第6章 平面图形的初步认识数学探究 鸡蛋饼的分割 教案 2024-2025学年苏科版（2024）七年级数学上册

苏科版七上 第六章 平面图形的初步认识 数学探究《鸡蛋饼的分割》   一、教学目标 1. 进一步巩固本章所学的基本概念; 2. 经历从生活中发现问题，将生活问题转化为几何问题的过程，培养抽象能力.   二、学习目标 1. 经历直线分平面的过程，将数学复杂问题简单化； 2. 学会将生活问题抽象成数学问题.   三、教学重点 从实际情境中抽象出数学问题，从具体情境中探究一般规律.   四、教学难点 通过具体操作，从简单的情形入手，建立数学模型.   五、教学过程 1、 情境导入 早晨，小明帮妈妈将鸡蛋饼切成6块，分给弟弟和妹妹吃.爱动脑的小明思考：如果每次都沿直线切割，而且切块大小不要求相同，那么切3刀最多可以将鸡蛋饼分成多少块呢？ 数学问题： 鸡蛋饼可以看成一个圆面，分割的每一刀都可以抽象为一条直线，鸡蛋饼的分割问题实际上是直线分平面区域问题. 师生活动：学生代表讲，其他同学倾听． 设计意图：引导学生自主将实际问题进行抽象，从实际情境中发现问题、提出问题. 2、 新知探究 探究1. 一条直线上有n个点可以将这条直线分成多少段？ 线段上点的个数 1 2 3 4 5 ... n 直线被分成段数 2 3 4 5 6 ... n+1 答：一条直线上有n个点可以将这条直线分成(n+1)段. 师生活动：师生互动，交流讨论. 设计意图：探究点分直线问题为学习直线分平面问题做铺垫. 探究2. 平面上三条直线有哪几种不同的位置关系？分别画出相应的图形. 答：平面上三条直线的位置关系有：平行和相交.交点个数分别为：0,1,2,3. 师生活动：师生互动，交流讨论. 设计意图：探究直线的位置关系为学习直线分平面做铺垫. 探究3. 一个平面上的若干条直线最多可以将这个平面分成多少个区域？ 分割线条数 1 2 3 4 5 … 区域个数 2 4 7 11 ？ … n条直线呢？ 图形 直线(条) 1条 2条 3条 4条 5条 交点(个) 0个 1个 (1+2)个 (1+2+3)个 (1+2+3+4)个 平面分成区域数(块) 1+1 1+1+2 1+1+2+3 1+1+2+3+4 1+1+2+3+4+5 一个平面上的n条直线最多可以将这个平面分成[]个区域. 思考：切3刀鸡蛋饼最多被分成多少块呢？4刀呢？ 答：7块；11块. 通过探究过程，探究一般规律的方法: (1)每多出一条直线，需要分析这条直线被它与之前所在直线的交点分成了多少段，每一段对应多出一块区域.由此，直线分平面区域的问题就转化成了点分直线的问题. (2)探究的是切n刀将鸡蛋饼分成的块数最多的问题，所以要保证每多出一条直线，就要与前面的直线都相交，且交于不同的点，因此要理清直线之间的位置，思考如何保证分割的块数最多. 师生活动：师生互动，交流讨论. 设计意图：运用类比法将直线分平面问题转化为点分直线问题，教师引导学生从简单的情形入手，探究一般的规律，培养学生的推理能力. 三、应用举例： 例1 2条直线相交，有1个交点；3条直线相交，最多有3个交点；n条直线相交最多有多少个交点？ 解：∵2条直线相交时，最多有1个交点； 3条直线相交时，最多有1+2=3个交点； 4条直线相交时，最多有1+2+3=6个交点； ∴5条直线相交时，最多有1+2+3+4=10个交点； 6条直线相交时，最多有1+2+3+4+5=15个交点； 7条直线相交时，最多有1+2+3+4+5+6=21个交点；… n条直线相交，交点最多有1+2+3+4+…+(n−1)=个交点． 变式：在实际生活中同样存在数学规律型问题，请你类比上述规律探究，计算：某校七年级举办篮球比赛，第一轮要求每两班之间比赛一场，若七年级共有16个班，则这一轮共要进行多少场比赛？ 解：将n＝16代入得=120，∴这一轮共要进行120场比赛． 师生活动：老师提问，学生举手回答问题． 设计意图：培养学生的应用意识. 四、课堂练习 1. a，b，c为同一平面内的任意三条直线，那么它们的交点可能有(       )个． A．1，2或3 B．0，1，2或3 C．1或2 D．以上都不对 2. 平面内两两相交的7条直线，其交点个数最少是m个，最多是n个，则m+n的值为(　　) A．18 B．20 C．22 D．24 3.观察下列图形，阅读下面相关文字并填空： 在同一平面内，1条直线把平面分成2部分，两条直线最多把平面分成4部分，3条直线最多把平面分成______部分，4条直线最多把平面分成______部分，……，像这样，8条直线最多把平面分成______部分，n条直线最多把平面分成 部分． 4.(1)如果一个平面内的10条直线将平面分成了50个部分，再增加2条直线，则该平面至多被分成 个部分． (2)如果一个平面被直线分成了497部分，那么直线的条数至少有 条． 5. (1) 5条直线和1个圆最多可以把平面分割成 个部分; (2) m条直线和n个圆最多可以把平面分割成 个部分(用m、n的代数式表示)． 1.B 解析： 2. C 解析：平面内两两相交的7条直线，其交点个数最少是1个，即m＝1；平面内两两相交的7条直线，其交点个数最多是1+2+3+4+5+6＝21(个)，即n＝21，所以m+n＝22. 所以选C 3. 7、11、37、 4. (1)73; (2)31条. 解析：(1)根据10条直线将平面分成了50个部分，少了6个部分，再按12条直线，计算出平面的个数减去6，即可得出结论； (2)根据公式1+​=497，那计算得出结果即可； 5.(1)26 ; (2). 解析：(1)一条直线和一个圆最多将平面分成2+2×1＝4个部分，两条直线和一个圆最多将平面分成4+2×2＝8部分...... 五条直线和一个圆最多将平面分成16+2×5＝26个部分； (2)当m＝0时，m条直线和n个圆最多可以把平面分割成(n2-n+2)个部分；当m≠0时，m条直线和n个圆最多可以把平面分割成()个部分. 师生活动：学生独立完成，教师批阅. 设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对本节课的理解及应用. 五、课堂小结 设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识. 六、课后作业 完成课本上的相关练习题；   六、教学反思 1.实例引入：使用生活中的实例来引入，使抽象的分割问题更易于理解.例如，将鸡蛋饼看成是一个圆面. 2.活动式学习：设计一些实践活动，让学生在操作中学习数学，鼓励学生动手分平面区域，这样既能提高学生的动手能力，也能加深他们对知识的理解. 3.鼓励提问：鼓励学生运用类比点分直线法探究线分平面的规律，类比所学将平面拓展到空间，培养他们的观察力和思考力，同时也能激发他们解决问题的欲望. 4.联系生活实际：在解决问题时，引导学生将所学知识与生活实际相联系，帮助他们建立数学知识与实际问题之间的桥梁. 通过这样的生活观察和教学反思，我们可以使数学教学更加生动有趣，同时也能帮助学生建立起数学思维，提高他们的数学素养. 学科网（北京）股份有限公司 $$