大读数减去较小读数。只有一边对准这套刻度的，另一边的读数才直接是角的度数。不能把不同方向的两套刻度混用。 短例：同一半圆内，两条射线在同一套刻度上的读数分别为、，它们的夹角为，不是。 对应例及变式～。 三、余角和补角 两个角的和为，互为余角；和为，互为补角。余补说的是数量关系，两个角不必共顶点、相邻，不能画一幅相邻图后就把这种位置当必要条件。 对小于的角，余角为，补角为；所以补角比余角大。例如，余角，补角。同一个角的两个余角相等，同一个角的两个补角相等；等角对应的余角或补角也相等。 互补的两角可以一锐一钝，也可以都是直角，不能把“互补”当成“都有余角”。本讲按通常正角范围讨论余角：钝角没有余角。解出一个角后，如题目还问余角， 要先核角的大小再计算。 遇到倍数或和差条件，可设其中一个角为未知数，其余角用减它或减它表示；方程解出的角不一定是最后所求，须回看目标。 对应例及变式～。 四、角平分线 射线平分，表示在内部，并且。因此半角＝整体的一半，整体＝半角的倍。角的名称中间字母是顶点，平分线必须从该顶点出发。 多条平分线同时出现，逐条写清各自平分哪个角。例如平分、平分时，若为一份，则也是一份、是两份；不能把每个相邻角都看成同一份。 目标角可能由两个小角相加，也可能相减。先用已知大小判断射线先后，再写关系。若两平分线分别平分组成一个平角的两部分，它们之间的角为两部分的一半之和，即；结论必须带有“组成平角且在同侧”这一位置条件。 短例：平分的，则；若再有在内且，则，这一步是角差而不是再除以。 对应例及变式～。 五、射线位置与分类 同一平面内，仅给和，不一定确定与位于直线同侧还是异侧。先分别画出允许的位置，再写角差或角和。若题设还有“锐角”“钝角”“内部”等条件，要据此筛掉不符合的候选。 当两角位于两侧，它们经过那一侧的和可能大于。若题目求不大于的小角，应由周角减去这一和，不能把大于的和直接当作答案。 遇到平分线，必须在每种位置中重新平分对应角；不能把第一幅图算出的平分线位置搬到另一幅图。 射线转动题首先看起边、终边、转动方向和是否包含端点。同一个目标角可以在固定射线两侧出现；列式算出的候选还要放回允许范围检查。 若要求“内部”，落在边上的候选不合题意。 短例：、，同侧时，异侧时为。若再要求为钝角，只保留。这说明分类结果还要按附加条件筛选。 对应例及变式～。 六、射线转动与分阶段计算 射线匀速转动时，转过的角度＝每秒转过的角度×实际转动时间。题目中的“每秒转过多少度”表示转动速度。先确定射线从哪里出发、向哪里转动、在哪里停止， 再确定它所在的位置。 到达目标位置所需的时间＝需要转过的角度÷转动速度。射线到达目标位置并停止后，位置不再改变，不能继续用“速度×从开始到现在的总时间”计算它转过的角度。 例如，，从向以每秒的速度转动，到达后停止。需要秒到达。秒时转过；秒时已经停止，转过的角度仍是，不是。 两条射线同时转动时，先分别求出它们的停止时间。若一条先停止，要把“两条都在转动”和“只有另一条还在转动”分开计算。若两条射线在停止前重合，还要看重合前后谁在前、谁在后，才能正确写角的和差。 例如，两条射线分别在第秒和第秒停止，那么前秒两条都在转；第秒到第秒只有后一条在转；第秒以后两条都不再转。每一段中，都应先画清当时的位置，再列所求角之间的关系。 题目要求某条固定射线平分两动射线所夹的角时，固定射线必须位于两动射线之间，且两边的角相等。列方程得到的时间还须回到原题检查：是否属于所列的时段、射线是否已经停止、位置是否符合“内部”或“不重合”等条件。不符合的时间不能作为答案。 对应例及变式～。 二、典例与变式 一、角度单位与计算 例1、 把化成度、分、秒，再把化成度。 【答案】；。 【解析】的小数部分为，，因此为和； ，所以。 。 变式1-1、 计算。 【答案】，和为。 【解析】，所以。 。 变式1-2、 计算。 【答案】，差为。 【解析】，所以 。 变式1-3、 把的角分成个相等的角，求每个角的度数，结果用度、分、秒表示。 【答案】，除以得。 【解析】。 每个角为。，所以每个角为。 二、角的和差 例2、 射线在内部， ， 。求的度数。 【答案】，所以。 【解析】在内部，所以。 ，因此。 变式2-1、 点在线段上，且不与、重合， 射线、在直线同侧，且在 内部。已知， 。求的度数。 【答案】；。 亦可用两已知角之和减。 【解析】在的两个端点之间，所以。 。在内部，所以 。 变式2-2、 射线在内部， ，比的 倍大。求、 的度数。 【答案】设，则，，。 。 【解析】设，则。 由，得，，所以 。。 变式2-3、 角与角互余，角与角互补，角。求角、角的度数。 【答案】角。角 ；也可由两个和式相减，得角角。 【解析】由，得 。 由，得 。 也可将与相减，得，从而 。 三、余角和补角 例3、 角与角互补，角比角的倍小。求角、角的度数。 【答案】设角，则，，角。 【解析】设角，则角。 两角互补，所以，，。故角，角 。 变式3-1、 一个角的余角比这个角的一半大，求这个角的补角。 【答案】设该角为，则，；补角为。 【解析】设这个角为。 它的余角为，由题意得，所以，。所 求补角为。 变式3-2、 角与角互余，角与角也互余，角。求角、角的度数。 【答案】角；角与角同为角的余角，所以角。 【解析】由角与角互余，得 。 角、角都与角互余，所以。 变式3-3、 角的补角等于角的余角，角。求角的度数，并判断角是否有余角。 【答案】角的余角为，故角。角大于，没有余角。 【解析】角的余角为。 由角的补角等于，得。因为大于，角没有余角。 四、角平分线 例4、 射线在内部， ，，射线 平分。求的度数。 【答案】；；。 【解析】在内部，所以。 平分，所以。 。 变式4-1、 点在线段上，且不与、重合， 射线不在直线上。射线、 分别平分、， 。求的度数。 【答案】；（）；。 【解析】与为反向射线，。 平分，所以；平分，所以 。在内部， 。 变式4-2、 射线平分，射线平分 ，。求 的度数。 【答案】设，则，。，，所以 。 【解析】设。 平分，所以、；平分，所以 。，解得。 。 变式4-3、 射线在内部， ，， 射线平分。求 的度数。 【答案】，；，故在 内部，。 【解析】，且，所以， ，。 平分，故。，在内部， 。 五、射线位置与分类 例5、 同一平面内，， 。求的 所有可能度数。 【答案】、在直线同侧时，；异侧时， 。两种均符合题意。 【解析】、在直线同侧时，；异侧时， 。 两种均符合题意。 例 解题图 例 解题图 变式5-1、 同一平面内，， 。求的所有可能度 数。本题指不大于的角。 【答案】同侧时为。异侧时，经过的角度和为，另一侧的 。所以为或。 【解析】同侧时为。 异侧时，经过的角度和为，另一侧的。所以为 或。 变式 解题图 变式 解题图 变式5-2、 同一平面内，， ，射线平分。 求的所有可能度数。 【答案】同侧时在内，，。异侧时 ，在内，，。所以 为或。 【解析】①、在直线同侧时，在内部， 。 平分，所以， 。 ②、在直线异侧时，，在内部。 ，所以。故 为或。 变式 解题图 变式 解题图 变式5-3、 ，射线平分。 射线从出发，在内部绕点 向转动，到达后停止。当 时，求射线从 转过的角度。 【答案】。在两侧时，分别为、 。两个位置均在内，答案为或。 【解析】平分，所以。 若在内部，；若在 内部，。两者都在允许转动范 围内，故转过的角度为或。 变式 解题图 变式 解题图 六、射线转动与分阶段计算 例6、 已知，射线在 内部，。射线从的 位置出发，在内部向匀速转 动，速度为每秒，到达后停止； 同时，射线从的位置出发，在 内部向匀速转动，速度为每 秒，到达后停止。一条射线停止 后，另一条仍按原规则运动。设开始转 动后的时间为秒，。 （1）停止时，是多少度？ （2）当与不重合，且平分 时，求所有符合条件的的值。 【答案】（1）在秒停止，。（2）或。 【解析】（1）转动时间秒，此时。 （2）到达的时间是秒，到达的时间是 秒。 ①时，在的侧，在的侧。若平分，则 ，解得，位置符合，两个半角均。 ②时，不在、所夹角内部（其中包含端点或两射线重合）， 不符合。 ③时，在的侧、在的侧。平分需 ，解得，不在本段，舍去。 ④时，停在，，。由 ，得，位置符合，两个半角均。 答：秒或秒。 例 解题图 例 解题图 变式6-1、 已知，射线在 内部，。射线从的 位置出发，在内部向匀速转 动，速度为每秒；同时，射线从 的位置出发，在内部向匀 速转动，速度为每秒。两条射线各自 到达后停止，一条停止后，另一条仍 按原规则运动。设开始转动后的时间为 秒，。当时， 求的值。 【答案】秒。 【解析】到达用时秒；到达用时秒。 当时，，，在的侧， 。这一夹角不小于，不可能等于。 当时，停在，。由， 得，符合这一时段。 检验：秒时，已转，停在方向，二者相差。所以。 变式 解题图 变式6-2、 已知。射线从的 位置出发，在内部向匀速转 动，速度为每秒；同时，射线从 的位置出发，在内部向匀 速转动，速度为每秒。两条射线各自 到达目标射线后停止，一条停止后，另 一条仍按原规则运动。设开始转动后的 时间为秒，。当 时， 求所有符合条件的的值。 【答案】秒或秒。 【解析】到达用时秒，到达用时秒。 两射线尚未停止时，，；重合时 ，解得。 ①时，在的侧，。由，得 ，符合时段。 ②时，在的侧，。由，得 ，符合时段。 ③时，停在，。此时，夹角大于 ，不可能等于。 检验：秒时两射线所对应的、为、；秒时分别为、 ，两种均相差。所以或。 变式 解题图 变式 解题图 变式6-3、 已知，射线在 内部，。射线从 的位置出发，在内部向匀速 转动；同时，射线从的位置出 发，在内部向匀速转动，速 度为每秒。两条射线各自到达目标射 线后停止，一条停止后，另一条仍按原 规则运动。开始转动秒时，仍在 内部，且平分。 （1）求的转动速度。 （2）求开始转动秒时 的度数。 【答案】（1）秒；（2）。 【解析】（1）秒时，从转过，，所 以。 平分且仍在内部，因此在的侧，， 。的速度为秒。 （2）到达用时秒，所以秒时已经停在；到达用 时秒，秒时仍在转动。。 变式 解题图 变式 解题图 三、A组 基础巩固 A1、 下列四个角中，与相等的是（ ）。． ． ． ． 【答案】。。 【解析】，，所以， 选。 A2、 计算：（1）；（2）。 【答案】（1）；（2）。 【解析】（1）。 （2）。 A3、 角，求角的余角与补角。 【答案】余角；补角。 【解析】余角为；补角为 。 A4、 射线在内部， ，，求 。 【答案】。 【解析】在内部，所以。 A5、 射线平分，， 求。 【答案】。 【解析】平分，所以。 A6、 点在线段上，且不与端点重合。射 线不在直线上， ，求。 【答案】。 【解析】在的两个端点之间，所以。 。 A7、 角与角都与角互补，角，求角、角。 【答案】角，角。 【解析】角、角都与角互补，同一个角的补角相等，所以。 由，得。 A8、 射线在内部， ，。求 ，并判断是否平分。 【答案】；≠，不平分。 【解析】在内部，。 ≠，所以不平分。 四、B组 能力突破 B1、 一个角的余角比它的倍小，求这个角。 【答案】，。 【解析】设这个角为，则余角为。 由题意得，，。所以这个角为。 B2、 射线、都在内部，在 内部。， ，，求 。 【答案】，。 【解析】在内部，。 又在内部，所以。 B3、 射线在内部，平分 。， ，求。 【答案】，，。 【解析】在内部，也在内部，所以 。 平分，。 。 B4、 射线平分，射线在 内部，， ，求。 【答案】，，。 【解析】在内部，所以。 平分，因此。 。 B5、 同一平面内，， ，且为钝角，求 。 【答案】同侧为不是钝角，异侧为，所以。 【解析】若、在直线同侧，，不是钝角，此位置 不符合题意。 若在异侧，，为钝角，符合题意。因此。 解题图：同侧时，不是钝角，此位置不符合题意。 解题图 B6、 角、角互余，角的补角比角的倍小，求角、角。 【答案】角的补角＝角，故，，。 【解析】由，得。 因此角的补角为。由题意得 ，，。所以。 B7、 点在线段上，且不与端点重合，射 线不在直线上。平分 ，，求。 【答案】，，。 【解析】在的两个端点之间，。 。平分，所以 。。 B8、 点在线段上，且不与端点重合。射 线在直线一侧，平分 ，平分，在 内部，。求 和。 【答案】（），三等份每份， ，。 【解析】、分别平分、，所以， 。 两部分组成平角， 。又 ，因此，，。 B9、 同一平面内，， ，平分。若 是锐角，求的度数。 【答案】同侧位于距处，；异侧非锐角。 故。 【解析】平分，所以。 若、在直线同侧，，为锐角；若在异侧， ，不是锐角，此位置不符合题意。所以。 解题图 解题图：异侧时，不是锐角，此位置不符合题意。 五、C组 综合运用 C1、 ，平分。射线 在内部，且 。求 的度数。 【答案】若在内部，设，则（）， ；若在内部，（），，与内部 条件不符。故。 【解析】平分，所以。 ①若在内部，设，则。 由得，，，符合位置条件。 ②若与重合，而，不满足题设。 ③若在内部，设，则。由得 ，此时与重合，不在内部，不能保留。因此。 解题图 解题图：这是在与之间的讨论位置；由角关系求得与重合，不满足在内部的条件。 C2、 点在线段上，且不与端点重合。射 线、在直线同侧，且在 内部。平分，平 分。，求。 【答案】设、，则； 。 【解析】设、。 在的两个端点之间，且、依次在同一个平角内部，所以 ，。平分、平分 ，所以、。故 。 C3、 ，射线在内 部，。射线在 内部，且。求 的度数。 【答案】若在与之间，则小于，大于，不可能有 ；与重合也不满足。故在与之间。 ，而，所以，。 【解析】若在与之间，则，而，不 可能满足，此位置不符合题意。 若与重合，则，但，也不满足。 故在与之间。 。由和 ，得，。因此 。 解题图：此位置下、，不能满足。 解题图 C4、 小于，射线平分 。射线在内部，且 ，。求 所有可能的度数。 【答案】或。 【解析】不可能与重合，否则使，与内部条件矛盾。 设。 ①在内部：，。 ，，。 ②在内部：。 ，，。 检验：第一种、、；第二种、、 。两者均小于且严格在内部，故答案或。 解题图 解题图 六、D组 期中期末衔接 一、年期末真题 D1、（2025年1月北京朝阳七年级第一学期期末检测（选用），第14题； 非官方公开扫描。） 若，则的补角等于________。 【答案】。 【解析】的补角为。 D2、（2025年1月北京延庆七年级上学期期末，第27题第（2）问节选（含公共条件）；非官方公开重排卷。） 已知，点是直线上的一点， ，平分。（原 图中、、依次共线；本句为原图位 置的文字说明。）如图，当射线在 的内部时：①补全图形；②若 ，直接写出的度数（ 用含的式子表示）。 【答案】①在内部补画角平分线。②， ，。 【解析】①在内部补画角平分线。 ②在内部，所以。 平分，所以。与为反 向射线，因此。 解题图 二、原创考试题型训练（非真题） D3、（原创考试题型训练，非真题。） 把量角器的中心与点重合，沿同一套刻度读取射线、、的位置，读数记录 如下。三条射线都位于量角器所表示的同一个半圆内，按读数由小到大的顺序依次为 、、。 射线 读数 （1）求和 的度数。 （2）射线平分，求 的度数。 【答案】（1），。（2） ，所以在内部，。 【解析】（1）同一套刻度上，两射线之间的角等于读数之差，所以 ，。 （2）平分，所以。，在内 部，。 D4、（原创考试题型训练，非真题。） 小于，射线、都在 内部，且在内部， 、、、互不重合。已知 ，。小明记 录的度数有以下三个备选值： 、、。 从中选出能与全部条件同时成立的度 数，并求此时的度数。 【答案】。选时，、 ，符合次序；选使与重合；选得负的角度，不可能。故 只选，。 【解析】在内部，所以。 又在内部， 。 若，则，，，各 射线位置符合题设。 若，则，与重合，不符合题设。若， 则，与在内部矛盾。 所以只能选，此时。 解题图 第 1 页 共 35 页 学科网（北京）股份有限公司 $