3.1.4 分段函数课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.1.4 分段函数 学习目标： （1）会用解析法及图象法表示分段函数. （2）给出分段函数,能研究有关性质. （3）能用分段函数解决生活中的一些简单问题. 大家知道国家电网依据什么来收取电费吗?其实他们是按不同的时间段来收取费用,一般来说,白天稍贵一些,晚上稍便宜一些,反映到我们数学上,这就需要我们分两段来研究用电的费用,生活中诸如此类的问题很多,比如用水收费、出租车的计费、个人所得税纳税额等.这些都属于我们今天要研究的分段函数的范畴. 课前引入 探究： 某市空调公共汽车的票价按下列规则制定: ①5千米以内,票价2元; ②5千米以上,每增加5千米,票价增加1元(不足5千米的按5千米计算). 已知两个相邻的公共汽车站间相距1千米,沿途(包括起点站和终点站)有11个汽车站. 从起点站出发,公共汽车的行程x(千米)与票价y(元)之间的函数表达式是什么?x与y之间有什么特点? 提示　y=x在不同的范围内取值时,y的对应关系不同. 情境探究 3 分段函数的概念： 定义：一般地，分段函数就是在函数定义域内，在自变量的不同取值范围，有着不同的__________的函数． 对应关系 注意： (1)分段函数是一个函数； (2)其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的______ ； (3)各段函数的定义域的交集是______ 。 并集 空集 作图：(1)画出所有关系式的图象 ， (2)根据分段区间，擦除不符合的部分； (3)关注分段点，空心实心。 新知探究 例1：已知函数f(x)= (1)求f(-5),f(f(1))的值; (2)若f(a2+2)≥a+4,求实数a的取值范围. 解：（1）由于-5∈(-∞,-2],1∈(-2,2), 所以f(-5)=-5+1=-4, f(1)=3×1+5=8,f(f(1))=f(8)=2×8-1=15. 新知探究 5 （2）因为a2+2≥2, 所以f(a2+2)=2(a2+2)-1=2a2+3, 所以不等式f(a2+2)≥a+4化为2a2-a-1≥0, 解得a≥1或a≤-, 故实数a的取值范围是. 例1：已知函数f(x)= (1)求f(-5),f(f(1))的值; (2)若f(a2+2)≥a+4,求实数a的取值范围. 新知探究 若本例(2)条件“f(a2+2)≥a+4” 变成“f(x)>2x”,求x的取值范围. 解：当x≤-2时,f(x)=x+1>2x,即x<1. 所以x≤-2; 当-2<x<2时,f(x)=3x+5>2x,即x>-5. 所以-2<x<2; 当x≥2时,f(x)=2x-1>2x不成立. 综上可知,x的取值范围是(-∞,2]. 6 方法总结 1.分段函数求值的方法 (1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间. (2)然后代入该段的解析式求值.当出现f(f(x0))的形式时,应从内到外依次求值. 2.已知分段函数的函数值求对应的自变量的值,可分段利用函数解析式求得自变量的值,但应注意检验函数解析式的适用范围,也可先判断每一段上的函数值的范围,确定解析式再求解. 3.若分段函数的自变量含参数,要考虑自变量整体的取值属于哪个范围,从而根据对应的解析式整体代入,转化为方程或不等式问题. 7 训练1 画出函数的图象？ 解：由绝对值的概念，我们有 作图: (1)画两个图象 ，根据分段区间擦除不符合的部分；(2)关注分段点，空心实心。 思考：是1个函数还是2个函数？ 所以，函数的图象如图所示： 解：1个，自变量和因变量都只有一个。 分段函数的图象及应用 训练2 (1)画出函数的图象；(2) 解：(1)由绝对值的概念，我们有 所以，函数的图象如图所示. (2)当时，函数关系式为二次函数，函数在处取得最大值， 当时，函数关系式为一次函数： 分段函数的图象及应用 例2 给定函数 (1)在同一直角坐标系中画出，的图象； (2)，用表示，中的最大者，记为. 例如,当时， 请分别用图象法和解析法表示函数. 分段函数的图象及应用 例3 已知函数，，， (1)画出函数，的图象； ，用表示，中的较小者， 记为，请分别用图象法和解析法表示函数 分段函数的图象及应用 例4：(链接教材P70例8)《中华人民共和国个人所得税法》规定,公民全月工资、薪金所得不超过5 000元的部分不必纳税,超过5 000元的部分为全月应纳税所得额,此项税款按下表分段累计计算: 全月应纳税所得额 税率 不超过3 000元的部分 3% 超过3 000元至12 000元的部分 10% 超过12 000元至25 000元的部分 20% 分段函数的实际应用 某职工每月收入为x元,应交纳的税额为y元. (1)请写出y关于x的函数关系式; 解：由题意,得 分段函数的实际应用 (1)请写出y关于x的函数关系式; (2)有一职工八月份交纳了54元的税款,请问该职工八月份的工资是多少? ∵该职工八月份交纳了54元的税款, ∴5 000<x≤8 000,(x-5 000)×3%=54, 解得x=6 800. 故这名职工八月份的工资是6 800元. 训练1：某同学设想用“高个子系数k”来刻画成年男子的高个子的程度,他认为,成年男子身高160 cm及其以下不算高个子,其高个子系数k应为0;身高190 cm及其以上的是理所当然的高个子,其高个子系数k应为1,请给出一个符合该同学想法、合理的成年男子高个子系数k关于身高x(cm)的函数关系式. 由题意可设,k(x)=ax+b(a>0),x∈[160,190], 所以, 分段函数的实际应用 14 1. 由下表给出函数，则等于(　　) B 2. 已知函数则( 　) 1 2 3 4 5 y 4 5 3 2 1 题型一：分段函数求值(参)问题 3. (多选)设函数f(x)＝　　　　　　若f(a)＝4，则实数a等于( ) A.－4 　　 B.2 　　C.4 　　D.－2 AB 4. 已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式是 ______________________. f(x)＝ 题型一：分段函数求值(参)问题 5. 已知函数 (1)写出函数的定义域；(2)求的值；(3)若，求的值? 解: 或(1)函数定义域为 (2)当时，，不合题意，应舍去； 当时，，解得或（舍）； 当时，，则， 综上，或 (3)． 题型二：分段函数求范围问题 (1)若f(a2＋2)≥a＋4，求实数a的取值范围？ (2)若f(x)>2x，求x的取值范围？ 解：(1)因为a2＋2≥2， 所以f(a2＋2)＝2(a2＋2)－1＝2a2＋3， 所以不等式f(a2＋2)≥a＋4化为2a2－a－1≥0， (2)当x≤－2时，f(x)>2x可化为x＋1>2x， 即x<1，所以x≤－2； 当－2<x<2时，f(x)>2x可化为3x＋5>2x， 即x>－5，所以－2<x<2； 当x≥2时，f(x)>2x可化为2x－1>2x，则x∈∅. 综上可得，x的取值范围是(－∞，2). 题型二：分段函数求范围问题 例7 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： (1)5 km以内(含5 km)，票价2元； (2)5 km以上，每增加5 km，票价增加1元(不足5 km的按5 km计算). 如果某条线路的总里程为20 km，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象. 解：设票价为y元，里程为x公里， 由题意可知，自变量x的取值范围是(0,20]. 由“招手即停”公共汽车票价的制定规则， 可得到函数解析式: 题型三：分段函数的实际应用 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系； 图像法：用图像表示两个变量之间的对应关系； 列表法：用表格表示两个变量之间的对应关系。 已知自变量求函数值： 用已知的自变量数值，去函数解析式中替换x, 进而求出对应函数值。 像f(f(x))，f(g(x))，f(f(f(x)))这样的函数叫复合函数； 几个对应关系就叫几层复合函数。 复合函数： 复合函数求函数(值)： 由内而外依次一层层的求。 函数的表示： 课堂小结 分段函数的概念： 定义：一般地，分段函数就是在函数定义域内，在自变量的不同取值范围，有着不同的__________的函数． 对应关系 注意： (1)分段函数是一个函数； (2)其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的______ ； (3)各段函数的定义域的交集是______ 。 并集 空集 作图：(1)画出所有关系式的图象 ， (2)根据分段区间，擦除不符合的部分； (3)关注分段点，空心实心。 课堂小结 谢谢大家！ y= 所以k(x)= 由 解：由或得a＝－4或a＝2. 即实数a的取值范围是(－∞，－]∪[1，＋∞)； 例6 已知函数f(x)＝ 解得a≥1或a≤－，  y＝ $