第6章 平面图形的初步认识——线段的计算 专题复习讲义 2026—-2027学年苏科版七年级数学上册

第6章 平面图形的初步认识——线段的计算 专题复习讲义 —学年苏科版七年级数学上册 教师详解版 内容导航 一、知识梳理 1 二、典例与变式 3 中点与线段和差 3 位置不确定时分类计算 5 多个中点与线段整体关系 7 列一元一次方程解决线段问题 9 A组 基础巩固 11 B组 能力提升 14 C组 综合运用 18 D组 考试衔接 22 一、知识梳理 一、点的位置决定线段的和与差 若在线段内部，则与拼成，所以。若在的延长线上，即点序为、、，则与拼成，所以。只有“三点在同一直线上”，还不足以选定这两种关系中的哪一种。 例如，，。在、之间时，；在外侧时，。相同长度条件，由于点序不同，所求长度可能不同。 线段的长度是非负数。计算差时，应先判断哪条长，再用长线段减短线段；不能把方向不同直接写成负的线段长度。 二、中点同时给出位置与等量关系 是线段的中点，表示在线段上，并且。因此，也可以写成。中点只平分题目指定的那一条线段，不能因为画在整幅图中间，就把它看成其他线段的中点。 例如，点序为、、，，，为的中点。 先得，再得，故。这里不是的中点。 判断中点时，应同时检查“点位于指定线段上”和“分成的两段相等”这两个条件，再使用倍半关系。 三、先用简单关系，必要时列一元一次方程 一个中点常把所求段转化为另一条段的一半或两倍；两个中点有公共小段时，可能先得到几条小段相等，不必急着设许多未知数。 例如，点、、、依次排列，是的中点，是的中点，则，，三段相等。若，每段都为。 当题目给出一条线段是另一条线段的几倍多或少几厘米，而相关线段的长度还未知时，可以设一个基本小段或所求整段的长度为，用中点与和差关系表示其他线段，再根据题目中的相等关系列一元一次方程。不要因图中有几个未知长度就设几个未知数；也不必把直接能算出的倍半关系绕成复杂方程。 例如，在线段内部，，比的倍短。设，则。因为，所以， 解得，故，。 两段均为正，且总长为，符合在内部。 未知点的位置若不确定，先判断哪些和差关系可能成立，再分别列式。中点的母线段改变时，中点本身也可能改变位置，不能只凭原图决定加减。解得数值后，除检查等式外，还须检查长度是否为正、点是否在指定的线段或射线上，以及题目是否允许点与端点重合。 四、线段、射线与直线的范围不同 “点在线段上”包括与端点重合的情况；若题目说明不与、重合，则只考虑内部。“点在射线上”允许位于线段上或的外侧，但不允许在的反向延长线上；“点在直线上”还需考虑的外侧。是否允许点与端点重合，以题目文字为准。 遇到位置未定的问题，应先列出题意允许的位置，再写各自的和差关系。已给额外大小关系时，有些位置可提前排除。例如在外侧，总有；若题目给出的不是，就不必在这个位置继续解方程。 中点的位置也应重新检查。在外，不代表的中点一定在外；当小于时，的中点仍在内部。判断后才决定求用还是。 五、重叠线段与多个中点 若、、、依次排列，与相加时，被算了两次，而只包含一次，所以。这类关系来自小段的实际组成，不是看图外观猜测。 例如，，，则，即使、各自未知，这个总和仍可确定。目标只需要总和时，不要多求不能单独确定的长度。 还可以从同一个起点分别表示两个中点的位置，再用长线段减短线段。 例如，点、、、在同一直线上依次排列，，，，是的中点，是的中点。先得，所以；再得，所以。因为，在线段上，故。这里平分外层线段，平分内层线段，仍只需中点与线段和差关系。 若再加入两个中点，应分别写明每个中点平分哪一条线段，按目标段经过的小段进行加减。改变中点所属线段后，原先加上的一段可能变为要减去的一段，不能套一个不看条件的公式。多个位置得到相同答案，也要确认所有合法位置都已覆盖。 示意图用于表达题目给出的条件，不能直接量图代替计算，也不能凭图中看起来相等就添加等长条件。 二、典例与变式 图均为示意图。点的位置以题目文字条件为准；位置未定的题，学生图只画出一种构型。 一、中点与线段和差 例1、 点、、、在同一直线上依次排列，，，。点是线段的中点，求和的长。 【答案】，。 【解析】，。 ，。 变式1-1、 点是线段的中点，点在线段上，且不与、重合。已知，，求的长。 【答案】。 【解析】，。 变式1-2、 点、、、在同一直线上依次排列，点是线段的中点，点是线段的中点。已知，求的长。 【答案】。 【解析】由两个中点得，由这三段组成，故。 变式1-3、 点、、在同一直线上依次排列，点、分别是线段、的中点。已知，比长，求和的长。 【答案】，。 【解析】，故。 去掉两段长度差后，剩下是的倍，，。 也可设为，用一个一元一次方程求解。 二、位置不确定时分类计算 例2、 已知，点在射线上，，点是线段的中点。求的所有可能长度。 【答案】或。 【解析】在线段内部时，，， 。 在的右侧时，，，。 因，射线条件下两种位置都存在。 例的另一种合法位置。 变式2-1、 已知，点在直线上，，且。点是线段的中点，求的长。 【答案】。 【解析】由，在两侧时分别为、。 排除前者，故点序 ，。 变式2-2、 已知，点在射线上，且。点是线段的中点，求的所有可能长度。 【答案】或。 【解析】在内部时，，结合，得、，。 在外侧时，，结合，得、，。 不可能与、重合。 变式的另一种合法位置。 变式2-3、 已知，点在直线上，比长。点是线段的中点，求的长。 【答案】。 【解析】若在外侧，则，不符；若在外侧，则，也不符。 因此在内部。 由、，得。 ，。 可先由得，避免方程组。 三、多个中点与线段整体关系 例3、 点、、、在同一直线上依次排列，，。点、分别是线段、的中点，求的长。 【答案】。 【解析】。 。 不需要分别求、。 变式3-1、 点、、、在同一直线上依次排列，，。点、分别是线段、的中点，求的长。 【答案】。 【解析】设，，则。 由中点，，。 ，故在左侧，。 此处、只作线段表达，不求它们。 变式3-2、 点、、、在同一直线上依次排列，。点、分别是线段、的中点，，求的长。 【答案】。 【解析】因为是的中点，是的中点，所以，。 因此 。 、均大于，所以，在的前面，。 又因为，所以，（）。 变式3-3、 已知，点在直线上，且不与、重合。点、分别是线段、的中点，求的长。 【答案】。 【解析】在外侧时，。 在内部时，。 在外侧时，。 因此各种合法位置下均为。 在的外侧。 在的外侧。 四、列一元一次方程解决线段问题 例4、 已知，点在线段内部，点是线段的中点。若比的倍长，求和的长。 【答案】，。 【解析】设。 因为是的中点，所以，。 在内部，故。 由比的倍长，得，解得。 因此，。 两段长度均为正，确在线段内部。 变式4-1、 已知，点是线段的中点，点在线段内部。若比的倍长，求和的长。 【答案】，。 【解析】。 设。 因为在内部，所以。 由题意，得，解得。 因此，。 所得小于，确在线段内部。 变式4-2、 已知，点是线段的中点，点在线段内部。若比的倍长，求的所有可能长度。 【答案】或。 【解析】。 设。 若在、之间，则，由题意得，解得。 若在、之间，则，得，解得。 若与重合，则、，不符合条件。 和分别符合上述两种内部位置，所以为或。 在、之间的另一种合法位置。 变式4-3、 已知，点在射线上，且不与、重合，点是线段的中点。若比的倍短，求的长。 【答案】。 【解析】设，则，。 若在线段上，则，由题意得，解得，故。 若在外侧，则，得，解得。 线段的长度不可能为负数，故舍去。 时，，，满足；在射线上且不与、重合。 因此。 待检位置（排除）：在的外侧，方程算得负长度，不符合条件。 A组 基础巩固 A1、 点、、、在同一直线上依次排列。下列关系中一定成立的是（　　）。 ．　　． ．　　． 【答案】。 【解析】，所以，选。 其余式子均与已给点序不符。 A2、 点是线段的中点，点是线段的中点。 已知，则________。 【答案】。 【解析】，，。 A3、 点是线段的中点，，。求的值及的长。 【答案】，。 【解析】由，得，解得。 ，，两段长度均为正。 A4、 点、、、在同一直线上依次排列，，，，则________。 【答案】。 【解析】与相加，公共段被算了两次，所以。 A5、 点在线段内部，，，点是线段的中点。 则的长为（　　）。 ．　　．　　．　　． 【答案】。 【解析】，。 因，点序为、、、，所以。 A6、 点、、、在同一直线上依次排列，，，。点是线段的中点，求的长。 【答案】。 【解析】，故。 ，，。 A7、 点、、在同一直线上依次排列，。点、分别是线段、的中点，，则________。 【答案】。 【解析】，，且。 ，故。 求不必先使用。 A8、 已知，点在射线上，，点是线段的中点。则的长为（　　）。 ．　　．　　．　　． 【答案】。 【解析】，在外侧，因此。 B组 能力提升 B1、 点、、、在同一直线上依次排列，，。点是线段的中点，点是线段的中点，则________。 【答案】。 【解析】设，则，。 ，故在左侧，。 这里只把表示出来，不必求其值。 B2、 已知，点是线段的中点，点是线段的中点。点在直线上，且。求及的所有可能长度。 【答案】、；或、。 【解析】，，。 若在外侧，则，不可能满足。 若在、之间，，得、，。 若在外侧，，得、，。 与或重合也不满足条件。 两种所得位置均合法。 的另一种合法位置。 B3、 点、、在同一直线上，三点互不重合，，。点是线段的中点，求的所有可能长度。 【答案】或。 【解析】以在右侧画图。 、在同侧时，点序、、、，，。 、在异侧时，，，点序、、、，。 左右同时翻转不产生新长度。 的另一种合法位置。 B4、 点、、、在同一直线上依次排列，，，。点是线段的中点，求和的长。 【答案】，。 【解析】，由得，。 ，所以，。 B5、 点、在线段内部，且、不重合。已知，，，则的所有可能长度为________。 【答案】或。 【解析】在左侧时，点序、、、，。 在左侧时，，所以。 此时、，仍满足、均在内部。 的另一种合法位置。 B6、 点、、、在同一直线上依次排列，，，。点是线段的中点，求的长。 【答案】。 【解析】；，。 因此。 也可先用得到，但不必绕行求全部小段。 B7、 点、、、、在同一直线上依次排列，点是线段的中点，点是线段的中点。已知，，求和的长。 【答案】，。 【解析】。 是中点，故，。 ，是中点，故。 B8、 已知，点是线段的中点。在线段内部取点，点是线段的中点。满足的点共有（　　）。 ．个　　．个　　．个　　．无数个 【答案】。 【解析】在内部，所以，在内部。 。 若，则，只能有与重合；这不符合在内部。 因此没有这样的点。 C组 综合运用 C1、 点、、、在同一直线上依次排列。点、分别是线段、的中点，点、分别是线段、的中点。已知，，，求和的所有可能长度。 【答案】、；或、。 【解析】，所以，，。 为中点，。 给出或，故或。 再由，分别为或。 两组都使、、、依次排列，且所给三个距离均成立。 的另一种合法位置。 C2、 已知，点在射线上，且不与、重合。点是线段的中点，点是线段的中点。若，求的长。 【答案】。 【解析】设，则。 、都在射线上，不论二者先后，的中点到的距离均为；这一式分别由内侧“”和外侧“”可得。 若在右侧，，得；若在左侧，，得。 后一值意味着与重合，应舍去。 时、、，符合全部条件。 C3、 已知，点是线段的中点。点在直线上，且不与、重合， 点、分别是线段、的中点。若， 求和的所有可能长度。 【答案】、；或、。 【解析】若在内部，在内部、在内部，，，因此，与不符。 若在外侧，设，则，，所以，得、。 若在外侧，设，则，，同样得到、。 两种外侧位置均符合条件。 的另一种合法位置。 C4、 已知，点、在线段内部，且、不重合，二者的先后顺序未定。点是线段的中点，点是线段的中点。 若，，求、、的长。 【答案】，，。 【解析】因、都在内部，，，所以一定在左侧。 ，得。 又，故，说明在右侧，。 设，则，。 由得，。 于是。 全部长度为正，点序确为、、、。 C5、 已知，点在线段内部。点、分别是线段、的中点，点、分别是线段、的中点。若，求的所有可能长度。 【答案】或。 【解析】设。 由中点逐层计算，，，，， 因此始终在左侧。 若在右侧，则，不可能满足，与或重合也不满足。 若在左侧，，得， 此时、，确有在左侧。 若在、之间，，得，此时、，确有在左侧、在右侧。 两值均满足在内部。 的另一种合法位置。 C6、 已知，点、在线段内部，且、不重合，二者的先后顺序未定。点是线段的中点，点是线段的中点，，。点、分别是线段、的中点。 （1）求的所有可能长度。 （2）分别求与各个值对应的的长。 【答案】（1）、、或。（2）或时，；或时，。 【解析】。 ，所以或。 又，且、分别在两侧：时或；时或，四种都满足、在内部。 若在左侧，，故；若在左侧，，故。 、对应在左侧；、对应在左侧。 四构型全部有效，不能只按在两侧列两种。 的另一种合法位置。 的另一种合法位置。 的另一种合法位置。 D组 考试衔接 D1、 【年月 北京西城区七年级期末，第题（2）节选整理】 已知线段、（），点在射线上，，点是线段的中点。若，，则________。 【答案】。 【解析】（）。 因为是的中点，所以。 D2、 【年月 北京延庆初一（上）期末，第题】 已知：点、、在同一条直线上，，，为的中点。求的长。 【答案】或。 【解析】因为，所以不可能在的外侧。 若在线段内部，则，。 若在的外侧，则，。 两种位置都符合题意，所以的长为或。 的另一种合法位置。 D3、 【年月 北京延庆初一（上）期末，第题（1）（2）节选】 对于数轴上两条线段、，给出如下定义：点是线段的中点，点是线段上一点，设点与点之间的距离为，若的最小值不超过，则称线段是线段的“近中线段”。 如图，在数轴上点、、表示的数分别为、、。 （1）若点表示的数为，线段________线段的“近中线段”。（填“是”或“不是”） （2）若点表示的数为，线段是线段的“近中线段”，求满足条件的的最小值和最大值。 【答案】（1）是；（2）的最小值为，最大值为。 【解析】（1），为的中点，所以，表示的数为。 在线段上，可以取与重合，此时，最小值不超过，故填“是”。 （2）若在线段上，的最小值为；若在的左侧，的最小值为，要不超过，最远只能到表示的点；若在的右侧，的最小值为，要不超过，最远只能到表示的点。 因此的位置在表示与的两个点之间，包括这两个端点。 当最靠左、表示时，，，表示。 当最靠右、表示时，，，表示。 所以的最小值为，最大值为。 表示时，表示，可与重合。 最靠左、表示时，表示。 最靠右、表示时，表示。 D4、（原创题型训练） 点、、在同一直线上，，点在线段外部，点是线段的中点。已知，求和的长。 【答案】，。 【解析】先判断点的位置。 若在的外侧，在线段内部，，不可能有。 因此只能在的外侧。 若也在的外侧，则在、之间，仍有，不符合条件；若与重合，则而，也不符合。 所以点序只能是、、、。 设，则，。 是的中点，故。 由，得，解得。 因此，。 检查、，满足；在线段外部。 待检位置（排除）：在的外侧，，不能满足。 待检位置（排除）：、都在的外侧，，不符合条件。 待检位置（排除）：与重合，而，不符合条件。 第 1 页 共 25 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 平面图形的初步认识——线段的计算 专题复习讲义 —学年苏科版七年级数学上册 学生版 内容导航 一、知识梳理 1 二、典例与变式 3 中点与线段和差 3 位置不确定时分类计算 5 多个中点与线段整体关系 6 列一元一次方程解决线段问题 7 A组 基础巩固 9 B组 能力提升 11 C组 综合运用 14 D组 考试衔接 17 一、知识梳理 一、点的位置决定线段的和与差 若在线段内部，则与拼成，所以。若在的延长线上，即点序为、、，则与拼成，所以。只有“三点在同一直线上”，还不足以选定这两种关系中的哪一种。 例如，，。在、之间时，；在外侧时，。相同长度条件，由于点序不同，所求长度可能不同。 线段的长度是非负数。计算差时，应先判断哪条长，再用长线段减短线段；不能把方向不同直接写成负的线段长度。 二、中点同时给出位置与等量关系 是线段的中点，表示在线段上，并且。因此，也可以写成。中点只平分题目指定的那一条线段，不能因为画在整幅图中间，就把它看成其他线段的中点。 例如，点序为、、，，，为的中点。 先得，再得，故。这里不是的中点。 判断中点时，应同时检查“点位于指定线段上”和“分成的两段相等”这两个条件，再使用倍半关系。 三、先用简单关系，必要时列一元一次方程 一个中点常把所求段转化为另一条段的一半或两倍；两个中点有公共小段时，可能先得到几条小段相等，不必急着设许多未知数。 例如，点、、、依次排列，是的中点，是的中点，则，，三段相等。若，每段都为。 当题目给出一条线段是另一条线段的几倍多或少几厘米，而相关线段的长度还未知时，可以设一个基本小段或所求整段的长度为，用中点与和差关系表示其他线段，再根据题目中的相等关系列一元一次方程。不要因图中有几个未知长度就设几个未知数；也不必把直接能算出的倍半关系绕成复杂方程。 例如，在线段内部，，比的倍短。设，则。因为，所以， 解得，故，。 两段均为正，且总长为，符合在内部。 未知点的位置若不确定，先判断哪些和差关系可能成立，再分别列式。中点的母线段改变时，中点本身也可能改变位置，不能只凭原图决定加减。解得数值后，除检查等式外，还须检查长度是否为正、点是否在指定的线段或射线上，以及题目是否允许点与端点重合。 四、线段、射线与直线的范围不同 “点在线段上”包括与端点重合的情况；若题目说明不与、重合，则只考虑内部。“点在射线上”允许位于线段上或的外侧，但不允许在的反向延长线上；“点在直线上”还需考虑的外侧。是否允许点与端点重合，以题目文字为准。 遇到位置未定的问题，应先列出题意允许的位置，再写各自的和差关系。已给额外大小关系时，有些位置可提前排除。例如在外侧，总有；若题目给出的不是，就不必在这个位置继续解方程。 中点的位置也应重新检查。在外，不代表的中点一定在外；当小于时，的中点仍在内部。判断后才决定求用还是。 五、重叠线段与多个中点 若、、、依次排列，与相加时，被算了两次，而只包含一次，所以。这类关系来自小段的实际组成，不是看图外观猜测。 例如，，，则，即使、各自未知，这个总和仍可确定。目标只需要总和时，不要多求不能单独确定的长度。 还可以从同一个起点分别表示两个中点的位置，再用长线段减短线段。 例如，点、、、在同一直线上依次排列，，，，是的中点，是的中点。先得，所以；再得，所以。因为，在线段上，故。这里平分外层线段，平分内层线段，仍只需中点与线段和差关系。 若再加入两个中点，应分别写明每个中点平分哪一条线段，按目标段经过的小段进行加减。改变中点所属线段后，原先加上的一段可能变为要减去的一段，不能套一个不看条件的公式。多个位置得到相同答案，也要确认所有合法位置都已覆盖。 示意图用于表达题目给出的条件，不能直接量图代替计算，也不能凭图中看起来相等就添加等长条件。 二、典例与变式 图均为示意图。点的位置以题目文字条件为准；位置未定的题，学生图只画出一种构型。 一、中点与线段和差 例1、 点、、、在同一直线上依次排列，，，。点是线段的中点，求和的长。 变式1-1、 点是线段的中点，点在线段上，且不与、重合。已知，，求的长。 变式1-2、 点、、、在同一直线上依次排列，点是线段的中点，点是线段的中点。已知，求的长。 变式1-3、 点、、在同一直线上依次排列，点、分别是线段、的中点。已知，比长，求和的长。 二、位置不确定时分类计算 例2、 已知，点在射线上，，点是线段的中点。求的所有可能长度。 变式2-1、 已知，点在直线上，，且。点是线段的中点，求的长。 变式2-2、 已知，点在射线上，且。点是线段的中点，求的所有可能长度。 变式2-3、 已知，点在直线上，比长。点是线段的中点，求的长。 三、多个中点与线段整体关系 例3、 点、、、在同一直线上依次排列，，。点、分别是线段、的中点，求的长。 变式3-1、 点、、、在同一直线上依次排列，，。点、分别是线段、的中点，求的长。 变式3-2、 点、、、在同一直线上依次排列，。点、分别是线段、的中点，，求的长。 变式3-3、 已知，点在直线上，且不与、重合。点、分别是线段、的中点，求的长。 四、列一元一次方程解决线段问题 例4、 已知，点在线段内部，点是线段的中点。若比的倍长，求和的长。 变式4-1、 已知，点是线段的中点，点在线段内部。若比的倍长，求和的长。 变式4-2、 已知，点是线段的中点，点在线段内部。若比的倍长，求的所有可能长度。 变式4-3、 已知，点在射线上，且不与、重合，点是线段的中点。若比的倍短，求的长。 A组 基础巩固 A1、 点、、、在同一直线上依次排列。下列关系中一定成立的是（　　）。 ．　　． ．　　． A2、 点是线段的中点，点是线段的中点。 已知，则________。 A3、 点是线段的中点，，。求的值及的长。 A4、 点、、、在同一直线上依次排列，，，，则________。 A5、 点在线段内部，，，点是线段的中点。 则的长为（　　）。 ．　　．　　．　　． A6、 点、、、在同一直线上依次排列，，，。点是线段的中点，求的长。 A7、 点、、在同一直线上依次排列，。点、分别是线段、的中点，，则________。 A8、 已知，点在射线上，，点是线段的中点。则的长为（　　）。 ．　　．　　．　　． B组 能力提升 B1、 点、、、在同一直线上依次排列，，。点是线段的中点，点是线段的中点，则________。 B2、 已知，点是线段的中点，点是线段的中点。点在直线上，且。求及的所有可能长度。 B3、 点、、在同一直线上，三点互不重合，，。点是线段的中点，求的所有可能长度。 B4、 点、、、在同一直线上依次排列，，，。点是线段的中点，求和的长。 B5、 点、在线段内部，且、不重合。已知，，，则的所有可能长度为________。 B6、 点、、、在同一直线上依次排列，，，。点是线段的中点，求的长。 B7、 点、、、、在同一直线上依次排列，点是线段的中点，点是线段的中点。已知，，求和的长。 B8、 已知，点是线段的中点。在线段内部取点，点是线段的中点。满足的点共有（　　）。 ．个　　．个　　．个　　．无数个 C组 综合运用 C1、 点、、、在同一直线上依次排列。点、分别是线段、的中点，点、分别是线段、的中点。已知，，，求和的所有可能长度。 C2、 已知，点在射线上，且不与、重合。点是线段的中点，点是线段的中点。若，求的长。 C3、 已知，点是线段的中点。点在直线上，且不与、重合， 点、分别是线段、的中点。若， 求和的所有可能长度。 C4、 已知，点、在线段内部，且、不重合，二者的先后顺序未定。点是线段的中点，点是线段的中点。 若，，求、、的长。 C5、 已知，点在线段内部。点、分别是线段、的中点，点、分别是线段、的中点。若，求的所有可能长度。 C6、 已知，点、在线段内部，且、不重合，二者的先后顺序未定。点是线段的中点，点是线段的中点，，。点、分别是线段、的中点。 （1）求的所有可能长度。 （2）分别求与各个值对应的的长。 D组 考试衔接 D1、 【年月 北京西城区七年级期末，第题（2）节选整理】 已知线段、（），点在射线上，，点是线段的中点。若，，则________。 D2、 【年月 北京延庆初一（上）期末，第题】 已知：点、、在同一条直线上，，，为的中点。求的长。 D3、 【年月 北京延庆初一（上）期末，第题（1）（2）节选】 对于数轴上两条线段、，给出如下定义：点是线段的中点，点是线段上一点，设点与点之间的距离为，若的最小值不超过，则称线段是线段的“近中线段”。 如图，在数轴上点、、表示的数分别为、、。 （1）若点表示的数为，线段________线段的“近中线段”。（填“是”或“不是”） （2）若点表示的数为，线段是线段的“近中线段”，求满足条件的的最小值和最大值。 D4、（原创题型训练） 点、、在同一直线上，，点在线段外部，点是线段的中点。已知，求和的长。 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $