第14讲 平面图形的初步认识(2) 讲义 (知识梳理+典例+压轴+练习) 2026-2027学年苏科版七年级数学上册

第14讲 平面图形的初步认识(2) 2026-2027 苏科版七年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解平行线的概念，掌握平行线的判定方法（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）与性质（两直线平行→同位角/内错角相等、同旁内角互补），并能区分判定与性质。 · 能综合运用平行线的判定与性质进行角度计算与推理，掌握作平行线转移角的辅助线方法，能解决折叠、平移、三角板拼角等综合问题。 · 理解多边形的概念，掌握多边形内角和公式(n-2)×180°与外角和定理(恒为360°)，能进行正多边形内角、外角的计算。 · 掌握多边形对角线公式：从n边形一个顶点可引(n-3)条对角线、分成(n-2)个三角形，对角线总数n(n-3)/2，能解决对角线相关计数问题。 · 能综合运用平行线与多边形的知识解决实际问题与几何探究题，培养几何推理能力与方程思想。 📚 知识梳理 ☆ 1.平行线 平行线定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，记作a∥b；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。 平行线判定：同位角相等→两直线平行；内错角相等→两直线平行；同旁内角互补→两直线平行；平行于同一直线的两直线互相平行。 平行线性质：两直线平行→同位角相等；两直线平行→内错角相等；两直线平行→同旁内角互补；注意性质与判定互为逆用。 辅助线方法：折线角问题常过折点作已知直线的平行线，利用平行线性质转移角；折叠问题中折叠前后对应角相等，结合平行线性质求解。 概念辨析例题：如图，AB∥CD，∠1=50°，则∠2的度数为（ ）A. 40° B. 50° C. 130° D. 150° 解析：AB∥CD，∠1与∠2是同位角（或内错角，视图形而定），根据两直线平行同位角相等，∠2=∠1=50°。故选B。注意：若∠1与∠2是同旁内角关系，则∠2=180°-50°=130°，需看清图形。 ☆ 2.多边形 多边形定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫多边形；各边相等、各角也相等的多边形叫正多边形。 内角和：n边形内角和=(n-2)×180°；推导：从n边形一个顶点引对角线可分成(n-2)个三角形，每个三角形内角和180°。 外角和：任意多边形外角和恒为360°，与边数无关；正n边形每个外角=360°/n，每个内角=180°-360°/n=(n-2)×180°/n。 对角线：从n边形一个顶点可引(n-3)条对角线，把n边形分成(n-2)个三角形；n边形对角线总数=n(n-3)/2。 概念辨析例题：一个多边形的内角和是720°，则这个多边形的边数为（ ）A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 解析：设边数为n，由内角和公式(n-2)×180°=720°，解得n-2=4，n=6。故选B。熟记内角和公式是关键。 📋 知识总结表 核心概念 关键公式/性质 注意事项 平行线判定 同位角/内错角相等，同旁内角互补→平行 判定是由角的关系推平行，注意与性质区分 平行线性质 两直线平行→同位角/内错角相等，同旁内角互补 性质是由平行推角的关系，与判定互为逆用 多边形内角和 (n-2)×180° n≥3，推导依据是分成(n-2)个三角形 多边形外角和 恒为360° 与边数无关，正n边形每个外角=360°/n 正多边形内角 (n-2)×180°/n = 180°-360°/n 两种算法等价，根据已知条件选择 多边形对角线 一个顶点(n-3)条，总数n(n-3)/2 从一个顶点引对角线分(n-2)个三角形 ⚠️ 核心考点 【考点1】平行线（第1-20题） · 判定与性质辨析：判定是由角的关系推出平行（角→平行），性质是由平行推出角的关系（平行→角），做题时先看已知条件是角还是平行。 · 角度计算：两直线平行时，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补；求角时先找角的位置关系（同位/内错/同旁内角），再用对应性质。 · 折线角辅助线：遇到铅笔头型、M型等折线角，过折点作平行线，把大角分成两个角，分别利用平行线性质求解。 · 折叠与三角板：折叠前后对应角相等，三角板含30°/45°/60°/90°特殊角，结合平行线性质求未知角；注意重叠部分角的关系。 1．（2026秋•扶绥县校级月考）将一副三角板按如图所示的方法摆放，点D在BC边上，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠A＝45°，∠E＝60°．若斜边AB∥EF，则∠BDF的度数是（　　） A．15° B．18° C．25° D．30° 2．（2025秋•沭阳县期末）对于下列四个说法： ①连接两点的线段叫做这两点间的距离； ②同位角相等； ③相等的角是对顶角： ④过一点有且只有一条直线与已知直线平行． 其中正确的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2026春•乌兰浩特市期末）如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，过点F作FG⊥EH于点G，且∠AFG＝2∠D，则下列结论：①∠D＝30°；②2∠D+∠EHC＝90°；③FD平分∠HFB；④FH平分∠GFD．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2026春•泉州期末）如图所示，摆放一副三角板（∠A＝∠D＝90°，∠C＝30°，∠E＝45°），其中AC∥EF，则∠α的度数为（　　） A．65° B．70° C．75° D．80° 5．（2026春•惠州期末）如图，点E在BC的延长线上，对于给出的四个条件：①∠1＝∠3；②∠2+∠5＝180°；③∠4＝∠B；④∠D+∠BCD＝180°．其中能判断AB∥CD的是（　　） A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 6．（2026春•潼南区期中）如图1是电子伸缩门，图2为抽象出的几何图形的一部分，则下列条件中能判断直线l1∥l2的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠3 C．∠1+∠4＝180° D．∠3+∠4＝180° 7．（2026•广州校级二模）如图，在△ABD中，AB∥CD，AE平分∠BAD交CD于点E，若∠DAE＝70°，则∠AED的度数为________ ． 8．（2026•临县模拟）如图，△ABC中∠ABC＝75°，AC边上有一点D，使得∠A＝∠ABD，将△ABC沿BD翻折得△A′BD，此时A′D∥BC，则∠C＝ _______ 度． 9．（2026春•青秀区校级期中）如图1，在反射在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律．如图2，李明同学将支架平面镜放置在水平桌面MN上，镜面AB的调节角∠ABC＝40°，激光笔发出的光束DG射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线EF）的夹角∠EPG＝35°，则反射光束GH与天花板所形成的角∠PHG的度数为_________ ． 10．（2026春•东莞市期中）如图，点D，E，F分别在三角形ABC的边BC，AB，AC上，且DE∥AC，DF∥AB．将三角形ABC沿DE翻折，使得点B落在点B′处，沿DF翻折，使得点C落在点C′处．若∠B′DC′＝30°，则∠A＝_______ 度． 11．（2026春•攸县期末）如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠到EA′D′F的位置．若∠AEF＝66°，则∠CFD′的度数是________ ． 12．（2026•铁东区校级开学）如图，是某射箭运动员射箭瞬间的示意图．已知AB∥CD，AF∥DE，∠1＝90°，∠2＝105°，∠C＝135°，则∠CBE是_______ °． 13．（2026春•盂县期末）如图1，∠DEF＝25°，将长方形纸片ABCD沿直线EF折叠成图2，再沿折痕GF折叠成图3，则∠CFE的度数为 _________ ． 14．（2026春•浙江期中）如图，直线MN∥PQ，A是MN上一点，∠MAC的平分线交PQ于点B．若∠1＝25°，∠2＝126°，则∠3的度数是_________ ． 15．（2026秋•同步）当光线从水中射向空气时，要发生折射，在水中平行的光线，折射到空气中也是平行的．如图，∠1＝45°，∠2＝122°，求图中∠3，∠4的度数． 16．（2026秋•同步）找出图中互相平行的直线和互相垂直的直线． 17．（2026秋•同步）如图，潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，光线经过镜子反射时，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠2和∠3有什么关系？为什么进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的？（提示：分析这两条光线被哪条直线所截） 18．（2026秋•同步）如图，若AB∥FE，BC∥DE，则∠E+∠B等于多少度？ 19．（2026春•苏家屯区期末）已知：如图，AC∥DF，直线AF分别与直线BD，CF相交于点G，H，∠1＝∠2．求证：∠C＝∠D． 证明：∵∠1＝∠2（已知）， ∠1＝∠DGH（①__________ ）， ∴∠2＝②_________ （等量代换）， ∴③_______ ∥④_______ （同位角相等，两直线平行）， ∴∠C＝⑤_________ （⑥________________ ）， 又∵AC∥DF（已知）， ∴∠D＝∠DBA（⑦________________ ）， ∴∠C＝∠D（⑧_________ ）． 20．（2026秋•临汾月考）如图，已知∠B＝50°，∠C＝70°，点D、E分别在AB、BC上，且∠ADE＝120°．求证：DE∥AC． 【考点2】多边形（第21-40题） · 内角和计算：直接用公式(n-2)×180°，已知内角和求边数时列方程；已知边数求内角和时代入公式，注意n≥3。 · 外角和应用：外角和恒为360°是解题突破口；正多边形已知外角求边数n=360°/外角；已知内角求边数时先求外角=180°-内角，再n=360°/外角。 · 对角线计数：从一个顶点引(n-3)条，分(n-2)个三角形；总对角线n(n-3)/2；注意区分从一个顶点数和总数，不要混淆公式。 · 综合探究：多边形截角问题（截去一个角后边数可能n-1/n/n+1）、多边形内角和与外角和综合、正多边形镶嵌问题，注意分类讨论。 21．（2026•兰州模拟）若一个正多边形的每一个内角都是150°，则该正多边形的内角和的度数是（　　） A．1500° B．1800° C．1980° D．2160° 22．（2025秋•阳山县期末）从五边形一个顶点引出的对角线把该五边形分成n个三角形，则n是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 23．（2026•娄底一模）如图，由六个正九边形中间可以拼接出一个美丽的“梅花形图案”，则图中∠ABC的度数为（　　） A．60° B．70° C．80° D．90° 24．（2026•玉溪二模）一个多边形的内角和是1260°，则这个多边形是（　　） A．十边形 B．九边形 C．八边形 D．七边形 25．（2026•青秀区校级二模）石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构如图所示，所有多边形都是正多边形，则∠ABC的度数为（　　） A．135° B．120° C．105° D．60° 26．（2026•青秀区校级开学）龟背纹是中国传统经典的几何装饰纹样．如图是丝绸上设计的正六边形龟背纹图案，则它的一个外角的度数为（　　） A．30° B．60° C．80° D．120° 27．（2026春•海阳市期中）一个正多边形的边长是8，从一个顶点可以引出4条对角线，则这个正多边形的周长是_______ ． 28．（2026•香洲区校级模拟）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是 _____ ． 29．（2026•西藏）若正多边形的任意一个外角度数是它相邻内角度数的，则这个正多边形的内角和是_________ 度． 30．（2025秋•临渭区期末）若一个多边形从一个顶点出发可以连出7条对角线，这个多边形的边数为_______ ． 31．（2026春•淄博期末）从六边形的一个顶点出发可以作_____ 条对角线，它将六边形分成_____ 个三角形． 32．（2026•鹿城区校级开学）若一个九边形的8个外角的和为300°，则它的第9个外角的度数为____________ ． 33．（2026•湖南）如图，BD是两个正六边形的公共边，A和C是离B最远的顶点，则∠ABC＝_________ ． 34．（2026•广安）正九边形一个外角的度数是________ ． 35．（2026春•红古区期末）已知一个多边形的内角和比它的外角和多360°，求这个多边形的边数． 36．（2026春•同步）如图，由四条射线围成的四边形形状保持不变，面积不断缩小． （1）在四边形面积缩小的过程中，四边形各个外角的大小是否发生了变化？ （2）请想象四边形最后会变成什么图形． （3）借助上述的变化过程，试着说明四边形的外角和是360°． 37．（2026春•息县月考）在四边形ABCD中，∠A＝98°，∠D＝140°． （1）如图1，若∠B＝∠C，则∠B＝_______ 度； （2）如图2，作∠BCD的平分线CE交AB于点E，若CE∥AD，求∠B的度数； （3）如图3，作∠ABC和∠DCB的平分线交于点E，求∠BEC的度数． 38．（2026春•宝山区校级期中）如果一个多边形的内角和是四边形内角和的5倍，那么这个多边形的边数是多少？ 39．（2026春•康县期中）一个多边形的内角和比它的外角和的4倍多180°，求：这个多边形是几边形？ 40．（2026春•东川区期中）如果一个多边形的每个内角都是108°，这个多边形是几边形？ 💯 课后巩固 复习建议 · 平行线问题先判断用判定还是性质：已知角的关系证平行用判定，已知平行求角用性质；两者常结合使用，注意推理顺序。 · 折线角（铅笔头型、M型）必过折点作平行线，把复杂角分解为两个简单角，分别用平行线性质求解；这是最常用的辅助线。 · 多边形内角和公式(n-2)×180°必须熟记，外角和恒为360°是重要突破口；正多边形求边数时，用外角360°/n比用内角公式更简便。 · 对角线公式：从一个顶点(n-3)条、总数n(n-3)/2，注意区分；截角问题要分类讨论（边数可能不变、增1、减1）。 · 综合题中设未知数列方程是常用方法，几何推理要写出依据（平行线性质、内角和公式等），注意角度单位度分秒的换算。 【作业1】（2026•江西）如图，已知a∥b，∠1＝40°，则∠2的度数为（　　） A．40° B．100° C．120° D．140° 【作业2】（2026•淄博）如图，某冰球运动员用球杆连续击球，使冰球从点A出发，沿AB，BC，CD，DE运动至点E，已知AB∥CD，CB∥DE，若∠ABC＝70°，则∠CDE的度数是（　　） A．70° B．100° C．105° D．110° 【作业3】（2026•湖北模拟）如图是一个化学实验某一步骤的截面示意图，其中液面CD∥AB，一根粗细均匀的玻璃棒（直线）EF分别交AB、CD于点O、F，若∠AOE＝116°，则∠EFD的度数为（　　） A．116° B．74° C．64° D．54° 【作业4】（2026春•莱州市期中）过七边形一个顶点可以引出的对角线将多边形分成了_____个三角形，这个多边形共有_____条对角线（　　） A．5，21 B．5，14 C．4，28 D．4，21 【作业5】（2026•天桥区模拟）一个多边形的内角和是540°，这个多边形是（　　） A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 【作业6】（2026春•青秀区校级期末）用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图1所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE，则∠BAC的度数是（　　） A．36° B．30° C．25° D．20° 【作业7】（2026春•黄浦区期末）如图，已知AB∥CD，且∠BED＝130°，则∠B+∠D＝________ 度． 【作业8】（2026•武进区校级一模）如图，已知∠1＝∠2，∠3＝130°，则∠4的度数是________ ． 【作业9】（2026•淮安）如图，∠1与∠2互为补角．若∠3＝70°，则∠4＝________ °． 【作业10】（2026春•常德期末）如图，平行线AB，CD被直线AE所截．若∠1＝105°，则∠2的度数为 ________ ． 【作业11】（2026春•西丰县期末）已知一个多边形的内角和比外角和的3倍多180°，则这个多边形的边数是_____ ． 【作业12】（2025秋•新城区校级期末）从十边形的一个顶点出发，能引出 _____ 条对角线． 【作业13】（2026•新余二模）如图，图1为传统建筑中的一种窗格，图2为其窗框的示意图，多边形ABCDEFGH为正八边形，连接AC，则∠BAC＝_________ °． 【作业14】（2026•沙坪坝区校级开学）从一个正多边形的一个顶点出发所引出的对角线条数是7条，则该正多边形的每一个外角为________ ． 【作业15】（2026•望奎县开学）如图1，将三角尺ABC与三角尺ADE摆放在一起，其中∠ACB＝30°，∠DAE＝45°，∠BAC＝∠D＝90°．如图2，固定三角尺ABC，将三角尺ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠CAE＝α（0°＜α＜180°）． （1）当α＝________ 时，AE⊥BC；当α＝_________ 时，AD⊥BC． （2）在旋转过程中，观察∠BAE，∠CAD角度的变化． ①若∠BAE﹣∠CAD＝45°，则α的取值范围是_____________ ； ②若∠BAE+∠CAD＝45°，则α的取值范围是______________ ； ③若∠CAD﹣∠BAE＝45°，则α的取值范围是_______________ ． （3）当△ADE旋转时，若它的一边与△ABC的某一边平行（不共线）时，直接写出α的所有取值． 【作业16】（2026秋•南宁校级月考）某城市为了强化音乐喷泉灯光秀的灯光效果，在河的两岸安置了可旋转探照灯．假定河两岸是平行的，如图1所示：AB∥CD，PQ⊥AB，PQ⊥CD，∠MPQ＝∠NQD＝30°，灯P射线从PM开始绕P点逆时针旋转，与此同时，灯Q射线从QN开始绕Q点顺时针旋转．若灯P、灯Q转动的速度分别是a度/秒、b度/秒，且满足：|a+b﹣6|+（b﹣4）2＝0．设旋转时间为t秒． （1）填空：a＝_____ ，b＝_____ ． （2）在灯Q射线到达QC之前，灯P射线与线段PQ的夹角为____________ 度，灯Q射线与线段PQ的夹角为____________ 度．（均用含t的代数式表示） （3）在（2）的条件下，当两灯射出的光束互相平行时，求t的值． （4）如图2，若两灯同时转动，在灯Q射线到达QD之前，两灯射出的光束交于点E．点F在射线PB上，且∠PQE＝k•∠PEF，则在转动过程中，是否存在一点F，使得∠QEF为定值？若存在，请直接写出k的值和∠QEF的度数；若不存在，请说明理由． 【作业17】（2026秋•红桥区校级月考）如图，在△ABC中，AD是高，EF⊥BC于点F，DG是△ADC的角平分线，且DG∥AB，试说明：∠BEF＝∠GDC． 【作业18】（2026春•梅州月考）一个多边形的内角和等于它外角和的2倍，它是几边形？ 【作业19】（2026春•梅河口市校级期末）一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，求这个多边形的内角和与边数． 【作业20】（2026春•邓州市期末）阅读小明和小红的对话，解决下列问题． （1）这个“多加的锐角”是 _______ 度． （2）小明求的是几边形内角和？ （3）若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度？ 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 平面图形的初步认识(2) 2026-2027 苏科版七年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解平行线的概念，掌握平行线的判定方法（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）与性质（两直线平行→同位角/内错角相等、同旁内角互补），并能区分判定与性质。 · 能综合运用平行线的判定与性质进行角度计算与推理，掌握作平行线转移角的辅助线方法，能解决折叠、平移、三角板拼角等综合问题。 · 理解多边形的概念，掌握多边形内角和公式(n-2)×180°与外角和定理(恒为360°)，能进行正多边形内角、外角的计算。 · 掌握多边形对角线公式：从n边形一个顶点可引(n-3)条对角线、分成(n-2)个三角形，对角线总数n(n-3)/2，能解决对角线相关计数问题。 · 能综合运用平行线与多边形的知识解决实际问题与几何探究题，培养几何推理能力与方程思想。 📚 知识梳理 ☆ 1.平行线 平行线定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，记作a∥b；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。 平行线判定：同位角相等→两直线平行；内错角相等→两直线平行；同旁内角互补→两直线平行；平行于同一直线的两直线互相平行。 平行线性质：两直线平行→同位角相等；两直线平行→内错角相等；两直线平行→同旁内角互补；注意性质与判定互为逆用。 辅助线方法：折线角问题常过折点作已知直线的平行线，利用平行线性质转移角；折叠问题中折叠前后对应角相等，结合平行线性质求解。 概念辨析例题：如图，AB∥CD，∠1=50°，则∠2的度数为（ ）A. 40° B. 50° C. 130° D. 150° 解析：AB∥CD，∠1与∠2是同位角（或内错角，视图形而定），根据两直线平行同位角相等，∠2=∠1=50°。故选B。注意：若∠1与∠2是同旁内角关系，则∠2=180°-50°=130°，需看清图形。 ☆ 2.多边形 多边形定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫多边形；各边相等、各角也相等的多边形叫正多边形。 内角和：n边形内角和=(n-2)×180°；推导：从n边形一个顶点引对角线可分成(n-2)个三角形，每个三角形内角和180°。 外角和：任意多边形外角和恒为360°，与边数无关；正n边形每个外角=360°/n，每个内角=180°-360°/n=(n-2)×180°/n。 对角线：从n边形一个顶点可引(n-3)条对角线，把n边形分成(n-2)个三角形；n边形对角线总数=n(n-3)/2。 概念辨析例题：一个多边形的内角和是720°，则这个多边形的边数为（ ）A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 解析：设边数为n，由内角和公式(n-2)×180°=720°，解得n-2=4，n=6。故选B。熟记内角和公式是关键。 📋 知识总结表 核心概念 关键公式/性质 注意事项 平行线判定 同位角/内错角相等，同旁内角互补→平行 判定是由角的关系推平行，注意与性质区分 平行线性质 两直线平行→同位角/内错角相等，同旁内角互补 性质是由平行推角的关系，与判定互为逆用 多边形内角和 (n-2)×180° n≥3，推导依据是分成(n-2)个三角形 多边形外角和 恒为360° 与边数无关，正n边形每个外角=360°/n 正多边形内角 (n-2)×180°/n = 180°-360°/n 两种算法等价，根据已知条件选择 多边形对角线 一个顶点(n-3)条，总数n(n-3)/2 从一个顶点引对角线分(n-2)个三角形 ⚠️ 核心考点 【考点1】平行线（第1-20题） · 判定与性质辨析：判定是由角的关系推出平行（角→平行），性质是由平行推出角的关系（平行→角），做题时先看已知条件是角还是平行。 · 角度计算：两直线平行时，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补；求角时先找角的位置关系（同位/内错/同旁内角），再用对应性质。 · 折线角辅助线：遇到铅笔头型、M型等折线角，过折点作平行线，把大角分成两个角，分别利用平行线性质求解。 · 折叠与三角板：折叠前后对应角相等，三角板含30°/45°/60°/90°特殊角，结合平行线性质求未知角；注意重叠部分角的关系。 1．（2026秋•扶绥县校级月考）将一副三角板按如图所示的方法摆放，点D在BC边上，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠A＝45°，∠E＝60°．若斜边AB∥EF，则∠BDF的度数是（　　） A．15° B．18° C．25° D．30° 【考点】平行线的性质． 【分析】根据AB∥EF，∠E＝60°，∠A＝45°求出∠EDB的度数，再用∠EDF的度数减去∠EDB的度数，即可求出∠BDF的度数． 【解答】解：由条件可知∠B＝∠A＝45°， ∵AB∥EF，∠E＝60°， ∴∠BGD＝∠E＝60°（两直线平行，同位角相等）， ∴∠EDB＝180°﹣∠B﹣∠BGD＝180°﹣45°﹣60°＝75°， ∵∠EDF＝90°， ∴∠BDF＝∠EDF﹣∠EDB＝90°﹣75°＝15°． 故选：A． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握该知识点是关键． 2．（2025秋•沭阳县期末）对于下列四个说法： ①连接两点的线段叫做这两点间的距离； ②同位角相等； ③相等的角是对顶角： ④过一点有且只有一条直线与已知直线平行． 其中正确的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【考点】平行线的性质；两点间的距离；对顶角、邻补角；同位角、内错角、同旁内角；平行公理及推论． 【分析】根据两点之间的距离，对顶角定义，平行线的性质，平行公理进行判断即可． 【解答】解：①连接两点之间的线段的长度叫做这两点间的距离，故①错误； ②两直线平行，同位角相等，故②错误； ③相等的两个角不一定是对顶角，故③错误； ④过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故④错误； 综上分析可知，正确的有0个，故A正确． 故选：A． 【点评】本题主要考查了两点之间的距离，对顶角定义，平行线的性质，平行公理，熟练掌握相关定义和性质是解题的关键． 3．（2026春•乌兰浩特市期末）如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，过点F作FG⊥EH于点G，且∠AFG＝2∠D，则下列结论：①∠D＝30°；②2∠D+∠EHC＝90°；③FD平分∠HFB；④FH平分∠GFD．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】平行线的性质；垂线． 【分析】根据角平分线的性质和平行线的性质解答．延长FG，交CH于I，构造出直角三角形，利用直角三角形两锐角互余解答． 【解答】解：延长FG，交CH于I． ∵AB∥CD， ∴∠BFD＝∠D，∠AFI＝∠FIH， ∵FD∥EH， ∴∠EHC＝∠D， ∵FE平分∠AFG， ∴∠FIH＝2∠AFE＝2∠EHC， ∴3∠EHC＝90°， ∴∠EHC＝30°， ∴∠D＝30°， ∴2∠D+∠EHC＝2×30°+30°＝90°， ∴①∠D＝30°；②2∠D+∠EHC＝90°正确， ∵FE平分∠AFG， ∴∠AFI＝30°×2＝60°， ∵∠BFD＝30°， ∴∠GFD＝90°， ∴∠GFH+∠HFD＝90°， 可见，∠HFD的值未必为30°，∠GFH未必为45°，只要和为90°即可， ∴③FD平分∠HFB，④FH平分∠GFD不一定正确． 故选B． 【点评】本题考查了角平分线的性质和平行线的性质，二者有机结合，难度较大，需要作出辅助线，对能力要求较高． 4．（2026春•泉州期末）如图所示，摆放一副三角板（∠A＝∠D＝90°，∠C＝30°，∠E＝45°），其中AC∥EF，则∠α的度数为（　　） A．65° B．70° C．75° D．80° 【考点】平行线的性质． 【分析】先由平行线性质及三角形的内角和求得∠2＝45°，再利用三角形内角和定理求出∠1，最后根据邻补角互补算出∠α的度数． 【解答】解：如图， ∵∠E＝45°，∠D＝90°， ∴∠F＝180°﹣∠D﹣∠E＝180°﹣90°﹣45°＝45°， ∵AC∥EF， ∴∠2＝∠F＝45°， ∵∠C＝30°， ∴∠1＝180°﹣∠2﹣∠C＝105°， ∴∠α＝180°﹣∠1＝75°． 故选：C． 【点评】本题考查了平行线的性质，正确计算是解题关键． 5．（2026春•惠州期末）如图，点E在BC的延长线上，对于给出的四个条件：①∠1＝∠3；②∠2+∠5＝180°；③∠4＝∠B；④∠D+∠BCD＝180°．其中能判断AB∥CD的是（　　） A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 【考点】平行线的判定． 【分析】根据各个小题中的条件和平行线的判定方法，可以判断各个小题中的结论是否符合题意． 【解答】解：①∵∠1＝∠3， ∴AD∥BC，不能判定AB∥CD，不符合题意； ②∵∠2+∠5＝180，∠AGD+∠5＝180 ∴∠2＝∠AGD， ∴AB∥CD，符合题意； ③∵∠4＝∠B， ∴AB∥CD，符合题意； ④∵∠D+∠BCD＝180°， ∴AD∥BC，不能判定AB∥CD，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解题的关键． 6．（2026春•潼南区期中）如图1是电子伸缩门，图2为抽象出的几何图形的一部分，则下列条件中能判断直线l1∥l2的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠3 C．∠1+∠4＝180° D．∠3+∠4＝180° 【考点】平行线的判定． 【分析】根据平行线的判定定理解答即可． 【解答】解：A、∠1＝∠2，∠1和∠2是同位角，但与直线l2无关，不能判定l1∥l2，不符合题意； B、∠1＝∠3，∠1和∠3不是同位角、内错角和同旁内角的关系，不能判定l1∥l2，不符合题意； C、∠1+∠4＝180°，∠1和∠4不是同旁内角，但∠4的对顶角与∠1是同旁内角，同旁内角互补，两直线平行，可以判定l1∥l2，符合题意； D、∠3+∠4＝180°，∠3与∠4的对顶角是同旁内角的关系，但与直线l1无关，不能判定l1∥l2，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查的是平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键． 7．（2026•广州校级二模）如图，在△ABD中，AB∥CD，AE平分∠BAD交CD于点E，若∠DAE＝70°，则∠AED的度数为　70°　 ． 【考点】平行线的性质；角平分线的定义． 【分析】由角平分线的定义可得∠BAE的度数，再由平行线的性质即可得到答案． 【解答】解：∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE＝70°， ∵∠DAE＝70°， ∴∠BAE＝70°， ∵AB∥CD， ∴∠AED＝∠BAE， ∴∠AED＝70°， 故答案为：70°． 【点评】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，熟记以上知识点是解题的关键． 8．（2026•临县模拟）如图，△ABC中∠ABC＝75°，AC边上有一点D，使得∠A＝∠ABD，将△ABC沿BD翻折得△A′BD，此时A′D∥BC，则∠C＝ 　80　 度． 【考点】平行线的性质． 【分析】根据折叠，平行线的性质得到∠ABD＝∠A′BD＝∠A′BC，结合题意得到∠ABD＝∠A′＝25°，根据三角形内角和定理即可求解． 【解答】解：∵折叠， ∴∠A＝∠A′，∠ABD＝∠A′BD， ∵∠A＝∠ABD， ∴∠A′＝∠ABD＝∠A′BD， ∵A′D∥BC， ∴∠A′＝∠A′BC（两直线平行，内错角相等）， ∴∠ABD＝∠A′BD＝∠A′BC， ∵∠ABC＝∠ABD+∠A′BD+∠A′BC＝75°， ∴， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝180°﹣25°﹣75°＝80°， 则∠C的度数为80°， 故答案为：80． 【点评】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是关键． 9．（2026春•青秀区校级期中）如图1，在反射在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律．如图2，李明同学将支架平面镜放置在水平桌面MN上，镜面AB的调节角∠ABC＝40°，激光笔发出的光束DG射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线EF）的夹角∠EPG＝35°，则反射光束GH与天花板所形成的角∠PHG的度数为　115°　 ． 【考点】平行线的性质；角的计算． 【分析】先根据平行线的性质得出入射光线与水平线的夹角∠PGQ，镜面AB与水平线的夹角∠ABC＝40°，利用反射定律得出反射角，得到入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，则有∠AGH＝∠BGP＝75°，进而求出反射光线与水平线的夹角∠HGQ，最后利用平行线性质求解． 【解答】解：过点G作GQ∥MN， ∵天花板EF∥水平桌面MN， ∴EF∥GQ∥MN， ∴∠PGQ＝∠EPG＝35°（两直线平行，内错角相等）， ∵∠ABC＝40°， ∴∠BGQ＝∠ABC＝40°， ∴∠PGB＝∠PGQ+∠BGQ＝35°+40°＝75°， 即入射光线与镜面的夹角为75°， 根据光的反射定律，反射光线与镜面的夹角等于入射光线与镜面的夹角， ∴∠AGH＝∠BGP＝75°， ∴∠PGH＝180°﹣∠AGH﹣∠PGB＝180°﹣75°﹣75°＝30°， ∴∠HGQ＝∠HGP+∠PGQ＝30°+35°＝65°， ∵EF∥GQ， ∴∠PHG+∠HGQ＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠PHG＝115°， 故答案为：115°． 【点评】本题考查了平行线的性质，角的计算，关键是平行线性质的熟练掌握． 10．（2026春•东莞市期中）如图，点D，E，F分别在三角形ABC的边BC，AB，AC上，且DE∥AC，DF∥AB．将三角形ABC沿DE翻折，使得点B落在点B′处，沿DF翻折，使得点C落在点C′处．若∠B′DC′＝30°，则∠A＝　75　 度． 【考点】平行线的性质． 【分析】设∠EDB＝x°，再结合轴对称的性质与平行线的性质表示，∠C＝∠BDE＝x°，再结合三角形的内角和定理与平行线的性质可得答案． 【解答】解：设∠EDB＝x°， ∵将△ABC沿DE翻折，使得点B落在 B′处， ∴∠EDB＝∠EDB′＝x°（折叠的性质）， ∵∠B′DC′＝30°， ∴∠EDC′＝x°﹣30°， ∴∠CDC′＝180°﹣x°﹣x°+30°＝210°﹣2x°， ∵沿DF翻折，使得点C 落在C′处． ∴， ∵DE∥AC， ∴∠C＝∠BDE＝x°（两直线平行，同位角相等）， ∴∠DFC＝180°﹣x°﹣（105°﹣x°）＝75°， ∵DF∥AB， ∴∠A＝∠DFC＝75°（两直线平行，同位角相等）， 故答案为：75． 【点评】本题考查的是平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握． 11．（2026春•攸县期末）如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠到EA′D′F的位置．若∠AEF＝66°，则∠CFD′的度数是　48°　 ． 【考点】平行线的性质． 【分析】根据长方形的性质得到AB∥CD，根据平行线的性质得到∠AEF+∠DFE＝180°，∠EFC＝∠AEF＝66°，则有∠DFE＝180°﹣66°＝114°，再根据折叠的性质得到∠D′FE＝∠DFE＝114°，最后利用角的和差即可求解． 【解答】解：∵长方形纸片ABCD， ∴AB∥CD， ∴∠AEF+∠DFE＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∠EFC＝∠AEF＝66°（两直线平行，内错角相等）， ∴∠DFE＝180°﹣66°＝114°， 由折叠的性质得，∠D′FE＝∠DFE＝114°， ∴∠CFD′＝∠D′FE﹣∠EFC＝114°﹣66°＝48°． 故答案为：48°． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 12．（2026•铁东区校级开学）如图，是某射箭运动员射箭瞬间的示意图．已知AB∥CD，AF∥DE，∠1＝90°，∠2＝105°，∠C＝135°，则∠CBE是　60　 °． 【考点】平行线的性质． 【分析】根据平行线的性质进行计算即可． 【解答】解：延长AB交DE于点M， ∵AB∥CD， ∴∠C+∠CBM＝180°． ∵∠C＝135°， ∴∠CBM＝180°﹣135°＝45°． ∵AF∥DE， ∴∠1+∠BME＝180°． ∵∠1＝90°， ∴∠BME＝90°． ∵∠2＝105°， ∴∠MBE＝∠2﹣∠BME＝15°， ∴∠CBE＝∠CBM+∠MBE＝45°+15°＝60°． 故答案为：60． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键． 13．（2026春•盂县期末）如图1，∠DEF＝25°，将长方形纸片ABCD沿直线EF折叠成图2，再沿折痕GF折叠成图3，则∠CFE的度数为 　105°　 ． 【考点】平行线的性质． 【分析】由矩形的性质可知AD∥BC，由此可得出∠BFE＝∠DEF＝25°，再根据翻折的性质可知每翻折一次减少一个∠BFE的度数，由此即可算出∠CFE度数． 【解答】解：∵四边形ABCD为长方形， ∴AD∥BC， ∴∠BFE＝∠DEF＝25°． 由翻折的性质可知： 图2中，∠EFC＝180°﹣∠BFE＝155°，∠BFC＝∠EFC﹣∠BFE＝130°， 图3中，∠CFE＝∠BFC﹣∠BFE＝105°． 故答案为：105°． 【点评】本题考查了平行线的性质，翻折变换以及矩形的性质，根据翻折变换找出相等的边角关系是关键． 14．（2026春•浙江期中）如图，直线MN∥PQ，A是MN上一点，∠MAC的平分线交PQ于点B．若∠1＝25°，∠2＝126°，则∠3的度数是　133°　 ． 【考点】平行线的性质；角平分线的定义；角的计算． 【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义可求出∠MAC＝108°，过C作CE∥MN，则∠ACE＝108°，证明CE∥PQ，则∠QCE＝25°，即可求解． 【解答】解：∵MN∥PQ，∠2＝126°， ∴∠MAB＝180°﹣∠2＝54°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵AB平分∠MAC， ∴∠MAC＝2∠MAB＝108°， 过C作CE∥MN， ∴∠ACE＝∠MAC＝108°， ∵MN∥PQ，CE∥MN， ∴CE∥PQ， ∴∠QCE＝∠1＝25°， ∴∠ACQ＝∠ACE+∠QCE＝133°， 故答案为：133°． 【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，角的计算，关键是平行线性质的熟练掌握． 15．（2026秋•同步）当光线从水中射向空气时，要发生折射，在水中平行的光线，折射到空气中也是平行的．如图，∠1＝45°，∠2＝122°，求图中∠3，∠4的度数． 【考点】平行线的性质． 【分析】根据两直线平行，同位角相等即可得． 【解答】解：由题意得：c∥d，a∥b， ∵∠1＝45°，∠2＝122°， ∴∠3＝∠1＝45°，∠4＝∠2＝122°． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 16．（2026秋•同步）找出图中互相平行的直线和互相垂直的直线． 【考点】平行线的判定；垂线． 【分析】根据这些知识，结合图形即可完成解答． 【解答】解：由同位角相等均为40°，得c∥d；由内错角相等均为40°，得a∥b； ∵直线b、c相交的一个角为180°﹣40°﹣50°＝90°， ∴c⊥b； ∵c⊥b，a∥b， ∴c⊥a， 综上，互相平行的直线有c∥d，a∥b；互相垂直的直线有c⊥a，c⊥b． 【点评】本题考查了平行线的判定，掌握垂直的定义是解题的关键． 17．（2026秋•同步）如图，潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，光线经过镜子反射时，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠2和∠3有什么关系？为什么进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的？（提示：分析这两条光线被哪条直线所截） 【考点】平行线的判定与性质． 【分析】（1）根据平行线性质得出∠2＝∠3； （2）根据（1）的结论以及∠1＝∠2，∠3＝∠4，可得∠5＝∠6，再根据内错角相等两直线平行可得结论． 【解答】（1）解：∠2＝∠3，证明如下：∵AB∥CD（已知）， ∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等）； （2）证明：如图： ∵∠2＝∠3（已证），∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠1+∠2＝∠3+∠4， ∴180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣（∠3+∠4）， 即∠5＝∠6， ∴PM∥NQ． 【点评】此题主要是综合考查了平行线的判定和性质，同时注意反射光线的性质：反射角等于入射角． 18．（2026秋•同步）如图，若AB∥FE，BC∥DE，则∠E+∠B等于多少度？ 【考点】平行线的性质． 【分析】如图（见解析），先根据平行线的性质可得∠BOE＝∠B，∠E+∠BOE＝180°，再根据等量代换即可得． 【解答】解：∵AB∥FE， ∴∠BOE＝∠B（两直线平行，内错角相等）， ∵BC∥DE， ∴∠E+∠BOE＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠E+∠B＝180°， 答：∠E+∠B等于180度． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 19．（2026春•苏家屯区期末）已知：如图，AC∥DF，直线AF分别与直线BD，CF相交于点G，H，∠1＝∠2．求证：∠C＝∠D． 证明：∵∠1＝∠2（已知）， ∠1＝∠DGH（①　对顶角相等　 ）， ∴∠2＝②　∠DGH （等量代换）， ∴③DB ∥④EC （同位角相等，两直线平行）， ∴∠C＝⑤　∠DBA （⑥　两直线平行，同位角相等　 ）， 又∵AC∥DF（已知）， ∴∠D＝∠DBA（⑦　两直线平行，内错角相等　 ）， ∴∠C＝∠D（⑧　等量代换　 ）． 【考点】平行线的判定与性质． 【分析】根据平行线的判定与性质推理即可． 【解答】证明：∵∠1＝∠2（已知）， ∠1＝∠DGH （①对顶角相等）， ∴∠2＝②∠DGH （等量代换）， ∴③DB∥④EC．（同位角相等，两直线平行）， ∴∠C＝⑤∠DBA （⑥两直线平行，同位角相等）， 又∵AC∥DF（已知）， ∴∠D＝∠DBA（⑦两直线平行，内错角相等）， ∴∠C＝∠D（⑧等量代换）． 故答案为：①对顶角相等；②∠DGH；③DB；④EC；⑤∠DBA；⑥两直线平行，同位角相等；⑦两直线平行，内错角相等；⑧等量代换． 【点评】本题考查平行线的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 20．（2026秋•临汾月考）如图，已知∠B＝50°，∠C＝70°，点D、E分别在AB、BC上，且∠ADE＝120°．求证：DE∥AC． 【考点】平行线的判定． 【分析】根据三角形的内角和求出∠A＝60°，再由“同旁内角互补，两直线平行”进行求解即可． 【解答】证明：∵∠B＝50°，∠C＝70°， ∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣70°＝60°， ∵∠ADE＝120°， ∴∠A+∠ADE＝180°， ∴DE∥AC． 【点评】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【考点2】多边形（第21-40题） · 内角和计算：直接用公式(n-2)×180°，已知内角和求边数时列方程；已知边数求内角和时代入公式，注意n≥3。 · 外角和应用：外角和恒为360°是解题突破口；正多边形已知外角求边数n=360°/外角；已知内角求边数时先求外角=180°-内角，再n=360°/外角。 · 对角线计数：从一个顶点引(n-3)条，分(n-2)个三角形；总对角线n(n-3)/2；注意区分从一个顶点数和总数，不要混淆公式。 · 综合探究：多边形截角问题（截去一个角后边数可能n-1/n/n+1）、多边形内角和与外角和综合、正多边形镶嵌问题，注意分类讨论。 21．（2026•兰州模拟）若一个正多边形的每一个内角都是150°，则该正多边形的内角和的度数是（　　） A．1500° B．1800° C．1980° D．2160° 【考点】多边形内角与外角． 【分析】先求出正多边形的一个外角的度数，再根据正多边形外角和的性质，求出正多边形的边数，即可得出答案． 【解答】解：180°﹣150°＝30°， 360°÷30°＝12， ∴该正多边形的内角和的度数为180×（12﹣2）＝1800°． 故选：B． 【点评】本题主要考查多边形内角与外角，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 22．（2025秋•阳山县期末）从五边形一个顶点引出的对角线把该五边形分成n个三角形，则n是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【考点】多边形的对角线． 【分析】根据从n边形的一个顶点引出的对角线把n边形分成（n﹣2）个三角形可得出答案． 【解答】解：∵从五边形一个顶点引出的对角线把该五边形分成（5﹣2）＝3个三角形． ∴n＝3， 故选：C． 【点评】此题主要考查了多边形的对角线，理解从n边形的一个顶点引出的对角线把n边形分成（n﹣2）个三角形是解决问题的关键． 23．（2026•娄底一模）如图，由六个正九边形中间可以拼接出一个美丽的“梅花形图案”，则图中∠ABC的度数为（　　） A．60° B．70° C．80° D．90° 【考点】多边形内角与外角． 【分析】利用多边形的内角和公式及正多边形的性质求得正九边形每个内角的度数，然后利用角的和差即可求得答案． 【解答】解：正九边形每个内角的度数为140°， 则∠ABC＝360°﹣140°×2＝80°， 故选：C． 【点评】本题考查多边形的内角和及正多边形的性质，结合已知条件求得正九边形每个内角的度数是解题的关键． 24．（2026•玉溪二模）一个多边形的内角和是1260°，则这个多边形是（　　） A．十边形 B．九边形 C．八边形 D．七边形 【考点】多边形内角与外角． 【分析】设这个多边形是n边形，就可以列出方程（n﹣2）•180°＝1260°，即可解得n的值． 【解答】解：设这个多边形是n边形，根据题意得：（n﹣2）•180°＝1260°， 解得n＝9， 则这个多边形是九边形． 故选：B． 【点评】本题考查了多边形内角和定理，熟练掌握n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°是解答本题的关键． 25．（2026•青秀区校级二模）石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构如图所示，所有多边形都是正多边形，则∠ABC的度数为（　　） A．135° B．120° C．105° D．60° 【考点】多边形内角与外角． 【分析】根据题意求得正六边形的外角，进而即可求得∠ABC的度数． 【解答】解：∵正六边形的外角和为360°， ∴每一个外角为， ∴∠ABC＝180°﹣60°＝120°， 故选：B． 【点评】本题考查了正多边形的内角与外角，关键是多边形外角和定理的熟练掌握． 26．（2026•青秀区校级开学）龟背纹是中国传统经典的几何装饰纹样．如图是丝绸上设计的正六边形龟背纹图案，则它的一个外角的度数为（　　） A．30° B．60° C．80° D．120° 【考点】多边形内角与外角． 【分析】根据正六边形的外角和为360°，且每个外角都相等可得该正六边形的一个外角的度数为60°． 【解答】解：∵正六边形的外角和为360°，且每个外角都相等， ∴正六边形的一个外角的度数为：360°÷6＝60°． 故选：B． 【点评】此题主要考查了正多边形的性质，理解正六边形的外角和为360°，且每个外角都相等是解决问题的关键． 27．（2026春•海阳市期中）一个正多边形的边长是8，从一个顶点可以引出4条对角线，则这个正多边形的周长是　56　 ． 【考点】多边形的对角线． 【分析】利用多边形的对角线的性质求得其边数，然后利用正多边形的性质求得其周长即可． 【解答】解：∵一个正多边形从一个顶点可以引出4条对角线， ∴其边数为4+3＝7（条）， ∵这个正多边形的边长是8， ∴其周长为8×7＝56， 故答案为：56． 【点评】本题考查多边形的对角线，熟练掌握其性质是解题的关键． 28．（2026•香洲区校级模拟）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是 　6　 ． 【考点】多边形内角与外角． 【分析】根据内角和定理180°•（n﹣2）即可求得． 【解答】解：∵多边形的内角和公式为（n﹣2）•180°， ∴（n﹣2）×180°＝720°， 解得n＝6， ∴这个多边形的边数是6． 故答案为：6． 【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理即180°•（n﹣2），难度适中． 29．（2026•西藏）若正多边形的任意一个外角度数是它相邻内角度数的，则这个正多边形的内角和是　1440　 度． 【考点】多边形内角与外角． 【分析】设该正多边形的一个外角的度数为x，则与它相邻的内角度数为4x，根据多边形的一个外角与它相邻的内角组成一个平角，列出关于x的方程，解方程求出x，再根据多边形的外角和是360°，求出多边形的边数，最后根据多边形内角和公式求出答案即可． 【解答】解：设该正多边形的一个外角的度数为x，则与它相邻的内角度数为4x，由题意得： x+4x＝180°， 5x＝180°， x＝36°， 360°÷36°＝10， ∴这个正多边形是正十边形， ∴它的内角和为：（10﹣2）×180°＝8×180°＝1440°， 故答案为：1440． 【点评】本题主要考查了多边形的内角和外角，解题关键是熟练掌握多边形的外角和是360°和多边形的内角和公式． 30．（2025秋•临渭区期末）若一个多边形从一个顶点出发可以连出7条对角线，这个多边形的边数为　10　 ． 【考点】多边形的对角线． 【分析】根据多边形的对角线性质即可求得答案． 【解答】解：已知一个多边形从一个顶点出发可以连出7条对角线， 则这个多边形的边数为7+3＝10， 故答案为：10． 【点评】本题考查多边形的对角线，熟练掌握其性质是解题的关键． 31．（2026春•淄博期末）从六边形的一个顶点出发可以作　3　 条对角线，它将六边形分成　4　 个三角形． 【考点】多边形内角与外角． 【分析】对于n边形，从一个顶点出发，不能向自身以及相邻两个顶点引对角线，因此从一个顶点出发可引出对角线的条数为（n﹣3），可将n边形分成（n﹣2）个三角形． 【解答】解：本题中六边形n＝6，因此可以作对角线条数为6﹣3＝3． 从一个顶点引出（n﹣3）条对角线后，可将n边形分成（n﹣2）个三角形，因此六边形分成三角形的个数为6﹣2＝4． 故答案为：3，4． 【点评】本题主要考查了多边形内角与外角，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 32．（2026•鹿城区校级开学）若一个九边形的8个外角的和为300°，则它的第9个外角的度数为　60°/60度　 ． 【考点】多边形内角与外角． 【分析】任意多边形的外角和恒为360°，用总外角和减去已知8个外角的和，即可求出第9个外角的度数． 【解答】解：∵该九边形8个外角的和为300°， ∴第9个外角的度数为360°﹣300°＝60°． 故答案为：60°． 【点评】本题考查多边形内角与外角，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 33．（2026•湖南）如图，BD是两个正六边形的公共边，A和C是离B最远的顶点，则∠ABC＝　120°　 ． 【考点】多边形内角与外角． 【分析】根据正六边形的内角和求得每一个内角为120°，由外角和角可得∠ABD＝∠CBD＝60°从而求解． 【解答】解：∵这两个多边形为正六边形， ∴每一个内角是120°， ∵∠ABD和∠CBD是正六边形的外角，根据多边形的外角和为360°， ∴每一个外角是60°， ∴∠ABD＝∠CBD＝60°， ∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝120°． 故答案为：120°． 【点评】本题考查多边形的内角和与外角和，掌握多边形的内角和公式和外角和为360°是关键． 34．（2026•广安）正九边形一个外角的度数是　40°　 ． 【考点】多边形内角与外角． 【分析】根据多边形的外角和是360°进行计算即可． 【解答】解：正九边形的一个外角是40°． 故答案为：40°． 【点评】本题考查多边形的内角与外角，掌握多边形的外角和是360°是正确解答的关键． 35．（2026春•红古区期末）已知一个多边形的内角和比它的外角和多360°，求这个多边形的边数． 【考点】多边形内角与外角． 【分析】这个多边形的内角和比外角和多360°，由此列出方程即可解出边数． 【解答】解：根据题意，设边数为n， （n﹣2）×180°＝360°+360°， （n﹣2）×180°＝720°， n﹣2＝4， 解得：n＝6， 答：这个多边形的边数是6． 【点评】本题考查了多边形的内角与外角，掌握多边形的内角与外角的计算方法是关键． 36．（2026春•同步）如图，由四条射线围成的四边形形状保持不变，面积不断缩小． （1）在四边形面积缩小的过程中，四边形各个外角的大小是否发生了变化？ （2）请想象四边形最后会变成什么图形． （3）借助上述的变化过程，试着说明四边形的外角和是360°． 【考点】多边形内角与外角． 【分析】（1）由四条射线围成的四边形形状保持不变，各个内角的大小不变，再根据内角与相邻的外角互补可得该四边形的各个外角的大小保持不变； （2）随着该四边形的面积的不断缩小，四边形的四个顶点会无限接近，最后会变成一个点； （3）当该四边形最后会变成一个点时，四边形的四个外角就变成了围绕这个点的周角，由此可得四边形的外角和等于360°． 【解答】解：（1）∵在四边形面积缩小的过程中，由四条射线围成的四边形形状保持不变， ∴该四边形的各个内角的大小不变， 又∵四边形的内角与相邻的外角互补， ∴该四边形的各个外角的大小保持不变； （2）∵随着该四边形的面积的不断缩小，四边形的四个顶点会无限接近， ∴该四边形最后会变成一个点； （3）∵在这一变化过程中，该四边形的各个外角保持不变， ∴该四边形最后会变成一个点时，四边形的四个外角就变成了围绕这个点的周角， 又∵周角为360°， ∴四边形的外角和等于360°． 【点评】此题主要考查了四边形的外角和，周角的定义，理解随着该四边形的面积的不断缩小，四边形的四个顶点会无限接近，最后会变成一个点是解决问题的关键． 37．（2026春•息县月考）在四边形ABCD中，∠A＝98°，∠D＝140°． （1）如图1，若∠B＝∠C，则∠B＝　61　 度； （2）如图2，作∠BCD的平分线CE交AB于点E，若CE∥AD，求∠B的度数； （3）如图3，作∠ABC和∠DCB的平分线交于点E，求∠BEC的度数． 【考点】多边形内角与外角；平行线的性质． 【分析】（1）由四边形内角和为360°，代入∠A＝98°，∠D＝140°，∠B＝∠C求解即可得到答案； （2）由平行性质得到∠CEB＝∠A＝98°，∠D+∠DCE＝180°，再由邻补角及角平分线定义得到∠ECB＝∠DCE＝40°，在△BCE中，由三角形内角和定理代值求解即可得到答案； （3）由（1）可知∠ABC+∠BCD＝122°，再由角平分线定义得到，进而求出∠EBC+∠ECB，在△BCE中，由三角形内角和定理代值求解即可得到答案． 【解答】解：（1）∵∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，∠A＝98°，∠D＝140°，∠B＝∠C， ∴， 故答案为：61； （2）CE∥AD， ∴∠D+∠DCE＝180°，∠CEB＝∠A＝98°， ∴∠DCE＝180°﹣∠D＝180°﹣140°＝40°， ∵CE平分∠BCD， ∴∠ECB＝∠DCE＝40°， 在△BCE中，∠B+∠BCE+∠CEB＝180°， ∴∠B＝180°﹣∠CEB﹣∠BCE＝180°﹣98°﹣40°＝42°； （3）由（1）可知∠ABC+∠BCD＝122°， ∵CE平分∠BCD，BE平分∠ABC， ∴， ∴， ∴∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝180°﹣61°＝119°． 【点评】本题考查四边形、三角形中求角度，涉及四边形内角和为360°、平行性质、邻补角定义、角平分线求角度、三角形内角和定理等知识，数形结合，准确表示出相关角度的关系是解决问题的关键． 38．（2026春•宝山区校级期中）如果一个多边形的内角和是四边形内角和的5倍，那么这个多边形的边数是多少？ 【考点】多边形内角与外角． 【分析】根据多边形的内角和是四边形的内角和的5倍，列出方程求解即可． 【解答】解：设多边形的边数是n，内角和为（n﹣2）•180°， ∵四边形的内角和是360°，根据多边形的内角和是四边形的内角和的5倍， ∴（n﹣2）•180°＝360°×5，解得：n＝12． 【点评】本题考查多边形的内角与外角，掌握多边形的内角和公式是解题关键． 39．（2026春•康县期中）一个多边形的内角和比它的外角和的4倍多180°，求：这个多边形是几边形？ 【考点】多边形内角与外角． 【分析】设这个多边形的边数为n，根据题意得（n﹣2）×180°﹣4×360°＝180°，然后解方程即可． 【解答】解：设这个多边形的边数为n，根据一个多边形的内角和比它的外角和的4倍多180°可得： （n﹣2）×180°﹣4×360°＝180°， 解得：n＝11． 【点评】本题考查了多边形的内角和外角，熟练掌握该知识点是关键． 40．（2026春•东川区期中）如果一个多边形的每个内角都是108°，这个多边形是几边形？ 【考点】多边形内角与外角． 【分析】设这个多边形是n边形，根据多边形的每个内角都相等得出每个外角都相等，利用多边形外角和是360°即可求出其边数． 【解答】解：设这个多边形是n边形， ∵多边形的每个内角都是108°， ∴多边形的每个外角都是72°， 根据题意，得72°n＝360°， 解得n＝5， 所以这个多边形是五边形． 【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角和定理是解题的关键． 💯 课后巩固 复习建议 · 平行线问题先判断用判定还是性质：已知角的关系证平行用判定，已知平行求角用性质；两者常结合使用，注意推理顺序。 · 折线角（铅笔头型、M型）必过折点作平行线，把复杂角分解为两个简单角，分别用平行线性质求解；这是最常用的辅助线。 · 多边形内角和公式(n-2)×180°必须熟记，外角和恒为360°是重要突破口；正多边形求边数时，用外角360°/n比用内角公式更简便。 · 对角线公式：从一个顶点(n-3)条、总数n(n-3)/2，注意区分；截角问题要分类讨论（边数可能不变、增1、减1）。 · 综合题中设未知数列方程是常用方法，几何推理要写出依据（平行线性质、内角和公式等），注意角度单位度分秒的换算。 【作业1】（2026•江西）如图，已知a∥b，∠1＝40°，则∠2的度数为（　　） A．40° B．100° C．120° D．140° 【考点】平行线的性质． 【分析】根据平行线的性质进行计算即可． 【解答】解：如图所示， ∵a∥b， ∴∠1+∠3＝180°． ∵∠1＝40°， ∴∠3＝140°， ∴∠2＝∠3＝140°． 故选：D． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键． 【作业2】（2026•淄博）如图，某冰球运动员用球杆连续击球，使冰球从点A出发，沿AB，BC，CD，DE运动至点E，已知AB∥CD，CB∥DE，若∠ABC＝70°，则∠CDE的度数是（　　） A．70° B．100° C．105° D．110° 【考点】平行线的性质． 【分析】由AB∥CD得∠C＝∠ABC＝70°，再由CB∥DE得∠CDE+∠C＝180°，据此可得∠CDE的度数． 【解答】解：∵AB∥CD，∠ABC＝70°， ∴∠C＝∠ABC＝70°， ∵CB∥DE， ∴∠CDE+∠C＝180°， ∴∠CDE＝180°﹣∠C＝180°﹣70°＝110°． 故选：D． 【点评】此题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． 【作业3】（2026•湖北模拟）如图是一个化学实验某一步骤的截面示意图，其中液面CD∥AB，一根粗细均匀的玻璃棒（直线）EF分别交AB、CD于点O、F，若∠AOE＝116°，则∠EFD的度数为（　　） A．116° B．74° C．64° D．54° 【考点】平行线的性质． 【分析】根据平行线的性质解答即可． 【解答】解：∵CD∥AB，∠AOE＝116°， ∴∠EFC＝∠AOE＝116°（两直线平行，同位角相等）， ∵∠EFD+∠EFC＝180°， ∴∠EFD＝64°， 则∠EFD的度数为64°， 故选：C． 【点评】本题考查了平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握． 【作业4】（2026春•莱州市期中）过七边形一个顶点可以引出的对角线将多边形分成了_____个三角形，这个多边形共有_____条对角线（　　） A．5，21 B．5，14 C．4，28 D．4，21 【考点】多边形的对角线． 【分析】根据过n边形的一个顶点引出的对角线将该多边形分成（n﹣2）个三角形分析即可． 【解答】解：过七边形一个顶点引出的对角线将多边形分成5个三角形， 共有对角线条数为：（条）， 故选：B． 【点评】本题考查了多边形的对角线问题，掌握相关知识是解题的关键． 【作业5】（2026•天桥区模拟）一个多边形的内角和是540°，这个多边形是（　　） A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 【考点】多边形内角与外角． 【分析】根据多边形的内角和公式求出边数即可． 【解答】解：设多边形的边数是n，则 （n﹣2）•180°＝540°， 解得n＝5， ∴这个多边形是五边形， 故选：A． 【点评】本题考查了多边形的内角和定理，熟记多边形内角和公式是解题的关键． 【作业6】（2026春•青秀区校级期末）用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图1所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE，则∠BAC的度数是（　　） A．36° B．30° C．25° D．20° 【考点】多边形内角与外角． 【分析】根据正五边形的性质，三角形内角和定理进行计算即可． 【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形， ∴AB＝BC，∠ABC108°， ∴∠BAC＝∠BCA36°， 故选：A． 【点评】本题考查多边形的内角与外角，掌握正五边形的性质，三角形内角和定理是正确解答的关键． 【作业7】（2026春•黄浦区期末）如图，已知AB∥CD，且∠BED＝130°，则∠B+∠D＝　130　 度． 【考点】平行线的性质． 【分析】首先过点E作EF∥AB，易得AB∥EF∥CD，然后由两直线平行，内错角相等，求得∠BEF＝∠B，∠DEF＝∠D，即可求得答案． 【解答】解：过E点作EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥EF∥CD， ∴∠BEF＝∠B，∠DEF＝∠D， ∴∠B+∠D＝∠BEF+∠DEF＝∠BED＝130°， 故答案为：130． 【点评】此题考查了平行线的性质．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 【作业8】（2026•武进区校级一模）如图，已知∠1＝∠2，∠3＝130°，则∠4的度数是　50°　 ． 【考点】平行线的判定与性质． 【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可． 【解答】解：如图， ∵∠1＝∠2， ∴a∥b， ∴∠4＝∠5， ∵∠3＝130°，∠3+∠5＝180°， ∴∠5＝50°， ∴∠4＝50°， 故答案为：50°． 【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 【作业9】（2026•淮安）如图，∠1与∠2互为补角．若∠3＝70°，则∠4＝　110　 °． 【考点】平行线的判定与性质；余角和补角． 【分析】根据平行线的判定与性质进行计算即可． 【解答】解：如图所示， ∵∠3＝70°， ∴∠5＝180°﹣∠3＝180°﹣70°＝110°． ∵∠1与∠2互为补角， ∴∠1+∠2＝180°， ∴l1∥l2， ∴∠4＝∠5＝110°． 故答案为：110． 【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质及余角和补角，熟知平行线的判定与性质是解题的关键． 【作业10】（2026春•常德期末）如图，平行线AB，CD被直线AE所截．若∠1＝105°，则∠2的度数为 　75°　 ． 【考点】平行线的性质；对顶角、邻补角． 【分析】根据平行线的性质即可得到结论． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠1+∠2＝180°， ∵∠1＝105°， ∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣105°＝75°， 故答案为：75°． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟记两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 【作业11】（2026春•西丰县期末）已知一个多边形的内角和比外角和的3倍多180°，则这个多边形的边数是　9　 ． 【考点】多边形内角与外角． 【分析】设多边形的边数为n，结合多边形内角和公式与任意多边形外角和为360°，根据题目给出的数量关系列方程求解即可． 【解答】解：设这个多边形的边数为n， 由题意得：（n﹣2）×180°＝3×360°+180°， 解得：n＝9， 故答案为：9． 【点评】本题考查多边形内角和公式与多边形外角和定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业12】（2025秋•新城区校级期末）从十边形的一个顶点出发，能引出 　7　 条对角线． 【考点】多边形的对角线． 【分析】多边形有n条边，则经过多边形的一个顶点的所有对角线有（n﹣3）条，由此计算即可． 【解答】解：多边形有n条边，则经过多边形的一个顶点的所有对角线有（n﹣3）条， 10﹣3＝7， 从十边形一个顶点出发可引出7条对角线， 故答案为：7． 【点评】本题考查了多边形的边数与对角线的关系，熟记多边形的边数与对角线的关系式是解题的关键． 【作业13】（2026•新余二模）如图，图1为传统建筑中的一种窗格，图2为其窗框的示意图，多边形ABCDEFGH为正八边形，连接AC，则∠BAC＝　22.5　 °． 【考点】多边形内角与外角． 【分析】根据多边形的内角与外角解答即可． 【解答】解：根据多边形的内角与外角可知： ， ∴． 故答案为：22.5． 【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握该知识点是关键． 【作业14】（2026•沙坪坝区校级开学）从一个正多边形的一个顶点出发所引出的对角线条数是7条，则该正多边形的每一个外角为　36°　 ． 【考点】多边形内角与外角；多边形的对角线． 【分析】先根据从一个顶点引出对角线的数量关系求出正多边形的边数，再结合多边形外角和定理计算每个外角的度数． 【解答】解：设该正多边形的边数为n，引出的对角线条数为n﹣3， ∴n﹣3＝7，解得n＝10，即该正多边形是正十边形， ∵任意多边形的外角和都为360°，正多边形的每个外角相等， ∴该正多边形的每一个外角为． 故答案为：36°． 【点评】本题考查了多边形的内角和外角性质、多边形的对角线，熟练掌握以上知识点是关键． 【作业15】（2026•望奎县开学）如图1，将三角尺ABC与三角尺ADE摆放在一起，其中∠ACB＝30°，∠DAE＝45°，∠BAC＝∠D＝90°．如图2，固定三角尺ABC，将三角尺ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠CAE＝α（0°＜α＜180°）． （1）当α＝　60°　 时，AE⊥BC；当α＝　105°　 时，AD⊥BC． （2）在旋转过程中，观察∠BAE，∠CAD角度的变化． ①若∠BAE﹣∠CAD＝45°，则α的取值范围是　0°＜α≤45°　 ； ②若∠BAE+∠CAD＝45°，则α的取值范围是　45°＜α≤90°　 ； ③若∠CAD﹣∠BAE＝45°，则α的取值范围是　90°＜α＜180°　 ． （3）当△ADE旋转时，若它的一边与△ABC的某一边平行（不共线）时，直接写出α的所有取值． 【考点】平行线的判定与性质． 【分析】先明确初始位置各角的关系：因为初始时∠BAC＝90°、∠DAE＝45°且A、C、E共线，所以可确定旋转角α与各角的对应关系． （1）针对垂直的情况：如果两条直线垂直，那么它们的夹角为90°，结合△ABC的已知角度，推导对应位置下α的度数． （2）针对角的数量关系：先根据0°＜α≤45°，45°＜α≤90°，90°＜α＜180°，确定∠BAE、∠CAD用α表示的表达式，可得给定的等式． （3）针对平行的情况：分△ADE的三边分别与△ABC的三边平行的所有情况，当AD∥BC时，当DE∥AB时，当DE∥BC时，当DE∥AC时，当AE∥BC时，根据平行线的性质，对应角相等或互补或垂直，求解每种情况的α． 【解答】解：（1）当AE⊥BC时，设AE交BC于点F， 在△AFC中，∠C＝30°，∠AFC＝90°， ∴∠CAE＝180°﹣90°﹣30°＝60°， 即α＝60°． 当AD⊥BC时，设AD交BC于点G， 在△AGC中，∠C＝30°，∠AGC＝90°， ∴∠CAD＝60°； 又∵∠DAE＝45°， ∴∠CAE＝∠DAE+∠CAD＝105°， 可得α＝105°． 故答案为：60°，105°； （2）已知∠BAC＝∠ADE＝90°，∠DAE＝∠E＝45°，旋转角α＝∠CAE， ①0°＜α≤45°：此时∠CAD＝45°﹣α，∠BAE＝90°﹣α， 得∠BAE﹣∠CAD＝45°，对应①的条件． ②45°＜α≤90°，此时∠CAD＝α﹣45°，∠BAE＝90°﹣α， 得∠BAE+∠CAD＝45°，对应②的条件． ③90°＜α＜180°，此时∠CAD＝α﹣45°，∠BAE＝α﹣90°， 得∠CAD﹣∠BAE＝45°，对应③的条件． 故答案为：①0°＜α≤45°；②45°＜α≤90°；③90°＜α＜180°； （3）当DE∥AB时，∠BAE＝∠E＝45°， ∴α＝∠CAE＝∠BAC﹣∠BAE＝45°； 当DE∥BC时，设AD交BC于点G，则∠AGB＝∠D＝90°， ∴∠CAD＝∠AGB﹣∠C＝60°， ∴α＝∠CAE＝∠CAD+∠DAE＝105°； 当DE∥AC时， ∵AB⊥AC， ∴AB⊥DE， ∵AD⊥DE， ∴A、B、D共线， ∴α＝∠CAE＝∠CAB+∠DAE＝135°； 当AE∥BC时， 得α＝∠CAE＝180°﹣∠C＝150°， 当AD∥BC时，∠DAC＝∠ACB＝30°， ∴α＝∠CAE＝∠DAE﹣∠DAC＝15°； 综上，所有满足“不共线”条件的α为150°、45°、105°、135°、15°． 【点评】本题考查了图形的旋转、平行线的性质、三角尺中角的和差的计算，解答此题的关键是通过画图，确定旋转后△ADE的位置． 【作业16】（2026秋•南宁校级月考）某城市为了强化音乐喷泉灯光秀的灯光效果，在河的两岸安置了可旋转探照灯．假定河两岸是平行的，如图1所示：AB∥CD，PQ⊥AB，PQ⊥CD，∠MPQ＝∠NQD＝30°，灯P射线从PM开始绕P点逆时针旋转，与此同时，灯Q射线从QN开始绕Q点顺时针旋转．若灯P、灯Q转动的速度分别是a度/秒、b度/秒，且满足：|a+b﹣6|+（b﹣4）2＝0．设旋转时间为t秒． （1）填空：a＝　2　 ，b＝　4　 ． （2）在灯Q射线到达QC之前，灯P射线与线段PQ的夹角为　（30+2t）　 度，灯Q射线与线段PQ的夹角为　（60+4t）　 度．（均用含t的代数式表示） （3）在（2）的条件下，当两灯射出的光束互相平行时，求t的值． （4）如图2，若两灯同时转动，在灯Q射线到达QD之前，两灯射出的光束交于点E．点F在射线PB上，且∠PQE＝k•∠PEF，则在转动过程中，是否存在一点F，使得∠QEF为定值？若存在，请直接写出k的值和∠QEF的度数；若不存在，请说明理由． 【考点】平行线的判定与性质；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；列代数式；一元一次方程的应用． 【分析】（1）根据两个非负数和为零，即可得出这两个非负数均为零，列出关于a和b的方程，求解即可； （2）根据灯P射线运动速度和时间得出旋转角度，加上原来∠MPQ可得灯P射线与线段PQ的夹角，根据灯Q射线运动速度和时间得出旋转角度，加上原来∠PQN可得灯Q射线与线段PQ的夹角； （3）在（2）的条件下，当两灯射出的光束互相平行时分三种情况进行讨论求解即可； （4）由三角形内角和定理求出∠PEQ的度数，由∠PQE＝k•∠PEF表示出∠PEF的度数，再由含t的表达式表示出∠QEF，当时，存在一点F，使得k为定值，进而求出∠QEF的值． 【解答】解：（1）∵|a+b﹣6|+（b﹣4）2＝0， ∴|a+b﹣6|≥0，（b﹣4）2≥0， ∴， 解得． 故答案为：2，4； （2）如图1， ∵灯P、灯Q转动的速度分别是2度/秒、4度/秒，∠MPQ＝∠NQD＝30°， ∴∠QPM1＝30°+2°t，∠PQN1＝60°+4°t， ∴在灯Q射线到达QC之前， 灯P射线与线段PQ的夹角为（30+2t）度， 灯Q射线与线段PQ的夹角为（60+4t）度； 故答案为：（30+2t），（60+4t）； （3）在（2）的条件下，当两灯射出的光束互相平行时有以下三种情况， 情况一：当PM在PQ的右侧，QN在PQ的左侧时，如图： ∵a＝2，b＝4， ∴∠QPM＝30°+2°t，∠PQN＝360°﹣（60°+4°t）＝300°﹣4°t， ∵PM∥QN ∴∠QPM＝∠PQN ∴30°+2°t＝300°﹣4°t 解得t＝45； 情况二：当PM，QN都在PQ的右侧时，如图， ∵a＝2，b＝4， ∴∠QPM＝30°+2°t，∠PQN＝60°+4°t， ∵PM∥QN ∴∠QPM+∠PQN＝180° ∴30°+2°t+60°+4°t＝180°， 解得t＝15； 情况三：当PM，QN都在PQ的左侧时，如图， ∵a＝2，b＝4， ∴∠QPM＝360°﹣（30°+2°t）＝330°﹣2°t，∠PQN＝360°﹣（60°+4°t）＝300°﹣4°t， ∵PM∥QN ∴∠QPM+∠PQN＝180° ∴330°﹣2°t+300°﹣4°t＝180° 解得t＝75； 又∵在灯Q射线到达QC之前，则（秒）， 综上，当两灯射出的光束互相平行时，t的值为15或45． （4）如图2， 在转动过程中，存在一点F，使得∠QEF为定值．理由： 设灯P射线转动时间为t秒，则∠QPE＝30°+2°t，∠PQE＝60°+4°t ∴∠PEQ＝180°﹣∠QPE﹣∠PQE＝180°﹣（30°+2°t）﹣（60°+4°t）＝90°﹣6°t ∵∠PQE＝k•∠PEF， ∴，即 ∴ ∴当时，在转动过程中，存在一点F，使得∠QEF为定值， 此时，． 【点评】本题主要考查了绝对值与平方数的非负性、平行线的性质、角度的动态计算与定值探究，熟练掌握平行线性质及通过分类讨论、用变量表示角度来分析定值问题是解题的关键． 【作业17】（2026秋•红桥区校级月考）如图，在△ABC中，AD是高，EF⊥BC于点F，DG是△ADC的角平分线，且DG∥AB，试说明：∠BEF＝∠GDC． 【考点】平行线的性质． 【分析】先说明AD∥EF，根据平行线的性质，可得∠BEF＝∠BAD，∠BAD＝∠ADG，再根据角平分线的定义，说明∠ADG＝∠GDC，等量代换即可． 【解答】解：∵AD是高，EF⊥BC， ∴∠BFE＝∠ADB＝90°， ∴AD∥EF， ∴∠BEF＝∠BAD， ∵DG∥AB， ∴∠BAD＝∠ADG， ∵DG是△ADC的角平分线， ∴∠ADG＝∠GDC， ∴∠BEF＝∠GDC． 【点评】本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业18】（2026春•梅州月考）一个多边形的内角和等于它外角和的2倍，它是几边形？ 【考点】多边形内角与外角． 【分析】根据n边形的内角和为（n﹣2）•180°，外角和为360度列出方程求解即可． 【解答】解：设多边形的边数为m， 根据题意得：360°×2＝（m﹣2）×180°， 解得m＝6， 答：这个多边形是六边形． 【点评】本题主要考查了多边形内角和、外角和，掌握多边形内角和、外角和的性质是解题的关键． 【作业19】（2026春•梅河口市校级期末）一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，求这个多边形的内角和与边数． 【考点】多边形内角与外角． 【分析】设多边形的边数为n，根据多边形内角和定理、外角和定理列出（n﹣2）×180°＝360°×4，求解即可． 【解答】解：设多边形的边数为n， 根据题意得（n﹣2）×180°＝360°×4， 解得n＝10， ∴（10﹣2）×180°＝1440°， 即这个多边形的内角和是1440°，边数为10． 【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形内角和定理、外角和定理是解题的关键． 【作业20】（2026春•邓州市期末）阅读小明和小红的对话，解决下列问题． （1）这个“多加的锐角”是 　30　 度． （2）小明求的是几边形内角和？ （3）若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度？ 【考点】多边形内角与外角． 【分析】（1）根据多边形内角和的计算方法进行估算即可； （2）根据对话和多边形内角和的计算方法列方程求解即可； （3）根据正多边形内角的计算方法进行计算即可． 【解答】解：（1）12边形的内角和为（12﹣2）×180°＝1800°，而13边形的内角和为（13﹣2）×180°＝1980°， 由于小红说“多边形的内角和不可能是1830°，你一定是多加了一个锐角”， 所以这个“多加的锐角”是1830°﹣1800°＝30°， 故答案为：30； （2）设这个多边形为n边形，由题意得， （n﹣2）×180°＝1800°， 解得n＝12， 答：小明求的是12边形内角和； （3）正十二边形的每一个内角为150°， 答：这个正多边形的一个内角是150°． 【点评】本题考查多边形的内角和和外角和，掌握多边形内角和的计算方法以及正多边形的性质是正确解答的前提． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $