3.2.3 函数的奇偶性课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.2.3 函数的奇偶性 学习目标： （1）能够根据具体的数学问题,用归纳和类比的方式,抽象概括出函数的奇偶性的概念,并能够用数学符号语言表达，提升学生的数学抽象素养。 （2）能够根据函数奇偶性的概念,判断并证明简单函数的奇偶性,并能够用数学语言表达，提升学生的逻辑推理素养。 （3）能够通过具体的函数图像,用归纳的方式,抽象概括出奇函数和偶函数的图像特征,理解图象特征和解析式特征的对应关系，体会数形结合思想，提高观察、归纳能力，提升直观想象素养。 "世界上并不缺少美， 而是缺少发现美的眼睛" ---法国著名雕塑家罗丹 新课导入 3.1 函数的概念 3.2 函数的性质 3.3幂函数 函数的概念 定义域 值域 解析式 幂函数的定义 幂函数的性质及其应用 函数的表示方法 函数的单调性 函数的最值问题 函数的奇偶性 章节框架导读 欣赏下列生活中的图片，你能观察出这些图片美的共同特点吗？ 轴对称图形 新课导入 欣赏下列生活中的图片，你能观察出这些图片美的共同特点吗？ 新课导入 、 中心对称图形 图像关于轴对称 图像关于原点对称 数学中的对称美 问题：请从对称的角度把这些函数图象分下类吧： O x y 我们把函数图象的这种对称性称为函数的奇偶性 概念探究 探究1 的函数图像，定义域内的每一个也在定义域内吗？与的值有什么关系？ 思考：类比函数的单调性，如何用符号语言精确地描述“函数图像关于轴对称”这一特征？ 图像关于轴对称 概念探究 探究1 画出的函数图像，不妨取一些特殊值，观察相应函数值的情况： x －3 -2 -1 0 1 2 3 f(x) 9 4 1 0 1 4 9 结论：当自变量取一对相反数时 相应的两个函数值相等。 即对定义域内的任意一个，都有 图像关于轴对称 概念探究 x －3 -2 -1 0 1 2 3 9 4 1 0 1 4 9 = 图像定义法: 如果一个函数的图像关于轴对称，那么就称函数 为偶函数。 偶函数： 一般地，设函数的定义域为 ，如果 ,都有且 -1 0 1 2 1 0 -1 概念探究 注意：偶函数的特征: (2)代数特征： (3)几何特征: 函数图象关于y轴对称. (1)定义域特征： 定义域关于原点对称. 定义域特征 代数特征 偶函数     图像关于y轴对称 代数特征 几何特征 定义中， 的常见变形有：       问题1：是偶函数吗？ 问题2：成为偶函数需要满足哪些条件？ 问题3：对于定义在上的函数，若 那么这个函数是偶函数吗？ ② 不一定，偶函数有任意性 概念探究 奇函数的概念和特征 一般地，设函数的定义域为，如果且, 那么函数就叫做偶函数 一般地，设函数的定义域为，如果且, 那么函数就叫做奇函数 类比 偶函数的特征: (2)代数特征： (3)几何特征: 函数图象关于y轴对称. (1)定义域特征： 定义域关于原点对称. 奇函数的特征: 函数图象关于原点对称. 定义域关于原点对称. 奇函数的概念和特征 奇函数     图像关于原点对称 代数特征 几何特征 定义中， 的常见变形有：       问题2：若函数为奇函数，在处有定义，的值？ 因为为奇函数，且在处有定义， 所以，所以. 问题1：成为奇函数需要满足哪些条件？ ② 概念探究 例1.观察下列函数图象，并判断它们的奇偶性 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 非奇非偶函数 偶函数 非奇非偶函数 既是奇函数又是偶函数 根据奇偶性， 函数分为四类： 1.奇函数 2.偶函数 3.既奇又偶 4.非奇非偶 奇函数 图象关于原点对称 偶函数 图象关于y轴对称 小结： 注意：定义域关于原点对称 牛刀小试 f(x)＝x4 (1)图 求定义域 判断定义域是否关于原点对称 计算，判断与的关系 作结论 求解步骤： 典例分析 求定义域 判断定义域是否关于原点对称 计算，判断与的关系 作结论 求解步骤： 典例分析 用定义法判断奇偶性： 用奇偶性对函数分类： 奇函数，偶函数，非奇非偶函数，既奇又偶函数。 方法小结 判断函数的奇偶性 训练1：判断下列函数的奇偶性： 解：(1)f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称， 当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－(－x)＝x2＋x＝f(x)； 当x<0时，－x>0，则f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x＝f(x)， 所以f(x)是偶函数. (2)函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，则f(x)＝0， 又f(－x)＝f(x)，且f(－x)＝－f(x)，所以f(x)既是偶函数又是奇函数. 典例分析 例3 定义在[－3，－1]∪[1,3]上的函数 f(x) 是奇函数，其部分图象如图所示. (1)请在坐标系中补全函数f(x)的图象； (2)比较f(1)与f(3)的大小？ 解：(1) (2)观察图象，f (3)<f (1) 典例分析 训练2：如图，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，求f(－2)＋f(－1)的值？ 典例分析 奇偶性 奇函数 偶函数 定义域关于原点对称 图像关于轴对称 定义域关于原点对称 图像关于原点对称 若，则 判断方法 判断函数的奇偶性 形 数 图象对称 方法小结 谢谢大家！ 因为x∈R，都有-x∈R， 且f(-x)＝(-x)4＝x4= f(x)， 所以，函数f(x)=x4为偶函数. 例2 判断下列函数的奇偶性： （1）f(x)=x4; （2）f(x)=x+ 解： (1)函数f(x)=x4的定义域为R. 因为x∈{ x|x≠0}，都有-x∈{ x|x≠0}， 且f(-x)= -x+＝-(x+)= - f(x)， 所以，函数f(x)=x+为奇函数. f(x)=x+ 例2 判断下列函数的奇偶性： （1）f(x)=x4; （2）f(x)=x+ 解： (2)函数f(x)=x+的定义域为{ x|x≠0}. (1)f(x)＝ (2)f(x)＝＋； 解：f(－2)＋f(－1)＝－f(2)－f(1)＝－－＝－2. $