新生预习手册23《第6章平面图形的初步认识第4节平行线（一）》预习讲义 ·2026年暑假苏科版七年级数学上册

数学臻选·2026年暑假苏科版七年级数学上新生预习手册23 《第6章平面图形的初步认识第4节平行线（一）》预习讲义 一．预习目标 ( 1.掌握平行线的定义，抓住定义核心条件 “ 同一平面内 ” ，会使用平行符号规范表示两条直线平行；能说出同一平面内两条不重合直线的位置关系。 2.熟练掌握利用直尺、三角板画平行线的操作步骤，能独立过直线外一点作出已知直线的平行线。 3.理解平行公理（平行线基本事实），准确记住公理内容，辨析常见易错条件；了解平行公理推论，初步认识平行的传递性。 4.通过画图、辨析、自主探究，建立平面几何直观，规避概念常见陷阱，为后续平行线判定与性质学习打好基础。 ) 二．重点难点 ( （一） 重点 1.平行线概念、平行符号书写与读法； 2.平行线标准作图步骤； 3.平行公理内容识记与简单应用。 （二） 难点 1.理解定义中同一平面内不可或缺，区分空间中不相交直线与平行线； 2.区分线段平行、射线平行和直线平行（线段平行指所在直线平行）； 3.精准理解平行公理：过直线外一点才有唯一平行线；直线上一点无法画出已知直线的平行线。 ) 三．自主探究 （一）平行线的定义 欣赏图片：飞机的喷雾、斑马线的位置有什么共同之处 ？ 在生活中，到处可见平行线，在下面的图片中，哪些图形可以看作是平平行线? 1.标准定义 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 在下图中，a，b两条直线互相平行，记作“a‖b”或“AB‖CD. 2.定义三大关键条件（缺一不可） （1）前提：同一平面内 如果不在同一个平面，两条不相交的直线不是平行线（这类线叫异面直线，七年级只需了解）。例：墙面竖直线与地面横线，不相交但不在同一平面，不属于平行线。 （2）核心：不相交 直线可以向两端无限延伸，无论延伸多长，永远没有交点。 线段、射线平行：指它们所在的直线不相交。比如秋千吊绳是线段，延伸后永不相交，所以互相平行。 （3）对象：两条直线 单独一条直线不能叫平行，平行是两条直线之间的位置关系。 3.易混易错辨析 （1）“不相交就平行”是错误说法 缺少“同一平面内”，空间里存在不相交也不平行的异面直线。完整正确表述：同一平面内，两条不相交的直线互相平行。 （2）重合的直线不是平行线 重合的两条直线有无数公共点，不符合“不相交”要求。 （二）动手实践——平行线的画法 1.工具：直尺、三角板 2.作图口诀：一放、二靠、三移、四画 3.示意图：已知直线l，点P在直线l外侧。 （1）一放：三角板一条直角边紧贴已知直线l； （2）二靠：直尺紧靠三角板另一条直角边，固定直尺； （3）三移：沿着直尺平移三角板，使三角板直角边经过点P； （4）四画：沿着这条直角边画出直线，这条直线就是直线l经过P点的平行线。 （三）平行公理与推论 1. 平行公理（基本事实） 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 2.理解：①“直线外一点”，如果点落在已知直线上，不存在平行线； ②“有且只有”：代表存在性+唯一性。 3. 平行公理推论（平行传递性） —————— a —————— b —————— c 如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行。 几何语言：若a‖b，c‖b，则a‖c。 四．经典例题 例1.（2025苏州姑苏区期末） 下列说法正确的是（ ） A. 不相交的两条直线叫平行线 B. 同一平面内，两条不重合直线只有相交、平行两种位置关系 C. 两条线段无交点，则线段互相平行 D. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 例2.（2025泰州姜堰期末） 过直线l外一点P画l的平行线，可画出几条（ ） A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 无数条 例3.（2024无锡锡山区期末） 已知直线a‖b，b‖c，则a与c的关系是（ ） A. 相交 B. 平行 C. 垂直 D. 无法确定 例4.下列四边形中，AB不平行于CD的是( ). A. B. C. D. 例5.（2025南京溧水期末） 在同一平面内，若MC‖AB，NC‖AB，则M、C、N三点共线，依据是________。 例6.（2025苏州昆山期末） 直线AB平行直线CD，记作：________。 例7.（2024泰州海陵期末） 同一平面内，三条互不重合直线a、b、c，若a‖c，b与a相交，则b与c一定________。 例8. 如图所示为一个长方体，这个长方体中和HD平行的棱有 条. 例9.如图，已知∠AOB=50°，点C是射线OA上一点．（1）过点C作OB的垂线，垂足为D；（2）过点D作OA的平行线DE；（3）求∠CDE的度数． 例10.如图所示，点D，E是线段AC的三等分点. (1)过点D作DF∥BC交AB于点F，过点E作EG∥BC交AB于点G. (2)量出AF，FG，GB的长度(精确到0.1cm)，你有什么发现？ (3)量出FD，GE，BC的长度(精确到0.1cm)，你有什么发现？ (4)根据(3)中发现的规律，若FD＝1.5cm，则EG＝ 3 cm，BC＝ 4.5 cm. 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2025南京玄武期末） 下列实例中存在平行线的是（ ） A. 相交的十字路口斑马线 B. 笔直公路两侧边缘 C. 相交的剪刀两边 D. 钟表相交时针分针 2.（2025苏州吴中期末） 关于平行线定义，必不可少的条件是（ ） ①同一平面内 ②两条直线 ③不相交 ④长度相等 A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 3.（2024无锡宜兴期末） 下列线段一定平行的是（ ） A. 长方形上下两条对边 B. 梯形任意两条腰 C. 三角形两条边 D. 不规则四边形邻边 4.（2026泰州高港一模） 过点A画直线m平行线，若A在m上，能画（ ） A.1条 B.0条 C.无数条 D.2条 5.（2025常州武进期末） 同一平面内，不重合两直线位置关系是（ ） A.平行、垂直 B.相交、平行 C.相交、垂直 D.平行、重合 6.（2024扬州广陵期末） 若直线a‖d，c‖d，则a与c（ ） A.重合或平行 B.相交 C.垂直 D.无关系 7.如图所示的两条平行直线用符号表示正确的是(　　) A.A∥B　　　　B.D∥B　　　C.AC∥BD　　　D.a∥b 8.如图,方格纸上,与直线a平行的直线的条数是(　　) A.4　　　　　　 　B.3　　　　　C.2　　　　　　 　D.1 （二）填空题 9.（2025南京浦口期末） 平行公理：经过_____一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 10.（2025苏州常熟期末） 斑马线多条白色线条可抽象为______。 11.（2026泰州兴化一模） 同一平面内，直线a与b无交点，则a____b。 12.（2024扬州邗江期末） 画平行线工具：直尺、______。 13.（2026盐城盐都一模） 三条直线a、b、c，a∥b，b与c无交点，则a与c____。 14.（2025镇江丹阳期末） 线段AB∥CD指：线段所在____互相平行。 15.在直线a的同侧有P、Q、R三点,若PQ∥a,QR∥a,则P、Q、R三点　　　　(填“在”或“不在”)同一条直线上. 16. 在如图所示的方格纸中,互相平行的线段有　　　　　　　　　　　　　　.  （三）解答题 17.观察如图所示的图形，然后回答问题. （1）分别找出三组互相平行、三组互相垂直的线段，并用符号把它们表示出来. （2）找出一个锐角、一个直角、一个钝角. 18.如图,P是∠ABC内一点,点Q在BA上. (1) 过点P画直线a∥BC; (2) 过点Q画直线b∥BC; (3) 观察图形,直线a与直线b平行还是相交? 19.（2024苏州期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1. (1) 过点P分别画PM∥AC，PN∥AB，PM与AB相交于点M，PN与AC相交于点N； (2) 求四边形PMAN的面积． 20.平面内的1条直线可以将平面分成2个部分，2条直线最多可以将平面分成4个部分，3条直线最多可以将平面分成7个部分……总结规律，10条直线最多可以将平面分成几个部分？ 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2025南京秦淮期末） 空间中不相交的两条直线（ ） A.一定平行 B.一定相交 C.不一定平行 D.垂直 2.（2025苏州平江期末） 下列说法符合平行公理的是（ ） A.过一点有一条直线平行已知直线 B.过直线外一点只有1条直线平行已知直线 C.无数条直线过同一点平行已知直线 D.两点确定一条平行线 3.（2024无锡新吴期末） 网格图中水平格线互相平行，依据是（ ） A.无交点，同一平面直线 B.线段长度相等 C.垂直同一条直线 D.线段端点对齐 4.（2024扬州江都期末） 长方形纸对折，折痕与上下边关系（ ） A.垂直 B.平行 C.相交不垂直 D.重合 5.（2026镇江京口一模） 同一平面内，四条直线均平行同一直线，则四条直线（ ） A.全部互相平行 B.两两相交 C.两两垂直 D.部分相交 6.（2025南通海门期末） 错误说法个数是（ ） ①同一平面不相交线段平行 ②过一点1条平行线 ③空间不相交直线平行 A.0 B.1 C.2 D.3 7.（2026宿迁宿豫一模） 直线l，点A在线上，点B在线外，分别作平行线数量（ ） A.A：1条，B：1条 B.A：0条，B：1条 C.A：1条，B：0条 D.均无数条 8．平面内三条直线的交点个数可能有（   ） A．1个或3个 B．2个或3个 C．1个或2个或3个 D．0个或1个或2个或3 9．如图，在同一平面内，过点作直线的平行线，能画（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 10. 若平面内两条直线l1,l2被第三条直线l3所截,则这三条直线把平面分成(　　) A. 5部分或6部分 B. 6部分 C. 6部分或7部分 D. 8部分 （二）填空题 11.（2025南京建邺期末） 平行线定义三要素：同一平面、两条直线、________。 12.（2025苏州吴江期末） 平行公理推论简写：平行于同一直线的两直线________。 13.（2024无锡滨湖期末） 作图时直尺作用：固定，保证三角板________。 14.（2026镇江扬中一模） 两条射线平行，是指射线所在____平行。 15.（2025南通启东期末） 同一平面内，直线m、n仅有一个公共点，则两直线____。 16.（2026连云港连云一模） 若PA‖MN，PB‖MN，且PA、PB不重合，则A、P、B三点_____。 17.如图，在下面的网格中，找出互相平行的线段，并用符号表示出来：________________． 18.在同一平面内，有三条直线a，b，c，且a∥b，如果直线a与c交于点O，那么直线c与b的位置关系是__________． 19．如图，平面镜A与B之间夹角为110°，光线经平面镜A反射到平面镜B上，再反射出去，若∠1＝∠2，则∠1的度数为_______． 20.设AB,CD,EF是同一平面内三条互相平行的直线,已知AB与CD的距离是12 cm,EF与CD的距离是5 cm,则AB与EF的距离等于　　　　cm.  （三）解答题 21．如图，已知∠AOB=50°，点C是射线OA上一点．（1）过点C作OB的垂线，垂足为D；（2）过点D作OA的平行线DE；（3）求∠CDE的度数． 22．读下列语句作图． (1)任意画一个∠AOB； (2)在角内部取一点P； (3)过点P分别作PQ∥OA，PM∥OB. 23．(1)画一画：在图①中，以P为顶点画∠P(∠P为锐角)，使∠P的两边分别和∠1的两边平行；再在图②中，以P为顶点画∠P(∠P为钝角)，使∠P的两边分别和∠1的两边平行． (2)量一量：∠1和∠P的度数，它们之间的数量关系是__________________． (3)猜一猜：如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角的数量关系是______________________． (4)做一做：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，且这个角为30°，求另外一个角的度数． 24.(1)补全如图所示的图形,使之成为长方体ABCD-A1B1C1D1的直观图; (2)写出既与棱AB异面(不在同一平面内)又与棱DD1平行的棱:　　　　　　;  (3)长方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高的比是3∶2∶1,它的所有棱长和是24厘米,求这个长方体的体积. 25．利用网格画图： (1)过点画的平行线； (2)过点画的垂线，垂足为； (3)线段的长度是点到直线____的距离； (4)连接、，在线段、、中，线段______最短，理由：______． 26．用三角尺和直尺根据要求画图（保留画图痕迹，不写画法）． (1)如图①，过点E分别画和的平行线； (2)如图②，过点A，B，C分别画，，的平行线． 27.平面上有7条不同的直线,如果其中任何三条直线都不共点. (1)请画出满足上述条件的一个图形,并数出图形中各直线之间的交点个数; (2)请再画出各直线之间的交点个数不同的图形(至少两个); (3)你能否画出各直线之间的交点个数为n的图形,其中n分别为6,21,15? (4)请根据各直线之间的交点个数的不同情况,写出你发现的规律. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026年暑假苏科版七年级数学上新生预习手册23 《第6章平面图形的初步认识第4节平行线（一）》预习讲义 一．预习目标 ( 1.掌握平行线的定义，抓住定义核心条件 “ 同一平面内 ” ，会使用平行符号规范表示两条直线平行；能说出同一平面内两条不重合直线的位置关系。 2.熟练掌握利用直尺、三角板画平行线的操作步骤，能独立过直线外一点作出已知直线的平行线。 3.理解平行公理（平行线基本事实），准确记住公理内容，辨析常见易错条件；了解平行公理推论，初步认识平行的传递性。 4.通过画图、辨析、自主探究，建立平面几何直观，规避概念常见陷阱，为后续平行线判定与性质学习打好基础。 ) 二．重点难点 ( （一） 重点 1.平行线概念、平行符号书写与读法； 2.平行线标准作图步骤； 3.平行公理内容识记与简单应用。 （二） 难点 1.理解定义中同一平面内不可或缺，区分空间中不相交直线与平行线； 2.区分线段平行、射线平行和直线平行（线段平行指所在直线平行）； 3.精准理解平行公理：过直线外一点才有唯一平行线；直线上一点无法画出已知直线的平行线。 ) 三．自主探究 （一）平行线的定义 欣赏图片：飞机的喷雾、斑马线的位置有什么共同之处 ？ 【解析】飞机的喷雾、斑马线的线条都可以看作同一平面内不相交的直线，它们的共同之处是：都可以抽象成两条或多条直线；这些直线在同一平面内，无论怎么延长，都不会相交，也就是互相平行。所以它们的共同之处是：都呈现出平行线的特征，即同一平面内不相交的直线。 在生活中，到处可见平行线，在下面的图片中，哪些图形可以看作是平平行线? 【解析】公路的边缘线、车道分隔线，秋千的吊绳都可以看作是平行线（这些图形里的线条都符合“同一平面内不相交的两条直线”这一平行线的定义）。 1.标准定义 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 在下图中，a，b两条直线互相平行，记作“a‖b”或“AB‖CD. 2.定义三大关键条件（缺一不可） （1）前提：同一平面内 如果不在同一个平面，两条不相交的直线不是平行线（这类线叫异面直线，七年级只需了解）。例：墙面竖直线与地面横线，不相交但不在同一平面，不属于平行线。 （2）核心：不相交 直线可以向两端无限延伸，无论延伸多长，永远没有交点。 线段、射线平行：指它们所在的直线不相交。比如秋千吊绳是线段，延伸后永不相交，所以互相平行。 （3）对象：两条直线 单独一条直线不能叫平行，平行是两条直线之间的位置关系。 3.易混易错辨析 （1）“不相交就平行”是错误说法 缺少“同一平面内”，空间里存在不相交也不平行的异面直线。完整正确表述：同一平面内，两条不相交的直线互相平行。 （2）重合的直线不是平行线 重合的两条直线有无数公共点，不符合“不相交”要求。 （二）动手实践——平行线的画法 1.工具：直尺、三角板 2.作图口诀：一放、二靠、三移、四画 3.示意图：已知直线l，点P在直线l外侧。 （1）一放：三角板一条直角边紧贴已知直线l； （2）二靠：直尺紧靠三角板另一条直角边，固定直尺； （3）三移：沿着直尺平移三角板，使三角板直角边经过点P； （4）四画：沿着这条直角边画出直线，这条直线就是直线l经过P点的平行线。 （三）平行公理与推论 1. 平行公理（基本事实） 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 2.理解：①“直线外一点”，如果点落在已知直线上，不存在平行线； ②“有且只有”：代表存在性+唯一性。 3. 平行公理推论（平行传递性） —————— a —————— b —————— c 如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行。 几何语言：若a‖b，c‖b，则a‖c。 四．经典例题 例1.（2025苏州姑苏区期末） 下列说法正确的是（ ） A. 不相交的两条直线叫平行线 B. 同一平面内，两条不重合直线只有相交、平行两种位置关系 C. 两条线段无交点，则线段互相平行 D. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】B 【解析】A缺少“同一平面内”；C线段无交点，延长后可能相交；D必须是直线外一点，直线上一点无平行线，故选B。 例2.（2025泰州姜堰期末） 过直线l外一点P画l的平行线，可画出几条（ ） A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 无数条 【答案】B 【解析】平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 例3.（2024无锡锡山区期末） 已知直线a‖b，b‖c，则a与c的关系是（ ） A. 相交 B. 平行 C. 垂直 D. 无法确定 【答案】B 【解析】平行公理推论：平行于同一直线的两条直线互相平行。 例4.下列四边形中，AB不平行于CD的是( ). A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A选项：这是平行四边形，平行四边形的对边互相平行，所以AB‖CD。B选项：这是梯形，梯形的上底和下底互相平行，所以AB‖CD。C选项：这是正方形，正方形的对边互相平行，所以AB‖CD。D选项：这是一般四边形，没有AB‖CD的特征。 例5.（2025南京溧水期末） 在同一平面内，若MC‖AB，NC‖AB，则M、C、N三点共线，依据是________。 【答案】经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【解析】过点C只能存在一条直线平行AB，MC、NC重合，三点共线。 例6.（2025苏州昆山期末） 直线AB平行直线CD，记作：________。 【答案】AB‖CD 【解析】平行符号“‖”书写规范。 例7.（2024泰州海陵期末） 同一平面内，三条互不重合直线a、b、c，若a‖c，b与a相交，则b与c一定________。 【答案】相交 【解析】若b‖c，则a‖b，与a、b相交矛盾，故必相交。 例8. 如图所示为一个长方体，这个长方体中和HD平行的棱有 条. 【答案】3 【解析】我们先回忆长方体的棱的特征：长方体中，互相平行的棱长度相等，且方向相同。 观察棱HD，它是竖直方向的棱，和它平行的棱有：AE，BF，CG共3条 例9.如图，已知∠AOB=50°，点C是射线OA上一点．（1）过点C作OB的垂线，垂足为D；（2）过点D作OA的平行线DE；（3）求∠CDE的度数． 解：（1）（2）如图： （3）∵CD⊥OB，∴∠CDO=90°，∵∠O=50°∴∠OCD=90°-∠O=90°-50°=40°，∵OA∥DE，∴∠CDE=∠OCD=40°． 例10.如图所示，点D，E是线段AC的三等分点. (1)过点D作DF∥BC交AB于点F，过点E作EG∥BC交AB于点G. (2)量出AF，FG，GB的长度(精确到0.1cm)，你有什么发现？ (3)量出FD，GE，BC的长度(精确到0.1cm)，你有什么发现？ (4)根据(3)中发现的规律，若FD＝1.5cm，则EG＝ 3 cm，BC＝ 4.5 cm. 解：(1)略 (2)量线段长度略，AF＝FG＝GB. (3)量线段长度略，FD∶GE∶BC＝1∶2∶3或FD＋BC＝2GE. (4)3 4.5 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2025南京玄武期末） 下列实例中存在平行线的是（ ） A. 相交的十字路口斑马线 B. 笔直公路两侧边缘 C. 相交的剪刀两边 D. 钟表相交时针分针 【答案】B 【解析】公路两侧边缘同一平面永不相交，其余选项线条相交。 2.（2025苏州吴中期末） 关于平行线定义，必不可少的条件是（ ） ①同一平面内 ②两条直线 ③不相交 ④长度相等 A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 【答案】A 【解析】平行线三要素：同一平面、两条直线、永不相交，与长度无关。 3.（2024无锡宜兴期末） 下列线段一定平行的是（ ） A. 长方形上下两条对边 B. 梯形任意两条腰 C. 三角形两条边 D. 不规则四边形邻边 【答案】A 【解析】长方形对边所在直线永不相交，梯形腰延长后相交。 4.（2026泰州高港一模） 过点A画直线m平行线，若A在m上，能画（ ） A.1条 B.0条 C.无数条 D.2条 【答案】B 【解析】平行公理前提：直线外一点，线上点无平行线。 5.（2025常州武进期末） 同一平面内，不重合两直线位置关系是（ ） A.平行、垂直 B.相交、平行 C.相交、垂直 D.平行、重合 【答案】B 【解析】垂直是相交特殊情况，重合不属于两条不同直线。 6.（2024扬州广陵期末） 若直线a‖d，c‖d，则a与c（ ） A.重合或平行 B.相交 C.垂直 D.无关系 【答案】A 【解析】若a、c为不同直线则平行，若为同一直线则重合。 7.如图所示的两条平行直线用符号表示正确的是(　　) A.A∥B　　　　B.D∥B　　　C.AC∥BD　　　D.a∥b 【答案】D 【解析】平行符号∥用于表示直线与直线的平行关系，单个字母（如A、B、D）表示点，不能用∥连接；线段（如AC、BD）的平行虽然也有表示，但题目里的是直线，用小写字母 a 、 b 表示直线时， a//b 是标准的平行表示方法。 8.如图,方格纸上,与直线a平行的直线的条数是(　　) A.4　　　　　　 　B.3　　　　　C.2　　　　　　 　D.1 【答案】B 【解析】在方格纸上，判断直线平行可以看直线的倾斜方向与斜率（或占格规律）。观察图形，直线 b 、 c 、 d 与直线 a 的倾斜方向和占格规律一致，所以与直线 a 平行的直线有3条。 （二）填空题 9.（2025南京浦口期末） 平行公理：经过_____一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 【答案】直线外 【解析】核心限定词，易漏考点。 10.（2025苏州常熟期末） 斑马线多条白色线条可抽象为______。 【答案】平行线 【解析】生活实例抽象几何图形。 11.（2026泰州兴化一模） 同一平面内，直线a与b无交点，则a____b。 【答案】∥ 【解析】平行线定义直接应用。 12.（2024扬州邗江期末） 画平行线工具：直尺、______。 【答案】三角板 【解析】基础作图工具识记。 13.（2026盐城盐都一模） 三条直线a、b、c，a∥b，b与c无交点，则a与c____。 【答案】平行 【解析】平行传递性。 14.（2025镇江丹阳期末） 线段AB∥CD指：线段所在____互相平行。 【答案】直线 【解析】易错点：线段平行是所在直线平行，不是线段本身。 15.在直线a的同侧有P、Q、R三点,若PQ∥a,QR∥a,则P、Q、R三点　　　　(填“在”或“不在”)同一条直线上. 【答案】在 【解析】因为PQ∥a,QR∥a,所以P、Q、R三点在同一条直线上(过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行). 16. 在如图所示的方格纸中,互相平行的线段有　　　　　　　　　　　　　　.  【答案】 DE∥MN,DE∥PJ,MN∥PJ,GF∥LK,HJ∥OK 【解析】我们可以通过线段的倾斜方向和占格比例来判断平行关系：AB、GF、LK：这三条线段的倾斜方向和占格比例一致，其中GF∥LK。 DE、MN、PJ：这三条线段的倾斜方向和占格比例一致，所以DE∥MN，DE∥PJ，MN∥PJ。CD、HI、OK：其中HJ∥OK。互相平行的线段有： DE∥MN，DE∥PJ，MN∥PJ，GF∥LK，HJ∥OK （三）解答题 17.观察如图所示的图形，然后回答问题. （1）分别找出三组互相平行、三组互相垂直的线段，并用符号把它们表示出来. （2）找出一个锐角、一个直角、一个钝角. 解：（1）AD∥LF，AD∥JG，AJ∥DG；AD⊥DG，AD⊥AJ，AJ⊥JG.(答案不唯一） （2）锐角∠MNO、直角∠DAJ、钝角∠LOG.（答案不唯一） 18.如图,P是∠ABC内一点,点Q在BA上. (1) 过点P画直线a∥BC; (2) 过点Q画直线b∥BC; (3) 观察图形,直线a与直线b平行还是相交? 解： (1) 如图,直线a即为所求　(2) 如图,直线b即为所求　(3) 平行 19.（2024苏州期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1. (1) 过点P分别画PM∥AC，PN∥AB，PM与AB相交于点M，PN与AC相交于点N； (2) 求四边形PMAN的面积． 解：(1) 如图，点M，点N即为所求． (2) 四边形PMAN的面积为5×7－×3×3－×2×4－×3×3－×2×4＝18. 20.平面内的1条直线可以将平面分成2个部分，2条直线最多可以将平面分成4个部分，3条直线最多可以将平面分成7个部分……总结规律，10条直线最多可以将平面分成几个部分？ 解：由图可知，有一条直线时，最多分成2部分；有两条直线时，最多分成2＋2＝4部分； 有三条直线时，最多分成1＋1＋2＋3＝7部分； 　　 设有n条直线，分成的平面最多有m个，则m＝1＋1＋…＋(n－1)＋n＝n(n＋1)＋1， 当n＝10时，×10×11＋1＝56，故10条直线最多可以将平面分成56个部分． 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2025南京秦淮期末） 空间中不相交的两条直线（ ） A.一定平行 B.一定相交 C.不一定平行 D.垂直 【答案】C 【解析】平行线定义限定同一平面，空间异面直线不相交但不平行。 2.（2025苏州平江期末） 下列说法符合平行公理的是（ ） A.过一点有一条直线平行已知直线 B.过直线外一点只有1条直线平行已知直线 C.无数条直线过同一点平行已知直线 D.两点确定一条平行线 【答案】B 【解析】平行公理标准表述，A缺少“直线外”。 3. （2024无锡新吴期末） 网格图中水平格线互相平行，依据是（ ） A.无交点，同一平面直线 B.线段长度相等 C.垂直同一条直线 D.线段端点对齐 【答案】A 【解析】平行线定义直接判定。 4.（2024扬州江都期末） 长方形纸对折，折痕与上下边关系（ ） A.垂直 B.平行 C.相交不垂直 D.重合 【答案】A 【解析】长方形折痕垂直上下两条平行长边。 5.（2026镇江京口一模） 同一平面内，四条直线均平行同一直线，则四条直线（ ） A.全部互相平行 B.两两相交 C.两两垂直 D.部分相交 【答案】A 【解析】平行传递性可推广至多条直线。 6.（2025南通海门期末） 错误说法个数是（ ） ①同一平面不相交线段平行 ②过一点1条平行线 ③空间不相交直线平行 A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】D 【解析】三条全部错误，均遗漏定义关键条件。 7.（2026宿迁宿豫一模） 直线l，点A在线上，点B在线外，分别作平行线数量（ ） A.A：1条，B：1条 B.A：0条，B：1条 C.A：1条，B：0条 D.均无数条 【答案】B 【解析】直线上点无平行线，直线外点仅有1条。 8．平面内三条直线的交点个数可能有（   ） A．1个或3个 B．2个或3个 C．1个或2个或3个 D．0个或1个或2个或3 【答案】D 【解析】当平面内三条直线平行时，交点个数为0个；当平面内三条直线交于一点时，交点个数为1个；当两条直线平行，另一条直线与之相交时，交点个数为2个；当平面内三条直线两两相交时，交点个数为3个；即平面内三条直线的交点个数可能有0个或1个或2个或3，故选：D． 9．如图，在同一平面内，过点作直线的平行线，能画（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【答案】B 【解析】根据“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”得：在同一平面内，过点作直线的平行线，只能画一条．故选：B． 10. 若平面内两条直线l1,l2被第三条直线l3所截,则这三条直线把平面分成(　　) A. 5部分或6部分 B. 6部分 C. 6部分或7部分 D. 8部分 【答案】C 【解析】分两种情况讨论：情况1：两条直线l1与l2平行，此时l3同时截l1和l2，三条直线会把平面分成6部分。情况2：两条直线l1与l2不平行（相交）此时l3与它们相交，且三条直线不共点时，三条直线会把平面分成7部分。所以这三条直线把平面分成6部分或7部分。 答案：C （二）填空题 11.（2025南京建邺期末） 平行线定义三要素：同一平面、两条直线、________。 【答案】不相交 【解析】定义核心关键词。 12.（2025苏州吴江期末） 平行公理推论简写：平行于同一直线的两直线________。 【答案】互相平行 【解析】推论标准结论。 13.（2024无锡滨湖期末） 作图时直尺作用：固定，保证三角板________。 【答案】平移 【解析】作图工具分工：直尺定位，三角板平移画线。 14.（2026镇江扬中一模） 两条射线平行，是指射线所在____平行。 【答案】直线 【解析】射线、线段平行均依托所在直线判定。 15.（2025南通启东期末） 同一平面内，直线m、n仅有一个公共点，则两直线____。 【答案】相交 【解析】两直线两种位置区分：有交点相交，无交点平行。 16.（2026连云港连云一模） 若PA‖MN，PB‖MN，且PA、PB不重合，则A、P、B三点_____。 【答案】共线 【解析】平行公理经典题型，两点确定唯一平行线。 17.如图，在下面的网格中，找出互相平行的线段，并用符号表示出来：________________． 【答案】CD∥MN，GH∥PN　 【解析】线段AB，竖直方向的长度为3个单位，水平方向的长度为1个单位，比为3∶1；线段CD，竖直方向的长度为2个单位，水平方向的长度为3个单位，比为2∶3；线段EF，竖直方向的长度为3个单位，水平方向的长度为2个单位，比为3∶2；线段GH，竖直方向的长度为2个单位，水平方向的长度为1个单位，比为2∶1；线段MN，竖直方向的长度为2个单位，水平方向的长度为3个单位，比为2∶3；线段PN，竖直方向的长度为2个单位，水平方向的长度为1个单位，比为2∶1.图中比值相同的线段是CD与MN，GH与PN，即它们的倾斜方向相同，∴CD∥MN，GH∥PN. 18.在同一平面内，有三条直线a，b，c，且a∥b，如果直线a与c交于点O，那么直线c与b的位置关系是__________． 【答案】相交　 【解析】两直线平行，如果第三条直线与平行线中的一条相交，那么与另一条也相交． 19．如图，平面镜A与B之间夹角为110°，光线经平面镜A反射到平面镜B上，再反射出去，若∠1＝∠2，则∠1的度数为_______． 【答案】35° 【解析】由反射角等于入射角，可得：∠1=∠3，∠2=∠4，∵∠1=∠2，∴∠3=∠4，∵∠AOB=110°，∠AOB+∠3+∠4=180°，∴∠3+∠4=70°，∴∠3=35°，∴∠1=35°．故答案为：35° 20.设AB,CD,EF是同一平面内三条互相平行的直线,已知AB与CD的距离是12 cm,EF与CD的距离是5 cm,则AB与EF的距离等于　　　　cm.  【答案】　7或17 【解析】分两种情况:①当EF在AB,CD之间时,如图:∵AB与CD的距离是12 cm,EF与CD的距离是5 cm,∴EF与AB的距离为12-5=7(cm). ②当AB,CD在EF同侧时,如图:∵AB与CD的距离是12 cm,EF与CD的距离是5 cm,∴EF与AB的距离为12+5=17(cm).综上所述,EF与AB的距离为7 cm或17 cm. （三）解答题 21．如图，已知∠AOB=50°，点C是射线OA上一点．（1）过点C作OB的垂线，垂足为D；（2）过点D作OA的平行线DE；（3）求∠CDE的度数． 解：（1）（2）如图： （3）∵CD⊥OB，∴∠CDO=90°，∵∠O=50°∴∠OCD=90°-∠O=90°-50°=40°，∵OA∥DE，∴∠CDE=∠OCD=40°． 22．读下列语句作图． (1)任意画一个∠AOB；(2)在角内部取一点P；(3)过点P分别作PQ∥OA，PM∥OB. 解：(1)(2)(3)如图所示． 23．(1)画一画：在图①中，以P为顶点画∠P(∠P为锐角)，使∠P的两边分别和∠1的两边平行；再在图②中，以P为顶点画∠P(∠P为钝角)，使∠P的两边分别和∠1的两边平行． (2)量一量：∠1和∠P的度数，它们之间的数量关系是__________________． (3)猜一猜：如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角的数量关系是______________________． (4)做一做：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，且这个角为30°，求另外一个角的度数． 解：(1)如图所示．(答案不唯一) (2)∠1＝∠P或∠1＋∠P＝180° (3)相等或互补 (4)另一个角为30°或150°. 24.(1)补全如图所示的图形,使之成为长方体ABCD-A1B1C1D1的直观图; (2)写出既与棱AB异面(不在同一平面内)又与棱DD1平行的棱:　　　　　　;  (3)长方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高的比是3∶2∶1,它的所有棱长和是24厘米,求这个长方体的体积. 解：(1)补全图形如图: (2)既与棱AB异面又与棱DD1平行的棱是CC1. (3)24÷4=6(厘米),6×=3(厘米),6×=2(厘米),6×=1(厘米),3×2×1=6(立方厘米),所以长方体的体积是6立方厘米. 25．利用网格画图： (1)过点画的平行线； (2)过点画的垂线，垂足为； (3)线段的长度是点到直线____的距离； (4)连接、，在线段、、中，线段______最短，理由：______． 解：（1）如图，即为所求作的平行线；（2）如图，即为所求作的垂线；（3）线段的长度是点到直线的距离； 故答案为：（4）连接、，在线段、、中，线段最短，理由：垂线段最短．故答案为：，垂线段最短． 26．用三角尺和直尺根据要求画图（保留画图痕迹，不写画法）． (1)如图①，过点E分别画和的平行线； (2)如图②，过点A，B，C分别画，，的平行线． 解：（1）作图如下：（2）解：如图所示： 27.平面上有7条不同的直线,如果其中任何三条直线都不共点. (1)请画出满足上述条件的一个图形,并数出图形中各直线之间的交点个数; (2)请再画出各直线之间的交点个数不同的图形(至少两个); (3)你能否画出各直线之间的交点个数为n的图形,其中n分别为6,21,15? (4)请根据各直线之间的交点个数的不同情况,写出你发现的规律. 解　(1)答案不唯一.如图1所示,交点共有6个. (2)答案不唯一.如图2,图3. (3)当n=6时,必须有6条直线相互平行,如图4. 当n=21时,必须使7条直线中的每2条直线都相交(即无任何两条直线平行),如图5.当n=15时,如图6. (4)答案不唯一.如:可得到以下规律: ①当7条直线都相互平行时,交点个数是0,此时交点最少. ②当7条直线每两条都相交时,交点个数为21,此时交点最多. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $