专题07一元一次方程的概念及解法复习讲义(核心重点+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版七年级数学上册

专题07一元一次方程的概念及解法复习讲义 1.认识一元一次方程，能准确识别方程、一元一次方程，会找方程的解。 2.掌握等式的两条基本性质，会利用等式性质进行变形、判断变形正误。 3.熟练解一元一次方程，掌握去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 的完整步骤。 4.能够处理含括号、分母、小数系数的一元一次方程，避开移项变号、漏乘等常见易错点。 5.会根据简单条件列一元一次方程，能利用方程的解求式子中未知字母的值。 题型 考察方向 难度 题型一 判断各式是否是方程 ★ 题型二 列方程 ★ 题型三 判断是否是方程的解 ★ 题型四 已知方程的解，求参数 ★★ 题型五 判断是否是一元一次方程 ★ 题型六 判断是否是一元一次方程的解 ★ 题型七 等式的性质 ★ 题型八 合并同类项与移项 ★★ 题型九 去括号 ★★ 题型十 去分母 ★★★ 题型十一 已知一元一次方程的解，求参数 ★★ 题型十二 一元一次方程解的关系 ★★★ 题型十三 绝对值方程 ★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:等式相关知识 1. 等式定义 用等号 “=” 表示相等关系的式子叫做等式。 2. 等式两条基本性质（解方程核心依据） 性质 文字内容 字母表达 关键注意事项 性质 1 等式两边同时加（或减）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式 若a=b，则ac=bc 两边必须同时加减，不能只改一侧 性质 2 等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为 0 的数），所得结果仍是等式 若a=b，则ac=bc；若c≠0，则= 除数不能为 0；同乘负数时符号同步变化 3. 等式变形规范例题 已知x-3=5，两边同时加 3，得x=8； 已知2x=6，两边同时除以 2，得x=3； 已知x=4，两边同乘 3，得x=12。 4.等式性质易错提醒： （1）等式两边运算必须完全相同，不能一边加、一边乘； （2）除法时分母不能为 0； （3）不能只对等式一侧变形。 知识02：等式、方程、方程的解、解方程区分 1.等式：用等号 “=” 连接，表示左右相等关系的式子。 举例：3+6=9、2x-4=6 2.方程：含有未知数的等式，两个条件缺一：①有等号；②含字母未知数。 式子 是否方程 判断理由 7+5=12 不是 无未知数，只是等式 4x-7 不是 无等号，属于代数式 3y=18 是 同时含未知数、等号 x-1>4 不是 用不等号，是不等式 3.方程的解：使方程左右两边相等的未知数数值。 4.解方程：求方程解的全过程。 辨析检验示范：判断x=4是不是3x-2=10的解 左边=3×4-2=10，右边=10，左 = 右，因此x=4是方程的解。 知识点03:一元一次方程的定义与判定 同时满足 3 个条件的整式方程叫一元一次方程： ①一元：只含有1 个未知数； ②一次：未知数最高次数为1； ③整式：等号两边都是整式，分母不含未知数。 标准通用形式：ax+b=0(a≠0，a、b为常数) 方程 是否一元一次方程 不符合的条件 6x-12=0 是 全部满足三条要求 x2-25=0 否 未知数次数是 2 x+3y=15 否 存在两个未知数 +3=8 否 分母含未知数，不是整式 10=2x 是 标准形式变形 知识点04:解一元一次方程完整五大步骤（必考） 一般地，解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、把未知数的系数化为 1。通过这些步骤可以将一个一元一次方程转化为x=a（a为常数）的形式。 变形名称 具体做法 注意事项 去分母 在方程两边同时乘各分母的最小公倍数把分母去掉 （1）不要漏乘不含分母的项；（2）分子是一个整体，去分母时要加上括号 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号（也可反向顺序） （1）不要漏乘括号里面的项；（2）不要弄错符号 移项 把含有未知数的项移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边 （1） 移项要变号 （2）不要丢项 合并同类项 把方程化为ax=b(a≠0)的形式 未知数及其指数不变 把未知数的系数化为 1 在方程的两边都除以未知数的系数a(a≠0)，得到方程的解x= 不要把分子、分母弄颠倒 知识点 05 不同类型一元一次方程解题流程对比 方程类型 核心解题顺序 典型例题 无括号、无分母，仅含同类项 移项合并同类项系数化为 1 7x-10=3x+2 含括号、不含分母 去括号移项合并同类项系数化为 1 5(4-x)=3x+8 含有分数分母 去分母去括号移项合并同类项系数化为 1 =+3 知识点06：根据实际问题列方程四步流程 审：通读题目，找出等量关系； 设：设未知数（直接设 / 间接设，必须带单位）； 表：用含x的代数式表示题目所有相关量； 列：依据等量关系列出等式方程。 基础例题：一个数的 4 倍减 9 等于 11，求这个数。 解：设这个数为x，列方程：4x-9=11 知识点07:本节高频易错点汇总 · 判断一元一次方程时，忽略分母含未知数、多未知数、次数不为 1 三种错误形式； · 区分不清 “方程的解”（数值）和 “解方程”（运算过程）； · 使用等式性质时，两边运算不同步； · 移项不变号，不移项随意改符号； · 去分母漏乘常数项，多项式分子不加括号； · 去括号漏乘、负括号只变第一项符号； · 系数化为 1 时分子分母颠倒； · 列实际问题方程时，等量关系颠倒。 题型一 判断各式是否是方程 1．下列各式是方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．、C．均不含“=”号，不是等式，故不是方程． B．不含未知数，故不是方程． D．是含未知数的等式，故是方程． 2．下列各式中，属于方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是方程的定义，含有未知数的等式叫方程，据此可得出正确答案． 【详解】A．，不含“＝”，不是方程； B．，含不等号，不是方程； C．是方程； D．，不含未知数，不是方程； 故选：C． 3．下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，是方程的是（　　 ） A．①④ B．①②⑤ C．①④⑤ D．①②④⑤ 【答案】C 【分析】根据方程的定义即可一一判定． 【详解】解：含有未知数的等式叫做方程， ①是方程； ②，不含有未知数，故不是方程； ③不是等式，故不是方程； ④是方程； ⑤是方程； ⑥不是等式，故不是方程； 故方程有：①④⑤， 故选：C． 【点睛】本题考查了方程的定义，熟练掌握和运用方程的定义是解决本题的关键． 题型二 列方程 4．某数的3倍减去5等于这个数加3，设这个数为x，列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据实际数量关系列一元一次方程，熟练掌握将文字描述转化为数学表达式是解题的关键．设这个数为，那么某数的3倍减去5为，这个数加3为，根据“某数的3倍减去5”和“这个数加3”的数量关系，列方程即可． 【详解】解：设这个数为， ∴． 故选：A． 5．《儿童算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱，问人数是多少？ 若设人数为x，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设人数为x，然后根据等量关系“每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱”即可列出方程． 【详解】解：设人数为x， 根据题意可得：． 故选B． 【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，审清题意、找准等量关系是解答本题的关键． 6．小亮给同学们表演纸牌魔术．他请一名同学随意洗乱一副不含大小王的扑克牌，然后从中任意抽取一张牌，再让这个同学将这张牌的点数乘（其中记作，记作，记作，记作），再加上，再乘，再减去，然后加上抽出的纸牌花色的代号，其中黑桃的代号是，梅花的代号是，红桃的代号是，方块的代号是，最后这位同学说出运算结果是．这位同学抽出的纸牌点数是______．（写数字） 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程的应用和数字的变化规律，正确理解题意，找到数字的变化规律是解题的关键．设抽出的纸牌点数为，花色代号为（其中 分别对应黑桃、梅花、红桃、方块），根据运算步骤列出方程，通过代数变换和解方程确定的值即可． 【详解】解：设抽出的纸牌点数为，花色代号为， 由题意得，运算结果为：， 已知运算结果为， 故有方程：， 整理得：． 由于为至的整数，且为的倍数，因此需为的倍数，检验 ： 当 时，，不是的倍数； 当 时，，是的倍数； 当 时，，不是的倍数； 当 时，，不是的倍数． 故仅 满足条件，此时 ，解得 ， 因此抽出的纸牌点数为． 故答案为：． 题型三 判断是否是方程的解 7．下列方程的解为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查解一元一次方程，解一元一次方程注意移项要变号是解题的关键． 直接解每个方程，判断方程的解是否符合题意，得到正确的选项即可． 【详解】解：对于A：∵，∴，∴符合题意； 对于B：∵，∴，∴不符合题意； 对于C：∵，∴，∴不符合题意； 对于D：∵，∴，∴不符合题意； 故选：A． 8．整式的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值：则关于x的方程的解为（ ） x －2 －1 0 1 2 mx＋n －5 －2 1 4 7 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程，根据表格数据直接求解即可． 根据表格数据，直接找到整式 的值为 时对应的 值即可． 【详解】解：由表格可知，当 时，， ∴ 方程 的解为 ， 故选：B． 9．解为的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解，将代入各选项验证左右两边是否相等即可得到结果． 【详解】解：将依次代入各选项： 代入选项A，左边右边，∴A不符合题意； 代入选项B，左边右边，∴B不符合题意； 代入选项C，左边，右边，，∴C不符合题意； 代入选项D，左边，右边，左边右边，∴D符合题意． 题型四 已知方程的解，求参数 10．已知关于x的方程的解是，则a的值为（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】解：∵关于的方程的解是， ∴将代入方程得：， 解得. 11．已知关于x的方程的解为，则关于y的方程的解是__________． 【答案】2026 【分析】本题考查一元一次方程的根的应用：通过比较两个方程的形式，直接利用已知解求解． 【详解】解：由关于x的方程，变形得． 关于y的方程为，因此， ∴，代入，得． 故答案为：2026． 12．如果a、b是定值，且关于的方程，无论为何值时，它的解总是，那么的值是（   ） A．1 B．2 C．16 D．31 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程得到，再由无论为何值时，都成立得到，据此求出的值即可得到答案． 【详解】解：∵关于的方程，无论为何值时，它的解总是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 题型五 判断是否是一元一次方程 13．下列方程中，是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项B的方程含两个未知数， 选项C的方程是分式方程， 选项D的方程中未知数最高次数为2，均不符合一元一次方程的要求； 只有选项A的符合要求． 14．若方程是关于x的一元一次方程，则（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】B 【分析】根据一元一次方程的定义（只含一个未知数、未知数的次数为1且一次项系数不为0），列出关于m的条件求解即可． 【详解】解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴，且， 由，得或, 又∵，即 ∴． 15．在已知下列方程：，，，，，，其中是一元一次方程的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义（只含一个未知数，未知数的次数为，且为整式方程）逐一判断各方程即可，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：，右边为分式，不是整式方程，不符合题意； ，仅含未知数，次数为，且为整式方程，符合题意； ，仅含未知数，次数为，且为整式方程，符合题意； ，仅含未知数，次数为，不符合题意； ，仅含未知数，次数为，且为整式方程，符合题意； ，含未知数、，不符合题意； 综上，符合条件的有，共个， 故选：． 题型六 判断是否是一元一次方程的解 16．是下列哪个方程的解（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了方程的解的定义，熟练掌握方程的解的定义是解题的关键． 把分别代入方程，逐项判断即可． 【详解】解：A.当 时，，故该选项符合题意； B. 当 时，，故该选项不符合题意； C. 当 时，，故该选项不符合题意； D. 当 时，，故该选项不符合题意； 故选：A ． 17．是下列哪个方程的解（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了方程的解，掌握方程的解是方程左右两边相等的未知数的值成为解题的关键．将代入各项逐项判断即可． 【详解】解：当时， A．，符合题意；     B．，不符合题意； C．，不符合题意；     D．，不符合题意． 故选：A． 18．已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，根据关于x的一元一次方程的解为，列出关于y的方程，解方程即可． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为， ∴， 解得：， ∴关于y的一元一次方程的解为， 故选：A． 题型七 等式的性质 19．根据等式的基本性质，如果，那么下列变形中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A是等式两边同减5，C是等式两边同除以3，D是等式两边同乘，所得结果都是等式，变形正确． B中由只能得到，不能得到，故B选项变形错误． 20．下列等式变形中，正确的有________（填写序号）． ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则． 【答案】①②⑤ 【分析】本题主要考查了等式的性质，根据等式的性质，可得答案． 【详解】解：①若，则，正确； ②若，则，正确； ③若，则不成立，故③错误； ④若，则，错误，a也可能等于0； ⑤若，则，故，正确． 故正确的有①②⑤． 故答案为：①②⑤． 21．下列变形中，不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】解：对于A选项，，等式两边同时加2， ，变形正确； 对于B选项，，分式有意义说明，等式两边同时乘， ，变形正确； 对于C选项，若，当时，无论取何值等式都成立，无法推出，变形错误； 对于D选项，，，等式两边同时除以， ，变形正确； 因此不正确的变形是选项C． 题型八 合并同类项与移项 22．解下列方程时，合并同类项正确的是（     ） A．，合并同类项，得 B．，合并同类项，得 C．，合并同类项，得 D．，合并同类项，得 【答案】B 【详解】解：A选项：，合并得，错误． B选项：左边，右边，合并得，正确． C选项：，合并得，错误． D选项：左边，右边，合并得，错误． 23．定义新运算：，例如：，，若，则的值为________． 【答案】或 【分析】根据新运算的定义，分和两种情况列一元一次方程求解，验证解是否满足前提条件即可. 【详解】解：分两种情况讨论： 当时，根据新运算定义可得 列方程得 解得 ，满足，符合要求. 当时，根据新运算定义可得 列方程得 解得 ，满足，符合要求. 因此的值为或. 24．如图表示的数表，数表每个位置所对应的数都是2或4．定义为数表中第a行第b列的数．例如，数表第行第列所对应的数是，所以．若，则的值为（    ） 第1列 第2列 第3列 第1行 2 2 2 第2行 4 4 4 第3行 2 4 2 A．0，2 B．1，2 C．，1 D．，2 【答案】C 【分析】本题考查新定义下的运算，一元一次方程的应用，掌握知识点是解题的关键． 根据数表确定的值，再根据第2列的值分布，令等于该值，解方程求x． 【详解】解：∵表示第2行第3列的数，由数表可知为4． 又∵表示第行第2列的数， 第2列的数：第1行为2，第2行为4，第3行为4， ∴ 要使，则或． 当时，； 当时，． ∴ x的值为或1． 故选C． 题型九 去括号 25．方程去括号变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次方程，根据去括号法则可得结果．熟练掌握去括号法则是解题的关键． 【详解】解：， 去括号得， 故选：B． 26．设a，b，c，d为有理数，现规定一种新的运算，当时，求代数=____ 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，以及代数式求值，利用题中的新定义运算方法求出x的值，代入原式计算即可得到结果． 【详解】解：根据题中的新定义运算方法得：， 去括号得：， 解得：， ∴ ． ∴代数式的值是． 27．下列方程的变形正确的是（    ） A．将方程去分母，得 B．将方程去括号，得 C．将方程移项，得 D．将方程系数化为，得 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的变形规则，熟练掌握以上知识是解题的关键． 按照去分母、去括号、移项和系数化为等步骤的变形规则，根据等式性质逐一验证各选项的正确性即可求解． 【详解】解∵ 选项A：方程去分母时，应两边同乘最小公倍数6，得 ，但选项为，错误； ∵ 选项B：方程去括号时，应得，但选项为 ，即，错误； ∵ 选项C：方程移项，得，正确； ∵ 选项D：方程系数化为，应得，但选项为，错误； ∴ 变形正确的是C， 故选：C． 题型十 去分母 28．解方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】去分母时需要给方程每一项都乘以分母的最小公倍数，分子是多项式时要添加括号． 【详解】解：∵方程的分母为2和3，最小公倍数是， ∴给方程两边同时乘去分母，得：． 29．方程与方程的解之和等于，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次方程．分别求得两个方程的解，根据两个解之和等于，得出，即可求解． 【详解】解：， ， 解得：， ， ∴， 解得：， 依题意，， ∴， 故选：A． 30．方程：的解为______． 【答案】5055 【分析】本题考查了解一元一次方程，如何构造出分数裂项的基本形式是解题的关键．把提取出来，并提取公因数，再利用分数裂项求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 题型十一 已知一元一次方程的解，求参数 31．已知是关于x的一元一次方程的解，则的值为______． 【答案】5 【分析】本题考查一元一次方程的解，利用一元一次方程解的定义，将代入方程，即可得到的值． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程的解， ∴． 故答案为：． 32．已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 _______． 【答案】 【分析】利用整体换元的思想，将关于的方程中的看作关于的方程中的，结合已知方程的解建立等式求解即可． 【详解】∵关于的一元一次方程的解为，关于的一元一次方程为， ∴， 解得． 33．已知关于的方程的解为，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据一元一次方程的解求参数． 将看作一个整体，根据“关于的方程的解为”得到，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于的方程的解为， ∴， 解得：． 故选：A． 题型十二 一元一次方程解的关系 34．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程解的定义，是解题的关键．由第一个方程的解为，可知第二个方程中相当于第一个方程中的x，因此令，即可解得． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为， ∴关于的一元一次方程的解为， ∴， ∴关于y的一元一次方程的解为． 故选：A． 35．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为______． 【答案】0 【分析】本题考查换元法解方程，将第二个方程转化为，进而得到方程的解满足，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵关于的一元一次方程的解为， ∴方程的解，满足， ∴； 故答案为：0． 36．关于x的方程与的解相同，则m的值为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查方程的解、解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法步骤，理解方程的解的意义是解答的关键． 先求得方程的解，再代入方程中求解即可． 【详解】解：解方程得， ∵方程与的解相同， ∴将代入方程中，得， 解得. 故选：B． 题型十三 绝对值方程 37．若，则x的值为（     ） A．2027 B． C． D．2027或 【答案】D 【详解】解：∵， ∴或， 解得或． 38．若整数a、b满足，则满足条件的的值是_______． 【答案】0或2或 【分析】本题考查有理数加法，绝对值，掌握绝对值的意义和有理数加法法则是正确计算的关键．根据a、b是整数，而，因此有或或三种情况，进而求出相应的a、b的值，得出结论． 【详解】解：∵a、b是整数，而， 或或， 当时， 或， 或； 当时， 或，， 或； 当时， 或，或0， 或或； 综上所述，满足条件的的值是0或2或， 故答案为：0或2或． 39．“洛书”是我国文化中最古老，最神秘的事物之一，将图1洛书中各处的圆圈和圆点个数按顺序填入图2正方形方格中，就得到一个幻方，幻方中每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等，图3是一个幻方中已经填好的部分数字或式子，则正数x的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值方程的应用，解题关键是根据题意列出方程，再计算即可．设五个空白处表示的数分别是a、b、c、d，e，根据题意得到，然后求解即可． 【详解】解：设五个空白处表示的数分别是a、b、c、d，e，如图所示： ， ， 正数x的值为， 故答案为：． 40．若关于x的方程有三个整数解，则的值是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】本题考查含绝对值的一元一次方程，难度较大，根据绝对值的性质可得即，再根据的范围，及方程有三个整数解，来判断上述两个绝对值方程的解得情况，从而得出的值． 【详解】解：由题意得或， 即或， 因为方程有解，所以， 当时，， 故方程总有两个不同的解， 若原方程有三个整数解，则方程必须只有一个解，因此，解得， 将代入检验，解为，符合题意。 故选：C． 解答题 41．解方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤求解即可； （2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤求解即可； （10）先化简方程，再按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤求解即可． 【详解】（1）解：， 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． （2）解：， 去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． （3）解：， 去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． （4）解： 去分母，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． （5）解：， 去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． （6）解：， 去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． （7）解：， 去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． （8）解：， 去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． （9）解：， 去分母，得 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． （10）解：， 原方程可化为． 去分母，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． 42．我们规定：若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”．请根据上述规定解答下列问题： (1)已知关于的一元一次方程是“和解方程”，求的值； (2)已知关于的一元一次方程是“和解方程”，并且它的解是，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题中所给“和解方程”的定义求解即可； （2）根据题中所给“和解方程”的定义求解即可． 【详解】（1）解：由得， ∵方程是“和解方程”， ∴， 解得． （2）解：∵方程的解是， ∴， ∵方程是“和解方程”， ∴， 联立得， 由得， 将，代入， 解得， 将，代入， 解得， 解得． 43．一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：．我们称使得成立的一对数a，b为“相伴数对”，记为． (1)若是“相伴数对”，求b的值； (2)写出一个“相伴数对”，其中，且； (3)若是“相伴数对”，求代数式的值． 【答案】(1) (2)（答案不唯一） (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，整式的化简求值，等式的性质，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可得方程，解方程即可得到答案； （2）根据可推出，据此求解即可； （3）由（2）可得，再把所求式子去括号，然后合并同类项化简，再把代入化简结果中计算求解即可． 【详解】（1）解：∵是“相伴数对”， ∴，即， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， ∴满足题意的“相伴数对”可以为； （3）解：∵是“相伴数对”， ∴由（2）可知， ∴ ． 44．已知关于的方程是一元一次方程． (1)的值为________； (2)若已知方程与关于的方程的解相同，求的值； (3)若已知方程的解比方程的解小5，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）一元一次方程的定义：只有一个未知数，未知数的次数都是1，并且等号两边都是整式的方程，叫做一元一次方程； （2）由及，求出，由，求出，根据两个方程的解相同，求出． 【详解】（1）解：， 解得； （2）解：把代入， 得， 所以． 由，解得． 因为已知方程与关于的方程的解相同， 所以． 所以． 解得． 所以的值为． （3）解：由，解得． 因为已知方程的解比方程的解小5， 所以已知方程的解为． 所以把，代入 中，得， 所以， 解得， 所以的值为． 45．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是__________；表示和两点之间的距离是__________；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，那么__________； (2)若表示数的点在数轴上，当式子取得最小值时，相应的取值范围是__________，此时式子的最小值是__________； (3)当__________时，的值最小，最小值是__________； (4)式子的最小值是__________； (5)若是正数，则式子的最小值是__________． 【答案】(1)；；或 (2)， (3)， (4) (5) 【分析】（1）利用数轴上两点距离公式直接计算距离，再通过绝对值方程求解参数； （2）借助绝对值的几何意义分析距离和，偶数个定点时在两点区间上取得最小值； （3）根据绝对值距离和规律，奇数个定点，取中间点可使距离之和最小； （4）先确定所有定点，奇数个定点选取中间点，利用对称特点简便计算； （5）先变形，再确定所有定点，奇数个定点选取中间点，代入计算即可． 【详解】（1）解：数轴上表示和的两点之间的距离是； 数轴上表示和两点之间的距离是； 由题意，表示数和两点之间的距离是，可得：， 即， ∴ 或 ， 解得 或． （2）解：式子的几何意义：数轴上表示数的点到、对应的点的距离之和， 一共有个定点，为偶数个， ∴当取在两点之间（包含端点），即时，距离之和最小，最小值为：． （3）解：式子的几何意义：数轴上表示数的点到，，对应的点的距离之和， 一共有个定点，为奇数个， ∴当取排在中间第个点对应的数时，式子取得最小值， 从小到大排序：，，，第个点对应的数是， 即当时原式最小，原式． （4）解：式子表示数轴上数对应的点到对应的点的距离之和， 共有个点，为奇数个， 当取中间位置对应的数时，式子取得最小值， 中间位置是第个点，对应的数为， 即当时，原式最小， 原式 ． （5）解：， 几何意义：数轴上表示数的点，到有段距离、到有段距离、到有段距离、到有段距离、到有段距离的距离总和， 总点数：个，为奇数个， ∴当取排在中间第个点对应的数时，距离总和最小， 从小到大依次计数：前个点对应，第个点对应， ∴第个点对应的数是，即当 时原式最小， ∴原式． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $专题07一元一次方程的概念及解法复习讲义 ☆ 复习目标 1.认识一元一次方程，能准确识别方程、一元一次方程，会找方程的解。 2掌握等式的两条基本性质，会利用等式性质进行变形、判断变形正误。 3.熟练解一元一次方程，掌握去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1 的完整步骤。 4能够处理含括号、分母、小数系数的一元一次方程，避开移项变号、漏乘等常见 易错点。 5.会根据简单条件列一元一次方程，能利用方程的解求式子中未知字母的值。 题型梳理 题型 考察方向 难度 题型一 判断各式是否是方程 题型二 列方程 题型三 判断是否是方程的解 题型四 已知方程的解，求参数 题型五 判断是否是一元一次方程 题型六 判断是否是一元一次方程的解 题型七 等式的性质 题型八 合并同类项与移项 ★★ 题型九 去括号 ★★★ 题型十 去分母 试卷第1页（共3页） 题型十一 已知一元一次方程的解，求参数 ★★ ★★★ 题型十二 一元一次方程解的关系 ★★★ 题型十三 绝对值方程 拔高题 7题 星级说明：★基础：★★中档：★★★提升：★★★★难题★★★★★压轴 ☆ 知识梳理 一元一次方程 定义 一元一次方程及其解法 居简形式和一股形式 一元一次方程的最简形式是ax■b(a,b是常数，a十0)，一元 一次方程的-毅形式是ar+b■c(a,b,c是常数，a扣). 解一元一次方程 去分母：在方程两边同时乘各分母的最小公倍数把分母去持 去括号；先去小岳号，再去中括号，最后去大括号 移项：把含有未知数的项移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边 合并同典项：把方程化为ar=b60)的形式 化系数化为1：在方程的两边都除以未知数的系数a(Q0)》,得到方程的解x= 知识点01：等式相关知识 1.等式定义 用等号“=”表示相等关系的式子叫做等式。 2.等式两条基本性质（解方程核心依据） 试卷第2页（共3页） 性质 文字内容 字母表达 关键注意事项 等式两边同时加 (或减)同一个数 两边必须同时加 性质1 若a=b,则a±c=b±c 或同一个整式，所 减，不能只改一侧 得结果仍是等式 等式两边同时乘同 一个数（或除以同 除数不能为0；同 若a=b,则ac=bc;若c≠0， 性质2一个不为0的 乘负数时符号同步 则9-b 数)， 所得结果仍 变化 是等式 3.等式变形规范例题 已知x-3=5,两边同时加3，得x=8; 已知2x=6,两边同时除以2，得X=3; 已知x=4,两边同乘3，得x=12。 4.等式性质易错提醒： (①)等式两边运算必须完全相同，不能一边加、一边乘； (2)除法时分母不能为0； 试卷第3页（共3页） (3)不能只对等式一侧变形。 知识02：等式、方程、方程的解、解方程区分 1等式：用等号“=”连接，表示左右相等关系的式子。 举例：3+6=9、2x-4=6 2方程：含有未知数的等式，两个条件缺一：①有等号；②含字母未知 数。 式子 是否方程 判断理由 7+5=12 不是 无未知数，只是等式 4x-7 不是 无等号，属于代数式 3y=18 是 同时含未知数、等号 x-1>4 不是 用不等号，是不等式 3.方程的解：使方程左右两边相等的未知数数值。 4.解方程：求方程解的全过程。 辨析检验示范：判断x=4是不是3x-2=10的解 左边=3×42=10，右边=10，左=右，因此x=4是方程的解。 知识点03：一元一次方程的定义与判定 同时满足3个条件的整式方程叫一元一次方程： 试卷第4页（共3页） ①一元：只含有1个未知数： ②一次：未知数最高次数为1； ③整式：等号两边都是整式，分母不含未知数。 标准通用形式：ax+h-0(a≠0，a、b为常数) 方程 是否一元一次方程 不符合的条件 6x-12=0 是 全部满足三条要求 x2-25=0 否 未知数次数是2 x+3y=1 否 存在两个未知数 5+3-8 否 分母含未知数，不是整式 10=2x 是 标准形式变形 知识点04：解一元一次方程完整五大步骤（必考） 一般地，解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类 项、把未知数的系数化为1。通过这些步骤可以将一个一元一次方程转 化为x=a(a为常数)的形式。 变形名称 具体做法 注意事项 去分母 在方程两边同时乘各分母的最小公倍 (1)不要漏乘不含分母的 试卷第5页（共3页） 变形名称 具体做法 注意事项 (2)分子是一个整体， 数把分母去掉 去分母时要加上括号 先去小括号，再去中括号，最后去大 (1)不要漏乘括号里面的 去括号 括号（也可反向顺序） (2)不要弄错符号 把含有未知数的项移到方程的一边， (1)移项要变号 移项 其他项都移到方程的另一边 (2)不要丢项 合并同类项把方程化为ax=b(a≠0)的形式 未知数及其指数不变 把未知数的在方程的两边都除以未知数的系数 不要把分子、分母弄颠倒 系数化为1a(a0),得到方程的解x 0 知识点05不同类型一元一次方程解题流程对比 方程类型 核心解题顺序 典型例题 无括号、无 分母，仅含 移项一合并同类项一系数化为1 7x-10=3x+2 同类项 含括号、不 去括号一移项一合并同类项一系数化为 5(4-x)=3x+8 试卷第6页（共3页） 方程类型 核心解题顺序 典型例题 含分母 含有分数分 去分母一去括号一移项一合并同类项一 4x-2=+3 64 母 系数化为1 知识点06：根据实际问题列方程四步流程 审：通读题目，找出等量关系； 设：设未知数（直接设/间接设，必须带单位）； 表：用含x的代数式表示题目所有相关量； 列：依据等量关系列出等式方程。 基础例题：一个数的4倍减9等于11，求这个数。 解：设这个数为x,列方程：4x-9=11 知识点07：本节高频易错点汇总 ·判断一元一次方程时，忽略分母含未知数、多未知数、次数不为1三 种错误形式： ·区分不清“方程的解”（数值）和“解方程”（运算过程）： ·使用等式性质时，两边运算不同步； ·移项不变号，不移项随意改符号； ·去分母漏乘常数项，多项式分子不加括号： 去括号漏乘、负括号只变第一项符号； 试卷第7页（共3页） 系数化为1时分子分母颠倒： ·列实际问题方程时，等量关系颠倒。 ☆ 题型精析 题型一判断各式是否是方程 1.下列各式是方程的是() A.x-3 B.2+3=5 C.x-2>1 D x-1=2 2.下列各式中，属于方程的是() 2x+3-（x+2) B 3x+1>(4x-2) A. C.3x-1=4x+2 D.2+5=7 3.下列各式中：①2x-1=5;②4+8=12：③5y+8;④2x+3y=0:⑤2a+1=1;⑥ 2x2-5x-1 是方程的是() A.①④ B.①②⑤ C.①④⑤ p. ①②④⑤ 题型二列方程 4.某数的3倍减去5等于这个数加3，设这个数为x,列方程正确的是() A.3x-5=x+3 B.3(x-5)=x+3 C.3x+5=x-3 D.3x-5=3x+3 5.《儿童算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8钱， 多3钱；每人出7钱，少4钱，问人数是多少？若设人数为x,则下列方程正确的是( A.8x+3=7x-4 B.8x-3=7x+4 试卷第8页（共3页） C.8(6x-3)=7(x+4) D.8x+4=7x-3 6.小亮给同学们表演纸牌魔术.他请一名同学随意洗乱一副不含大小王的扑克牌，然后从 中任意抽取一张牌，再让这个同学将这张牌的点数乘5（其中J记作11，Q记作12，K记 作13，A记作1)，再加上4，再乘2，再减去12，然后加上抽出的纸牌花色的代号，其 中黑桃的代号是1，梅花的代号是2，红桃的代号是3，方块的代号是4，最后这位同学说 出运算结果是78，这位同学抽出的纸牌点数是 .(写数字) 题型三判断是否是方程的解 7.下列方程的解为x=-2的是() A.x+2=0 B.x-2=0 C.2x=1 D.-1 8.整式mr+n的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式mr+n的 值：则关于x的方程mx+n=-2的解为() nx -n A.x=-5 B.x=-1 C.x=-2 D.x=7 9.解为x=-3的方程是() A.2x-6=0 B.5x+3=12 C.3x-2)-2(x-3)=5x n.月 题型四已知方程的解，求参数 10.已知关于x的方程2x-a+5=0的解是x=-2,则a的值为() A.-2 B.-1 C.1 D.2 1 1.已知关于x的方程2024x+k-1=0的解为x=2025,则关于y的方程 0-小=1-女的解是 是26c-a=2+x+bt 12.如果a4、b是定值，且关于x的方程3 4，无论k为何值时，它的解总是 试卷第9页（共3页） x=2,那么3b-2a的值是() A.1 B.2 C.16 D.31 题型五判断是否是一元一次方程 13.下列方程中，是一元一次方程的是() A.x+4=6 B.x+y=-2 1=3D.3x+x-1=0 C. 14.若方程m+)x-2= 是关于x的一元一次方程，则m=() A.±1 B.1 C.-1 D.0 15在已知下列方程：0-2 x’②0.3x=1,③2 芳=5x-1,④2x2-3=0:同x=6 ,⑥x+y=0,其中是一元一次方程的有() A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 题型六判断是否是一元一次方程的解 16.x=2是下列哪个方程的解() A.2x-1=3 B.3-x=7+x c.23x-)=4rD 3(x-1)=2(x+1) 17.x=3是下列哪个方程的解() A.5x-2=4x+1 B.5x-2=4x-1 C.5x+2=4x-1 D.5x+2=-4x-1 18.已知关于x的一元一次方程2025 52024=m的解为x=3,则关于y的一元一次方程 y+ 2025 -2024=m的解为() A.y=2 B.y=3 C.y=2024 D y=2025 试卷第10页（共3页） 题型七等式的性质 19.根据等式的基本性质，如果a=b,那么下列变形中错误的是（) A.a-5=b-5 B.a+b=0 C.a÷3=b÷3 D.-2a=-2b 20.下列等式变形中，正确的有 (填写序号)· a b ①若8。，则a=b:②若a=h:则2-a=2-b:®若a=b,则分l;④若d=3a,则 a=3;⑤若a-5=b-5,则2a=2b. 21.下列变形中，不正确的是（) a b A.若a-2=b-2,则a=b B.若mm,则a=b a b C.若am=bm,则a=b D.若a=b:则m2+1m2+1 题型八合并同类项与移项 22.解下列方程时，合并同类项正确的是() A.-5x-4x=7,合并同类项，得9x=7 B.2y-3y+4y=6-1,合并同类项，得3y=5 1 15 C.-7x+2x=3,合并同类项，得2x=3 D.0.5x+0.8x=7+0.8,合并同类项，得0.13x=7.8 a-b,a≥0 a⑧b= 23.定义新运算： a+b,a<0,例如：2⑧3=2-3=-1，-2⑧4=-2+4=2，若 5 x⑧2=-4，则x的值为 24.如图表示3×3的数表，数表每个位置所对应的数都是2或4.定义a*b为数表中第a 行第b列的数.例如，数表第3行第1列所对应的数是2，所以3*1=2.若 2*3=(2x+1)*2 ,则的值为() 试卷第11页（共3页） 第1列 第2列 第3列 第1行 2 2 第2行 第3行 4 2 A.0,2 B.1,2 c,1 D,2 题型九去括号 25.方程 -2分=n-司)去括号变形正的是《） A4x-8=2-4 B.4x-8=12-3x C.4x-2=12-3x D.4x-2=12- 4 la b=ad-be 2x4 =10 26.设a,b,c,d为有理数，现规定一种新的运算cd ,当3x-23 时， 求代数2(x-2小-36x+) 27.下列方程的变形正确的是() x-2-1=x+5 A.将方程3 2去分母，得2(x-2)-1=3(x+5) B.将方程3(x-5列-4x-)= 去括号，得3x-15-4x-4=3 C.将方程4x-1=5x+3移项，得-1-3=5x-4x D.将方程5-30系数化为1，箱x=} 题型十去分母 x-12x+3 28.解方程23=1时，去分母正确的是（） 试卷第12页（共3页) A.3(x-)-2(2x+3)=1 B.3(x-)-22x+3)=6 C.3x-1-4x+3=1 D.3x-1-4x+3=6 -2与方程2-如；之=0的解之和等于1则6的值为（) 29.方程62 3 A.3 B.-3 C.6 D.6 30.方程：2+2+4+2+4+6++ 2+4+6+…+2020 =5050的解为 题型十一已知一元一次方程的解，求参数 31.已知x=3是关于x的一元一次方程mr+2n=5的解，则3m+2n的值为一· 32.已知关于x的一元一次方程2026+3=2x+b的解为x=-3:则关于y的一元一次方程 20262y++3=22y+)+D的解为y 202 33.已知关于x的方程202 x-2025=2026m的解为x=2,则关于y的方程 2025 2026 y+3)-2026m=2025的解为() A.y=-1 B.y=-2 C.y=1 D.y=2 题型十二一元一次方程解的关系 34,己知关于x的一元一次方程201x+3=2x+b的解为，x=2,那么关于y的一元一次方 3对+1+3-=20+0+的解为y=() A.1 B.2 C.-2 D.-1 35.已知关于x的一元一次方程2025x+m=2024x-”的解为x=2,那么关于y的一元 试卷第13页（共3页） 医方程)02y-2)-m=2024y-4048+n的解为y 36.关于x的方程3x+6x=-3与2mx+3m=-l的解相同，则m的值为() 7 A.7 B.-7 C.3 D.-3 题型十三绝对值方程 37.若k-1=2026 则x的值为() A.2027 B.-2025 C.-2027D.2027或-2025 38.若整数a、b满足a+1Hb-=2 则满足条件的a+b的值是 39.“洛书”是我国文化中最古老，最神秘的事物之一，将图1洛书中各处的圆圈和圆点 个数按顺序填入图2正方形方格中，就得到一个幻方，幻方中每一横行、每一竖列以及两 条斜对角线上的数的和都相等，图3是一个幻方中已经填好的部分数字或式子，则正数x 的值为 》000000000 4 2 8 88 8 6 6 x+3 图1 图2 图3 40. 若关于x的方程k-3引=a 有三个整数解，则a的值是() A.3 B.2 C.1 D.0 解答题 41.解方程： 0)3(x+1-12=265x-1） 22-2x-12x+1 6 3； x+15=1-x-7 (3)5 3； 试卷第14页（共3页) 42-7=9r-2 1 6 50-2-1 1 2x+1_5x-1=1; (6)36 3x-1+1-2: ()2-3 网空122 3； 9号=1- 5: x0.17-0.2x=1 (10)0.7 0.03 42.我们规定：若关于x的一元一次方程a=b的解为x=b+a,则称该方程为“和解方 程”，例如：方程2x=-4的解为x=-2,而-2=-4+2，则方程2x=-4为“和解方 程”·请根据上述规定解答下列问题： (1)已知关于x的一元一次方程3x=m是“和解方程”，求m的值； (2)已知关于x的一元一次方程-2x=mn+n是“和解方程”，并且它的解是x=n,求n的 值。 a,b a+b 43.一般情况下3+63+6不成立，但有些数可以使得它成立，例如：a=b=0:我们称 a b a+b 使得3十63+6成立的一对数a,b为“相伴数对”，记为(a,b) )若L6)是“相件数对”，求b的值： (②)写出一个“相伴数对(a, ,其中a≠0，且a1: 6似网是相件数对”，求代数式m-子-[细-24n-5刃的宜。 44.已知关于x的方程@-4)r-(a-4)x+2b+3=0 是一元一次方程. (1)a的值为 (2)若已知方程与关于x的方程4-7x=-9x+2b的解相同，求b的值； 试卷第15页（共3页） (3)若己知方程的解比方程3x-6=4-2x的解小5，求b的值. 45.结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： -6-5-4-3-2-10123456 (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是 :表示-5和3两点之间的距离是 -：一般地，数轴上表示数m和数”的两点之间的距离等于m一川 如果表示数a 和-2的两点之间的距离是3，那么a= ②四若表示数0的点在数销上，当式子口-1Ha-2取得最小值时，相应0的取值范围是 此时式子的最小值是 (3)当a= 时，a+5+a-l4a-4。 的值最小，最小值是 ④t子a-10+la-9y++la-+a+la++…a+9+a+10 的最小值是 ⑤)若0是正数，则式子a-142a-1H3a-1H4a-H5a-l的最小值是 试卷第16页（共3页）