精品解析：山西省长治学院附属太行中学2026-2027学年高二上学期第二次月考数学试题

太行中学 2026—2027 学年第一学期第二次月考 高二数学 一、单选题：本题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 圆的圆心到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 3. 若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为 （    ） A. B. C. D. 5. 给出下列命题，其中正确的是（ ） A. 点关于平面对称的点的坐标为 B. 若点，且满足，则点的坐标为 C. 若三点不共线，点在平面外，点满足，则当点共面时，实数 D. 向量在向量上的投影向量的模长为 6. 已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（ ） A. 25 B. 10 C. 6 D. 5 7. 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ） A. 1 B. C. D. 8. 如图，正方体 的棱长为 1，动点 在线段 上，动点 在平面 上，且 平面 ，则线段 长度的取值范围为（　　） A. B. C. D. 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 9. 已知直线l：，则下列说法正确的是（ ） A. 直线l恒过定点 B. 直线l的一个方向向量为 C. 若直线l在x轴上的截距为3，则 D. 若，则直线l的倾斜角α的取值范围为 10. 已知圆与圆相交于两点，则下列选项正确的是（ ） A. 圆与圆有四条公切线 B. 垂直平分 C. 直线的方程为 D. 线段的长为 11. 四棱锥的底面为正方形，点P在底面的射影与A重合，，，动点M在线段上，则下列说法正确的是（ ） A. 存在唯一点M，使得 B. 的最小值是 C. 四棱锥外接球的体积为 D. 点M到直线的距离的最小值为 三、填空题：本题共 3 小题，每题 5 分，共 15 分. 12. 过，两点的直线的倾斜角为________. 13. 已知直线：与圆：交于，两点，则________． 14. 在 中，内角 的对边分别是 ，，，， 所在平面内一点 满足 ，且 ，则 的值为 ______． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 15. 已知a，b，c分别是的内角A，B，C的对边，且． （1）求B； （2）若，求面积的最大值． 16. 已知直线． （1）证明：直线过定点； （2）直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程； （3）求点到直线距离的最大值及此时直线的方程． 17. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，上的动点，且． （1）求证：； （2）当为的中点时，求与所成角的余弦值； （3）当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角正切值． 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）若，， （ⅰ）求二面角的余弦值； （ⅱ）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 19. 已知线段AB的端点，端点B在圆上运动，线段AB的中点M的轨迹方程为圆. （1）求圆C的方程； （2）设点，若圆C上存在点P，使得成立，求实数的取值范围； （3）若斜率为k直线l与圆C相交于E，F两点（不与原点O重合），直线，的斜率分别为，且，证明：直线l恒过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太行中学 2026—2027 学年第一学期第二次月考 高二数学 一、单选题：本题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，，所以. 2. 圆的圆心到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可. 【详解】由题意得，即， 则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为. 故选：D. 3. 若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二元二次方程表示圆的条件，以及点与圆的位置关系，列出不等式组，即可求解. 【详解】因为点在圆的外部， 则满足，解得 所以实数的取值范围是. 4. 设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为 （    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合的图象，进行求解. 【详解】设直线的倾斜角为， 则有，且， 作出的图象，如图所示： 由此可得. 5. 给出下列命题，其中正确的是（ ） A. 点关于平面对称的点的坐标为 B. 若点，且满足，则点的坐标为 C. 若三点不共线，点在平面外，点满足，则当点共面时，实数 D. 向量在向量上的投影向量的模长为 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间点面对称性质，空间点共线坐标表示，共面向量定理以及向量投影模长公式逐项分析即可. 【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标为，故A错误； 对于B，设点的坐标为，由点， 则， 又，所以， 即，解得：，所以点的坐标为，故B错误； 对于C，当点共面时，对空间任意一点，若， 由共面向量定理可得：，解得：，故C错误； 对于D，由向量，则， 所以向量在向量上的投影向量的模长为： ，故D正确. 6. 已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（ ） A. 25 B. 10 C. 6 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】将不等式同向变形为参数的上界，再利用基本不等式求该上界的最小值，并检查等号成立条件． 【详解】因为，，所以． 原不等式恒成立，当且仅当． 令，则， 当且仅当，即时取等号． 因此，且最小值为，故的最大值为． 7. 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得，利用韦达定理结合夹角公式运算求解. 【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为， 因为，则， 可得， 则， ， 即为钝角， 所以； 法二：圆的圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为，连接， 可得，则， 因为 且，则， 即，解得， 即为钝角，则， 且为锐角，所以； 方法三：圆的圆心，半径， 若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意； 若切线斜率存在，设切线方程为，即， 则，整理得，且 设两切线斜率分别为，则， 可得， 所以，即，可得， 则， 且，则，解得. 故选：B. 8. 如图，正方体 的棱长为 1，动点 在线段 上，动点 在平面 上，且 平面 ，则线段 长度的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系， 是平面 的法向量，先由 平面 表示出 点，再把 表示为函数求解． 【详解】以 为原点， 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系，则 ，，． 设 （），． ，，取平面 的法向量 ． ∵ 平面 ，∴ 与 共线，得 ，． ∴ ． ∵ ，∴ 当 时 取最小值 ，当 或 时取最大值 ． ∴ ． 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 9. 已知直线l：，则下列说法正确的是（ ） A. 直线l恒过定点 B. 直线l的一个方向向量为 C. 若直线l在x轴上的截距为3，则 D. 若，则直线l的倾斜角α的取值范围为 【答案】AC 【解析】 【详解】直线，整理得， 故直线恒过点，故A正确； 直线斜率，可取方向向量，而方向向量仅当时， 是直线的方向向量，故B错误； 由题意知在直线上，故，解得，故C正确； ，倾斜角范围，不是，故D错误． 10. 已知圆与圆相交于两点，则下列选项正确的是（ ） A. 圆与圆有四条公切线 B. 垂直平分 C. 直线的方程为 D. 线段的长为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由两圆的位置关系判断A；由圆的对称性判断B；联立两圆方程，消去二次项，即可得直线AB的方程，即可判断C；求出两圆的交点坐标，由两点间的距离公式求出的长，即可判断D. 【详解】对于A，因为两圆相交， 所以两圆只有两条公切线，故A错误； 对于B，由图形对称性可知，垂直平分，故B正确； 对于C，联立， 两式相减，得到， 即为直线AB的方程，故C正确； 对于D选项，联立， 可得或， 则，故D正确． 11. 四棱锥的底面为正方形，点P在底面的射影与A重合，，，动点M在线段上，则下列说法正确的是（ ） A. 存在唯一点M，使得 B. 的最小值是 C. 四棱锥外接球的体积为 D. 点M到直线的距离的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，通过证明可得为中点时符合题意；对于B，将和所在平面沿展开在一个平面内，利用余弦定理可求；对于C，直接求出外接球的半径，再计算其体积即可，对于D，设为在底面上的投影，过作，连接，设,将点到直线的距离表示为的函数，然后求该函数的最小值即可. 【详解】对于A，连接，且， 则，若， 因为，面，面， 所以面，又因为面， 所以， 因为点P在底面的射影与A重合，即面， 又面，所以， 在平面中，，， 所以， 因为底面为正方形，所以为中点， 所以为中点，故存在唯一点M，使得，A正确； 对于B，将和所在平面沿展开在一个平面内，如图所示， 则的最小值为， 因为面，面， 所以，又，， 所以面，又面， 所以，同理，， 又底面为正方形，，， 所以，所以， 所以，， 所以， 所以，即的最小值是，B正确； 对于C，由题意，可将四棱锥补形成长方体， 所以四棱锥外接球半径为， 所以外接球体积为，故C错误； 对于D，设点在底面的投影为且，过作，连接， 所以面，又面， 所以， 又因为，，面，面， 所以面，又面， 所以， 所以到直线的距离即为， 因为面，面， 所以， 所以, 设, 因为，，， 所以，故， 在正方形中，，所以， 所以， 所以当时，取到最小值为， 所以点M到直线的距离的最小值为. 三、填空题：本题共 3 小题，每题 5 分，共 15 分. 12. 过，两点的直线的倾斜角为________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用直线倾斜角与斜率的关系即可求得结果. 【详解】设该直线的倾斜角为，易知， 由题意知，即； 可得. 故答案为： 13. 已知直线：与圆：交于，两点，则________． 【答案】8 【解析】 【分析】由圆方程得到圆圆心为，半径为.根据点到直线的距离公式求得，然后利用勾股定理求解可得. 【详解】由可得， 所以圆圆心为，半径为. 设圆心到直线的距离为，则， 所以 14. 在 中，内角 的对边分别是 ，，，， 所在平面内一点 满足 ，且 ，则 的值为 ______． 【答案】 【解析】 【详解】以 为原点用向量表示 ，由 解出 的坐标，再代入数量积条件即可解出． 【解答】以 为原点， 为 轴正方向建立坐标系， 则，． 设，故， 代入等式 ，得，， 故， 所以 ． 解得． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 15. 已知a，b，c分别是的内角A，B，C的对边，且． （1）求B； （2）若，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理得到，利用三角形内角和结合两角和的正弦公式，通过整理得到，由得到，通过计算得到，由得到. （2）利用三角形的面积公式求出，利用余弦定理通过计算得到，利用基本不等式得到，从而得到面积的最大值. 【小问1详解】 因为，所以， 因为，所以， 则， 即， 解得， 因为，所以， 所以转化为，解得， 因为，所以. 【小问2详解】 因为，， 所以， 因为， 代入得到， 因为，所以转化为， 即，解得， 当且仅当时取等号， 则. 16. 已知直线． （1）证明：直线过定点； （2）直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程； （3）求点到直线距离的最大值及此时直线的方程． 【答案】（1）证明：因为直线，即， 由，得，所以直线恒过定点． （2）或 （3）点到直线距离的最大值为，直线的方程为. 【解析】 【分析】（1）将的方程变形为，进而可得定点； （2）分、两种情况结合截距的定义及题设求解即可； （3）利用点到直线的几何意义，两点间的距离公式，两点的斜率公式，直线垂直的斜率关系以及求直线的点斜式方程分析求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由， 当时，，即，显然不满足题意； 当时，令，得，令，得， 由于直线在两坐标轴上的截距互为相反数，则，解得或， 则直线的方程为或. 综上所述，直线的方程为或. 【小问3详解】 令直线恒过定点为，则点到直线距离， 当时，有最大值，即， 由，所以点到直线距离的最大值为， 此时直线的斜率为：， 由，所以直线的斜率为：， 所以直线的方程为：，即. 17. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，上的动点，且． （1）求证：； （2）当为的中点时，求与所成角的余弦值； （3）当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角正切值． 【答案】（1） 以为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，，因为正方体的棱长为2，可得 ，，，，，， ，， ， ∴，故得证． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）构建空间直角坐标系，应用向量法证明线线垂直； （2）应用向量法求线线角的余弦值； （3）根据三棱锥的体积公式求体积最大时对应的长度，再利用面面角的向量法求余弦值，从而求得正切值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当为的中点时，，， ，， ， ， 设与所成角为，则． 【小问3详解】 ， 当三棱锥的体积取得最大值时，即取得最大值， ， 当时，取得最大值， 故，，，， 设平面的法向量为，则，即， 令得，故， 易知平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， ， 故，， 故平面与平面的夹角正切值为． 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）若，， （ⅰ）求二面角的余弦值； （ⅱ）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明：取的中点，连接，． 因为分别为的中点，所以且． 又且，所以且，所以四边形 为平行四边形，所以． 又平面，平面，所以平面． （2）（ⅰ）；（ⅱ）存在， 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，；证为平行四边形，根据平行四边形的性质及线面平行的判定定理证明即可. （2）（ⅰ）由得，根据面面垂直的性质及线面垂直的性质得到，以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据二面角的向量求法求解即可. （ⅱ）根据点到平面的距离的向量求法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）因为，，，所以，则． 因为平面平面，平面平面，所以平面． 又平面，所以. 又，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，． 平面即平面，其法向量． 设平面的法向量，，， 则，即，令，则，，所以. 设二面角的大小为，由图可知该二面角为钝角， 所以． 所以二面角的余弦值为. （ⅱ）设（），，则，. 点到平面的距离． 由题意得，得，解得或（舍去，因为）. 所以存在这样的点满足条件，此时，则． 19. 已知线段AB的端点，端点B在圆上运动，线段AB的中点M的轨迹方程为圆. （1）求圆C的方程； （2）设点，若圆C上存在点P，使得成立，求实数的取值范围； （3）若斜率为k直线l与圆C相交于E，F两点（不与原点O重合），直线，的斜率分别为，且，证明：直线l恒过定点. 【答案】（1） （2） （3） 设直线l的方程为，，， 由得， 所以， 且 由，得， 所以， 所以，所以直线l的方程为，当时，恒有， 即直线l过定点. 【解析】 【分析】（1）根据圆的概念，以及中点的坐标公式，求出动点的轨迹方程即可. （2）根据两点之间的距离公式，以及圆与圆的位置关系，根据圆的弦长公式，求出参数范围即可. （3）根据直线与圆的位置关系，以及韦达定理，根据斜率之积为定值，求出参数之间的关系，进而求出直线经过的定点即可. 【小问1详解】 如图所示，设， 因为是中点，所以，即， 因为B在圆上运动，所以， 即，整理得圆C方程为. 【小问2详解】 设，因为，所以， 化简得，所以 当时，点P的坐标为，不在圆C上，不符合题意. 当时，点P在以为圆心，为半径的圆上， 依题意圆D与圆C有公共点，又， 所以，解得. 所以的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $