第6章 平面图形的初步认识——平行线的判定与性质 专题复习讲义 2026—2027学年苏科版七年级数学上册

第6章 平面图形的初步认识——平行线的判定与性质 专题复习讲义 —学年苏科版七年级数学上册 学生版 内容导航 一、知识梳理 1 二、典例与变式 5 一、同位角、内错角与同旁内角 5 二、平行线的判定与性质 7 三、多组平行与垂直 9 四、平行线间的折线角 11 五、平行线与角平分线 13 六、过直线外一点作平行线 15 三、A组 基础巩固 17 四、B组 方法运用 21 五、C组 综合提升 25 六、D组 考试真题衔接 27 一、知识梳理 本讲先辨认角的位置，再练习从角的关系判定平行、从平行关系求角；随后处理垂直、 折线角、角平分线，并用尺规完成过已知点作平行线。求角和求证时，每一步都要对应 到具体直线和具体角。 学习导航 一、同位角、内错角与同旁内角——认准截线和被截直线。 二、平行线的判定与性质——分清已知条件和要得到的结论。 三、多组平行与垂直——连接不同位置的角。 四、平行线间的折线角——看清折点在线间还是线外。 五、平行线与角平分线——连接半角、整角和不同顶点。 六、过直线外一点作平行线——保留尺规作图痕迹。 七、分层练习——基础巩固、方法运用、综合提升、考试真题衔接。 一、同位角、内错角与同旁内角 两条直线被第三条直线所截，在两个交点处各取一个角。两个角各有一条边在同一条直 线上，这条直线是截线；另外两条边所在的直线是被截的两条直线。 同位角在两个交点处的位置相同。两个角都在被截的两条直线之间，并分居截线两侧， 叫内错角；都在两条直线之间且在截线同侧，叫同旁内角。图中有多条线时，要先确定 所选的三条直线，再判断角的位置。 微例：图中、是直线、被所截形成的同旁内角，因为它们都在、之间并在 同侧。题设没有，不能仅凭“同旁内角”这个名称断定两角互补。 适用条件：两个角分别位于截线与两条被截直线的交点处。判断名称只看位置， 不先看角度数。 易错提醒：相等的角不一定是同位角；同一个图换一组角，被截直线也可能改变。对应 练习：变式、。 二、平行线的判定与性质 判定是从角的关系得到平行关系：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平 行；同旁内角互补，两直线平行。 性质是从已经知道的平行关系得到角的关系：两直线平行，同位角相等，内错角相等， 同旁内角互补。 遇到对顶角、邻补角时，可以先用对顶角相等、邻补角互补转出所需的条件。证明两直 线平行时，不能先把这两条直线平行当作已知。 微例：图中，，所以，由同旁内角互补得到。 再以为截线，若，就有，依据是两直线平行，内错角相等。前一步 是判定，后一步是性质，且换了截线。 适用条件：用性质前，所需的两直线平行必须由题目给出或已经证明；换截线时，重新 对应角的位置。 易错提醒：“有一对角相等”不够，必须是符合判定的位置关系；已给的平行和待证的平 行不要混成同一组。对应练习：变式、变式、、。 三、多组平行与垂直 在同一平面内，平行于同一条直线的两条不同直线平行；垂直于同一条直线的两条不同 直线平行。一条直线垂直于两条平行线中的一条，也垂直于另一条。 题中出现多组关系时，可以先得到需要的平行，再选截线转移角。垂直给出，但所求 角可能是直角的一部分，也可能是从一个较大的角中减去，要看清射线的位置。 微例：图中，，所以。截、形成的一对同旁内角中，，则 。这里不能略过由共同垂线得到平行这一步。 适用条件：平行或垂直所涉及的直线必须逐一对应，不能将“，”直接当作。 易错提醒：四条线被同一条截线所截，不表示四条线都平行；有时只能判定其中两对。 对应练习：变式、、。 四、平行线间的折线角 两条相接的线段分别连接平行线上的端点时，两个端角往往由不同截线形成，不能直接 当作同位角或内错角。可以过折点作与已知直线平行的直线，把两个端角分别移到折点 处，再根据射线位置求和或求差。 折点在两平行线之间时，辅助射线可能位于所求角内部；折点在线外时，两条连线可能 落在辅助射线同侧。应先确认位置，不将一种图形的加减关系直接套到另一种图形。 微例：图中，在两线之间，，。过作 ，位于左侧。由平行线性质，，。在 内部，因此。 适用条件：每次转移的角都要指明其截线；作和还是作差，取决于相关射 线的实际位置。 易错提醒：一幅示意图不一定限制了题目允许的全部位置；若题文未限定折点在线间或 哪一外侧，应检查所有允许位置。对应练习：例、变式、变式、。 五、平行线与角平分线 角平分线把所平分的角分成两个相等的角。先认准平分对象，再把半角与平行线形成的 角关系连接起来。有时从平行得到整角相等，再得到半角相等；有时从两条平分线平行 得到半角相等，再将两个半角分别扩大为倍，判定原来的两条直线平行。 两条平分线相交形成折线时，可以继续用上一节的辅助平行线求角，不需要 三角形内角和。 微例：图中，，平分，平分。先由内错角 相等得，再得。以为截线，这两个半角是 、形成的内错角，因此。 适用条件：平分线必须位于所平分角的内部；题目给“两个分角成比例”时，应按比例表 达，不能直接除以。 易错提醒：不同顶点的两个半角不能凭图直接相加；要先由平行关系转到同一顶点。对 应练习：例、变式、、、。待证平行不能提前使用， 逆向训练见变式、。 六、过直线外一点作平行线 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。尺规作图时，既要经过指定点，又要 用构造出的相等角保证平行，不能只凭视觉画线。 取一条经过已知点、与已知直线相交的截线，复制一个角，使两角成为相等的同位角或 内错角，就能作出所需平行线。复制角时，先保持两弧半径相同，再保持两边与圆弧的 两个交点之间的距离相同，并选对新角所在的一侧。 微例：在直线上取点，连接并延长过得到射线。在上取点，以为 待复制的角。以为圆心、适当长为半径画弧，分别交、于、；再以为圆 心、相同半径画弧交于；以为圆心、长为半径画弧，选择与位于同侧的 交点。作直线，得到，由同位角相等判定。 适用条件：指定点在已知直线外；作图留下必要圆弧和交点，不能用量角器量数值代替 尺规过程。 易错提醒：同样大小的角可以画在给定边的两侧，只有符合相应角位置的那一侧能得到 所求平行线。对应练习：变式、变式、。 二、典例与变式 一、同位角、内错角与同旁内角 例1、 直线、被直线分别截于点、，点、、依次在直线上，点、、 依次在直线上，点、、、依次在直线上。分别写出下列两角的位置关 系：（1）与；（2）与；（3）与。 变式1-1、 直线、被直线分别截于点、，点、、依次在直线上，点、、 依次在直线上，点、、、依次在直线上。（1）与是直 线________和________被直线________所截形成的________角。（2）图中与 构成同位角的角是________。 变式1-2、 点、、依次在同一直线上，点、、、依次在另一条直线上，点不在直线 上，连接、。（1）与是直线________和________被直线 ________所截形成的________角。（2）与是直线________和 ________被直线________所截形成的________角。 变式1-3、 点、、依次在同一直线上，点、、、依次在另一条直线上，点不在直线 上，连接、。直线、被直线所截，图中与构成同旁内角的 是（　）。 ．　．　．　． 二、平行线的判定与性质 例2、 直线、被直线分别截于点、，点、、依次在直线上，点、、 依次在直线上，点、、、依次在直线上。已知， 。点在线段内部，点在线段内部，连接，。 （1）求证：；（2）求的度数。 变式2-1、 直线、被直线分别截于点、，点、、依次在直线上，点、、 依次在直线上，点、、、依次在直线上。已知。下列条件 中，不能判定的是（　）。 ．　． ．　． 变式2-2、 直线、被直线分别截于点、，点、、依次在直线上，点、、 依次在直线上，点、、、依次在直线上。已知， ，且。（1）求的值；（2）求证：， 并求的度数。 变式2-3、 直线、被直线分别截于点、，点、、依次在直线上，点、、 依次在直线上，点、、、依次在直线上。已知 。求证：。 三、多组平行与垂直 例3、 如图，点、为直线上两个不同的点，，。点在线段内部， 点在线段内部，连接。已知，求的度数，并 写出推理过程。 变式3-1、 点、、依次在直线上，点、、依次在直线上，点、、依次在直 线上，点、、依次在同一直线上。已知，， ，。求及的度数。 变式3-2、 如图，点、为直线上两个不同的点，，。点在线段内部， 点在线段内部，连接。射线在内部，且。已知 ，求的度数。 变式3-3、 点、、依次在直线上，点、、依次在直线上，点、、依次在直 线上，点、、依次在同一直线上。直线经过点，且。已知 ，。求证：。 四、平行线间的折线角 例4、 如图①、图②，，点、、位于直线的同侧，连接、， ，。 （1）图①中，点位于直线、之间，求的度数。 （2）图②中，点、位于直线的两侧，求的度数。 图① 图② 变式4-1、 如图，，点位于直线、之间，点、、位于直线的同侧。连接 、，已知，，求的度数。 变式4-2、 如图，，点、位于直线的两侧，点、、位于直线的同侧。连接 、，已知，，求的度数。 变式4-3、 ，点、、位于直线的同侧，点不在直线、上。连接、 ，已知，，求所有可能的度数。图中仅画出了点 的一种位置。 五、平行线与角平分线 例5、 如图，，点、、依次在直线上，点、、依次在直线上。点 位于两直线之间，且与、位于直线的同侧。连接、，平分， 平分。已知，求的度数。 变式5-1、 如图，，点、、依次在直线上，点、、、依次在直线上。 连接、，平分。已知，求的度数。 变式5-2、 如图，，点、、依次在直线上，点、、依次在直线上。点 位于两直线之间，且与、位于直线的同侧。连接、，平分， 。已知，求的度数。 变式5-3、 如图，点、、依次在直线上，点、、依次在直线上。射线平分 ，射线平分。已知，求证：。 六、过直线外一点作平行线 例6、 如图，点在直线外。用直尺和圆规过点作直线，使。保留作图痕迹。 变式6-1、 如图，点、、依次在同一直线上，点在直线外。已按复制角的方法得到点 、，满足，其中与在直线的两侧，与在直线 的同侧。 （1）过点作的平行线时，应选择点________（填“”或“”），在 图中画出所求直线。 （2）若，求的度数。 变式6-2、 如图，点、、依次在同一直线上，点在直线外，已画出线段。 （1）用直尺和圆规作，使，且点与点在直线的同侧， 保留作图痕迹。 （2）作直线，求证：。 变式6-3、 如图，点在内部，。 （1）用直尺和圆规过作的平行线，交射线于点；再过作的平行线，交 射线于点。保留作图痕迹。 （2）求的度数。 三、A组 基础巩固 A1、 两条直线被第三条直线所截，下列条件中能判定这两条直线平行的是（　）。 ．同位角互补　．内错角相等　．同旁内角相等　．有两个角相等 A2、 直线、被直线分别截于点、，点、、依次在直线上，点、、 依次在直线上，点、、、依次在直线上。与是 ________角，与是________角。 A3、 直线、被直线分别截于点、，点、、依次在直线上，点、、 依次在直线上，点、、、依次在直线上。已知， ，则________。 A4、 已知直线、都垂直于直线，且、是不同的直线，则与的位置关系是________。 A5、 如图，，点位于两直线之间，点、、在直线的同侧。连接、 ，已知，，则________。 A6、 如图，，点、、依次在直线上，点、、依次在直线上。点 在线段内部，连接，平分。已知，则 ________。 A7、 如图，点在直线外。用直尺和圆规过作的平行线，保留作图痕迹。 A8、 已知，，，则与的位置关系是________。若直线与所成的锐角为 ，则与所成的锐角为________。 四、B组 方法运用 B1、 直线、被直线分别截于点、，点、、依次在直线上，点、、 依次在直线上，点、、、依次在直线上。已知， ，求、的度数。 B2、 直线、被直线分别截于点、，点、、依次在直线上，点、、 依次在直线上，点、、、依次在直线上。点在线段内部，点在 线段内部，连接。已知，， 。（1）求证：；（2）求的值。 B3、 如图，点、为直线上两个不同的点，，。点在线段内部， 点在线段内部，连接。射线平分。已知，求的 度数。 B4、 如图，，点、在直线的两侧，点、、在直线的同侧。连接 、，已知，，求的度数。 B5、 直线、被直线分别截于点、，点、、依次在直线上，点、、 依次在直线上，点、、、依次在直线上。已知，射线平分 ，射线平分。求证：。 B6、 如图，点在内部，平分，。（1）用直尺和圆规过点 作的平行线，交射线于点，保留作图痕迹；（2）求、 的度数。 B7、 如图，点、、依次在直线上，点、、依次在直线上，点、、依 次在直线上，点、、依次在直线上，点、、、依次在同一直线上。 已知，，，。写出能够由这 些条件判定的两对平行直线，并证明。 B8、 直线、被直线分别截于点、，点、、依次在直线上，点、、 依次在直线上，点、、、依次在直线上。射线在内部， ，。已知，求的度数。 五、C组 综合提升 C1、 如图，，点、、依次在直线上，点、、依次在直线上， 为锐角。射线位于内部，且。射线平分，射线 平分，两条射线交于点。求的度数。 C2、 如图，点、、依次在同一直线上，点、、依次在同一直线上。点、、在 直线的同侧。连接、，平分，平分，且。求 证：。 C3、 如图，点、、依次在直线上，点、、依次在直线上。射线平分 ，射线平分，。点与点在直线同侧，点与点在直 线同侧，且点、、在直线同侧。连接、，已知， 。（1）求证：；（2）求的度数。 C4、 ，点、、在直线同侧，点不在直线、上。连接、，已 知，。求所有可能的度数。图中仅画出 了点的一种位置。 C5、 如图，点、为直线上两个不同的点，，。点在线段内部， 点在线段内部，连接。点位于直线、之间，且与、位于直线的 同侧。连接、，平分，。射线在内 部，且。已知，求的度数。 六、D组 考试真题衔接 D1、 （年江西省初中学业水平考试，第题第（2）问，节选） 如图，已知点在上，，。求证：。 D2、 （年南京市初中学业水平考试，第题） 尺规作图：如图，点在直线外，过点作与直线平行的直线。 D3、 （年江苏省连云港市中考，第题） 如图，，直线与射线相交于点。若，则 ________°。 D4、 （原创）如图，点、、、依次在直线上，点、、依次在直线上，点 、、依次在直线上，点、、依次在同一直线上。已知， ，垂足为，。射线平分，与交于点，点、 、依次在直线上。 （1）从下面四个条件中，选出所有能作为补充条件，使成立的条件编号。 ①；②；③；④。 （2）补入其中一个有效条件后，求的度数。 第 1 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 平面图形的初步认识——平行线的判定与性质 专题复习讲义 —学年苏科版七年级数学上册 教师详解版 内容导航 一、知识梳理 1 二、典例与变式 5 一、同位角、内错角与同旁内角 5 二、平行线的判定与性质 7 三、多组平行与垂直 9 四、平行线间的折线角 11 五、平行线与角平分线 14 六、过直线外一点作平行线 16 三、A组 基础巩固 20 四、B组 方法运用 23 五、C组 综合提升 28 六、D组 考试真题衔接 33 一、知识梳理 本讲先辨认角的位置，再练习从角的关系判定平行、从平行关系求角；随后处理垂直、 折线角、角平分线，并用尺规完成过已知点作平行线。求角和求证时，每一步都要对应 到具体直线和具体角。 学习导航 一、同位角、内错角与同旁内角——认准截线和被截直线。 二、平行线的判定与性质——分清已知条件和要得到的结论。 三、多组平行与垂直——连接不同位置的角。 四、平行线间的折线角——看清折点在线间还是线外。 五、平行线与角平分线——连接半角、整角和不同顶点。 六、过直线外一点作平行线——保留尺规作图痕迹。 七、分层练习——基础巩固、方法运用、综合提升、考试真题衔接。 一、同位角、内错角与同旁内角 两条直线被第三条直线所截，在两个交点处各取一个角。两个角各有一条边在同一条直 线上，这条直线是截线；另外两条边所在的直线是被截的两条直线。 同位角在两个交点处的位置相同。两个角都在被截的两条直线之间，并分居截线两侧， 叫内错角；都在两条直线之间且在截线同侧，叫同旁内角。图中有多条线时，要先确定 所选的三条直线，再判断角的位置。 微例：图中、是直线、被所截形成的同旁内角，因为它们都在、之间并在 同侧。题设没有，不能仅凭“同旁内角”这个名称断定两角互补。 适用条件：两个角分别位于截线与两条被截直线的交点处。判断名称只看位置， 不先看角度数。 易错提醒：相等的角不一定是同位角；同一个图换一组角，被截直线也可能改变。对应 练习：变式、。 二、平行线的判定与性质 判定是从角的关系得到平行关系：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平 行；同旁内角互补，两直线平行。 性质是从已经知道的平行关系得到角的关系：两直线平行，同位角相等，内错角相等， 同旁内角互补。 遇到对顶角、邻补角时，可以先用对顶角相等、邻补角互补转出所需的条件。证明两直 线平行时，不能先把这两条直线平行当作已知。 微例：图中，，所以，由同旁内角互补得到。 再以为截线，若，就有，依据是两直线平行，内错角相等。前一步 是判定，后一步是性质，且换了截线。 适用条件：用性质前，所需的两直线平行必须由题目给出或已经证明；换截线时，重新 对应角的位置。 易错提醒：“有一对角相等”不够，必须是符合判定的位置关系；已给的平行和待证的平 行不要混成同一组。对应练习：变式、变式、、。 三、多组平行与垂直 在同一平面内，平行于同一条直线的两条不同直线平行；垂直于同一条直线的两条不同 直线平行。一条直线垂直于两条平行线中的一条，也垂直于另一条。 题中出现多组关系时，可以先得到需要的平行，再选截线转移角。垂直给出，但所求 角可能是直角的一部分，也可能是从一个较大的角中减去，要看清射线的位置。 微例：图中，，所以。截、形成的一对同旁内角中，，则 。这里不能略过由共同垂线得到平行这一步。 适用条件：平行或垂直所涉及的直线必须逐一对应，不能将“，”直接当作。 易错提醒：四条线被同一条截线所截，不表示四条线都平行；有时只能判定其中两对。 对应练习：变式、、。 四、平行线间的折线角 两条相接的线段分别连接平行线上的端点时，两个端角往往由不同截线形成，不能直接 当作同位角或内错角。可以过折点作与已知直线平行的直线，把两个端角分别移到折点 处，再根据射线位置求和或求差。 折点在两平行线之间时，辅助射线可能位于所求角内部；折点在线外时，两条连线可能 落在辅助射线同侧。应先确认位置，不将一种图形的加减关系直接套到另一种图形。 微例：图中，在两线之间，，。过作 ，位于左侧。由平行线性质，，。在 内部，因此。 适用条件：每次转移的角都要指明其截线；作和还是作差，取决于相关射 线的实际位置。 易错提醒：一幅示意图不一定限制了题目允许的全部位置；若题文未限定折点在线间或 哪一外侧，应检查所有允许位置。对应练习：例、变式、变式、。 五、平行线与角平分线 角平分线把所平分的角分成两个相等的角。先认准平分对象，再把半角与平行线形成的 角关系连接起来。有时从平行得到整角相等，再得到半角相等；有时从两条平分线平行 得到半角相等，再将两个半角分别扩大为倍，判定原来的两条直线平行。 两条平分线相交形成折线时，可以继续用上一节的辅助平行线求角，不需要 三角形内角和。 微例：图中，，平分，平分。先由内错角 相等得，再得。以为截线，这两个半角是 、形成的内错角，因此。 适用条件：平分线必须位于所平分角的内部；题目给“两个分角成比例”时，应按比例表 达，不能直接除以。 易错提醒：不同顶点的两个半角不能凭图直接相加；要先由平行关系转到同一顶点。对 应练习：例、变式、、、。待证平行不能提前使用， 逆向训练见变式、。 六、过直线外一点作平行线 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。尺规作图时，既要经过指定点，又要 用构造出的相等角保证平行，不能只凭视觉画线。 取一条经过已知点、与已知直线相交的截线，复制一个角，使两角成为相等的同位角或 内错角，就能作出所需平行线。复制角时，先保持两弧半径相同，再保持两边与圆弧的 两个交点之间的距离相同，并选对新角所在的一侧。 微例：在直线上取点，连接并延长过得到射线。在上取点，以为 待复制的角。以为圆心、适当长为半径画弧，分别交、于、；再以为圆 心、相同半径画弧交于；以为圆心、长为半径画弧，选择与位于同侧的 交点。作直线，得到，由同位角相等判定。 适用条件：指定点在已知直线外；作图留下必要圆弧和交点，不能用量角器量数值代替 尺规过程。 易错提醒：同样大小的角可以画在给定边的两侧，只有符合相应角位置的那一侧能得到 所求平行线。对应练习：变式、变式、。 二、典例与变式 一、同位角、内错角与同旁内角 例1、 直线、被直线分别截于点、，点、、依次在直线上，点、、 依次在直线上，点、、、依次在直线上。分别写出下列两角的位置关 系：（1）与；（2）与；（3）与。 【答案与解析】（1）内错角；（2）同位角；（3）同旁内角。 均是、被所截形成。先定位两顶点、，再沿公共所在直线找截线；角 是否相等不参与位置名称判别。 变式1-1、 直线、被直线分别截于点、，点、、依次在直线上，点、、 依次在直线上，点、、、依次在直线上。（1）与是直 线________和________被直线________所截形成的________角。（2）图中与 构成同位角的角是________。 【答案与解析】（1）、被所截形成的同旁内角。 （2）。与的两条边分别指向相应交点的同侧。 变式1-2、 点、、依次在同一直线上，点、、、依次在另一条直线上，点不在直线 上，连接、。（1）与是直线________和________被直线 ________所截形成的________角。（2）与是直线________和 ________被直线________所截形成的________角。 【答案与解析】（1）、被所截形成的内错角。 （2）、被所截形成的内错角。第二问的被截直线已经变化；不能 沿用第一问的。 变式1-3、 点、、依次在同一直线上，点、、、依次在另一条直线上，点不在直线 上，连接、。直线、被直线所截，图中与构成同旁内角的 是（　）。 ．　．　．　． 【答案与解析】。 截线限定为，两角顶点应是、；与原角共顶点，的另一顶点是，与原角共 顶点，均不是所问角对。 二、平行线的判定与性质 例2、 直线、被直线分别截于点、，点、、依次在直线上，点、、 依次在直线上，点、、、依次在直线上。已知， 。点在线段内部，点在线段内部，连接，。 （1）求证：；（2）求的度数。 【答案与解析】（1），所以（同旁内 角互补，两直线平行）。 （2），为截线，所以，故 。注意第二问换截线，第一步判平行不可省略。 变式2-1、 直线、被直线分别截于点、，点、、依次在直线上，点、、 依次在直线上，点、、、依次在直线上。已知。下列条件 中，不能判定的是（　）。 ．　． ．　． 【答案与解析】。 由内错角相等判定；由同旁内角互补判定；中，由内 错角相等判定；给出，若，则应等于， 因此不能判定。（亦可将转为，与不相等。） 变式2-2、 直线、被直线分别截于点、，点、、依次在直线上，点、、 依次在直线上，点、、、依次在直线上。已知， ，且。（1）求的值；（2）求证：， 并求的度数。 【答案与解析】，，。 由内错角相等得。。这里直接用邻 补角计算即可。 变式2-3、 直线、被直线分别截于点、，点、、依次在直线上，点、、 依次在直线上，点、、、依次在直线上。已知 。求证：。 【答案与解析】（对顶角相等），所以，故 （同旁内角互补，两直线平行）。 另一解：，与已知比较得，再用同位角相等 判定。均不预先使用待证平行。 三、多组平行与垂直 例3、 如图，点、为直线上两个不同的点，，。点在线段内部， 点在线段内部，连接。已知，求的度数，并 写出推理过程。 【答案与解析】由、，得 （同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行）。因为截线， （两直线平行，内错角相等）。 变式3-1、 点、、依次在直线上，点、、依次在直线上，点、、依次在直 线上，点、、依次在同一直线上。已知，， ，。求及的度数。 【答案与解析】由，，得，。 。由，，所以。 变式3-2、 如图，点、为直线上两个不同的点，，。点在线段内部， 点在线段内部，连接。射线在内部，且。已知 ，求的度数。 【答案与解析】、，故。 。由及在内部，， 所以。内部条件保证作差，不依赖图猜射线位置。 变式3-3、 点、、依次在直线上，点、、依次在直线上，点、、依次在直 线上，点、、依次在同一直线上。直线经过点，且。已知 ，。求证：。 【答案与解析】，得（同位角相等，两直线平行）。 又，故。，因此。 也可用两组平行线的同位角性质，将直角从依次传到、；不引 入三角形定理。 四、平行线间的折线角 例4、 如图①、图②，，点、、位于直线的同侧，连接、， ，。 （1）图①中，点位于直线、之间，求的度数。 （2）图②中，点、位于直线的两侧，求的度数。 图① 图② 【答案与解析】两图均过作与平行、指向和一侧的射线。 图①：，。在内部， 。 图②：，。在内部， 。 这里分别以、为截线，转移两个端点处的角。 例 图①解图 例 图②解图 变式4-1、 如图，，点位于直线、之间，点、、位于直线的同侧。连接 、，已知，，求的度数。 【答案与解析】过作，位于左侧。 由平行线性质，，。在内部，所以 。 变式 解图 变式4-2、 如图，，点、位于直线的两侧，点、、位于直线的同侧。连接 、，已知，，求的度数。 【答案与解析】过作，位于左侧。 在下方，、都位于上侧，，，位于 内部。故。注意：折点在下方时，应从较大的 中减去较小的。 变式 解图 变式4-3、 ，点、、位于直线的同侧，点不在直线、上。连接、 ，已知，，求所有可能的度数。图中仅画出了点 的一种位置。 【答案与解析】过作，位于左侧。 ①若在两线之间，则，与矛盾，该位置不符合条件。 ②若、在两侧，则，得。 ③若、在两侧，则，得。 因此所有可能值为、。两值均在对应位置可实现。示意图只画出一种位置，解题 时仍须按题意分类。 变式 点与在两侧 变式 点与在两侧 五、平行线与角平分线 例5、 如图，，点、、依次在直线上，点、、依次在直线上。点 位于两直线之间，且与、位于直线的同侧。连接、，平分， 平分。已知，求的度数。 【答案与解析】，。 、分别平分、，所以，。过作 ，取在左侧，位于内部。由平行线性质，， ，故。还可将两边同时除以，得 到，再由辅助平行线得到。 例 解图 变式5-1、 如图，，点、、依次在直线上，点、、、依次在直线上。 连接、，平分。已知，求的度数。 【答案与解析】，，故。 平分，故。本题倒推整个角，不先假定未知原角值。 变式5-2、 如图，，点、、依次在直线上，点、、依次在直线上。点 位于两直线之间，且与、位于直线的同侧。连接、，平分， 。已知，求的度数。 【答案与解析】设，则，。 由及位于内部，。过作 ，按折线角求和得。解得。因此 。回代：两端小角为和，折角，另一个分角，满足 倍关系。 变式 解图 变式5-3、 如图，点、、依次在直线上，点、、依次在直线上。射线平分 ，射线平分。已知，求证：。 【答案与解析】，为截线，（两直线平行， 内错角相等）。 又平分，平分，所以，。 因此，故（内错角相等，两直线平行）。注意是待证 结论，不能在开头拿它求角。 六、过直线外一点作平行线 例6、 如图，点在直线外。用直尺和圆规过点作直线，使。保留作图痕迹。 【答案与解析】图中所在直线为，上方所作直线为。 在上取点，连并延长过得到射线。在上选一点，取 为待复制的角。 以为圆心、适当长为半径作弧，分别交射线、于、。 以为圆心、相同半径作弧，交射线于。 以为圆心、长为半径作弧，与上一步弧交于，选择与位于直线 同侧的交点。 作直线，即为。因为，二者为同位角，所以。 作图应保留两个等半径弧及用于截取长的弧。 例 解图 变式6-1、 如图，点、、依次在同一直线上，点在直线外。已按复制角的方法得到点 、，满足，其中与在直线的两侧，与在直线 的同侧。 （1）过点作的平行线时，应选择点________（填“”或“”），在 图中画出所求直线。 （2）若，求的度数。 【答案与解析】（1）。 与是内错角，且相等，因此；所在角虽也相等，但位置不是 这对内错角，不能据此认定。 （2）。 注意：判定平行时，不仅要有两个角相等，还要核对它们的位置关系。 变式 解图 变式6-2、 如图，点、、依次在同一直线上，点在直线外，已画出线段。 （1）用直尺和圆规作，使，且点与点在直线的同侧， 保留作图痕迹。 （2）作直线，求证：。 【答案与解析】（1）以为圆心、适当长为半径画弧，分别交、于、。 以为圆心、相同半径画弧，交于。以为圆心、长为半径画弧，与处的弧交 于，选与在直线同侧的交点。作直线。 （2），二者是、被所截形成的内错角，所以。 须保留复制角的两等半径弧、用于截取长的弧。此处使用的是而不是变式 的，角所在的一侧也随之变化；不能照抄上一题选点结论而不核对。 变式 解图 变式6-3、 如图，点在内部，。 （1）用直尺和圆规过作的平行线，交射线于点；再过作的平行线，交 射线于点。保留作图痕迹。 （2）求的度数。 【答案与解析】连接并延长过。 以为圆心、适当长为半径画弧，分别交、、于、、；以为圆心、相 同半径画弧，交的延长线于。 以为圆心、长为半径画弧，与处的弧交于，选与在同侧。作直线， 交于。所作同位角等于，故。 再以为圆心、长为半径画弧，与处的弧交于，选与在同侧。作直线 ，交于。所作同位角等于，故。 因为，所以。因为，作截线，所以 ，故。本题分别用、的平行关系转移 角。作图须保留两次复制角的圆弧。 变式 解图 三、A组 基础巩固 A1、 两条直线被第三条直线所截，下列条件中能判定这两条直线平行的是（　）。 ．同位角互补　．内错角相等　．同旁内角相等　．有两个角相等 【答案与解析】选。 内错角相等是两直线平行的判定条件。把同位角应“相等”写成了“互补”；把同旁内 角应“互补”写成了“相等”；没有说明相等的两角的位置，对顶角相等也不能据此判定 另一对直线平行。 A2、 直线、被直线分别截于点、，点、、依次在直线上，点、、 依次在直线上，点、、、依次在直线上。与是 ________角，与是________角。 【答案与解析】同旁内角；同位角。 两组都以为截线，以、为被截直线。和都在两线之间且在 同侧；和在两交点的对应位置。这里无需先有。 A3、 直线、被直线分别截于点、，点、、依次在直线上，点、、 依次在直线上，点、、、依次在直线上。已知， ，则________。 【答案与解析】。 因为，所以（同位角相等）。与是反向射线， 故。 A4、 已知直线、都垂直于直线，且、是不同的直线，则与的位置关系是________。 【答案与解析】平行。 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条不同直线平行。 A5、 如图，，点位于两直线之间，点、、在直线的同侧。连接、 ，已知，，则________。 【答案与解析】。 过作与平行、指向和一侧的射线。由，， 。在内部，所以。 解图 A6、 如图，，点、、依次在直线上，点、、依次在直线上。点 在线段内部，连接，平分。已知，则 ________。 【答案与解析】。 平分，。，为截线，所以 ，故。易错点是把直接与 相减，漏掉平分步骤。 A7、 如图，点在直线外。用直尺和圆规过作的平行线，保留作图痕迹。 【答案与解析】在上取点，连并延长过得到射线。 以为圆心、适当长为半径画弧，交上向右的射线于，交于。以为圆心、相同 半径画弧，交于；以为圆心、长为半径画弧，与处的弧交于， 选与在同侧。作直线。因为（所作同位角相等）， 所以。 解图 A8、 已知，，，则与的位置关系是________。若直线与所成的锐角为 ，则与所成的锐角为________。 【答案与解析】垂直；。 由、，得；又，故。与所成的锐角为， 在与构成的直角中，与所成的锐角为。 四、B组 方法运用 B1、 直线、被直线分别截于点、，点、、依次在直线上，点、、 依次在直线上，点、、、依次在直线上。已知， ，求、的度数。 【答案与解析】，。 设，则，有，解得。所以 。又（内错角相等），因此。 B2、 直线、被直线分别截于点、，点、、依次在直线上，点、、 依次在直线上，点、、、依次在直线上。点在线段内部，点在 线段内部，连接。已知，， 。（1）求证：；（2）求的值。 【答案与解析】（1）与是、被所截形成的同位角；由已知两 角相等，得。 （2）为另一条截线，由，，故 ，解得。回代两角为、，互补。 也可先由对顶角相等得，再由判定。 B3、 如图，点、为直线上两个不同的点，，。点在线段内部， 点在线段内部，连接。射线平分。已知，求的 度数。 【答案与解析】由、，得。 于是。平分，故。与 是反向射线，所以。不能把目标误当成被平分后得 到的。 B4、 如图，，点、在直线的两侧，点、、在直线的同侧。连接 、，已知，，求的度数。 【答案与解析】过作，在左侧。 在外侧，、都位于同一侧，且在内部，所以 。 设，则，得到，解得。因 此。回代，。 解图 B5、 直线、被直线分别截于点、，点、、依次在直线上，点、、 依次在直线上，点、、、依次在直线上。已知，射线平分 ，射线平分。求证：。 【答案与解析】，为截线，（同位角相等）。 由于平分、平分，得。这两个半角是直线、 被所截形成的同位角，因此。 先用已知得到整角相等，再由半角相等判另一组平行；两个“平行” 不是同一待证结论。 B6、 如图，点在内部，平分，。（1）用直尺和圆规过点 作的平行线，交射线于点，保留作图痕迹；（2）求、 的度数。 【答案与解析】（1）延长过得到射线。 以为圆心、适当长为半径画弧，分别交、于、；以为圆心、相同半径画 弧，交于；以为圆心、长为半径画弧，与处的弧交于，选与在同 侧。作直线，交于。所作，同位角相等，因此。 （2）平分，所以。，为截线， （内错角相等）。又，为截线， ，所以。两个所求角分别用不同截线，不用三 角形内角和。 解图 B7、 如图，点、、依次在直线上，点、、依次在直线上，点、、依 次在直线上，点、、依次在直线上，点、、、依次在同一直线上。 已知，，，。写出能够由这 些条件判定的两对平行直线，并证明。 【答案与解析】，。 证明：，这两个角是、被直线所截形 成的同旁内角，所以。 ，这两个角是、被直线所截形成的同位角，所以 。四条被截直线不必全平行；不能仅因它们都被同一条直线所截 就合并成一组。 B8、 直线、被直线分别截于点、，点、、依次在直线上，点、、 依次在直线上，点、、、依次在直线上。射线在内部， ，。已知，求的度数。 【答案与解析】设，则。 在内部，所以。由， ，故，解得。与是反向射 线，因此。 先用题设的相等关系表达分角，再用平行线关系列式；不是角平分线，不能将 直接除以。 五、C组 综合提升 C1、 如图，，点、、依次在直线上，点、、依次在直线上， 为锐角。射线位于内部，且。射线平分，射线 平分，两条射线交于点。求的度数。 【答案与解析】设。 因为，为截线，所以。 且在内部，故， 。 由两条角平分线，，。 过作射线向左（因此）。由内错角相等，， 。 由于在内部，。 这里用辅助平行线转移角，无需求；两个半角的和已经确定。 解图 C2、 如图，点、、依次在同一直线上，点、、依次在同一直线上。点、、在 直线的同侧。连接、，平分，平分，且。求 证：。 【答案与解析】过点作射线，使与在直线的两侧。 因为，，所以，。 因为，为截线，所以（内错角相等）。 由题图中的射线位置，在内部，所以。 因此。 又因为平分，平分， 所以，， 于是。 、被所截形成的同旁内角互补，因此。 易错：是待证结论，不能一开始就写。此题把“平分 线垂直”向前还原为“原角互补”，再用判定。 解图 C3、 如图，点、、依次在直线上，点、、依次在直线上。射线平分 ，射线平分，。点与点在直线同侧，点与点在直 线同侧，且点、、在直线同侧。连接、，已知， 。（1）求证：；（2）求的度数。 【答案与解析】（1），为截线，得（内错角相等）。 由、分别平分、，得到， ，故。由内错角相等，得。 （2）第一问已经证明，结合与在同侧、与在同侧，在这两条 平行线之间。过作与平行、指向和一侧的射线，， 。在内部，故。设 ，由，得，。因此。 不能在第一问之前引用的性质。 解图 C4、 ，点、、在直线同侧，点不在直线、上。连接、，已 知，。求所有可能的度数。图中仅画出 了点的一种位置。 【答案与解析】设，则。 过作平行于、指向和一侧的射线，按的位置分别计算。 ①在两平行线之间时，在内部，所以，解得。 ②与在两侧时，两条连线在同一侧，较大，所以 ，解得。 ③与在两侧时，应有，但（），不符合这种 位置，故无解。 因此所有可能的度数为、。回代两组端角分别为与、与，两 种合法位置均能作出。示意图只画出一种位置，解题时仍须按题意分类。 点在、之间 点与在两侧 C5、 如图，点、为直线上两个不同的点，，。点在线段内部， 点在线段内部，连接。点位于直线、之间，且与、位于直线的 同侧。连接、，平分，。射线在内 部，且。已知，求的度数。 【答案与解析】由、，先得。 过作射线，使方向与射线相同。因为，所以， 。按题设射线位置，、依次位于从到所成的小于平角的角 内部，故。 由，为截线，，得到。平分 ，因此。 由，。设，则；又 在内部，所以，，。 由，为截线，。由于在内部， 。 注意：先看清、、、的先后位置，再确定角的加减关系。 解图 六、D组 考试真题衔接 D1、 （年江西省初中学业水平考试，第题第（2）问，节选） 如图，已知点在上，，。求证：。 【答案与解析】证明：，为截线，所以（两直线平行， 内错角相等）。 又，所以。 与是、被所截形成的内错角，因此（内错角相等， 两直线平行）。 本题先用已给的一组平行线的性质，再判定另一组平行，不能把两组混同； 不使用三角形性质。 D2、 （年南京市初中学业水平考试，第题） 尺规作图：如图，点在直线外，过点作与直线平行的直线。 【答案与解析】在上取点，连并延长过得到射线，在上取点。 以为圆心、适当长为半径作弧，交于、交于；以为圆心、相同半径作弧， 交于；以为圆心、长为半径作弧，交前弧于，取与在同侧。 作直线。 因为（所作），这是一对同位角，所以，直线即为所求，图 中记为。 作图应保留复制角的圆弧。 解图 D3、 （年江苏省连云港市中考，第题） 如图，，直线与射线相交于点。若，则 ________°。 【答案与解析】。 因为，为截线，所以（同位角相等）。又、、 在同一直线上，所以。原卷指。 D4、 （原创）如图，点、、、依次在直线上，点、、依次在直线上，点 、、依次在直线上，点、、依次在同一直线上。已知， ，垂足为，。射线平分，与交于点，点、 、依次在直线上。 （1）从下面四个条件中，选出所有能作为补充条件，使成立的条件编号。 ①；②；③；④。 （2）补入其中一个有效条件后，求的度数。 【答案与解析】（1）应选②④。 ①本来就由邻补角得到，并未增加与之间的角关 系，不能据此判定。 ②因为，所在直线是截线，所以（同位角相等）。 于是，由同旁内角互补，得到。 ③由可得。这时，不符合 时同旁内角互补的性质，不能作为所需条件。 ④，这两个角是、被直线所截形成的同位角，所以 。 （2）补入②或④后，已经得到。由同旁内角互补， 。 平分，因此。 过作射线，取在左侧。，所以；又，故 。 由，为截线，（内错角相等）。 位于内部，故 。 本题先排除“重复已有信息”的条件，再形成可用的平行关系；求角时依次使用平行、平 分、垂直，不用三角形内角和。 解图 第 1 页 共 36 页 学科网（北京）股份有限公司 $