精品解析：山西朔州市怀仁市第一中学校2026-2027学年高二上学期第三次月考数学试卷

怀仁一中高二年级2026—2027学年上学期第三次月考·数学 一．单选题（每小题5分，共40分） 1. 若直线经过两点，且倾斜角为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两点的斜率公式即可求解. 【详解】解：由题意知， ， 解得： 故选：A. 2. 若方程 表示一个焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用椭圆的性质建立不等式组，求解参数范围即可. 【详解】因为方程 表示一个焦点在轴上的椭圆， 所以 ，解得. 3. 空间四边形中，，，，且，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的线性运算求解即可. 【详解】由题知空间四边形中，，，， 且，，如图， 所以， 所以． 故选：D 4. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用投影向量的计算公式计算即可. 【详解】向量在向量上的投影向量 故选：C 5. 已知点P在直线上，过点P作圆的切线，则切线的长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知求出圆心的坐标及圆的半径，设切点为，由可知，当最小时，取得最小值，进而根据圆心到直线距离求解最小值即可解决问题. 【详解】由已知条件可得：圆心坐标为，圆的半径， 假设直线与圆的切点为，易知：. 则在中有，即. 由此可得：当最小时，取得最小值. 因为，当时，最小，此时，可得：， 所以的最小值为. 6. 在以下命题中，正确的命题有（   ） A. 是，共线的充要条件 B. 若，则存在唯一的实数，使 C. 对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面 D. 已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量共线的概念可判断A；利用与任意向量共线可判断B；利用共面定理可判断C；利用向量共面的性质可判断D. 【详解】对于A：当非零向量同向时，，共线，但，故A错误； 对于B：当，，满足，此时不存在实数，使，故B错误； 对于C：因为，满足，则由共面向量定理知四点共面，故C正确； 对于D: 若共线时，显然共面，于是只能表示和共面的向量，对于空间中的任意向量则不一定成立,故D错误. 7. 若动点A，B分别在直线：和：上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意易得，M点的轨迹为平行于直线、且到、距离相等的直线l，求出其方程，再利用点到直线的距离公式可得出结果． 【详解】由题意知，M点的轨迹为平行于直线、且到、距离相等的直线l， 可设直线l方程为， 直线、与y轴的交点分别为、，则直线l与y轴的交点分别为， 将代入直线l的方程得， 故其方程为， 到原点的距离的最小值为． 故选C． 8. 如图，在直三棱柱中，，，、分别为，的中点，则直线到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先证，推出平面，把直线到平面距离转化为点到平面的距离，再建立空间直角坐标系，求出相关点与向量，解方程组得到平面的法向量，最后代入点到平面距离公式算出结果． 【详解】如图，连接， 因为在直三棱柱中，、分别为，的中点， 所以且， 所以四边形是平行四边形， 所以． 又平面，平面， 所以平面， 则点到平面的距离即为直线到平面的距离． 以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系． 因为，、分别为，的中点， 所以， 则， 设平面的法向量为， 则，即， 取，则， 所以平面的法向量为， 又， 所以点到平面的距离为， 则直线到平面的距离为． 二．多选题（每小题6分，共18分） 9. 圆和圆的交点为，，则有（　　） A. 公共弦所在直线的方程为 B. 线段中垂线方程为 C. 公共弦的长为 D. 为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】两圆方程相减即可得公共弦的方程即可判断A，求出其中一个圆的圆心坐标，由垂直关系可得中垂线的斜率，利用点斜式方程可求中垂线方程即可判断B；求出其中一个圆的圆心到直线的距离，则公共弦的长可求，即可判断C；利用点到直线的距离公式求圆心到的距离，加上半径即为最大值，即可判断D. 【详解】对于A，因为圆，即，则圆心为，半径， 圆，即，则圆心为，半径； 又，则，所以两圆相交， 将两式作差可得公共弦所在直线的方程为，即，故A正确； 对于B，圆的圆心为，又， 则线段中垂线的斜率为，即线段中垂线方程为， 整理可得，故B正确； 对于C，圆心到的距离为， 又圆的半径，所以，故C错误； 对于D，为圆上一动点，圆心到的距离为， 又圆的半径，所以到直线距离的最大值为，故D正确. 故选：ABD. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若直线与圆相交，则点在圆的外部 B. 直线被圆所截得的最短弦长为 C. 若圆上有4个不同的点到直线的距离为1，则有 D. 若过点作圆的切线只有一条，则切线方程为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，直线与圆相交，说明圆心到直线距离小于半径；对于B，化简直线方程可知该直线过定点，圆心到该定点的距离即圆心到该动直线距离的最小值，再利用勾股定理，可求弦长最小值；对于C，圆上有四点到直线距离为1，说明平行于该直线且距离为1的两直线均与圆相交；对于D，过某点作圆的切线只有一条，说明该点在圆上. 【详解】对于A，直线与圆相交， 所以，即，因此点在圆的外部，故A正确； 对于B，直线方程变形得，，可知该直线必过定点， 因此圆心到直线的距离的最小值为， 此时该直线被圆所截的弦最短，弦长为，故B正确； 对于C，到直线距离为且平行的直线分别为和， 圆心到直线的距离为，到的距离为， 该圆要与直线距离为的点有四个，等价于与和分别有两个交点， 所以半径需满足，，即，故C错误； 对于D，过点作圆的切线只有一条，则点在圆上，代入可得圆， 过点的半径所在直线的斜率为，故切线的斜率为， 则切线方程为，即，故D正确. 11. 如图，已知正方体的棱长为2，为底面内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 存在点，使得 C. 若，则点在正方形底面内的运动轨迹长为 D. 若点是的中点，点是的中点，过，作平面平面，则平面截正方体的截面面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用等体积法求出体积判断A；建立空间直角坐标系，利用空间位置的向量证明推理判断BC；作出截面并求出面积判断D. 【详解】对于A，在棱长为2的正方体中，三棱锥的高， ，则，即三棱锥的体积为定值，A正确； 对于B，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设， ，若，则， 即，取，此时点与点重合，因此存在点，使得，B正确； 对于C，，由，得， 即，因此点的轨迹是线段，轨迹长为，C错误； 对于D，取中点，连接，则，连接，而，平面， 又平面，则，，又，平面， 于是平面，取中点为，则，且四点共面， 则平面即为平面，令平面交分别于点， 由两平面平行性质知，又都是对应棱的中点， 则是中点，是中点，因此平面截正方体的截面为正六边形， ，截面面积为，D正确. 三．填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知周长为，，则顶点的轨迹方程为__________. 【答案】 【解析】 【详解】由，，得. 周长为，故. ，所以点轨迹为焦点在轴上的椭圆，除去与共线两点. 设椭圆方程. 椭圆焦点在轴，，， ，所以得椭圆方程：. 不在直线上，故. 顶点的轨迹方程为. 13. 已知，，，若三个向量不能作为空间向量的一组基底，则实数等于________． 【答案】4 【解析】 【分析】因为三个向量不能作为空间向量的一组基底，所以共面，由向量共面的条件求解即可. 【详解】因为三个向量不能作为空间向量的一组基底， 所以共面（只有不共面的三个向量才能作为空间向量的一组基底）， 则存在，使得，即， 所以,解得. 故答案为：4 14. 已知一束光线通过点，经直线反射，如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的一般式方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】用对称性求关于直线的对称点，再应用点斜式写出直线方程． 【详解】设关于直线的对称点为， 所以，解得，即， 依题意在反射光线上，又也在反射光线上， 所以，故所求方程为，整理得． 四．解答题（共5小题，77分） 15. 已知向量. （1）求； （2）求与的夹角； （3）若与垂直，求实数t的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 因为， 所以,  所以； 【小问2详解】 因为， 所以， 所以， ​，， 设与的夹角为， 则， 又，得； 【小问3详解】 因为， 所以，， 因为与垂直，所以， 故，解得. 16. 已知三个顶点的坐标为，，． （1）求边上的中线所在直线的方程； （2）求边上的高所在直线的方程； （3）若直线与边平行，且在轴上的截距与在轴上的截距之和等于4，求的方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用中点坐标求出中点，结合两点纵坐标相等写出中线所在直线的方程； （2）先求底边的斜率，利用垂直直线斜率关系得出的斜率，结合点斜式求高线所在直线的方程； （3）由平行关系得到直线的斜率，设直线的斜截式，利用截距之和建立方程求解参数，得到直线的方程． 【小问1详解】 ，， 因为为的中点，所以，即， 所以边上的中线所在直线的方程为； 【小问2详解】 ，， 因为所在直线的斜率， 所以所在直线的斜率， 所以所在直线的方程为，即； 【小问3详解】 ，， 因为所在直线的斜率， 所以可设直线的方程为， 此时在轴上的截距为，在轴上的截距为， 所以，解得， 所以直线的方程为，即． 17. 如图，在三棱柱中，为的中点，，二面角的平面角的大小为． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1）已知二面角的平面角，由二面角的定义可知：. 因为，平面，平面， 所以平面，又平面，所以； 因为是中点，，所以， 由余弦定理得：， 所以，满足，所以， 因为，平面，平面，所以平面，即得证. （2） 【解析】 【分析】（1）用线面垂直的判定定理结合余弦定理证明； （2）建立空间直角坐标系，用点到平面的距离公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，所以、、互相垂直，如图所示，建立空间直角坐标系， 设，则，，，， 所以，，，设平面法向量为， 则，即：，令，得，所以， 所以点到平面的距离为. 18. 已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心在直线上. （1）求圆C的标准方程； （2）已知线段PQ的端点Q的坐标是，端点P在圆C上运动，线段PQ的中点T的轨迹为曲线S，曲线S与圆C相交于D，E两点，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求线段的垂直平分线方程得，进而与直线联立得圆心坐标，再求半径，最后得标准方程； （2）设，进而根据相关点法得的轨迹方程为，再两圆方程作差得公共弦方程为，最后求解弦长即可. 【小问1详解】 解：由题知线段的中点为，的斜率为， 所以线段的垂直平分线的斜率为，其方程为， 所以圆心C在直线上， 又因为圆心C在直线上， 所以，解得，即圆心坐标为， 所以圆C的半径为 所以圆C的标准方程为 【小问2详解】 解：设， 因为，所以由中点坐标公式得 因为P在圆C上运动，即 所以，即， 所以点的轨迹方程为，即曲线的方程. 圆：，曲线： 所以圆与曲线的公共弦方程为， 圆心到公共弦的距离为， 所以公共弦 19. 已知如图，四边形为矩形，为梯形，平面平面， ，，． （1）若为中点，求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点（除去端点），使得平面与平面夹角的大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）由平面平面，交线为，为矩形得出，故平面， 以为原点，建立下图所示空间直角坐标系， 则， 为中点，故， 向量， 设平面的法向量为， 则，令，则， ，故， 又平面，故平面． （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，证明直线的方向向量与该法向量垂直，结合线不在平面内证出线面平行； （2）求出直线方向向量与平面的法向量，利用线面角向量公式计算线面角的正弦值； （3）设线段比例参数表示点坐标，求出两个平面的法向量，借助面面夹角的向量公式列方程求解参数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，平面内向量， 设平面的法向量为，则 ，令，则， ． 【小问3详解】 设，则， 平面内向量， 设平面的法向量，则， 令，则， 已知两平面夹角为，故法向量夹角余弦值为， 化简整理得，解得（舍去）或， 故存在点，使得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 怀仁一中高二年级2026—2027学年上学期第三次月考·数学 一．单选题（每小题5分，共40分） 1. 若直线经过两点，且倾斜角为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 2. 若方程 表示一个焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 空间四边形中，，，，且，，则（　　） A. B. C. D. 4. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 5. 已知点P在直线上，过点P作圆的切线，则切线的长的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 在以下命题中，正确的命题有（   ） A. 是，共线的充要条件 B. 若，则存在唯一的实数，使 C. 对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面 D. 已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得 7. 若动点A，B分别在直线：和：上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在直三棱柱中，，，、分别为，的中点，则直线到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 二．多选题（每小题6分，共18分） 9. 圆和圆的交点为，，则有（　　） A. 公共弦所在直线的方程为 B. 线段中垂线方程为 C. 公共弦的长为 D. 为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若直线与圆相交，则点在圆的外部 B. 直线被圆所截得的最短弦长为 C. 若圆上有4个不同的点到直线的距离为1，则有 D. 若过点作圆的切线只有一条，则切线方程为 11. 如图，已知正方体的棱长为2，为底面内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 存在点，使得 C. 若，则点在正方形底面内的运动轨迹长为 D. 若点是的中点，点是的中点，过，作平面平面，则平面截正方体的截面面积为 三．填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知周长为，，则顶点的轨迹方程为__________. 13. 已知，，，若三个向量不能作为空间向量的一组基底，则实数等于________． 14. 已知一束光线通过点，经直线反射，如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的一般式方程为________． 四．解答题（共5小题，77分） 15. 已知向量. （1）求； （2）求与的夹角； （3）若与垂直，求实数t的值． 16. 已知三个顶点的坐标为，，． （1）求边上的中线所在直线的方程； （2）求边上的高所在直线的方程； （3）若直线与边平行，且在轴上的截距与在轴上的截距之和等于4，求的方程． 17. 如图，在三棱柱中，为的中点，，二面角的平面角的大小为． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离． 18. 已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心在直线上. （1）求圆C的标准方程； （2）已知线段PQ的端点Q的坐标是，端点P在圆C上运动，线段PQ的中点T的轨迹为曲线S，曲线S与圆C相交于D，E两点，求. 19. 已知如图，四边形为矩形，为梯形，平面平面， ，，． （1）若为中点，求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点（除去端点），使得平面与平面夹角的大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $