6.4.2用二次函数解决问题（2） 教学设计 2026-2027学年苏科版九年级数学下册

课题名称

6.4用二次函数解决问题（第2课时）

课型

新授课

教学资源

课件、教材、几何画板

教学内容解析

内容

用二次函数解决拱桥、隧道、喷泉等抛物线型实际问题：建立恰当的平面直角坐标系，求出抛物线表达式，再解决高度、跨度等问题.

内容解析

本课时把应用从“代数最值”推进到“几何形状”.拱桥、隧道这类问题的共同点是：实际物体本身就是一段抛物线，关键在于把它放进坐标系里.

建系方式不同，表达式就不同，但结论相同.让学生体会“坐标系是人为选定的工具”，这是解析几何思想的启蒙.

目标与目标解析

单元整体目标

本章是在学习一次函数、反比例函数的基础上，进一步研究二次函数的概念、图象、性质与应用.

通过本章学习，学生能理解二次函数的意义，会用描点法画二次函数的图象，掌握y=ax²、y=ax²+c、y=a(x−h)²、y=a(x−h)²+k、y=ax²+bx+c的图象特征与性质，会用待定系数法确定二次函数的表达式，能用二次函数解决最值等实际问题，理解二次函数与一元二次方程的联系.

在此过程中，发展抽象能力、推理能力、运算能力与模型观念，积累“由式想形、由形说性”的函数研究经验.

课时目标

1.能为抛物线型实际问题建立恰当的平面直角坐标系，求出抛物线的表达式.【模型观念、几何直观】

2.能用二次函数的表达式解决拱高、跨度、限高等实际问题，并对结果作出解释.【运算能力、应用意识】

3.通过比较不同的建系方式，体会坐标系的选取对运算量的影响.【推理能力】

课时目标解析

达成目标1的标志是：学生能把拱桥的顶点或拱脚放在原点，写出相应坐标并设出合适的表达式形式.

达成目标2的标志是：学生能由表达式求出指定横坐标处的高度，或由指定高度求出跨度.

达成目标3的标志是：学生能说出“以顶点为原点时表达式最简单”的理由.

学情分析

已有的知识、认知水平

学生已会建立二次函数模型求最值，掌握待定系数法，也具备平面直角坐标系与点的坐标的基础知识.

困惑点或探索点

困惑点：不会建系，或建系后点的坐标写错；求出表达式后不知道题目问的是哪一个量；单位不统一.

探索点：同一条抛物线，建系方式不同，表达式会变吗？为什么结论不变？

教学

重难点

教学重点

建立坐标系求抛物线型实际问题的表达式，并解决相关计算.

教学难点

根据实际图形选择恰当的建系方式，正确写出关键点的坐标.

教学策略分析

（为什么学、学什么、怎么学）

为什么学：赵州桥、隧道、喷泉、跳水路线，都是抛物线，工程设计与安全验算都离不开它.

学什么：建系的三种常用方式，求表达式，解决高度与跨度问题.

怎么学：先让学生自己试着建系，比较不同建法的繁简，再归纳“以顶点或拱脚为原点”的经验.

教学流程

流程叙述

以赵州桥的桥拱开场.给出跨径约37.02m、矢高约7.23m，问学生能不能写出这条抛物线的表达式.学生手里的工具是刚学的待定系数法，缺的是坐标系，于是建系成了这节课的第一件事.

先让学生自己定原点，再比较两种建法：以拱顶为原点，表达式是y=ax²+h，拱脚坐标是(±L/2,0)；以拱脚为原点，式子就带一次项.两种都算一遍，学生自己得出结论——原点放在跨中，式子和计算都最省事.这条经验后面还要用.

例题是隧道的通行问题：横断面宽8m、最高4m，货车宽3m、高3.5m，能否通过？学生建系求式得y=−x²/4+4，把车宽的一半1.5m代入，算出该处高度约3.44m，小于3.5m，所以过不去.这一题的落点不在算，而在“把车宽折半”这个转化.

练习是喷泉的水柱：喷口在原点、最高2m、落地点距喷口4m，顶点是(2,2)，设y=a(x−2)²+2，代入原点得a=−0.5.学生容易把顶点当成原点，正好借这一题纠一次.小结时把抛物线型问题的三步（建系、求式、代入）和建系的三条经验一起收.

教学过程

教学环节

学习任务设计

师生活动

评价要点

设计意图