新生预习手册26《第6章平面图形的初步认识第5节多边形》预习讲义 ·2026年暑假苏科版七年级数学上册

数学臻选·2026年暑假苏科版七年级数学上新生预习手册26 《第6章平面图形的初步认识第5节多边形》预习讲义 一．预习目标 ( 1.理解多边形定义，能准确识别多边形的顶点、边、内角、外角、对角线五大组成要素，规范书写多边形名称。 2.区分凸多边形与凹多边形，掌握正多边形的判定条件（各边相等、各内角相等）。 3.通过动手画图探究多边形对角线规律，推导从n边形一个顶点引出的对角线条数、分割三角形个数公式。 4.建立 “ 复杂多边形转化为简单三角形 ” 的几何转化思想，能辨析生活中的多边形实例。 ) 二．重点难点 ( （一） 重点 1.多边形、对角线、正多边形的核心概念辨析。 2.多边形的规范表示方法。 3.多边形对角线与分割三角形的数量规律。 （二） 难点 1.多边形定义三重限制条件（同一平面、线段 ≥ 3条、首尾顺次封闭）的理解。 2.区分 “ 仅边长相等 ”“ 仅内角相等 ” 与正多边形的差异。 3.归纳n边形对角线通用规律。 ) 三．自主探究 （一）认识多边形 在生活中，可以见到形状各异的物体，如标志牌、风筝礼盒，它们表面的轮廓可以看作 由一些线段首尾顺次相接组成的平面图形。 1、多边形的概念 在平面内，由不在同一条直线上的三条或三条以上的线段首尾顺次相接组成的图形叫作多边形(polygon)，这些线段叫作多边形的边(side)，线段的公共端点叫作多边形的顶点(vertex)。 2、多边形的按边数分类 根据边的数量，多边形可以分为三角形、四边形、五边形n边形等，如图中的图形 分别是三角形ABC、四边形ABCD六边形ABCDEF，三角形ABC可以记作“△ABC”。 3、多边形的内角、外角： 多边形相邻两边组成的角叫作多边形的内角(inner angle）；多边形的边与它邻边的延长线组成的角叫作多边形的外角(extermaangle) 4、多边形的对角线 （1）定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线(diagonal)。如图，AC，BD是四边形ABCD的两条对角线。 【活动】如图，分别从四边形、五边形、六边形纸片的一个顶点出发，沿对角线将其剪成三角形纸片。按照上述方法剪成的三角形个数与多边形的边数有什么关系? （2）多边形对角线条数的计算公式 ①从单个顶点出发的对角线条数 n 边形任意一个顶点，不能和自身、相邻2个顶点连对角线：n-3。 ②多边形全部对角线总条数（核心公式） 推导：每个顶点有 n-3 条，n 个顶点共 n(n-3) 条，但每条对角线被2个顶点重复计算，除以2。 L=。 （二）正多边形 小学里，我们已经认识了正方形，它的四条边相等，四个内角也相等.和正方形类似， 各边相等、各内角也相等的多边形叫作正多边形。 1.定义：同时满足所有边长相等、所有内角度数相等两个条件的多边形是正多边形。 2.对比辨析： （1）矩形：四个内角均为90°（角相等），但邻边长度不等，不是正四边形。 （2）菱形：四条边长相等，但内角不全相等，不是正四边形。 （3）正方形：四边相等、四角相等，是正四边形。 （三）多边形内角和、外角和 1、内角和 （1）内角和公式 n 边形内角和：(n-2)×180o（n≥3，n 为整数） （2）推导 从多边形一个顶点引对角线，可分出 (n-2) 个三角形，每个三角形内角和 180o，总和即为多边形内角和。 （3）正n边形单个内角：（）o（n≥3，n 为整数） 2、外角和 （1）通用结论 任意凸多边形外角和恒等于 360o，与边数 n 无关。 （2）推导 多边形一个内角 + 相邻外角=180o，n 组内外角总和：n×180o，外角和=内外角总和−内角和n×180o- (n-2)×180o= 360o 。 （3）正n边形单个外角：（）o （四）凸多边形、凹多边形区分 1.凸多边形：将多边形任意一条边向两端延长，其余所有顶点都在这条直线同一侧，所有内角均小于180°（初中只研究凸多边形）。 2.凹多边形：存在至少一条边，延长后图形顶点分布在直线两侧，存在大于180°的内角。 四．经典例题 例1.（2024苏州吴江区期末） 下列图形属于多边形的是（ ） A. 圆形 B. 不封闭折线 C. 凸五边形 D. 带曲线的封闭图形 例2.（2025盐城盐都区期中） 从六边形一个顶点出发可引对角线数量为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 例3.（2024淮安盱眙县期中） 内角和为900°的多边形边数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 例4.（2025镇江京口区期末） 任意凸多边形外角和等于（ ） A. 180° B. 360° C. 720° D. 随边数变化 例5.（2024宿迁泗洪期末） 正八边形每个内角度数为________。 例6.（2024泰州姜堰期中） 一个多边形每个外角40°，该多边形是____边形。 例7.（2026盐城阜宁一模） 从一个顶点引对角线分成4个三角形，多边形边数为____。 例8.一个四边形的内角中最多有　　个钝角.  例9.如图在五边形ABCDE中,∠C、∠D、∠E的和为360°,判断AE与BC的位置关系并说明理由 例10.探究多边形内角和时,我们常把多边形转化成三角形,再根据三角形内角和为180°得出多边形内角和.下图是探究多边形内角和的一种方法,请根据图示,完成填空. (1)四边形内角和:4×180°-360°=4×180°-2×180°=2×180°; (2)五边形内角和:5×180°-360°=5×180°-2×180°=　　　　;  (3)六边形内角和:6×180°-360°=6×180°-2×180°=　　　　;  (4)n边形内角和:　　　　　=　　　　=　　　　　　.  五．夯实基础 （一）选择题 1．下列多边形中，不是凸多边形的是（   ） A． B． C． D． 2．用一张长方形纸片，把一个正多边形按如图所示摆放，则正多边形纸片的边数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 3.将一个边长是30厘米的正方形，在四个角各剪去一个边长为3厘米的小正方形，那么它的周长与原来相比（    ） A．减少 B．不变 C．增加 D．无法确定 4．若长方形的一边长为，另一边长为，则该长方形的周长为（　） A． B． C． D． 5．从n边形的一个顶点出发可以连接2026条对角线，则（   ） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 6. 下列多边形中，内角和最小的是（ ） A. B. C. D. 7. 直线l与正六边形的边分别相交于点M，N，如图所示，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是正边形纸片的一部分，其中是正边形两条边的一部分，若所在的直线相交形成的锐角为，则的值是（　　） A. B. C. D. （二）填空题 9.（2024宿迁沭阳期末） 十边形内角和=________°。 10.（2024南通通州期末） 多边形每个内角144°，是____边形。 11.（2026淮安清江浦一模） 对角线共14条的多边形边数为____。 12.（2025扬州江都期末） 四边形外角和与内角和的差为____°。 13.（2024无锡新吴期中） 正五边形每个外角=____°。 14.（2025连云港赣榆期末） 分成7个三角形的多边形是____边形。 15.如图,某一河边的警示牌的牌面为六边形,该六边形的内角和是　　　　.  16. 如图，在正六边形中，，，垂足为点I．若，则________． （三）解答题 17.已知一个多边形所有的内角与它的一个外角的和等于2011°. (1)求这个外角的度数; (2)求这个多边形的边数. 18.如图，将三角形纸片ABC沿虚线剪掉两角得五边形CDEFG，若DE∥CG，FG∥CD，根据所标数据，求∠A的度数． 19.【观察思考】 如图，五边形ABCDE内部有若干个点，用这些点以及五边形ABCDE的顶点A，B，C，D，E把原五边形分割成一些三角形（互相不重叠）. 内部有1个点　内部有2个点　 内部有3个点　 【规律总结】 (1) 填写下表： 五边形ABCDE内点的个数 1 2 3 4 … n 分割成的三角形的个数 5 7 9 　　　　 … 　　　　 【问题解决】 (2) 原五边形能否被分割成2 026个三角形？若能，求此时五边形ABCDE内部点的个数；若不能，请说明理由． 20.【推理能力】【感知】如图1所示,在四边形AEFC中,EB、FD分别是边AE、CF的延长线,我们把∠BEF、∠DFE称为四边形AEFC的外角,若∠A+∠C=220°,则∠BEF+∠DFE=　　　;  【探究】如图2所示,在四边形AECF中,EB、FD分别是边AE、AF的延长线,我们把∠BEC、∠DFC称为四边形AECF的外角,试探究∠A、∠C与∠BEC、∠DFC之间的数量关系,并说明理由; 【应用】如图3所示,FM、EM分别是四边形AEFC的外角∠DFE、∠BEF的平分线,若∠A+∠C=200°,则∠M的度数为　　　　.  　 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2025苏州昆山期末） 下列说法正确的是（ ） A. 四边相等的四边形是正四边形 B. 封闭图形都是多边形 C. 凸多边形所有内角小于180° D. 多边形对角线都在图形外部 2.（2026盐城亭湖三模） 多边形内角和比外角和4倍多180°，边数（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 3.（2026镇江润州一模） 多边形截去一个角，内角和不可能变化为（ ） A. 增加180° B. 不变 C. 减少180° D. 减少360° 4.（2025连云港东海期末） 下列图形对角线全部在内部的是（ ） A. 凹五边形 B. 正六边形 C. 五角星 D. 凹四边形 5．下列图形中，不是凸多边形的是（    ） A．B． C． D． 6．一个边长的正方形，把4个角各剪去边长的小正方形．那么它的周长（   ） A．增加 B．减少 C．增加 D．保持不变 7．一个七边形从一个顶点出发，引出对角线的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8.苏州博物馆本馆是国内唯一一座由世界著名建筑大师贝聿铭亲自设计的博物馆,几何形构造的屋顶颇具特色,粉墙黛瓦的传统元素随处可见,现代主义建筑与苏州园林的有机结合,如同姑苏城里一幅旖旎烟雨交织而成的水墨画.图①中的屋顶设计是在传统飞檐翘角基础上演变而来,呈现出强烈的几何感和抽象性.房屋的截面如图②所示,其中∠1=∠4=116°, ∠2=∠3=90°,则下列判断中正确的是(　　) 　 A.∠5=42°　B.∠5=52° C.∠5=62°　D.∠5的度数无法确定 9.如图,点A、B、C、D、E在同一平面内,连接AB、BC、CD、DE、EA,若∠BCD=100°,则∠A+∠B+∠D+∠E=(　　) A.220°　　　B.240°　　　C.260°　　　D.280° 10. 如图，已知，，是正边形的三条边，在同一平面内，以为边在该正边形的外部作正方形．若，则的值为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 （二）填空题 11.（2024徐州沛县期末） 十五边形内角和=________°。 12.（2026盐城射阳一模） 十一边形对角线总条数=____。 13.（2024淮安涟水期末） 多边形内角是外角5倍，边数=____。 14.（2026宿迁泗阳二模） 四边形四个外角比1:2:3:4，最小外角=____°。 15.（2025镇江扬中期末） 正九边形单个内角=____°。 16.（2025扬州宝应期末） 截角后变成十边形，原多边形边数可能为________。 17．如图，小明从点A出发沿直线前进10m到达点B，向左转30°后又沿直线前进10m到达点C，再向左转30°后沿直线前进10m到达点D……照这样走下去，小明第一次回到出发点，一共走了_____m． 18、如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=_____． 19．如图所示，小梦发现将正六边形的边向两端延长后，可以构成 “六边星角形”，则图中的度数是_________． 20. “香渡栏干屈曲，红妆映、薄绮疏棂．”图1窗棂的外边框为正六边形（如图2），则该正六边形的每个内角为______． （三）解答题 21．计算 (1)已知一个多边形的内角和是它的外角和的倍，求这个多边形的边数． (2)已知一个多边形的内角和比外角和多，请求出它是几边形？ 22．(1)请用不同的方法把图的四边形各分成四个三角形，画出示意图，不写画法； (2)任选一个示意图，结合图形，说明四边形内角和等于360°的道理． 23.如果一个多边形的所有内角按从小到大排列，恰好依次增加相同的角度，且最小角为100°，最大角为140°，求这个多边形的边数和依次增加的度数． 24.在一个正多边形中，一个内角是它相邻的一个外角的3倍. (1)求这个多边形的每一个外角的度数. (2)求这个多边形的边数. 25. (1)如图1、2，试研究其中∠1、∠2与∠3、∠4之间的数量关系； (2)用你发现的结论解决下列问题： 如图3，AE、DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD、∠MDA的平分线，∠B＋∠C＝240°，求∠E的度数． 26、如图，（1）在图1中，猜想：∠A1+∠B1+∠C1+∠A2+∠B2+∠C2=______度．并试说明你猜想的理由． （2）如果把图1称为2环三角形，它的内角和为：∠A1+∠B1+∠C1+∠A2+∠B2+∠C2； 图2称为2环四边形，它的内角和为∠A1+∠B1+∠C1+∠D1+∠A2+∠B2+∠C2+∠D2； 图3称为2环5五边形，它的内角和为∠A1+∠B1+∠C1+∠D1+∠E1+∠A2+∠B2+∠C2+∠D2 +∠E2； 请你猜一猜，2环n边形的内角和为______度（只要求直接写出结论）． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026年暑假苏科版七年级数学上新生预习手册26 《第6章平面图形的初步认识第5节多边形》预习讲义 一．预习目标 ( 1.理解多边形定义，能准确识别多边形的顶点、边、内角、外角、对角线五大组成要素，规范书写多边形名称。 2.区分凸多边形与凹多边形，掌握正多边形的判定条件（各边相等、各内角相等）。 3.通过动手画图探究多边形对角线规律，推导从n边形一个顶点引出的对角线条数、分割三角形个数公式。 4.建立 “ 复杂多边形转化为简单三角形 ” 的几何转化思想，能辨析生活中的多边形实例。 ) 二．重点难点 ( （一） 重点 1.多边形、对角线、正多边形的核心概念辨析。 2.多边形的规范表示方法。 3.多边形对角线与分割三角形的数量规律。 （二） 难点 1.多边形定义三重限制条件（同一平面、线段 ≥ 3条、首尾顺次封闭）的理解。 2.区分 “ 仅边长相等 ”“ 仅内角相等 ” 与正多边形的差异。 3.归纳n边形对角线通用规律。 ) 三．自主探究 （一）认识多边形 在生活中，可以见到形状各异的物体，如标志牌、风筝礼盒，它们表面的轮廓可以看作 由一些线段首尾顺次相接组成的平面图形。 1、多边形的概念 在平面内，由不在同一条直线上的三条或三条以上的线段首尾顺次相接组成的图形叫作多边形(polygon)，这些线段叫作多边形的边(side)，线段的公共端点叫作多边形的顶点(vertex)。 2、多边形的按边数分类 根据边的数量，多边形可以分为三角形、四边形、五边形n边形等，如图中的图形 分别是三角形ABC、四边形ABCD六边形ABCDEF，三角形ABC可以记作“△ABC”。 3、多边形的内角、外角： 多边形相邻两边组成的角叫作多边形的内角(inner angle）；多边形的边与它邻边的延长线组成的角叫作多边形的外角(extermaangle) 4、多边形的对角线 （1）定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线(diagonal)。如图，AC，BD是四边形ABCD的两条对角线。 【活动】如图，分别从四边形、五边形、六边形纸片的一个顶点出发，沿对角线将其剪成三角形纸片。按照上述方法剪成的三角形个数与多边形的边数有什么关系? 【解析】四边形（边数 n=4）：从一个顶点出发剪对角线，能得到2个三角形，2=4-2，五边形（边数n=5）：从一个顶点出发剪对角线，能得到3个三角形，3=5-2，六边形（边数 n=6）：从一个顶点出发剪对角线，能得到 4 个三角形，4=6-2；由此可以推广到一般情况：对于边数为 n（n≥3 且 n 为整数）的多边形，从一个顶点出发沿对角线剪成三角形，得到的三角形个数为（n-2）。 （2）多边形对角线条数的计算公式 ①从单个顶点出发的对角线条数 n 边形任意一个顶点，不能和自身、相邻2个顶点连对角线：n-3。 ②多边形全部对角线总条数（核心公式） 推导：每个顶点有 n-3 条，n 个顶点共 n(n-3) 条，但每条对角线被2个顶点重复计算，除以2。 L=。 （二）正多边形 小学里，我们已经认识了正方形，它的四条边相等，四个内角也相等.和正方形类似， 各边相等、各内角也相等的多边形叫作正多边形。 1.定义：同时满足所有边长相等、所有内角度数相等两个条件的多边形是正多边形。 2.对比辨析： （1）矩形：四个内角均为90°（角相等），但邻边长度不等，不是正四边形。 （2）菱形：四条边长相等，但内角不全相等，不是正四边形。 （3）正方形：四边相等、四角相等，是正四边形。 （三）多边形内角和、外角和 1、内角和 （1）内角和公式 n 边形内角和：(n-2)×180o（n≥3，n 为整数） （2）推导 从多边形一个顶点引对角线，可分出 (n-2) 个三角形，每个三角形内角和 180o，总和即为多边形内角和。 （3）正n边形单个内角：（）o（n≥3，n 为整数） 2、外角和 （1）通用结论 任意凸多边形外角和恒等于 360o，与边数 n 无关。 （2）推导 多边形一个内角 + 相邻外角=180o，n 组内外角总和：n×180o，外角和=内外角总和−内角和n×180o- (n-2)×180o= 360o 。 （3）正n边形单个外角：（）o （四）凸多边形、凹多边形区分 1.凸多边形：将多边形任意一条边向两端延长，其余所有顶点都在这条直线同一侧，所有内角均小于180°（初中只研究凸多边形）。 2.凹多边形：存在至少一条边，延长后图形顶点分布在直线两侧，存在大于180°的内角。 四．经典例题 例1.（2024苏州吴江区期末） 下列图形属于多边形的是（ ） A. 圆形 B. 不封闭折线 C. 凸五边形 D. 带曲线的封闭图形 【答案】：C 【解析】：多边形定义：由多条线段首尾顺次相接围成的封闭平面图形，无曲线、必须封闭。A含曲线，B不封闭，D含曲线，均排除。 例2.（2025盐城盐都区期中） 从六边形一个顶点出发可引对角线数量为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】：B 【解析】：n边形单个顶点对角线条数公式：n-3；六边形n=6，6-3=3。 例3.（2024淮安盱眙县期中） 内角和为900°的多边形边数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】：B 【解析】：内角和公式(n-2)×180°=900°，n-2=5，n=7。 例4.（2025镇江京口区期末） 任意凸多边形外角和等于（ ） A. 180° B. 360° C. 720° D. 随边数变化 【答案】：B 【解析】：核心结论：所有凸多边形外角和恒为360°，与边数无关。 例5.（2024宿迁泗洪期末） 正八边形每个内角度数为________。 【答案】：135° 【解析】：内角和(8-2)×180°=1080°，单个内角1080°÷8=135°。 例6.（2024泰州姜堰期中） 一个多边形每个外角40°，该多边形是____边形。 【答案】：9 【解析】：外角和360°，边数360÷40=9。 例7.（2026盐城阜宁一模） 从一个顶点引对角线分成4个三角形，多边形边数为____。 【答案】：6 【解析】：三角形个数n-2=4，解得n=6。 例8.一个四边形的内角中最多有　　个钝角.  【答案】　3 【解析】　四边形的内角和为180°×(4-2)=360°.若4个角都为钝角,则内角和必大于360°,不符合题意;若3个角为钝角,则这三个角的和必大于270°,能小于360°,此时符合题意.综上,一个四边形的内角中最多有3个钝角.故答案为3. 例9.如图在五边形ABCDE中,∠C、∠D、∠E的和为360°,判断AE与BC的位置关系并说明理由 解：AE∥BC.理由如下:因为∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°×(5-2)=540°,∠C、∠D、∠E的和为360°,所以∠A+∠B=540°-360°=180°,所以AE∥BC. 例10.探究多边形内角和时,我们常把多边形转化成三角形,再根据三角形内角和为180°得出多边形内角和.下图是探究多边形内角和的一种方法,请根据图示,完成填空. (1)四边形内角和:4×180°-360°=4×180°-2×180°=2×180°; (2)五边形内角和:5×180°-360°=5×180°-2×180°=　　　　;  (3)六边形内角和:6×180°-360°=6×180°-2×180°=　　　　;  (4)n边形内角和:　　　　　=　　　　=　　　　　　.  解：(2)根据乘法分配律,得5×180°-2×180°=(5-2)×180°=3×180°. (3)根据乘法分配律,得6×180°-2×180°=(6-2)×180°=4×180°. (4)因为从n边形内部任取一个点,并连接这个点与多边形的各个顶点,可将这个多边形分成n个三角形, 所以n边形的内角和为n×180°-360°=n×180°-2×180°=(n-2)×180°. 五．夯实基础 （一）选择题 1．下列多边形中，不是凸多边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】选项A、C、D中，画出这个多边形的任意一条边所在的直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，所以都是凸多边形，只有B选项不符合凸多边形的定义，不是凸多边形．故选：B． 2．用一张长方形纸片，把一个正多边形按如图所示摆放，则正多边形纸片的边数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解析】根据正多边形的意义将图形补充完整如图，由图形可得这个正多边形是八边形．故选：D． 3.将一个边长是30厘米的正方形，在四个角各剪去一个边长为3厘米的小正方形，那么它的周长与原来相比（    ） A．减少 B．不变 C．增加 D．无法确定 【答案】B   【解析】因为剪去一个小正方形后，剪掉了与的长度，但又多出了与的长度，并且，同样在其它的三个角剪正方形也是这样的，所以它的周长与原来相比不变，故选：B． 4．若长方形的一边长为，另一边长为，则该长方形的周长为（　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵2（2m+3n）=4m+6n，故选C． 5．从n边形的一个顶点出发可以连接2026条对角线，则（   ） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 【答案】D 【解析】∵从边形的一个顶点出发可引出条对角线，由题意可得：从n边形的一个顶点出发可以连接2026条对角线，∴n-3=2026，∴n=2029；故选：D； 6. 下列多边形中，内角和最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】边数为n的多边形的内角和，分别求出三角形，四边形，五边形，六边形的内角和，即可得到．三角形的内角和等于，四边形的内角和等于 五边形的内角和等于，六边形的内角和等于 所以三角形的内角和最小故选：A． 7. 直线l与正六边形的边分别相交于点M，N，如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】正六边形每个内角为：，而六边形的内角和也为，∴， ∴，∵， ∴，故选：B． 8. 如图，是正边形纸片的一部分，其中是正边形两条边的一部分，若所在的直线相交形成的锐角为，则的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】如图，直线相交于点，则，∵正多边形的每个内角相等，∴正多边形的每个外角也相等，∴，∴，故选：． （二）填空题 9.（2024宿迁沭阳期末） 十边形内角和=________°。 【答案】：1440 【解析】：(10-2)×180=1440。 10.（2024南通通州期末） 多边形每个内角144°，是____边形。 【答案】：10 【解析】：外角=180-144=36°，360÷36=10。 11.（2026淮安清江浦一模） 对角线共14条的多边形边数为____。 【答案】：7 【解析】：=14，n²-3n-28=0，解得n=7。 12.（2025扬州江都期末） 四边形外角和与内角和的差为____°。 【答案】：0 【解析】：四边形内角和360°，外角和360°，360-360=0。 13.（2024无锡新吴期中） 正五边形每个外角=____°。 【答案】：72 【解析】：360÷5=72。 14.（2025连云港赣榆期末） 分成7个三角形的多边形是____边形。 【答案】：9 【解析】：n-2=7，n=9。 15.如图,某一河边的警示牌的牌面为六边形,该六边形的内角和是　　　　.  【答案】　720° 【解析】　六边形的内角和为180°×(6-2)=720°.故答案为720°. 16. 如图，在正六边形中，，，垂足为点I．若，则________． 【答案】 【解析】本题考查了正六边形的内角和、平行线的性质及三角形内角和定理，先求出正六边形的每个内角为，即，则可求得的度数，根据平行线的性质可求得的度数，进而可求出的度数，再根据三角形内角和定理即可求出的度数．∵正六边形的内角和，每个内角为：， ，，，，，， ，，， ．故答案为：． （三）解答题 17.已知一个多边形所有的内角与它的一个外角的和等于2011°. (1)求这个外角的度数; (2)求这个多边形的边数. 解：(1)因为一个多边形的所有内角与它的一个外角的和等于2011°,2011°÷180° =11……31°,所以这个多边形的外角的度数是31°. (2)由(1)知该多边形的内角和=2 011°-31°=1 980°,设该多边形的边数为n,则(n-2)×180°=1 980°,解得n=13.故该多边形的边数为13. 18.如图，将三角形纸片ABC沿虚线剪掉两角得五边形CDEFG，若DE∥CG，FG∥CD，根据所标数据，求∠A的度数． 解：如图，根据题意得∠DEF＝126°，∠FGC＝118°，所以∠AED＝180°－126°＝54°，∠BGF＝180°－118°＝62°.因为DE∥CG，FG∥CD，所以∠B＝∠AED＝54°，∠C＝∠BGF＝62°，所以∠A＝180°－∠B－∠C＝64°. 19.【观察思考】 如图，五边形ABCDE内部有若干个点，用这些点以及五边形ABCDE的顶点A，B，C，D，E把原五边形分割成一些三角形（互相不重叠）. 内部有1个点　内部有2个点　 内部有3个点　 【规律总结】 (1) 填写下表： 五边形ABCDE内点的个数 1 2 3 4 … n 分割成的三角形的个数 5 7 9 　　　　 … 　　　　 【问题解决】 (2) 原五边形能否被分割成2 026个三角形？若能，求此时五边形ABCDE内部点的个数；若不能，请说明理由． 解： (1) 11　2n＋3 (2) 原五边形不能被分割成2 026个三角形，理由如下：由题意，得2n＋3＝2 026， 解得n＝1 011.5，不符合实际，所以原五边形不能被分割成2 026个三角形． 20.【推理能力】【感知】如图1所示,在四边形AEFC中,EB、FD分别是边AE、CF的延长线,我们把∠BEF、∠DFE称为四边形AEFC的外角,若∠A+∠C=220°,则∠BEF+∠DFE=　　　;  【探究】如图2所示,在四边形AECF中,EB、FD分别是边AE、AF的延长线,我们把∠BEC、∠DFC称为四边形AECF的外角,试探究∠A、∠C与∠BEC、∠DFC之间的数量关系,并说明理由; 【应用】如图3所示,FM、EM分别是四边形AEFC的外角∠DFE、∠BEF的平分线,若∠A+∠C=200°,则∠M的度数为　　　　.  　 解：【感知】因为四边形AEFC的内角和为(4-2)×180°=360°,∠A+∠C=220°, 所以∠CFE+∠AEF=360°-220°=140°.因为∠CFE+∠DFE=180°,∠AEF+∠BEF=180°, 所以∠BEF+∠DFE=180°+180°-140°=220°.故答案为220°. 【探究】∠A+∠C=∠BEC+∠DFC.理由如下:因为∠A+∠AEC+∠C+∠AFC=360°,所以∠A+∠C=360°-(∠AEC+∠AFC).因为∠AEC+∠BEC=180°,∠AFC+∠DFC=180°,所以∠BEC+∠DFC=360°-(∠AEC+∠AFC).所以∠A+∠C=∠BEC+∠DFC. 【应用】同【探究】可知∠BEF+∠DFE=∠A+∠C=200°.所以(∠BEF+∠DFE)=100°. 因为FM、EM分别是四边形AEFC的外角∠DFE、∠BEF的平分线,所以∠DFM=∠MFE=∠DFE,∠BEM=∠MEF=∠BEF,所以∠MFE+∠MEF=100°, 所以∠M=180°-100°=80°.故答案为80°. 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2025苏州昆山期末） 下列说法正确的是（ ） A. 四边相等的四边形是正四边形 B. 封闭图形都是多边形 C. 凸多边形所有内角小于180° D. 多边形对角线都在图形外部 【答案】：C 【解析】：A菱形四边相等但内角不等，不是正四边形；B圆形封闭但不是多边形；D凸多边形对角线在内部。 2.（2026盐城亭湖三模） 多边形内角和比外角和4倍多180°，边数（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】：C 【解析】：(n-2)×180=4×360+180，n-2=9，n=11。 3.（2026镇江润州一模） 多边形截去一个角，内角和不可能变化为（ ） A. 增加180° B. 不变 C. 减少180° D. 减少360° 【答案】：D 【解析】：截角后边数可能+1、不变、-1，内角和变化±180°或不变。 4.（2025连云港东海期末） 下列图形对角线全部在内部的是（ ） A. 凹五边形 B. 正六边形 C. 五角星 D. 凹四边形 【答案】：B 【解析】：只有凸多边形对角线全部在图形内部。 5．下列图形中，不是凸多边形的是（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【解析】选项B、C、D中，画出这个多边形的任意一条边所在的直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，所以都是凸多边形，只有选项A不符合凸多边形的定义，不是凸多边形．故选：A． 6．一个边长的正方形，把4个角各剪去边长的小正方形．那么它的周长（   ） A．增加 B．减少 C．增加 D．保持不变 【答案】D 【解析】这个正方形原来的周长：；剪去小正方形后的周长；那么它的周长不变．故选D． 7．一个七边形从一个顶点出发，引出对角线的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】从七边形的一个顶点可引出的对角线的条数有条．故选：C． 8.苏州博物馆本馆是国内唯一一座由世界著名建筑大师贝聿铭亲自设计的博物馆,几何形构造的屋顶颇具特色,粉墙黛瓦的传统元素随处可见,现代主义建筑与苏州园林的有机结合,如同姑苏城里一幅旖旎烟雨交织而成的水墨画.图①中的屋顶设计是在传统飞檐翘角基础上演变而来,呈现出强烈的几何感和抽象性.房屋的截面如图②所示,其中∠1=∠4=116°, ∠2=∠3=90°,则下列判断中正确的是(　　) 　 A.∠5=42°　B.∠5=52° C.∠5=62°　D.∠5的度数无法确定 【答案】B　 【解析】五边形的内角和为(5-2)×180°=540°.因为∠1=∠4=116°,∠2=∠3=90°,所以∠5=180°-(540°-116°-116°-90°-90°)=180°-128°=52°.故选B. 9.如图,点A、B、C、D、E在同一平面内,连接AB、BC、CD、DE、EA,若∠BCD=100°,则∠A+∠B+∠D+∠E=(　　) A.220°　　　B.240°　　　C.260°　　　D.280° 【答案】D　 【解析】如图,连接BD.因为∠BCD=100°,所以∠CBD+∠CDB=180°-100°=80°,所以∠A+∠ABC+∠E+∠CDE=360°-∠CBD-∠CDB=360°-80°=280°.故选D. 10. 如图，已知，，是正边形的三条边，在同一平面内，以为边在该正边形的外部作正方形．若，则的值为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】A 【解析】∵正方形，∴，∵，∴， ∴正边形的一个外角为，∴的值为；故选A （二）填空题 11.（2024徐州沛县期末） 十五边形内角和=________°。 【答案】：2340 【解析】：(15-2)×180=2340。 12.（2026盐城射阳一模） 十一边形对角线总条数=____。 【答案】：44 【解析】：=44。 13.（2024淮安涟水期末） 多边形内角是外角5倍，边数=____。 【答案】：12 【解析】：外角x，内角5x，6x=180，x=30，360÷30=12。 14.（2026宿迁泗阳二模） 四边形四个外角比1:2:3:4，最小外角=____°。 【答案】：36 【解析】：总份数10，360÷10=36°。 15.（2025镇江扬中期末） 正九边形单个内角=____°。 【答案】：140 【解析】：内角和7×180=1260，1260÷9=140。 16.（2025扬州宝应期末） 截角后变成十边形，原多边形边数可能为________。 【答案】：9、10、11 【解析】：截角分三种情况：边数-1、不变、+1。 17．如图，小明从点A出发沿直线前进10m到达点B，向左转30°后又沿直线前进10m到达点C，再向左转30°后沿直线前进10m到达点D……照这样走下去，小明第一次回到出发点，一共走了_____m． 【答案】120 【解析】∵小明每次都是沿直线前进10m后向左转30°，∴他走过的图形是正多边形，且这个正多边形的每一个外角都是30°，∴边数n=360°÷30°=12，∴他第一次回到出发点时，一共走了12×10=120m．故答案为：120． 18、如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=_____． 【答案】540° 【解析】连接GD，∠A+∠B+∠C+∠CDG+∠DGA=（5﹣2）×180°=540°，∵∠1+∠FGD+∠EDG=180°，∠2+∠E+∠F=180°，∠1=∠2，∴∠FGD+∠EDG=∠E+∠F， ∴∠A+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F+∠FGA=540°，故答案为540°． 19．如图所示，小梦发现将正六边形的边向两端延长后，可以构成 “六边星角形”，则图中的度数是_________． 【答案】60° 【解析】∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠FAB=∠CBA=（6-2）×180°÷6=120°， ∴∠PAB=∠PBA=180°-120°=60°，∴∠APB=180°-60°×2=60°，故答案为：60°． 20. “香渡栏干屈曲，红妆映、薄绮疏棂．”图1窗棂的外边框为正六边形（如图2），则该正六边形的每个内角为______． 【答案】120 【解析】∵正六边形的内角和为，∴正六边形的每个内角为．故答案为：120． （三）解答题 21．计算 (1)已知一个多边形的内角和是它的外角和的倍，求这个多边形的边数． (2)已知一个多边形的内角和比外角和多，请求出它是几边形？ 解：（1）设这个多边形的边数为，n边形的内角和为，多边形的外角和为， ，解得，这个多边形的边数为； （2）设这个多边形为边形，则其内角和为，这个边形的外角和为，内角和比外角和多，，解得， 这个多边形是七边形． 22．(1)请用不同的方法把图的四边形各分成四个三角形，画出示意图，不写画法； (2)任选一个示意图，结合图形，说明四边形内角和等于360°的道理． 解：（1）如图所示：答案不唯一， ； （2）选图①说明，如图1所示． ∵三角形的内角和为180°，∴分成的4个三角形的所有内角的和为4×180°＝720°， ∴四边形的内角和为720°－∠1－∠2－∠3－∠4＝720°－360°＝360°. 23.如果一个多边形的所有内角按从小到大排列，恰好依次增加相同的角度，且最小角为100°，最大角为140°，求这个多边形的边数和依次增加的度数． 解：设这个多边形的边数为n，依次增加的度数为x，由题意，得·n ＝(n－2)×180°，解得n＝6.∴100°＋(6－1)x＝140°，解得x＝8°.∴这个多边形的边数为6，依次增加的度数为8°. 24.在一个正多边形中，一个内角是它相邻的一个外角的3倍. (1)求这个多边形的每一个外角的度数. (2)求这个多边形的边数. 解：(1)设这个多边形的每一个外角的度数为x°.根据题意，得3x＋x＝180.解得x＝45. 故这个多边形的每一个外角的度数为45°. (2)360°÷45°＝8.故这个多边形的边数为8. 25. (1)如图1、2，试研究其中∠1、∠2与∠3、∠4之间的数量关系； (2)用你发现的结论解决下列问题： 如图3，AE、DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD、∠MDA的平分线，∠B＋∠C＝240°，求∠E的度数． 解：(1)∵∠3、∠4、∠5、∠6是四边形的四个内角，∴∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝360°，∴∠3＋∠4＝360°-(∠5＋∠6)，∵∠1＋∠5＝180°，∠2＋∠6＝180°，∴∠1＋∠2＝360°-(∠5＋∠6)，∴∠1＋∠2＝∠3＋∠4； (2)四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和； (3)∵∠B＋∠C＝240°，∴∠MDA＋∠NAD＝240°，∵AE、DE分别是∠NAD、∠MDA的平分线， ∴∠ADE＝∠MDA，∠DAE＝∠NAD，∴∠ADE＋∠DAE＝(∠MDA＋∠NAD)＝×240°＝120°， ∴∠E＝180°-(∠ADE＋∠DAE)＝180°-120°＝60°． 26、如图，（1）在图1中，猜想：∠A1+∠B1+∠C1+∠A2+∠B2+∠C2=______度．并试说明你猜想的理由． （2）如果把图1称为2环三角形，它的内角和为：∠A1+∠B1+∠C1+∠A2+∠B2+∠C2； 图2称为2环四边形，它的内角和为∠A1+∠B1+∠C1+∠D1+∠A2+∠B2+∠C2+∠D2； 图3称为2环5五边形，它的内角和为∠A1+∠B1+∠C1+∠D1+∠E1+∠A2+∠B2+∠C2+∠D2 +∠E2； 请你猜一猜，2环n边形的内角和为______度（只要求直接写出结论）． 解：（1）连接B1B2，则∠A2+∠C1=∠B1B2A2+∠B2B1C1，∠A1+∠B1+∠C1+∠A2+∠B2+∠C2=∠A1+∠B1+∠B1B2A2+∠B2B1C1+∠B2+∠C2=360度； （2）如图，A1A2之间添加两条边，可得∠B2+∠C2+∠D2=∠EA1D+∠A1EA2+∠EA2B2 则∠A1+∠B1+∠C1+∠D1+∠A2+∠B2+∠C2+∠D2=∠A1+∠B1+∠C1+∠D1+∠A2+∠EA1D+∠A1EA2+ ∠EA2B2=720°；2环n边形添加（n﹣2）条边，2环n边形的内角和成为（2n﹣2）边形的内角和．其内角和为180（2n﹣4）=360（n﹣2）度． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $