6.1二次函数的概念 教学设计 2026-2027学年苏科版九年级数学下册

课题名称

6.1二次函数的概念

课型

新授课

教学资源

课件、教材、几何画板

教学内容解析

内容

二次函数的概念：形如y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数.

根据实际问题列出二次函数的表达式，并确定自变量的取值范围.

内容解析

二次函数是初中阶段研究的第三种函数，是“函数”主题的收官内容，既承接一次函数、反比例函数的研究路径，又为高中进一步学习函数作准备.

概念教学的关键，是让学生经历从篱笆围园、水波扩展等真实情境中抽象出y=ax²+bx+c形式的过程，在多个实例的共性中理解a≠0的必要性.

目标与目标解析

单元整体目标

本章是在学习一次函数、反比例函数的基础上，进一步研究二次函数的概念、图象、性质与应用.

通过本章学习，学生能理解二次函数的意义，会用描点法画二次函数的图象，掌握y=ax²、y=ax²+c、y=a(x−h)²、y=a(x−h)²+k、y=ax²+bx+c的图象特征与性质，会用待定系数法确定二次函数的表达式，能用二次函数解决最值等实际问题，理解二次函数与一元二次方程的联系.

在此过程中，发展抽象能力、推理能力、运算能力与模型观念，积累“由式想形、由形说性”的函数研究经验.

课时目标

1.经历从实际问题中抽象出函数关系的过程，能说出二次函数的定义，会判断一个函数是否为二次函数.【抽象能力、模型观念】

2.能根据实际问题中的数量关系列出二次函数的表达式，并确定自变量的取值范围.【模型观念、运算能力】

3.通过对比一次函数、反比例函数的概念，体会函数研究路径的一致性，感受二次函数的实际意义.【推理能力】

课时目标解析

达成目标1的标志是：学生能指出y=ax²+bx+c中二次项系数a≠0的限制，能从一组函数中正确挑出二次函数并说明理由.

达成目标2的标志是：学生能把“一边为x、另一边为8−x”的关系写成S=−x²+8x，并写出0<x<8这样的取值范围.

达成目标3的标志是：学生能说出三个函数在“概念—图象—性质—应用”研究路径上的共同点.

学情分析

已有的知识、认知水平

学生已经学习了一次函数与反比例函数，知道函数是刻画变化关系的模型，会求函数值、会写简单的函数表达式，具备初步的符号意识.

困惑点或探索点

学生容易把“含x²的式子”都当作二次函数而忽视a≠0；列表达式时常漏写自变量的取值范围，或把范围笼统写成“任意实数”.

教学

重难点

教学重点

二次函数的概念，以及根据实际问题列出二次函数的表达式.

教学难点

从实际问题中抽象出二次函数关系并确定自变量的取值范围，理解a≠0的必要性.

教学策略分析

（为什么学、学什么、怎么学）

为什么学：面积最大、利润最高、抛物线运动等问题，都要用二次函数来刻画，它是初中函数学习的收官模型.

学什么：二次函数的定义与判别，根据实际问题列表达式并写出取值范围.

怎么学：从章头“16m篱笆围园”的情境出发，先算、再填表、后归纳，在多个实例的共性中抽象定义，再用例题与练习把概念用起来.

教学流程

流程叙述

从章头的篱笆问题开始.教师给出“16m篱笆围矩形”，让学生自己设一边为xm，写出面积表达式S=x(8−x)=−x²+8x，再算x取1、2、3、4时的面积，把点描到坐标系里看看连成什么形状，顺便估一估面积的最大值.式子、表格、图象三样都到手，学生对“这是一个新函数”有了感觉.

接着把水波的S=πr²和铅球的y=−1/10x²+4/5x+2一并摆出来，三个式子都来自教材同一节，学生比较时不必再花时间理解背景，注意力放在结构上：都能写成含x²的整式，最高次数是2.二次函数的定义就在这样的比较里抽出来，a、b、c的名称和a≠0的限制跟着讲，并用“a=0会变成什么”一问把条件说透.

定义之后是例题.镜子的收费问题要分三笔算：镜面按面积、边框按周长、加工费固定，学生分笔算完再合并，得到y=240x²+180x+45，取值范围由“短边不少于0.5m”定下.这一步的重点不是算，而是让学生习惯把每一项都对应到一个量上.

练习用圆柱体积和习题6.1，教师巡视时盯两处：取值范围漏没漏、常数项丢没丢.小结时把定义、判断方法、列式步骤并排放，再用y=(m−2)x²+3x−1的判断题收尾，把a≠0落到具体式子上.

教学过程

教学环节

学习任务设计

师生活动

评价要点

设计意图