3.1.3 函数的表示方法课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.1.3 函数的表示法 学习目标： （1）了解函数的三种表示方法及各自的优缺点，能够根据具体问题选择恰当的表示方法，能将不同的表示方法相互转化； （2）掌握函数图象的作法与应用； （3）会求一些简单函数的解析式，能根据函数的解析式法求函数值并解决含参数问题。 一般地，设是非空的________，如果对于集合A中的_____________ ，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有______确定的数y和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数（function）. 实数集 任意一个数x 唯一 记作： 函数的概念 总结：可以一对一，多对一，绝不能一对多； A中不可以有剩余，B中可以有剩余。 定义 名称 符号 数轴表示 [a，b] (a，b) [a，b) (a，b] 半开半闭区间 半开半闭区间 开区间 闭区间 区间表示: 复习回顾 3.1 函数的概念 3.2 函数的性质 3.3幂函数 函数的概念 定义域 值域 解析式 幂函数的定义 幂函数的性质及其应用 函数的表示方法 函数的单调性 函数的最值问题 函数的奇偶性 章节框架导读 阅读课本P67-P69，4分钟后完成下列问题： 1. 函数的表示法有哪些，你能说说各自优缺点吗？ 我们一起来探究“函数的表示法 ”吧！ 2. 分段函数的定义是什么，分段函数的图象有什么特点？ 预习任务 思考：你还记得函数的概念的四个情景中，四个函数关系是如何建立的吗？ 对应关系 S = 350t 对应关系 w = 350d 图3.1-1的对应关系 表3.1-1的对应关系 问题1：我们初中已经接触过了函数常见的三种表示方法，你还记得是三种方法吗？ 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系； 图像法：用图像表示两个变量之间的对应关系； 列表法：用表格表示两个变量之间的对应关系。 问题2：为什么需要三种方法来表示函数，一种不行吗？ 情境回顾、发现新知 探究1 某种笔记本的单价是5元，个笔记本需要元， 试用函数的三种表示法表示函数 解析法： 列表法： 笔记本数 1 2 3 4 5 钱数y 5 10 15 20 25 图像法： 思考1：表示函数要重点 关注函数的什么要素？ 思考2：图象中的五个点能 用直线连接吗？ 定义域 不能，定义域是离散的数。 新知学习 1.函数的表示法： 图象法 列表法 解析法 方便求值,精确 容易对照,不用计算 看清走势 有的函数无法写出解析式 缺点 只能表示离散函数，不能表示连续函数 有的函数无法画出图象 优点 新知学习 例1：小王同学积极响应国家关于“大众创业，万众创新”的号召，农业大学毕业后选择了自主创业，在某电商平台注册了网店并销售香蕉；已知香蕉销售单价为每千克2元，如果设销售了香蕉 千克，销售额为 元，那么销售额 y 与销售量 之间有什么关系？ 解： 自变量 x (千克) 0 1 2 3 4 … 函数y=2x（元） … 0 2 4 6 8 新知学习 训练1：已知函数试分别用图象法和列表法表示函数. 用图象法表示函数,如图所示. 用列表法表示函数,如表所示. x 1 2 3 4 y -2 -3 -4 -5 新知学习 9 题型一：函数图象求值域 例2：(链接教材P72习题T3)作出下列函数的图象并指出其值域: (1)y=x2+x(-1≤x≤1); 解：（1）用描点法可以作出函数的图象如图①所示. 由图可知y=x2+x(-1≤x≤1)的值域为. (2)y=(0<x≤1). （2）用描点法可以作出函数的图象如图②所示. 由图可知y=(0<x≤1)的值域为[2,+∞). 题型一：函数图象求值域 思维升华 描点法作函数图象的三个关注点 (1)画函数图象时首先关注函数的定义域,即在定义域内作图. (2)图象是实线或实点,定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象. (3)要标出某些关键点,例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等,要分清这些关键点是实心点还是空心圈. 提醒　函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等. 训练2：作出下列函数的图象: (1) (2) (1)因为,所以图象为直线上的孤立点,其图象如图①所示. (2),当时,; 当时,,其图象如图②所示. 题型一：函数图象求值域 12 思考： ？ ； 是的一个特殊取值， 例如， 已知自变量求函数值： 用已知的自变量数值，去函数解析式中替换x,进而求出对应函数值。 题型二：函数解析式求函数值 题型二：函数解析式求函数值 已知自变量求函数值： 用已知的自变量数值，去函数解析式中替换x, 进而求出对应函数值。 像f(f(x))，f(g(x))，f(f(f(x)))这样的函数叫复合函数； 几个对应关系就叫几层复合函数。 复合函数： 复合函数求函数(值)： 由内而外依次一层层的求。 题型二：函数解析式求函数值 训练3：定义域为R的函数和，计算下列各式： （1）； （2）； （3）． 解：12 1 3 (1)函数，，所以 (2)函数，，所以 (3)函数，则，， 所以． 题型二：函数解析式求函数值 例4 (1)已知函数，求的解析式？ (2)已知函数，求的解析式？ 已知求有两种思路： (1)将视为一个整体，应用整体代换思想，换元求解； (2)将函数解析式的右端配凑成含的形式. 思路 (1)令t= ，则， ， 所以函数的解析式为. (2)因为 ， 所以. 换元法 配凑法 题型三：求函数解析式 方法一：换元法+配凑法 1.换元法求函数解析式： 解题思路： step1 换元：令，反解，并求出t的范围； step2 代入：将的全部换成关于t，得到一个含t的解析式； step3 更换：用替换，便得到 适用于已知求 注意：(1)根式“含”更适合换元法 (2)换元后要确定新元的取值范围，即为函数的定义域； 题型三：求函数解析式 方法一：换元法+配凑法 2.配凑法求函数解析式： 适用于已知求 解题思路： 配凑：从的解析式中配凑出“”， 替换：将解析式中的用代替即可. 注意：“含更适合配凑法。 题型三：求函数解析式 方法一：换元法+配凑法 训练1 已知，求？ 解：方法一　(配凑法)： ∵f(x＋1)＝x2－3x＋2＝(x＋1)2－5x＋1＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6， ∴f(x)＝x2－5x＋6. 方法二　(换元法)： 令t＝x＋1，则x＝t－1，t∈R ∴f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6，即f(x)＝x2－5x＋6. 方法一：换元法+配凑法 题型三：求函数解析式 训练2 已知函数,求的解析式? 所以 解：令，则，且 所以 step1 换元 step2 代入 step3 更换字母 方法一：换元法+配凑法 题型三：求函数解析式 训练3 已知，求f(x)的解析式？ 解：已知2＋2， 所以f(x)＝＋2. 例5 已知函数是一次函数，若？ 解：设， 则 又 设 列 求 写 方法二：待定系数法 题型三：求函数解析式 3.待定系数法求函数解析式： 适用于已知所求函数 解题思路： 方法二：待定系数法 题型三：求函数解析式 训练1 已知为二次函数，且，求？ 解：设，则 所以 设 列 求 写 方法二：待定系数法 题型三：求函数解析式 训练2 已知是二次函数,且满足, 求; 解：依题意,设, 由,得,则. 又因为对任意成立, 所以, 即. 由恒等式性质,得 所以所求二次函数为. 题型三：求函数解析式 方法二：待定系数法 训练2 已知是二次函数,且满足, 求; 解：依题意,设, 由,得,则. 又因为对任意成立, 所以, 即. 由恒等式性质,得 所以所求二次函数为. 题型三：求函数解析式 方法二：待定系数法 例6 已知，求的解析式？ 解：因为f(x)＋2f(－x)＝9x＋2， 所以f(－x)＋2f(x)＝9(－x)＋2， ②×2－①得3f(x)＝－27x＋2， ① ② 题型三：求函数解析式 方法三：方程组法 方程组法求函数解析式 适用于已知的关系式，或关系式 解题思路： 替换：()=()例如用 替换 x，或用 –x 替换 x 解方程组：列方程组消元求解 训练1 已知的解析式？ 解：因为f(x)＋2f()＝2x＋1， 所以f()＋2f(x)＝＋1， ①－②×2得－3f(x)＝2x－－2， ① ② 题型三：求函数解析式 方法三：方程组法 例7 设是R上的函数，且满足，并且对任意的实数 都有求的解析式? 思路：由于可取任意实数，故可考虑对赋值处理。 解：方法1：∵ ， , ∴可令，则. ∴. 方法二：令，得， 即，用代替，得. 题型三：求函数解析式 方法四：赋值法 赋值法求函数解析式： 适用于已知关系式中有多个变量 解题思路： 赋值：当所给的函数中含有两个变量时，可将这两个变量交替用特殊值代入，也可以使这两个变量相等代入； 求解：再根据已知条件求出函数解析式. 注意： (1)具体取什么特殊值，要根据题目特征而定; (2)依据这样的关系式不一定都能求出函数解析式。 题型三：求函数解析式 方法四：赋值法 训练1 已知函数对任意实数 解：令得 令得， ∴. 题型三：求函数解析式 方法四：赋值法 训练2 已知函数对任意实数都有成立. (1)求和的值； (2)若f(2)＝a，f(3)＝b(a，b均为常数)，求f(36)的值? 解：(1)令x＝y＝0，则f(0)＝2f(0)，∴f(0)＝0， 令x＝y＝1则f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0. (2)令x＝2，y＝3，则f(6)＝f(2)＋f(3)＝a＋b， 令x＝y＝6，则f(36)＝2f(6)＝2(a＋b)， ∴f(36)＝2(a＋b)。 题型三：求函数解析式 方法四：赋值法 1.换元法求函数解析式： 适用于已知求 2.配凑法求函数解析式： 适用于已知求 3.待定系数法求函数解析式： 适用于已知所求函数 4.构造方程组求函数的解析式： 适用于已知的关系式，或关系式 5.赋特殊值求函数的解析式： 适用于已知关系式中有多个变量 课堂小结 课堂达标检测 1.已知是反比例函数,且1,则的解析式为 . √ 2.已知学校宿舍与办公室相距a m,某同学有重要材料要送给老师,从宿舍出发,先匀速跑步3 min来到办公室,停留2 min,然后匀速步行10 min返回宿舍,在这个过程中,这位同学行走的路程s是时间t的函数,则这个函数图象是 √ 34 课堂达标检测 3.已知,那么的解析式为　　　　　　　　　　　　　　　　.  4.已知函数若,则=　　　　.  5 5.（选做）已知函数,画出函数的图象,并根据图象回答下列问题: (1)比较的大小; (2)若,比较与的大小; (3)求函数f(x)的值域. 35 1.已知; 法一(换元法)　令, 则, 所以, 所以的解析式为. 法二(配凑法)　. 因为+1≥1, 所以f(x)的解析式为. 课后作业 36 课堂达标检测 2.已知,求. ∵,① ∴将换成, 得.② ∴由2×②-①得, . 37 3.如果,则当且时,求的解析式. 4.已知,求f(x)的解析式. 解：由可知. 解：令,则， 所以. 课堂达标检测 38 谢谢大家！ 即f(x)＝－9x＋. 即f(x)＝－x＋＋. $