8.1.1正切教学设计2026-2027学年苏科版九年级数学下册

课题名称

8.1正切

课型

新授课

教学资源

课件、教材、几何画板、计算器

教学内容解析

内容

正切的意义：在直角三角形中，锐角A的对边与邻边的比叫作∠A的正切，记作tanA；坡度与坡角；正切值随锐角增大的变化规律.

内容解析

本课时是锐角三角函数的起点.学生已经知道相似三角形对应边成比例，角确定时两直角边的比也就定了，正切就是从这里引入的.

正切刻画的是“竖直上升与水平前进”的关系，与坡度、坡角天然对应，是本章与现实生活联系最紧的一个概念.

目标与目标解析

单元整体目标

本章是在学习相似三角形、直角三角形的基础上，由“边的比”出发研究直角三角形的边角关系.

通过本章学习，学生能理解正切、正弦、余弦的意义，会求30°、45°、60°角的三角函数值，会用计算器求三角函数值与由三角函数值求锐角，会解直角三角形，并能运用它们解决测量、航海、坡度等实际问题.

在此过程中，发展运算能力、几何直观与模型观念，体会数形结合与函数思想，感受数学在工程技术与现实生活中的应用.

课时目标

1.理解正切的意义，会求一个锐角的正切值.【抽象能力、运算能力】

2.知道当锐角确定时，其对边与邻边的比是定值，并能用相似三角形说明理由.【推理能力】

3.理解坡度与坡角的关系，能用正切解决与斜坡有关的实际问题.【模型观念、应用意识】

课时目标解析

达成目标1的标志是：给出直角三角形两边的长，学生能正确写出tanA并算出数值.

达成目标2的标志是：学生能说出“角定了，比就定了；角变了，比也变”，并能用相似说明前半句.

达成目标3的标志是：学生能由坡度i=1∶2求出坡角的正切值，反之也能由tanα求坡度.

学情分析

已有的知识、认知水平

学生已掌握相似三角形的判定与性质、直角三角形的概念与勾股定理，会进行比值计算.

困惑点或探索点

困惑点：分不清对边与邻边，尤其当三角形旋转后；把tanA与∠A的大小混为一谈；坡度写成角度.

探索点：如果角不变而三角形放大，这个比会变吗？

教学

重难点

教学重点

正切的意义与求法.

教学难点

对边、邻边的正确识别，以及用相似说明“比值与三角形大小无关”.

教学策略分析

（为什么学、学什么、怎么学）

为什么学：坡有多陡、梯子放多斜，都可以用一个“比”来精确描述.

学什么：正切的定义、定值性、坡度与坡角.

怎么学：先比较几个斜坡的陡缓，发现“竖直比水平”能刻画陡缓，再抽象出正切.

教学流程

流程叙述

用三段斜坡开场：竖直高度与水平长度分别是1m与2m、1m与3m、2m与3m，问哪一段最陡.学生算比值0.5、0.33、0.67，发现“竖直比水平”能刻画陡缓，这个比就是正切的原型.

接着解决一个更根本的问题：这个比会不会随三角形的大小改变？在∠A的一边上任取B、B′，过它们作另一边的垂线得BC、B′C′，由于△ABC∽△AB′C′，BC∶AC=B′C′∶AC′，比值只由角决定.这一步是概念成立的关键，最好由学生自己说出来.

有了定值性，正切的定义就顺理成章：在Rt△ABC中，∠C=90°，把∠A的对边与邻边的比叫∠A的正切，记作tanA.学生练一个具体三角形（AC=3、BC=4），分别求tanA与tanB，发现两个值互为倒数，为后面互余关系留个印象.

坡度与坡角放在后半段：坡度是高度差与水平长度的比，公路上常用百分率表示，如12%；坡度与坡角由tanα连起来.学生练“坡度1∶2.5求坡角”，得α≈21.8°.练习是已知BC=6、tanA=3/4求AC与AB，正反两个方向都走一遍.小结时点出正切值随角增大而增大，为下一课作铺垫.

教学过程

教学环节

学习任务设计

师生活动

评价要点

设计意图