6.4.1用二次函数解决问题（1） 教学设计 2026-2027学年 苏科版 九年级数学 下册

课题名称

6.4用二次函数解决问题（第1课时）

课型

新授课

教学资源

课件、教材、几何画板

教学内容解析

内容

用二次函数解决最大面积、最大高度等最值问题.

按“设表达式—定系数—配方求最值—检验范围”的步骤解决问题.

内容解析

本节是二次函数的应用课，之前学生已经会求二次函数的最值，难的是把实际问题翻译成函数，并在取值范围内找最值.

教材先用小球滚动的数据复习待定系数法，再用篱笆围园讲最大面积，最后用沫蝉跳跃讲最大高度，三类问题的建模路子是一样的.

目标与目标解析

单元整体目标

本章是在学习一次函数、反比例函数的基础上，进一步研究二次函数的概念、图象、性质与应用.

通过本章学习，学生能理解二次函数的意义，会用描点法画二次函数的图象，掌握y=ax²、y=ax²+c、y=a(x−h)²、y=a(x−h)²+k、y=ax²+bx+c的图象特征与性质，会用待定系数法确定二次函数的表达式，能用二次函数解决最值等实际问题，理解二次函数与一元二次方程的联系.

在此过程中，发展抽象能力、推理能力、运算能力与模型观念，积累“由式想形、由形说性”的函数研究经验.

课时目标

1.能从实际问题中找出变量之间的关系，建立二次函数模型，并写出自变量的取值范围.【模型观念、抽象能力】

2.会用配方法或顶点坐标公式求二次函数在给定范围内的最值，并能判断最值是否在范围内取得.【运算能力、推理能力】

3.经历完整的建模过程，体会数学与生活的联系，增强应用意识.【应用意识】

课时目标解析

达成目标1的标志是：学生能把“花园一边为xm”写成y=x(15−x)，或把“涨x元”写成y=(10+x)(500−10x).

达成目标2的标志是：学生能配方求出顶点，并检查顶点横坐标是否落在取值范围内，不在则取端点值.

达成目标3的标志是：学生能说出24.5cm、225/4m²、9000元这些结果分别是怎么来的，是否合常理.

学情分析

已有的知识、认知水平

学生已掌握二次函数的三种形式与最值求法，会用配方法，也具备列方程解应用题的经验，知道“设未知数—找等量关系—列式”的流程.

困惑点或探索点

困惑点：不会把“面积”“利润”翻译成关于同一个变量的函数；求完顶点就写答案，不检查范围；把“售价上涨”与“销量下降”的关系列反.

探索点：如果顶点不在取值范围内，最值在哪里取？

教学

重难点

教学重点

把实际问题转化为二次函数，并在取值范围内求最值.

教学难点

确定自变量的取值范围，并判断最值是否在范围内取得.

教学策略分析

（为什么学、学什么、怎么学）

为什么学：围花园、定售价、设计包装，生活中大量的“最省”“最大”问题都靠二次函数来解决.

学什么：建模四步（设元—找关系—列式—定范围），求最值与检验范围.

怎么学：先从一个有表格数据的真实情境入手，让学生自己发现“这是二次函数”，再依次解决面积与利润两类问题.

教学流程

流程叙述

先用小球滚动的数据热身.教材给了几组时间与距离，学生由t=0.1时s=2cm定出a=400，得s=200t²，再算t=0.35时的距离是24.5cm.这一步只有一个待定系数，学生做得动，也复习了待定系数法.

主体是最大面积：30m篱笆围矩形，怎样围面积最大？学生设一边为x，邻边就是15−x，写出y=x(15−x)，配方得−(x−15/2)²+225/4.关键是两句追问：x能取哪些值？顶点在不在这个范围里？答完这两问，答案才站得住.结果四条边都是7.5m，正好是正方形，与“周长一定时正方形面积最大”对得上.

第三个例子是沫蝉跳跃，高度与时间的关系要三个待定系数，由表中三组数据解方程组定出a、b、c，再配方读最大高度.难度是加上去的，c=0这个条件留给学生自己看出来.

变式放在两个方向上：一面靠墙的篱笆（约束变了，表达式要改）、商品涨价的利润（背景变了，销量与售价的关系要写对）.练习用比萨斜塔和铁丝围正方形两题，一道由函数值求自变量，一道求最值.小结时把三类问题的共同步骤写出来，把“检验范围”单列一条.

教学过程

教学环节

学习任务设计

师生活动

评价要点

设计意图