第1章《三角形》期中复习考点分类专项训练 2026-2027学年苏科版数学八年级上册
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内容正文：
第一单元《三角形》期中复习考点分类专项训练
考点归纳
题型一 三角形的概念与运用
题型二 全等三角形的性质、判定及其应用
题型三 角平分线与垂直平分线的性质及应用
题型四 等腰三角形与直角三角形的性质及应用
考点一、三角形的概念与运用
1．（25-26八年级上·江苏常州·期中）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】D
【分析】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边是解题的关键．
根据三角形的三边关系对各选项进行逐一分析解答．
【详解】解：A、，
不能构成三角形，不符合题意；
B、，
不能构成三角形，不符合题意；
C、，
不能构成三角形，不符合题意；
D、，
能构成三角形，符合题意．
故选：D．
2．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，是的中线，E是上的一点，连接，若的面积为12，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握三角形中线的性质是解答本题的关键．三角形的中线把三角形分成面积相同的两部分．
【详解】解：∵是的中线，E是上的一点
∴，
∴阴影部分的面积
故选：D.
3．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形的角平分线，中线和高的定义逐一判断即可解答．
【详解】解：是的中线，
是的高，
，
是的角平分线，
，
是的角平分线，并非中线，无法推出，
故、、都正确，不正确．
4．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，△中，，点、分别是、上的点，，，连接、交于点．当四边形的面积为7时，则△的面积为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】C
【分析】本题考查三角形面积与线段比例的关系，解题关键是利用中点、底的比例设面积未知数，联立方程推导．连接辅助线，利用线段比例与三角形面积的关系来求解．
【详解】解：已知，，
故，
是中点，
，
连接，设，，
，
（等底同高的三角形面积相等），
因此，四边形的面积为，
，
（同高，底的比为，
是中点，
（等底同高），
；
，
因此有：①，
，
（同高，底的比为，
；
，
因此有：②，
由，得，
将其代入①：，
，
代入②：，
，
，
，
由，代入，
得，
故选：．
5．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）三角形的三边长分别为2，7，a，则奇数a的值是___________．
【答案】7
【分析】此题主要考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系定理是解决问题的关键．根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，列出不等式组，求出a的取值范围，再结合a是奇数的条件进行判断．
【详解】由三角形的三边关系，得：
，即；
，即；
，恒成立．
所以．
又因为a是奇数，
所以，
故答案为：7．
6．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）已知，在中，，的对边长分别为a，b，若，，则a____b．（填“”、“”或“”）
【答案】
【分析】本题考查了三角形的边角关系．
根据“大角对大边，小角对小边”作答即可．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为：．
7．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，中，D为边的中点，E为边的三等分点，线段、交于F，若，则______．
【答案】/0.5
【分析】设，，根据为边的中点得出，，，根据为边的三等分点得出，，再列出关于、的方程组，求解即可．
【详解】解：设，，
为边的中点，
∴，，，
为边的三等分点，
∴，，
，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
考点二、全等三角形的性质、判定及其应用
8．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）下列各组图形中，属于全等图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查全等图形，掌握知识点是解题的关键．
根据全等图形的定义，逐项分析判断即可．
【详解】解：A．这两个图形不是全等图形，不符合题意；
B． 这两个图形不是全等图形，不符合题意；
C． 这两个图形不是全等图形，不符合题意；
D． 这两个图形是全等图形，符合题意；
故选D．
9．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，点B，C，D在同一直线上，若，，，则的长为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的性质和线段的和差．
根据全等三角形的性质得出，，再由线段的和差即可求解．
【详解】∵，
∴，，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
10．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图是两个全等三角形，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据全等三角形的对应角相等解答．
本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
【详解】解：∵两个三角形是全等三角形，
∴第一个三角形中，边a、c的夹角是，
∴在第二个三角形中，边a、c的夹角也是，
∴．
故选：A．
11．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，则点的运动速度为（ ），使得、、三点构成的三角形与、、三点构成的三角形全等．
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定，一元一次方程的应用．设运动的时间为，点F的运动速度为，分两种情况：①，；②，，列出方程，求出结果即可．
【详解】解：设运动的时间为，点F的运动速度为，
，
A、C、E三点构成的三角形与B、E、F三点构成的三角形全等，有两种情况：
①，，
则，，
解得：，
；
②，，
则，，
解得：，，
故选：D．
12．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，已知，要使，不能添加的条件是（ ）
A．平分 B．平分
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定，全等三角形的判定方法有：、、、、，注意：用判定全等时，角必须是两边的夹角，、不能判定全等；熟练掌握并灵活运用适当的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理逐一判定即可得答案．
【详解】解：A．添加平分，则，利用不能使，故该选项符合题意，
B．添加平分，则，利用能使，故该选项不符合题意，
C．添加，利用能使，故该选项不符合题意，
D．添加，利用能使，故该选项不符合题意．
故选：A．
13．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，中，，分别以三角形的三边向三角形的外侧作正方形，正方形，正方形，连接，若要求的面积，只需给出条件（ ）
A．的长度 B．的长度 C．的长度 D．边上的高
【答案】C
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，作，交的延长线于点，证明，进而得到，得到，进行判断即可．
【详解】解：过点作，交的延长线于点，
则：，
∵正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故只需知道的长度即可得到的面积；
故选C．
14．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）若，且，，则的取值范围为________．
【答案】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形的三边关系等知识，根据全等三角形的性质，对应边相等，得到和的长度，再利用三角形的三边关系求解的取值范围．
【详解】解：∵，
∴，，
在中，
根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，
因此有，
即，
∴．
故答案为：．
15．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，点D、E分别在边上，，，若，，则______．
【答案】
【分析】此题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
根据证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【详解】解：在与中，
，
≌，
，
，
，
故答案为：
16．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图所示，是小明和小红跷跷板时的示意图，点是跷跷板的中点，支柱与地面垂直，且的长度为，当小明到水平线的距离为时，小红（点）到地面的距离为__________．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明得到，再加上的长度即可求解．
【详解】解：由题意得，
在与中，
，
∴，
∴，
∵的长度为，
∴小红（点）到地面的距离为，
故答案为：．
17．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知点B、F、C、E在直线l上，点A、D在l异侧，，，要使得，还需要补充一个条件______．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法即可解答．
【详解】解：需要补充一个条件是：，
理由：在和中，
，
∴，
故答案为：（答案不唯一）．
18．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，点是线段的中点，，．求证：．
【答案】
证明：是的中点，
，
在和中，
，
．
【分析】本题考查三角形全等的判定（SAS）．先根据线段中点的定义得到，再结合已知的和，利用SAS判定定理证明两个三角形全等．
【详解】略
19．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，是上一点，，是外一点，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)
证明：，
∴，
即，
∵在和中，
，
，
；
(2)
【分析】本题综合考查全等三角形的判定与性质．掌握相关定理是解题关键．
（1）根据“”证即可求证；
（2）根据全等三角形的性质即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：，
.
20．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，是的中线，，垂足为，，交的延长线于点，是延长线上一点，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)
证明：是的中线，
，
，，
，
在和中，
，
，
；
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，能够熟练运用和证明全等三角形是解题的关键．
（1）利用证明，即可得出；
（2）利用证明，得出，从而解决问题．
【详解】（1）略
（2）解：，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
．
21．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图1，在中，，过点C作射线．点M从点 B出发，以的速度沿匀速移动；点N从点C出发，以的速度沿匀速移动．点M、N同时出发，当点M到达点C时，点M、N同时停止移动．连接， 设移动时间为．
(1)点M、N从移动开始到停止，所用时间为 s；
(2)当与全等时，①若点M、N的移动速度相同， 求t的值； ②若点M、N的移动速度不同，求a的值；
(3)如图2，当点M、N开始移动时，点P 同时从点A 出发，以的速度沿向点B匀速移动，到达点B 后立刻以原速度沿返回．当点 M到达点C时，点M、N、P同时停止移动．在移动的过程中，是否存在与全等的情形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)4
(2)①秒；②6．
(3)2或
【分析】本题主要考查了行程问题、全等三角形的判定和性质、一元一次方程的应用等知识点，理解题意、灵活运用分类讨论的思想思考问题是解题的关键．
（1）根据时间、速度、路程的关系列式计算即可．
（2）①利用全等三角形的性质，构建方程解决问题即可．②当时，两个三角形全等，求出运动实际t和a的值即可．
（3）分两种情形分别求解即可解决问题．
【详解】（1）解：点M的运动时间（秒），
故答案为：4．
（2）解：①∵点M、N的移动速度相同，
，
∵
，
当时，与全等，
∴，解得：秒
②∵点M、N的移动速度不同，
，
∴时，两个三角形全等，
∴，解得：，
∴a的值为6．
（3）解：若点M、N的移动速度不同，则时，两个三角形有可能全等，
∴，解得：
若点M、N的移动速度相同，则，，
∴或，解得（舍弃）或，
综上所述，满足条件的t的值为2或．
22．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，且．
(1)求与的数量关系，并写出理由．
(2)如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，且，请猜想、、三条线段间的数量关系，并写出理由．
(3)如图3，在四边形中，，，E、F分别是直线、上的点，且，请直接写出、、三条线段间的数量关系 ．
【答案】(1)
解：，理由如下：
设，则，
如图1，延长到点，使，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
(2)
解：、、三条线段间的数量关系为：，
如图2，延长至点，使，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）同理得：，
∴，
∵，，
∴，
∴；
(3)
【分析】本题考查了同(等)角的余(补)角相等的应用，全等的性质和综合（），解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
（1）先利用证明，根据全等三角形的性质可得出，，再利用证明，从而可得出，进而可得，从而可得；
（2）先分别证明，，结合全等三角形的性质可得；
（3）先证明，根据全等三角形的性质可得出，，再证明，根据全等三角形的性质可得出，从而可得．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：，理由如下：
如图3，在上截取，连接，
同理得：，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
考点三、角平分线与垂直平分线的性质及应用
23．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）已知：如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，的长等于，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线的性质是解题的关键．
根据线段垂直平分线的性质进行计算即可．
【详解】垂直平分，，
，
，
．
故选．
24．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）点M在的平分线上，点M到边的距离等于3，点N是边上的任意一点，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】该题考查了角平分线的性质定理，垂线段最短，根据角平分线的性质，点到的距离等于点到的距离，均为3；再根据垂线段最短，点到上任意一点的距离不小于该距离．
【详解】解：∵在的平分线上，且到的距离为3，
∴到的距离为3（角平分线上的点到角两边距离相等）．
∵是上的任意一点，
∴（垂线段最短）．
故选：B．
25．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，是中的角平分线，于点，于点，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
角的平分线上的点到角的两边的距离相等，由此即可得到答案．
【详解】解：是的角平分线，，，
，
故选：．
26．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，已知点D在上，，则点D在（ ）
A．的垂直平分线上 B．的垂直平分线上
C．的中点处 D．的平分线上
【答案】A
【分析】本题考查了垂直平分线的判定，先结合，，得出，故点D在的垂直平分线上，即可作答．
【详解】解：∵，，
∴，
则点D在的垂直平分线上，
故选：A．
27．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，是的平分线，若，则的面积是（ ）
A．12 B．14 C．16 D．10
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等．作，可得，据此即可求解．
【详解】解：作，如图所示：
∵是的角平分线，，，
∴，
∴的面积．
故选：A．
28．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，点D为边上的一点，且，线段的垂直平分线交边于E，，，则的周长为（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
【答案】A
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，理解线段垂直平分线的性质是解题的关键．先根据线段的垂直平分线的性质证得，再将的周长化为即可求解．
【详解】解：点在线段的垂直平分线上，
，
，
的周长，
，，
的周长
故选：A．
29．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，点A，C分别为两边上的点，，的平分线交于点P，过点P分别作于点M，于点N，连接，若，，则的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】D
【分析】此题重点考查角平分线的性质与判定、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
作于点F，由平分、平分，且于点M，于点N，得，，所以，则平分，再证明，同理，所以，，由，据此可算出的长度．
【详解】解：作于点F，
∵、的角平分线、交于点P，于点M，于点N，
∴，，，
∴，
∴点P在的平分线上，
∴平分，
在和中，
，
∴，
同理，
∴，，
∴，
∵，，，
∴．
故选：D．
30．（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，是中的角平分线，于点，，，，则长是_________．
【答案】
【分析】考查角平分线的性质以及三角形的面积公式，掌握角平分线的性质是解题的关键．
过D作于F，根据角平分线性质得到，由， ，，代入即可求解．
【详解】解：过D作于F，
∵是中的角平分线，，
∴，
∵
∵，
∴
解得：，
故答案为：．
31．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，中，平分，且平分，于E，于F．如果，则的长是________．
【答案】2
【分析】此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是准确作出辅助线，利用方程思想求解．
连接，由平分，于E，于F，根据角平分线的性质，即可得，又由且平分，根据线段垂直平分线的性质，可得，继而可证得，则可得，再证，即可得，然后设，由，即可得方程，解方程即可求得答案．
【详解】解：连接，
∵平分，，
∴，
∵且平分，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，
∵，，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：2．
32．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，分别平分，，于点．若，的面积是75，则的周长为________．
【答案】50
【分析】连接，过点O作于点E，，作于点F，由角平分线的性质定理可得，，再结合三角形面积公式计算即可得解；
本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解此题的关键．
【详解】解：连接，过点O作于点E，作于点F，
由，分别平分，，于点，．
故，
故，
，
解得，
故答案为：50．
33．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，分别是边，的垂直平分线，若，，的周长为，则的周长为________．
【答案】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，掌握以上知识是解答本题的关键；
根据垂直平分线的性质，可知，，根据的周长为，求得，即可求出的周长．
【详解】解：∵，分别是边，的垂直平分线，
∴，，
∵的周长为，
∴，
∴，
∵，，
∴的周长；
故答案为：；
34．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）中，．
(1)请用直尺和圆规，在内作一点P，使点P到的距离相等，且；
(2)在（1）的条件下，若，则 ．
【答案】(1)
如图：点P即为所求．
(2)
【分析】本题主要考查作图—复杂作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识点，正确作图成为解题的关键．
（1）分别作的平分线和线段的垂直平分线，它们的交点即为点P；
（2）设线段的垂直平分线交于点D，过点P作于点E，于点F，连接、，则可得，由角平分线的性质可得．利用勾股定理求出的长，根据可求出的长，再根据求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：设线段的垂直平分线交于点D，过点P作于点E，于点F，连接、，
∴．
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∵为的平分线，
∴．
∵，，
∴．
设，
在中，由勾股定理得，，
∵，
∴，解得：，
∴，
∴．
故答案为：．
35．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图∶在中，点G为中点，交的平分线于点D，于点E，交的延长线于点F．
(1)求证∶；
(2)求证∶．
【答案】(1)
证明∶如图，连接，
∵G是的中点，，
∴，
∵平分，，
∴，
又，
∴，
∴；
(2)
证明：在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
(1)连接，先利用线段垂直平分线的性质得到，再由角平分线的性质得到，即可利用证明，即可得证；
(2)证明，得到，由(1)得，得到，进而得到，即可得证．
【详解】（1）略．
（2）略．
36．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，是的角平分线，，垂足分别是，，连接，与相交于点．
(1)求证：垂直平分；
(2)若的面积为，，求的长．
【答案】(1)
证明∵是的角平分线，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点、点都在的垂直平分线上，
∴垂直平分；
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，角平分线的性质等知识．
（1）证明，得到，即可得到点、点都在的垂直平分线上，从而得到垂直平分；
（2）先求出，根据三角形面积公式得到，即可求出．
【详解】（1）略
（2）解：∵，
∴，
∵的面积为，，
∴，
即，
∴．
37．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）作图题：
(1)如图，已知四边形．请用无刻度直尺和圆规，完成下列作图（不要求写作法，保留作图痕迹）：
①在线段上找一点M，使得，请在图1中作出点M；
②若与不平行，且，请在线段上找一点N，使得和的面积相等，请在图2中作出点N．
(2)请仅用无刻度的直尺分别按下列要求在方格纸中画图．（不写画法，保留画图痕迹）
③在图3的方格纸中，在上找一点P，使得P到、的距离相等；
④在图4的四边形内找一点Q，使，．
【答案】(1)
解：①如图①，点即为所求；
②如图②，点即为所求，
(2)
解：③如图③，点即为所求，
④如图④，点Q即为所求，
【分析】此题考查了线段垂直平分线的作图，角平分线的作图和轴对称的性质，正确理解线段垂直平分线的性质及角平分线的性质是解题的关键．
（1）①以点和点为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点和点，连接，交于点，点即为所求，根据垂直平分线的性质即可得；
②延长相交于点，作的角平分线，交于点，点即为所求；过点作于点，于点，根据平分，，，可得，再根据，则和的面积相等；
（2）③取格点T，连接交于点P，点P即为所求；
④连接，取点关于的对称点，作直线交于点Q，点Q即为所求．
【详解】（1）略
（2）略
38．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图1，，是的平分线．
(1)如图2，把三角板的角的顶点落在的任意一点P上，并使三角板的斜边与垂直，垂足为E，一条直角边与相交于点F．求证：；
(2)如图3，把三角板绕点P旋转，三角板的斜边与相交于点E，一条直角边与相交于点F．与相等吗？请证明你的结论．
【答案】(1)
证明：∵，是的平分线，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，即，
又平分，
∴；
(2)
，证明如下：
如图所示，过点P作，，分别交，于点M，N，
则（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵，，，
∴，
又∵，
则，
在和中，
，
∴，
∴．
【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及角平分线的性质等知识点．解题的关键是：
（1）先证明，然后根据角平分线的性质即可证明；
（2）过点P作，，分别交，于点M，N，推出，再证明，即可得出结论．
【详解】（1）略
（2）略
考点四、等腰三角形与直角三角形的性质及应用
39．（25-26八年级上·江苏常州·期中）已知等腰三角形的两边长分别为、，且、满足，则此等腰三角形的周长为（）
A．7或8 B．6或10 C．6或7 D．7或10
【答案】A
【分析】本题考查了非负数的性质、等腰三角形的性质，三角形三边关系等，熟练掌握这些知识点是解题关键．
根据非负数的性质，求出a和b的值，再根据等腰三角形的性质分类讨论边长组合，利用三角形三边关系判断是否成立，最后计算周长．
【详解】解：∵，且，，
∴且，
∴，，
当腰长为2，底边为3时，三边为2、2、3，
∵，，，
∴能组成三角形，周长为；
当腰长为3，底边为2时，三边为3、3、2，
∵，，，
∴能组成三角形，周长为；
故此等腰三角形的周长为7或8，
故选A
40．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）一个等腰三角形底边的长为，一腰上的中线把其周长分成的两部分的差为，则周长为（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】B
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、中线分周长的差、三角形的三边关系等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键．
设腰长，底边，根据中线分周长差为，可得，代入底边长，得到腰长为或，但腰不能构成三角形，据此即可解答．
【详解】解：∵为边上的中线，
∴．
设腰长，底边．
则一部分周长为，另一部分为．
两部分的差为．
依题意，，
∴或，解得：或．
当时，三边为，由，不满足三角形三边关系，舍去．
当时，三边为，可以构成三角形．
∴周长．
故选B．
41．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，， ， ，则长（ ）
A．2 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质与含角的直角三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形“三线合一”和角对的直角边是斜边的一半推导线段长度．
过作，由得；结合的“三线合一”性质得，进而计算出的长度．
【详解】解：如图，过点作于，
，
，
，
，
，
．
故选：D．
42．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）如图，在△中，，，在上取点，使，作于，连接，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作，交的延长线于点，取的中点，连接、，因为于点，所以，而，则，推导出，进而证明△△，得，则，求得，由，得，所以，则的最小值为，于是得到问题的答案．
【详解】解：作，交的延长线于点，取的中点，连接、，
点在上，于点，
，
，
，
，，
，
在△和△中，
，
△△，
，
，
，
，
，
，
的最小值为，
故选：．
43．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，已知：，点、、……在射线上，点、、……在射线上， 、、……均为等边三角形，若，则的边长为（ ）．
A．6 B．128 C．64 D．32
【答案】D
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的性质、30度角的直角三角形的性质、平行线的判定与性质等知识点，掌握等边三角形的性质是解题的关键．
根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出…以此可得即可解答．
【详解】解：如图所示：
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
以此类推：，即的边长为32．
故选D．
44．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，中，，，的垂直平分线分别交，边于，点，若点为的中点，点为线段上一动点，当的周长最小值是11时，的长为（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再判断出点在上时，最小，求出的长，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：连接，，
是等腰三角形，点是边的中点，
，
是线段的垂直平分线，
，
当点在上时，最小，最小值为，
的周长最短．
，
，
故选：．
45．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）等腰三角形周长是30，其中一边长是8，则等腰三角形的底边长是___________．
【答案】8或14
【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形三边关系，分两种情况讨论：当8为腰长时，底边为14；当8为底边长时，腰为11．利用三角形三边关系检验，两种情况均成立，故底边长为8或14．
【详解】解：设等腰三角形的腰长为a，底边长为b，则周长为．
若一边长8为腰长，则，此时三边为8、8、14，满足，符合三角形三边关系．
若一边长8为底边长，则，此时三边为11、11、8，满足，符合三角形三边关系．
因此等腰三角形的底边长为8或14．
故答案为：8或14．
46．（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图所示，在中，平分，平分，，过点，若，，则的周长______．
【答案】30
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质以及平行线的性质，解题的关键是利用角平分线和平行线的性质得出等腰三角形，进而将三角形的周长进行转化．
因为平分，所以；又因为，所以，从而可得，故．同理可得，．由此的周长，代入数值即可求解．
【详解】解：∵平分，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
同理可得，．
∵的周长．
∵，，
∴的周长．
故答案为：．
47．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，动点P在边上，从点A向点B运动，且速度为，设运动的时间为秒．当为等腰三角形时，t的值为_____．
【答案】或或
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
分三种情况：当时，当时，当时，即可求解．
【详解】解：①当时，如图1， 过点C作于点D，
∵，
∴，
，
∴，
解得：，
∴，
此时；
∴，
∴；
②当时，，
∴；
③当时，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，当为等腰三角形时，t的值为或或．
故答案为：或或
48．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，中，，，点P是上的动点，过点B作，垂足为E．连接，在点P的运动过程中，的最小值为____．
【答案】/
【分析】本题考查了直角三角形斜边中线性质、勾股定理及线段最值的“两点之间线段最短”原理，解题关键是通过构造定点确定定长，再结合的长度利用线段关系求的最小值．
取中点O，由直角三角形斜边中线性质得（定长）；用勾股定理算；由“两点之间线段最短”，当C、E、O共线时，CE最小．
【详解】取的中点，连接，
∵，
∴是直角三角形，是的斜边，
∴
∵，
∴．
连接，
∵是中点，
∴．
又因为，，
在中，根据勾股定理
观察点C、E、O的位置，根据“两点之间，线段最短”，有
∵、，得：
∴的最小值为．
49．（25-26八年级上·江苏南京·期中）图1、图2、图3都在边长都为1的正方形构成的网格，点A、B均在格点上，请用无刻度的直尺完成下列作图．
(1)在图1中作出一个等腰，点C在格点上．
(2)在图2中作出一个面积为5的直角，点D在格点上．
(3)在图3中作出等腰直角三角形，点E在格点上．
【答案】(1)
如图1中，即为所求（答案不唯一）；
(2)
如图2中，即为所求；理由如下：
(3)
如图3中，即为所求（答案不唯一）．
【分析】本题考查作图﹣应用与设计作图，三角形的面积，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
（1）关于等腰三角形的一点画出图形即可；
（2）作一个直角边分别为的直角三角形即可；
（3）作一个腰为的等腰直角三角形即可．
【详解】（1）略
（2）
∵，,
∴,
即是直角三角形，且，
∴．
（3）略
50．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图1，和均为等边三角形，点在同一直线上，连接BE
(1)①求证：；②求的度数；
(2)拓展探究：
如图2，和均为等腰直角三角形，，点在同一直线上，为中边上的高，连接．
①则的度数为___________°；
②判断线段之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
①证明：和均为等边三角形，
，，，
，
．
在和中，
，
，
；
②
(2)①；②，理由见解析
【分析】（1）①由条件和均为等边三角形，易证，从而得到对应边相等，即；
②根据，可得，由点，，在同一直线上，可求出，从而可以求出的度数即可；
（2）①首先根据和均为等腰直角三角形，可得，，，据此判断出；然后根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出，，进而判断出的度数为；
②根据，，，可得，所以，据此判断出．
【详解】（1）①略
②解：，
，
为等边三角形，
，
点、、在同一直线上，
，
；
（2）解：①和均为等腰直角三角形，
，，，，
，
即，
在和中，
，
，
，，
点，，在同一直线上，
，
，
，
故答案为：；
②．
理由：如图2，，，，
∴，，，
，
，
（已证），
，
．
51．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在等边△中，射线、分别交线段于点、，，作于点，分别交、于点、．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，连接，求的度数．
【答案】(1)
证明：为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
；
(2)
证明：为等边三角形，
，，
由（1）可知，，
在与中，
，
，
；
(3)
【分析】（1）由等边三角形的性质得到，再求得，即可得出结论；
（2）由等边三角形的性质得，，再证明，然后由全等三角形的性质即可得到结论；
（3）先证明是等腰三角形，得，再证明，进而证明，然后证明，即可得出结论．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：如图，取的中点，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
，
，
，
，
，
，，，
，
在与中，
，
，
．
52．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，已知中，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒．
(1)出发2秒后，求的面积；
(2)当点在边上运动时，通过计算说明能否把的周长平分？
(3)当点在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间．
【答案】(1)4
(2)
解：由勾股定理得：
，
根据题意得：，
，
当在上时有，解得，由题知，即，
若能把的周长平分，则，
即，
解得，
此时，
不合题意，
点在边上运动时，通过计算不能把的周长平分；
(3)当t为秒或6秒或秒时，为等腰三角形
【分析】（1）根据点的运动速度求出，再根据三角形面积公式求解即可；
（2）由勾股定理求出，由题意得出方程，解方程求出，即可得出结论；
（3）当点在边上运动时，能使成为等腰三角形的运动时间有三种情况：
①当时（图1），则，可证明，则，则，从而求得；
②当时（图2），则，易求得；
③当时（图3），过点作于点，则求出，即可得出．
【详解】（1）(1)，，
，
；
（2）略
（3）①当时，如图所示：
则，
，
，
，
，
，
，
，
秒，
②当时，如图所示：
，
，
秒，
③当时，如图3所示：
过点作于点，
则，
，
，
，
秒 ．
由上可知，当为秒或6秒或秒时，为等腰三角形．
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第一单元《三角形》期中复习考点分类专项训练
考点归纳
题型一 三角形的概念与运用
题型二 全等三角形的性质、判定及其应用
题型三 角平分线与垂直平分线的性质及应用
题型四 等腰三角形与直角三角形的性质及应用
考点一、三角形的概念与运用
1．（25-26八年级上·江苏常州·期中）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
2．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，是的中线，E是上的一点，连接，若的面积为12，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，△中，，点、分别是、上的点，，，连接、交于点．当四边形的面积为7时，则△的面积为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
5．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）三角形的三边长分别为2，7，a，则奇数a的值是___________．
6．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）已知，在中，，的对边长分别为a，b，若，，则a____b．（填“”、“”或“”）
7．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，中，D为边的中点，E为边的三等分点，线段、交于F，若，则______．
考点二、全等三角形的性质、判定及其应用
8．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）下列各组图形中，属于全等图形的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，点B，C，D在同一直线上，若，，，则的长为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
10．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图是两个全等三角形，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
11．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，则点的运动速度为（ ），使得、、三点构成的三角形与、、三点构成的三角形全等．
A． B． C．或 D．或
12．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，已知，要使，不能添加的条件是（ ）
A．平分 B．平分
C． D．
13．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，中，，分别以三角形的三边向三角形的外侧作正方形，正方形，正方形，连接，若要求的面积，只需给出条件（ ）
A．的长度 B．的长度 C．的长度 D．边上的高
14．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）若，且，，则的取值范围为________．
15．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，点D、E分别在边上，，，若，，则______．
16．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图所示，是小明和小红跷跷板时的示意图，点是跷跷板的中点，支柱与地面垂直，且的长度为，当小明到水平线的距离为时，小红（点）到地面的距离为__________．
17．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知点B、F、C、E在直线l上，点A、D在l异侧，，，要使得，还需要补充一个条件______．
18．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，点是线段的中点，，．求证：．
19．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，是上一点，，是外一点，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
20．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，是的中线，，垂足为，，交的延长线于点，是延长线上一点，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
21．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图1，在中，，过点C作射线．点M从点 B出发，以的速度沿匀速移动；点N从点C出发，以的速度沿匀速移动．点M、N同时出发，当点M到达点C时，点M、N同时停止移动．连接， 设移动时间为．
(1)点M、N从移动开始到停止，所用时间为 s；
(2)当与全等时，①若点M、N的移动速度相同， 求t的值； ②若点M、N的移动速度不同，求a的值；
(3)如图2，当点M、N开始移动时，点P 同时从点A 出发，以的速度沿向点B匀速移动，到达点B 后立刻以原速度沿返回．当点 M到达点C时，点M、N、P同时停止移动．在移动的过程中，是否存在与全等的情形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
22．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，且．
(1)求与的数量关系，并写出理由．
(2)如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，且，请猜想、、三条线段间的数量关系，并写出理由．
(3)如图3，在四边形中，，，E、F分别是直线、上的点，且，请直接写出、、三条线段间的数量关系 ．
考点三、角平分线与垂直平分线的性质及应用
23．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）已知：如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，的长等于，则的长是（ ）
A． B． C． D．
24．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）点M在的平分线上，点M到边的距离等于3，点N是边上的任意一点，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
25．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，是中的角平分线，于点，于点，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
26．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，已知点D在上，，则点D在（ ）
A．的垂直平分线上 B．的垂直平分线上
C．的中点处 D．的平分线上
27．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，是的平分线，若，则的面积是（ ）
A．12 B．14 C．16 D．10
28．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，点D为边上的一点，且，线段的垂直平分线交边于E，，，则的周长为（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
29．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，点A，C分别为两边上的点，，的平分线交于点P，过点P分别作于点M，于点N，连接，若，，则的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
30．（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，是中的角平分线，于点，，，，则长是_________．
31．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，中，平分，且平分，于E，于F．如果，则的长是________．
32．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，分别平分，，于点．若，的面积是75，则的周长为________．
33．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，分别是边，的垂直平分线，若，，的周长为，则的周长为________．
34．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）中，．
(1)请用直尺和圆规，在内作一点P，使点P到的距离相等，且；
(2)在（1）的条件下，若，则 ．
35．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图∶在中，点G为中点，交的平分线于点D，于点E，交的延长线于点F．
(1)求证∶；
(2)求证∶．
36．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，是的角平分线，，垂足分别是，，连接，与相交于点．
(1)求证：垂直平分；
(2)若的面积为，，求的长．
37．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）作图题：
(1)如图，已知四边形．请用无刻度直尺和圆规，完成下列作图（不要求写作法，保留作图痕迹）：
①在线段上找一点M，使得，请在图1中作出点M；
②若与不平行，且，请在线段上找一点N，使得和的面积相等，请在图2中作出点N．
(2)请仅用无刻度的直尺分别按下列要求在方格纸中画图．（不写画法，保留画图痕迹）
③在图3的方格纸中，在上找一点P，使得P到、的距离相等；
④在图4的四边形内找一点Q，使，．
38．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图1，，是的平分线．
(1)如图2，把三角板的角的顶点落在的任意一点P上，并使三角板的斜边与垂直，垂足为E，一条直角边与相交于点F．求证：；
(2)如图3，把三角板绕点P旋转，三角板的斜边与相交于点E，一条直角边与相交于点F．与相等吗？请证明你的结论．
考点四、等腰三角形与直角三角形的性质及应用
39．（25-26八年级上·江苏常州·期中）已知等腰三角形的两边长分别为、，且、满足，则此等腰三角形的周长为（）
A．7或8 B．6或10 C．6或7 D．7或10
40．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）一个等腰三角形底边的长为，一腰上的中线把其周长分成的两部分的差为，则周长为（ ）
A． B． C．或 D．
41．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，， ， ，则长（ ）
A．2 B．6 C．7 D．8
42．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）如图，在△中，，，在上取点，使，作于，连接，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
43．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，已知：，点、、……在射线上，点、、……在射线上， 、、……均为等边三角形，若，则的边长为（ ）．
A．6 B．128 C．64 D．32
44．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，中，，，的垂直平分线分别交，边于，点，若点为的中点，点为线段上一动点，当的周长最小值是11时，的长为（ ）
A．8 B． C． D．
45．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）等腰三角形周长是30，其中一边长是8，则等腰三角形的底边长是___________．
46．（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图所示，在中，平分，平分，，过点，若，，则的周长______．
47．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，动点P在边上，从点A向点B运动，且速度为，设运动的时间为秒．当为等腰三角形时，t的值为_____．
48．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，中，，，点P是上的动点，过点B作，垂足为E．连接，在点P的运动过程中，的最小值为____．
49．（25-26八年级上·江苏南京·期中）图1、图2、图3都在边长都为1的正方形构成的网格，点A、B均在格点上，请用无刻度的直尺完成下列作图．
(1)在图1中作出一个等腰，点C在格点上．
(2)在图2中作出一个面积为5的直角，点D在格点上．
(3)在图3中作出等腰直角三角形，点E在格点上．
50．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图1，和均为等边三角形，点在同一直线上，连接BE
(1)①求证：；②求的度数；
(2)拓展探究：
如图2，和均为等腰直角三角形，，点在同一直线上，为中边上的高，连接．
①则的度数为___________°；
②判断线段之间的数量关系，并说明理由．
51．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在等边△中，射线、分别交线段于点、，，作于点，分别交、于点、．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，连接，求的度数．
52．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，已知中，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒．
(1)出发2秒后，求的面积；
(2)当点在边上运动时，通过计算说明能否把的周长平分？
(3)当点在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间．
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