二次函数中的线段长度与距离最值专题复习讲义2026-2027学年苏科版九年级数学下册

二次函数中的线段长度与距离最值 专题复习讲义 2026—2027学年苏科版九年级数学下册 教师详解版 复习导航 先辨认线段的位置，再选择计算方法。 求出长度后，还要检查对应的点是否在题目规定的范围内。 线段或问题 常用方法 竖直、水平线段 铅垂高：上减下；水平宽：右减左 斜线段或两点距离 作直角三角形，用勾股定理或相似关系 线段和最小、线段差最大 和：两点之间线段最短，必要时作轴对称；差：不超过两定点的距离，等号要检查三点顺序 经过两条直线的路线 作两次轴对称，并检查经过交点的先后顺序 内容目录 一、铅垂高与水平宽 2 二、利用对称性求水平线段长 4 三、斜线段长与点到直线、线段的距离 7 四、勾股定理与配方法求距离 10 五、线段和最小与线段差最大 12 六、经过两条直线的最短路线 15 七、两动点之间的距离 18 A 基础通关 21 B 难点突破 24 C 综合进阶 27 D 中考真题精选 31 一、铅垂高与水平宽 【看图列式】铅垂高指竖直线段的长，水平宽指水平线段的长。图中的横坐标相同，且在上方，所以的纵坐标相同，且在右方，所以这里计算的是线段长，不是面积。 【位置变化】不确定谁在上方时，写先求出时的横坐标，再按题设范围分段：在上方用在上方用水平线段也按同样的方法判断左右位置。 【求最大值】把点的坐标代入长度式，再配方。若得到“常数减去正数倍的平方”，先检查平方项能否为0；若不能，再比较题设范围内的长度。最后代回原抛物线，写出完整坐标。题目允许两点重合时，线段长为0。 微例：同横坐标， 不能因两个纵坐标都为负而相加。 例1、点在抛物线上，其横坐标满足过作平行于轴的直线，与直线交于 （1）用含的式子表示（2）求的最大值及此时的坐标。 【解析】（1）纵坐标差为所以 （2）最大值为此时 变式1-1、点与其中且 求所有符合条件的坐标。 【解析】由得两根均在内。 故或 变式1-2、点在抛物线上，横坐标满足点在直线上。求的最大值及此时的坐标。 【解析】因所以 时取等，配方中的不在本题范围内。 变式1-3、点与其中求的最大值，并写出此时的坐标。 【解析】两点的纵坐标差为所以当时，在上方或与重合，用“的纵坐标减的纵坐标”，得最大值为 当时，在上方或与重合，应反过来相减，得此时且故时取到 比较两个范围内的最大值，得的最大值为此时 二、利用对称性求水平线段长 【对称关系】水平直线与同一抛物线交于不同两点对称轴与交于则若对称轴为在左侧，则 【由长求点】已知先用求两点横坐标，再代入表达式求纵坐标。已知水平直线的表达式时，也可联立方程求交点； 若两根相同，两交点就重合了。 【范围检查】水平直线的位置有限制时，线段长也受限制。若某一高度不允许取到，对应长度就不能取到；长度虽然可以无限接近某个数，也不能把这个数写成最大值。 微例：抛物线上有两点的纵坐标相同，其中一点的横坐标为对称轴为两点离对称轴的水平距离均为所以另一点的横坐标为两点相距 例2、水平直线与抛物线交于两点，在左侧，且求及该水平直线的表达式。 【解析】对称轴为两交点到对称轴的水平距离均为故代入得 因此直线为 变式2-1、点在抛物线上。点与同在此抛物线上、纵坐标相同且不重合。填空：的坐标为____，____。 【解析】对称轴为故 变式2-2、直线与抛物线交于不同两点其中求的取值范围。 【解析】由得对应故 两个端点都不能取得：时两交点重合；时不在允许范围内。 变式2-3、点在抛物线上，过作平行于轴的直线，与抛物线的另一交点记为当时规定过作轴，垂足为 求的最大值及此时的坐标。 【解析】由对称性，所以 符合题设范围，此时最大值 三、斜线段长与点到直线、线段的距离 【竖直与垂直要分清】左图中竖直，垂直于斜直线，点到斜直线的距离是不是先用“上减下”求再用等腰直角三角形或相似三角形中的边长关系求 【斜线段的长】过两端点分别作水平线和竖直线，得到直角三角形。两条直角边长分别为横坐标差、纵坐标差的绝对值，所以长度越小，它的平方也越小，可以先求平方的最小值。 【点到线段】右图中在线段上，到线段的最短距离为在的延长线上，到线段的最近点是最短距离为 因此，作出垂线后必须检查垂足是否在线段上。 微例：斜线段两端的横坐标相差纵坐标相差由勾股定理得线段长为若斜直线平行于过动点作竖直线段和垂线段到该直线，可得到等腰直角三角形。竖直线段是斜边，故垂线段长是它的倍。 例3、点在抛物线上，过作垂足为其中直线的表达式为求的最大值及此时的坐标。 【解析】设当或时，在直线上， 以下先讨论的情况。 过作竖线交于则 直线与水平线成是等腰直角三角形，故 最大值为此时 变式3-1、点在抛物线上，为到直线的垂足。求的最大值及此时的坐标。 【解析】设横坐标为当或时，当时，作下面的相似三角形计算。 过的竖线交直线于则 直线方向对应直角边为斜边为的直角三角形。与它相似，其中对应斜边对应水平直角边故 最大值为此时 变式3-2、点为到直线的垂足，且求所有符合条件的坐标。 【解析】过作竖线，与直线交于由等腰直角三角形得所以 或均符合题设范围，故或 变式3-3、点在抛物线上，点在线段上，其中 求的最小值及此时的坐标。 【解析】设有所以 时两个等号同时成立，故最小值为 垂足不在线段上。 四、勾股定理与配方法求距离 【勾股列式】两点同横坐标或同纵坐标时，直接用另一坐标差的绝对值求距离。其余情况如图，所以先设抛物线上动点的横坐标，再由表达式写出纵坐标，通常只需要一个未知数。 【先观察，再配方】如果某一点使横向距离为0，同时竖向距离也最小，那么两点距离就在这里最小。不能直接判断时，计算距离的平方；式子只含和常数项时，可令把它化为关于的二次式来配方。 【不能漏点】必须保留使平方项为0的若是负数，就不能按这个数求距离。还原横坐标时，对应两个值，只有没有符合条件的点； 还要按题设范围筛选。 微例：点在上，则时取等， 最短距离为 例4、点在抛物线上，定点求的最小值及此时的所有可能坐标。 【解析】设则 可以取得，故最小值为或 变式4-1、点在抛物线上，且求所有符合条件的坐标。 【解析】化为得 故 变式4-2、点求的最小值及此时的坐标。 【解析】由所以 时取等，最小值如果不限制点的位置，得到的两个最近点都不符合本题的范围要求。 变式4-3、点在抛物线上，定点求的最小值，并写出取得最小值时点的所有可能坐标。 【解析】设则 当时，故最小值为 当时，取得最小值 时只有不计为两个点。 五、线段和最小与线段差最大 【将军饮马模型：线段和最小】等号要求在线段上。若在动点所在直线的同侧，可如左图把对称到因为所以为线段与这条直线的交点时，才能取得这个长度。 【线段差最大】右图中依次排列，要取得等号，三点必须共线，且在线段外或与端点重合；若在两定点之间，一般不能取得这个最大值。 【检查动点范围】动点只能在线段或射线上运动时，要检查所求交点是否在规定范围内。若题目不允许点重合，还要排除和只画出一条直线而不检查点的先后位置，不能确定最值。 微例：在轴上。把对称为交轴于故最小折线长为 例5、抛物线上有点在直线上运动。求的最小值及此时的坐标。 【解析】把关于对称为于是 直线为与交于该点在线段上。故最小值 变式5-1、抛物线上有点在线段上运动，求的最小值及此时的坐标。 【解析】设 时两个等号同时成立，故最小值为例5中使线段和最小的点已不在允许线段内。 变式5-2、抛物线上有点在直线上运动。求的最大值及此时的坐标。 【解析】直线为与交于 在线段之外，依次排列为故可以取等。最大值 变式5-3、点在抛物线上。点在轴上。求的最小值及此时的坐标。 【解析】在轴两侧，直线为与轴交于且在线段上。 所以直接连接即可取等，最小值不用再作对称点。 六、经过两条直线的最短路线 【路线与对称】原路线是其中分别在两条指定直线上。把关于第一条直线对称到把关于第二条直线对称到由原路程等于 【按顺序连成直线】三段路的总长不小于右图从到依次经过因此三段可以连成一条线段。若顺序不对，或交点超出题设范围，就不能把作为答案。 【遇到限制】有交点不符合要求时，应先设受限制点的坐标，分别比较两段长度，再检查能否同时取得最小值。遇到周长或总路程，不变的长度不会改变最短路线的位置，但求总长度时必须加上。 微例：在轴上，在上。作直线为依次与两条直线交于因为路线顺序符合要求，所以最短路程为 例6、点在抛物线上。点在轴上，点在直线上。 求的最小值，并写出此时的坐标。 【解析】把关于轴对称到把关于对称到因为在轴上、在上，所以于是 直线为得 从走向时，横坐标依次为所以先经过再经过三段线段恰好连成线段故这个长度确实可以取得，最小值为 变式6-1、点在抛物线上。点在轴的非正半轴上（包括原点），点在直线上。求的最小值及此时的坐标。 【解析】把关于直线对称到因为所以设题目规定 所以总长至少为 当时，同时取得。还需找到符合要求的直线为与交于因为在线段上，所以这条路线的最短路程为 变式6-2、点在抛物线上，定点点在轴上。求的最小值及此时的坐标。 【解析】为固定长度。把关于轴对称为有 直线为与轴交于且在线段上。故最小值 变式6-3、点在抛物线上。点在轴上，点在直线上，其中若的最小值为求的值及取得最小值时的坐标。 【解析】把关于轴对称到把关于对称到由总路程不小于 线段与轴的交点横坐标为由得说明从到依次经过且两点都在规定的直线上。因此，最短路程确实是 由及得故此时直线为得 七、两动点之间的距离 【两点有关联】左图两点在同一抛物线上，横坐标相差一个定值。先用同一个字母写两点坐标，再写直角三角形的两条直角边，用勾股定理求 纵坐标相减时，两个平方项常能相消。 【先固定一点】点在抛物线上运动，在整条直线上自由运动。先固定的一个位置（见右图），让移到垂足此时最短；再移动比较各处垂线段的长。最后写出两点坐标，并检查它们符合题目要求。 【先看有无交点】两条图象有公共点，且题目允许两动点重合时，最短距离为0。含参数时，应先判断没有交点、一个交点还是两个交点，再写出使距离最小的全部位置。 微例：的横向距离为纵坐标差为故最短线段水平，对应不是点位于顶点时。 例7、点都在抛物线上，的横坐标为的横坐标为其中求的最小值、最大值及各自对应的坐标。 【解析】纵坐标差为横向距离为所以 时最小值为 使故最大值取时取时 变式7-1、点且 求所有符合条件的坐标。 【解析】所以或得或均符合范围。 故或虽然两种情况的线段一样长，但点的位置不同，均应保留。 变式7-2、点求的最小值、最大值。 【解析】由得 最小值在时取得；最大值在时取得。 变式7-3、点在抛物线上，点在直线上。 求的最小值及此时的坐标。 【解析】先固定过的竖线与直线交于 点到直线的距离为故时， 当为垂足时，才是点到直线的距离。由在直线上得由等腰直角三角形得联立解得此时在抛物线上、在直线上，且与直线垂直，最小值可以取得。 A 基础通关 A1、点则等于（　）。 A． B． C． D． 【解析】纵坐标差为故选A。 A2、直线与抛物线（交于两点，且则____。 【解析】对称轴为两交点到对称轴的水平距离均为两交点横坐标为代入得 A3、点则的长为（　）。 A． B． C． D． 【解析】横向距离为竖向距离为故选C。 A4、点在抛物线上，点到轴的距离最大为____，到轴的距离最大为____。 【解析】到轴距离最大到轴距离最大分别在取得。 A5、点在抛物线上，到轴的距离为求及所有符合条件的坐标，其中为原点。 【解析】所以或两种情况下 A6、点在抛物线上。点在线段上， 的最小值为（　）。 A． B． C． D． 【解析】设时取等。最小值选B。 A7、点过作水平线交轴于求的最大值及此时的坐标。 【解析】故时最大，这不是求纵坐标的最大值。 A8、点在抛物线上，且到轴的距离为求的所有可能坐标。 【解析】故或对应 B 难点突破 B1、点过分别作轴、轴的垂线，垂足为求的最大值及此时的坐标。 【解析】所以 最大值此时 B2、直线与抛物线交于不同两点为整数且若也是整数，则的所有可能值为____。 【解析】整数在到之间；若其平方根乘为整数，则必须为完全平方数 故 B3、点在抛物线上，点在直线上，且始终垂直于直线的最大值为（　）。 A． B． C． D． 【解析】设因与轴成 最大值选C。注意此处是斜边，不是点到直线的距离。 此时在允许范围内。 B4、点在抛物线上，过作轴，垂足为当时，求点在轴上能够移动的线段长。 【解析】本范围内故条件化为得 从到移动线段长为 B5、点在抛物线上，定点当时，求的横坐标取值范围。 【解析】设令则 由得结合得所以即 B6、抛物线与轴交于（在左侧），与轴交于点在对称轴上。求的最小值及此时的坐标。 【解析】对称轴为关于对称轴的对称点是故 直线为与交于在线段上，故最小值 B7、点与当时，____，其中为原点。 【解析】由及得故 B8、点为到轴的垂足，为原点，求的最大值及此时的坐标。 【解析】 当时，顶点横坐标在允许范围内，最大值 当时，在内越接近平方项越小。故时最大为时两式一致，计入第一种情况即可。 C 综合进阶 C1、抛物线上有点在射线上，为实数。求的最小值及此时的坐标。 【解析】设 当时，取得最小值当时，取得最小值 C2、点在抛物线上， （1）设的纵坐标为用含的式子表示（2）求的最小值及此时的坐标。 【解析】（1）设故 （2）线段的长不小于两点纵坐标差的绝对值，所以结合得取时，竖直，且在下方，两个不等式同时取等。此时故最小值为 C3、点在抛物线上，定点若恰有两个不同点使取得最小值，且这两个点之间的距离为则____，的最小值为____。 【解析】两个最短点的横坐标为故间距得 此时最小值为 C4、点在抛物线上，点在直线上，为实数，允许重合。求的最小值及取得最小值时的所有坐标。 【解析】先判断两条图象是否有公共点。联立与得所以时没有交点；时只有一个交点；时有两个交点。后两种情况下可取距离为0。 当时，设先固定让移动到垂足位置，此时最短。根据等腰直角三角形，垂线段长为竖直线段长的倍，即 当时，最小值为垂足满足故 当时，最小值 当时，最小值令则两个交点都应保留。 C5、点点满足的的取值范围为（　）。 A． B． C． D． 【解析】横向差为纵坐标差为故得到 所以选B。 C6、点在抛物线上，定点 按的取值，求满足的不同点的个数。 【解析】设令条件为一个正的对应两个点；只对应原点。 当时，右边为负，没有符合条件的点。 当时，共有个点。 当时，两个解均为正，共有个点。 当时，或共有个点。 当时，两个中一正一负，只保留正值，共有个点。 C7、点在抛物线上，求的最大值及取得最大值时点的所有可能坐标。 【解析】令且 故最大值时取等，对应本题求最大距离，应比较题设范围内的端点，不能直接使用求最小距离时的横坐标。 C8、点在抛物线上，的最小值为则____。 【解析】设则若最短距离为不能等于若最短距离为由得它满足所以 D 中考真题精选 D1、（2026年内蒙古自治区中考第5题）二次函数的图象与轴交于两点，则线段的长是（　）。 A． B． C． D． 【解析】令得解得或所以选B。 D2、（2025年四川省资阳市中考第16题）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点。抛物线（与轴相交于点且抛物线的对称轴为直线给出以下4个结论： ① ②对于任意实数的值不小于 ③若是对称轴上的一点，则的最小值为 ④若点在抛物线上，满足且则一定有 其中，所有正确结论的序号为____。 【解析】由图象开口向上得由得由对称轴得所以①错误。 ②正确。 作关于直线的对称点直线与交于等号可以取到，③正确。 所以④正确。故填②③④。 D3、（2025年海南省中考第21题第（1）问①② 节选）如图， 抛物线（经过两点。点是线段上的动点，过点作轴交抛物线于点 若①求抛物线的解析式；②求线段长度的最大值。 【解析】①将代入，得解得所以抛物线为 ②直线为因为直线在抛物线上方或与抛物线相交，所以 在允许范围内，故的最大值为 D4、（2025年四川省凉山州中考第25题第（1）（2）问 节选）如图，二次函数的图象经过三点。 （1）求抛物线的解析式；（2）点在直线下方的抛物线上运动，求点到直线的最大距离。 【解析】（1）由设代入得所以 （2）直线为设由在下方得过作竖线交于则 过作垂足为直线与水平线成为等腰直角三角形，故 在允许范围内，故最大距离为 D5、（2025年湖北省武汉市中考第24题第（1）（2）问 节选）抛物线与直线交于两点（在的左边）。 （1）求两点的坐标。 （2）如图，若是直线下方抛物线上的点，过点作轴的平行线交抛物线于点过点作轴的平行线交线段于点满足求点的横坐标。 【解析】（1）由得所以 （2）设由对称性得又所以 当时，解得或仅符合范围。 当时，解得仅符合范围。 当时，而不符合。故点的横坐标为或 D6、（2025年北京市中考第26题）在平面直角坐标系中， 抛物线（经过点和点 （1）求的值，并用含的式子表示 （2）过点作轴的垂线，交抛物线于点交直线于点 ①若求的长； ②已知在点从点运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求的取值范围。 【解析】（1）由经过得将代入得故 （2）①当时，所以 ②一般情况下，当时，从减小到令则随增大而增大，故所有都符合。 当时，从增大到在内，在内递增，之后先递减。要在整个运动过程中递增，必须且只需即 综上，或 1 / 35 学科网（北京）股份有限公司 $ 二次函数中的线段长度与距离最值 专题复习讲义 2026—2027学年苏科版九年级数学下册 学生版 复习导航 先辨认线段的位置，再选择计算方法。 求出长度后，还要检查对应的点是否在题目规定的范围内。 线段或问题 常用方法 竖直、水平线段 铅垂高：上减下；水平宽：右减左 斜线段或两点距离 作直角三角形，用勾股定理或相似关系 线段和最小、线段差最大 和：两点之间线段最短，必要时作轴对称；差：不超过两定点的距离，等号要检查三点顺序 经过两条直线的路线 作两次轴对称，并检查经过交点的先后顺序 内容目录 一、铅垂高与水平宽 2 二、利用对称性求水平线段长 4 三、斜线段长与点到直线、线段的距离 7 四、勾股定理与配方法求距离 9 五、线段和最小与线段差最大 11 六、经过两条直线的最短路线 14 七、两动点之间的距离 16 A 基础通关 19 B 难点突破 22 C 综合进阶 25 D 中考真题精选 28 一、铅垂高与水平宽 【看图列式】铅垂高指竖直线段的长，水平宽指水平线段的长。图中的横坐标相同，且在上方，所以的纵坐标相同，且在右方，所以这里计算的是线段长，不是面积。 【位置变化】不确定谁在上方时，写先求出时的横坐标，再按题设范围分段：在上方用在上方用水平线段也按同样的方法判断左右位置。 【求最大值】把点的坐标代入长度式，再配方。若得到“常数减去正数倍的平方”，先检查平方项能否为0；若不能，再比较题设范围内的长度。最后代回原抛物线，写出完整坐标。题目允许两点重合时，线段长为0。 微例：同横坐标， 不能因两个纵坐标都为负而相加。 例1、点在抛物线上，其横坐标满足过作平行于轴的直线，与直线交于 （1）用含的式子表示（2）求的最大值及此时的坐标。 变式1-1、点与其中且 求所有符合条件的坐标。 变式1-2、点在抛物线上，横坐标满足点在直线上。求的最大值及此时的坐标。 变式1-3、点与其中求的最大值，并写出此时的坐标。 二、利用对称性求水平线段长 【对称关系】水平直线与同一抛物线交于不同两点对称轴与交于则若对称轴为在左侧，则 【由长求点】已知先用求两点横坐标，再代入表达式求纵坐标。已知水平直线的表达式时，也可联立方程求交点； 若两根相同，两交点就重合了。 【范围检查】水平直线的位置有限制时，线段长也受限制。若某一高度不允许取到，对应长度就不能取到；长度虽然可以无限接近某个数，也不能把这个数写成最大值。 微例：抛物线上有两点的纵坐标相同，其中一点的横坐标为对称轴为两点离对称轴的水平距离均为所以另一点的横坐标为两点相距 例2、水平直线与抛物线交于两点，在左侧，且求及该水平直线的表达式。 变式2-1、点在抛物线上。点与同在此抛物线上、纵坐标相同且不重合。填空：的坐标为____，____。 变式2-2、直线与抛物线交于不同两点其中求的取值范围。 变式2-3、点在抛物线上，过作平行于轴的直线，与抛物线的另一交点记为当时规定过作轴，垂足为 求的最大值及此时的坐标。 三、斜线段长与点到直线、线段的距离 【竖直与垂直要分清】左图中竖直，垂直于斜直线，点到斜直线的距离是不是先用“上减下”求再用等腰直角三角形或相似三角形中的边长关系求 【斜线段的长】过两端点分别作水平线和竖直线，得到直角三角形。两条直角边长分别为横坐标差、纵坐标差的绝对值，所以长度越小，它的平方也越小，可以先求平方的最小值。 【点到线段】右图中在线段上，到线段的最短距离为在的延长线上，到线段的最近点是最短距离为 因此，作出垂线后必须检查垂足是否在线段上。 微例：斜线段两端的横坐标相差纵坐标相差由勾股定理得线段长为若斜直线平行于过动点作竖直线段和垂线段到该直线，可得到等腰直角三角形。竖直线段是斜边，故垂线段长是它的倍。 例3、点在抛物线上，过作垂足为其中直线的表达式为求的最大值及此时的坐标。 变式3-1、点在抛物线上，为到直线的垂足。求的最大值及此时的坐标。 变式3-2、点为到直线的垂足，且求所有符合条件的坐标。 变式3-3、点在抛物线上，点在线段上，其中 求的最小值及此时的坐标。 四、勾股定理与配方法求距离 【勾股列式】两点同横坐标或同纵坐标时，直接用另一坐标差的绝对值求距离。其余情况如图，所以先设抛物线上动点的横坐标，再由表达式写出纵坐标，通常只需要一个未知数。 【先观察，再配方】如果某一点使横向距离为0，同时竖向距离也最小，那么两点距离就在这里最小。不能直接判断时，计算距离的平方；式子只含和常数项时，可令把它化为关于的二次式来配方。 【不能漏点】必须保留使平方项为0的若是负数，就不能按这个数求距离。还原横坐标时，对应两个值，只有没有符合条件的点； 还要按题设范围筛选。 微例：点在上，则时取等， 最短距离为 例4、点在抛物线上，定点求的最小值及此时的所有可能坐标。 变式4-1、点在抛物线上，且求所有符合条件的坐标。 变式4-2、点求的最小值及此时的坐标。 变式4-3、点在抛物线上，定点求的最小值，并写出取得最小值时点的所有可能坐标。 五、线段和最小与线段差最大 【将军饮马模型：线段和最小】等号要求在线段上。若在动点所在直线的同侧，可如左图把对称到因为所以为线段与这条直线的交点时，才能取得这个长度。 【线段差最大】右图中依次排列，要取得等号，三点必须共线，且在线段外或与端点重合；若在两定点之间，一般不能取得这个最大值。 【检查动点范围】动点只能在线段或射线上运动时，要检查所求交点是否在规定范围内。若题目不允许点重合，还要排除和只画出一条直线而不检查点的先后位置，不能确定最值。 微例：在轴上。把对称为交轴于故最小折线长为 例5、抛物线上有点在直线上运动。求的最小值及此时的坐标。 变式5-1、抛物线上有点在线段上运动，求的最小值及此时的坐标。 变式5-2、抛物线上有点在直线上运动。求的最大值及此时的坐标。 变式5-3、点在抛物线上。点在轴上。求的最小值及此时的坐标。 六、经过两条直线的最短路线 【路线与对称】原路线是其中分别在两条指定直线上。把关于第一条直线对称到把关于第二条直线对称到由原路程等于 【按顺序连成直线】三段路的总长不小于右图从到依次经过因此三段可以连成一条线段。若顺序不对，或交点超出题设范围，就不能把作为答案。 【遇到限制】有交点不符合要求时，应先设受限制点的坐标，分别比较两段长度，再检查能否同时取得最小值。遇到周长或总路程，不变的长度不会改变最短路线的位置，但求总长度时必须加上。 微例：在轴上，在上。作直线为依次与两条直线交于因为路线顺序符合要求，所以最短路程为 例6、点在抛物线上。点在轴上，点在直线上。 求的最小值，并写出此时的坐标。 变式6-1、点在抛物线上。点在轴的非正半轴上（包括原点），点在直线上。求的最小值及此时的坐标。 变式6-2、点在抛物线上，定点点在轴上。求的最小值及此时的坐标。 变式6-3、点在抛物线上。点在轴上，点在直线上，其中若的最小值为求的值及取得最小值时的坐标。 七、两动点之间的距离 【两点有关联】左图两点在同一抛物线上，横坐标相差一个定值。先用同一个字母写两点坐标，再写直角三角形的两条直角边，用勾股定理求 纵坐标相减时，两个平方项常能相消。 【先固定一点】点在抛物线上运动，在整条直线上自由运动。先固定的一个位置（见右图），让移到垂足此时最短；再移动比较各处垂线段的长。最后写出两点坐标，并检查它们符合题目要求。 【先看有无交点】两条图象有公共点，且题目允许两动点重合时，最短距离为0。含参数时，应先判断没有交点、一个交点还是两个交点，再写出使距离最小的全部位置。 微例：的横向距离为纵坐标差为故最短线段水平，对应不是点位于顶点时。 例7、点都在抛物线上，的横坐标为的横坐标为其中求的最小值、最大值及各自对应的坐标。 变式7-1、点且 求所有符合条件的坐标。 变式7-2、点求的最小值、最大值。 变式7-3、点在抛物线上，点在直线上。 求的最小值及此时的坐标。 A 基础通关 A1、点则等于（　）。 A． B． C． D． A2、直线与抛物线（交于两点，且则____。 A3、点则的长为（　）。 A． B． C． D． A4、点在抛物线上，点到轴的距离最大为____，到轴的距离最大为____。 A5、点在抛物线上，到轴的距离为求及所有符合条件的坐标，其中为原点。 A6、点在抛物线上。点在线段上， 的最小值为（　）。 A． B． C． D． A7、点过作水平线交轴于求的最大值及此时的坐标。 A8、点在抛物线上，且到轴的距离为求的所有可能坐标。 B 难点突破 B1、点过分别作轴、轴的垂线，垂足为求的最大值及此时的坐标。 B2、直线与抛物线交于不同两点为整数且若也是整数，则的所有可能值为____。 B3、点在抛物线上，点在直线上，且始终垂直于直线的最大值为（　）。 A． B． C． D． B4、点在抛物线上，过作轴，垂足为当时，求点在轴上能够移动的线段长。 B5、点在抛物线上，定点当时，求的横坐标取值范围。 B6、抛物线与轴交于（在左侧），与轴交于点在对称轴上。求的最小值及此时的坐标。 B7、点与当时，____，其中为原点。 B8、点为到轴的垂足，为原点，求的最大值及此时的坐标。 C 综合进阶 C1、抛物线上有点在射线上，为实数。求的最小值及此时的坐标。 C2、点在抛物线上， （1）设的纵坐标为用含的式子表示（2）求的最小值及此时的坐标。 C3、点在抛物线上，定点若恰有两个不同点使取得最小值，且这两个点之间的距离为则____，的最小值为____。 C4、点在抛物线上，点在直线上，为实数，允许重合。求的最小值及取得最小值时的所有坐标。 C5、点点满足的的取值范围为（　）。 A． B． C． D． C6、点在抛物线上，定点 按的取值，求满足的不同点的个数。 C7、点在抛物线上，求的最大值及取得最大值时点的所有可能坐标。 C8、点在抛物线上，的最小值为则____。 D 中考真题精选 D1、（2026年内蒙古自治区中考第5题）二次函数的图象与轴交于两点，则线段的长是（　）。 A． B． C． D． D2、（2025年四川省资阳市中考第16题）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点。抛物线（与轴相交于点且抛物线的对称轴为直线给出以下4个结论： ① ②对于任意实数的值不小于 ③若是对称轴上的一点，则的最小值为 ④若点在抛物线上，满足且则一定有 其中，所有正确结论的序号为____。 D3、（2025年海南省中考第21题第（1）问①② 节选）如图， 抛物线（经过两点。点是线段上的动点，过点作轴交抛物线于点 若①求抛物线的解析式；②求线段长度的最大值。 D4、（2025年四川省凉山州中考第25题第（1）（2）问 节选）如图，二次函数的图象经过三点。 （1）求抛物线的解析式；（2）点在直线下方的抛物线上运动，求点到直线的最大距离。 D5、（2025年湖北省武汉市中考第24题第（1）（2）问 节选）抛物线与直线交于两点（在的左边）。 （1）求两点的坐标。 （2）如图，若是直线下方抛物线上的点，过点作轴的平行线交抛物线于点过点作轴的平行线交线段于点满足求点的横坐标。 D6、（2025年北京市中考第26题）在平面直角坐标系中， 抛物线（经过点和点 （1）求的值，并用含的式子表示 （2）过点作轴的垂线，交抛物线于点交直线于点 ①若求的长； ②已知在点从点运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求的取值范围。 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $