专题11一元一次方程的应用知题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版七年级数学上册

专题11一元一次方程的应用知题通关讲义 知识点01：列一元一次方程解应用题通用步骤（必考标准流程） ①审：审题，分析题中的已知量、未知量，理清各个数量之间的等量关系 ②设：设未知数（直接设元：求什么设什么；复杂题目可间接设元） ③找：找准可以完整表达题意的等量关系式 ④列：依据等量关系写出代数式，列出一元一次方程 ⑤解：解方程，算出未知数的数值 ⑥答：检验解是否符合实际题意，规范写出答案，带上对应单位 关键核心：等量关系寻找技巧 关键词法： 相等、等于、和、共、多、少、倍、几分之几、剩余、还差、比…… 大 / 小； 公式法：路程、价格、工程、浓度、周长面积固定公式； 不变量法：总量不变、路程不变、容器体积不变、年龄差不变。 知识点 02 两种设元方法对比 知识点 03 分析问题中的等量关系 1.逐步列式法：例如，x+2的 2 倍比3x-6大 5。首先写出 “x+2的 2 倍”，即2(x+2)，它比3x-6大 5，那么 “大-小=5”，即2(x+2)-(3x-6)=5。 2.列表分析法：用行（或列）表示不同的项目或种类，用列（或行）表示相应的数量。 3.画图分析法：用图形表示题目中的数量关系。例如，行程问题中常用线段示意图帮助分析相等关系。 知识点04常见问题中的等量关系 1 和差倍分问题（基础必考） （1）核心文字等量翻译 A 比 B 多m：A=B+m A 比 B 少m：A=B-m A 是 B 的k倍：A=k·B A、B 总和为S：A+B=S （2）解题思路 一般设较小量为x，大量用含x代数式表示，根据 “和” 列方程。 （3）易错点 “甲比乙多 3 倍”≠甲 = 3 乙，而是甲 = 4 乙。 2. 工程问题 （1）基本相等关系：工作量=工作效率 工作时间，工作时间=，工作效率=； （2）当问题中总工作量未知而又不求总工作量时，要把总工作量看作整1； （3）常见的相等关系为总工作量=各部分工作量之和。 3. 营销问题 （1）相等关系：①利润=售价-进价；②利润率= 100%；③售价=进价 (1+利润率)。 （2）打折：n折即标价的，如 7 折即标价的（或 70%），其中n叫折数实际售价=标价 4. 行程问题 基本相等关系：路程=速度 时间；速度=路程时间；时间=路程速度。 （1）直线形相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=两地之间的路程。 甲、乙分别从A、B两地出发，相向而行 （2）直线形追及问题：快者走的路程 = 慢者走的路程 + 两人初始路程差； 快者走的路程 = 慢者先走的路程 + 慢者后走的路程 （3）环形相遇问题：同起点、同时间、背向出发，首次相遇时，等量关系是二者合走了1圈；从出发到相遇所用时间=；第n次相遇时，二者合走了n圈。 （4）环形追及问题：同起点、同时间、同向出发，首次相遇时，等量关系是快者比慢者多走1圈；追及所用时间=；第n次相遇时，快者比慢者多走n圈。 5 储蓄利息问题 基础公式 利息 = 本金 × 年利率 × 存款年数 本息和 = 本金 + 利息 6 数字、日历问题 两位数表示：十位数字a，个位数字b，两位数写作10a+b；不能直接写成ab； 日历规律：上下相邻数字相差 7，左右相邻数字相差 1。 7等积变形问题（几何题型） 核心原理：形状改变，体积（面积）不变 等量关系：变形前体积（面积）= 变形后体积（面积） 常用公式：长方体体积、圆柱体积；长方形、圆形面积。 8 配套问题 核心等量关系 配套比例关系：加工出的两种部件数量之比 = 题目给定配套比 举例：1 个产品需要 2 个 A 零件、1 个 B 零件 A零件总数∶B零件总数=2∶1，转化为：A零件总数=2×B零件总数} 解题要点 （1）分配工人 / 原材料，一部分生产甲部件，一部分生产乙部件； （2）根据配套比例列出等式； （3）算出人数后必须检验：人数一般取非负整数。 9 方案选择问题 解题通用思路 （1）先设自变量x，分别写出每种方案费用（总量）的代数式； （2）列方程求出费用相等时的临界值； （3）分区间讨论：大于临界值、小于临界值分别选择最优方案。 核心模板 方案①：y1=.... 方案②：y2=..... 令y1=y2，求出临界点x=a x>a，选择其中一种方案； x<a，选择另一种方案； x=a，两种方案费用相同。 ⚠️注意：结合实际，x不能为负数，部分场景x只能取整数。 知识点 05 寻找等量关系的 4 种方法 1.抓关键词：一共、比… 多、比… 少、是几倍、剩余、相等； 2.画图辅助：行程画线段图、几何等积画示意图； 3.列表梳理：多组数量用表格整理，直观找等式； 4.套用固定公式：行程、工程、销售直接用公式建立等量。 1. 审题提取等量关系错误 提醒：误读文字条件；混淆“多、少、增加、增加到”，颠倒数量逻辑。 2. 设未知数书写不规范 提醒：设未知数需标注单位；方程内部不再重复书写单位。 3. 列式时单位未统一 提醒：方程内所有量单位必须统一，不同单位量不可直接列式。 4. 配套问题比例关系列写颠倒 提醒：依据配套比例建立等式，分清部件间倍数关系，防止比例左右倒置。 5. 工程问题概念误用 提醒：未给出总工作量时，常设总工作量为1；工作效率=工作量÷工作时间。 6. 销售问题概念混淆 提醒：区分进价、标价、售价、利润、利润率；利润率基准为进价，不以售价计算。 7. 行程问题等量关系错乱 提醒：相遇问题：路程之和等于总路程；追及问题：路程之差等于初始间距，区分同向、相向。 8. 忽略方程解的实际检验 提醒：方程的解必须贴合现实情境，舍去不符合实际意义的解。 题型 考察方向 难度 题型一 配套问题 ★★ 题型二 工程问题 ★★★ 题型三 销售盈亏 ★★★ 题型四 比赛积分 ★★★ 题型五 方案选择 ★★★ 题型六 数字问题 ★★ 题型七 几何问题 ★★ 题型八 动点问题 ★★★★ 题型九 和差倍分问题 ★★ 题型十 电费和水费问题 ★★★ 题型十一 行程问题 ★★★ 题型十二 比例分配 ★★ 题型十三 日历问题 ★★ 题型十四 古代问题 ★★★ 题型十五 其他问题 ★★★ 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★压轴 题型一、配套问题 1．某工厂有技术人员20人，平均每人每天可加工甲种零件12个或乙种零件10个，已知2个甲种零件和5个乙种零件可以配成一套，每天生产的甲、乙两种零件刚好配套．若设安排生产甲种零件的技术人员人，则可列方程为_____． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，读懂题意是解题关键； 设安排生产甲种零件的技术人员为人，则生产乙种零件的技术人员为人；根据配套比例（2个甲种零件与5个乙种零件配成一套）和零件总产量，列出方程使甲种零件与乙种零件的套数相等． 【详解】解：生产甲种零件的总产量为个，生产乙种零件的总产量为个； 由于2个甲种零件和5个乙种零件配成一套，且每天生产刚好配套， ∴， 故答案为：． 2．【新课标·应用意识】“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶，作为中国传统文化的重要组成部分，承载着深厚的历史与文化底蕴．在品茶的过程中，茶具的选择对茶汤的口感、香气、色泽以及品饮的体验有显著影响．某茶具厂共有个工人，每个工人一天能做个茶杯或个茶壶，如果8个茶杯和1个茶壶为一套，问如何安排生产可使每天生产的产品配套？设生产茶杯的工人有x人，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．根据配套关系，茶杯数量应是茶壶数量的8倍，由此列出方程并求解x的值． 【详解】解：设生产茶杯的工人有x人，则生产茶壶的工人有人． ∴生产茶杯的工人应为人， 故选：C． 3．如图，长方体盒子是用大长方形硬纸片裁剪制作的，每个盒子由4个小长方形侧面和上下2个正方形底面组成，大长方形硬纸片按两种方法裁剪：方法剪4个侧面；方法剪6个底面．现有80张大长方形硬纸片全部用于裁剪制作长方体盒子，设裁剪时张用方法，其余用方法． (1)请用含的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面个数，侧面：______，底面：_____． (2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问：方法、方法各裁剪几张？ 【答案】(1)； (2)用方法裁剪张，用方法裁剪张 【分析】本题考查一元一次方程的应用，列代数式，根据题意正确列出方程是解题的关键． （1）根据题意可以分别用代数式表示出裁剪出的侧面和底面个数； （2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题． 【详解】（1）解：由题意可得，裁剪出的侧面个数是，裁剪出的底面个数是. 故答案为：；； （2）解：由题意可得 解得：， 则(张)， 答：用方法裁剪张，用方法裁剪张． 4．某班共有学生48人，其中男生人数比女生人数的2倍少9． (1)求该班女生的人数． (2)劳动课上，老师组织同学们动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身13个或盒底22个．所有女生负责做盒身，一部分男生也负责做盒身，另一部分男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底．问有多少名男生负责做盒身，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【答案】(1)该班女生的人数为19． (2)有3名男生负责做盒身，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【分析】（1）先设未知数，利用男生和女生总人数与男生是女生人数2倍少9人列方程组求解即可； （2）设有m名男生负责盒身，利用（1）得出的男女生人数与每名学生一节课能做盒身13个或盒底22个这个等量关系列方程即可． 【详解】（1）解：设该班女生的人数为，男生的人数为． 由题意，得 解得 答：该班女生的人数为19． （2）解：设有名男生负责做盒身． 由题意，得， 解得． 答：有3名男生负责做盒身，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【点睛】本题考查了列方程解应用题中的分配问题和配套问题，掌握列方程解应用题的一般步骤和等量关系是解题的关键． 题型二、工程问题 5．一项工程，甲单独完成需要9天，乙单独完成需15天，若甲、乙先做3天后，甲因故离开，剩下的工程由乙独做，问还需______天能完成这项工程． 【答案】7 【分析】将总工作量看作单位. 先分别求出甲、乙的工作效率，再根据“总工作量等于各部分工作量之和”列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设剩下的工程由乙独做，还需天完成这项工程，将总工作量记为，则甲的工作效率为，乙的工作效率为，根据题意，得 ， 解得． 所以，还需要7天能完成这项工程． 6．某项工作由甲、乙两人单独完成分别需要和．如果让甲、乙两人一起工作，再由乙单独完成剩余部分，完成这项工作一共需要多长时间？若依据相等关系“前1小时工作量后一段时间工作量”解决该问题，则下列设元与列方程正确的是（    ） A．设一共需要完工，则 B．设一共需要完工，则 C．设乙单独工作，则 D．设乙单独工作，则 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意是解答的关键； 相等关系为“前1小时工作量+后一段时间工作量”，其中“前1小时工作量”指甲、乙在1小时内的工作量之和，即，“后一段时间工作量”指乙在单独工作时间内的工作量．设一共需要完工，则后一段时间乙工作量为；设乙单独工作，则后一段时间乙工作量为；据此列方程即可． 【详解】解：由题意得：甲的工作效率为，乙的工作效率为， 设一共需要完工，则前1小时甲工作量为，前1小时乙工作量为，后一段时间乙工作量为， 则有； 设乙单独工作，则前1小时甲工作量为，前1小时乙工作量为，后一段时间乙工作量为， 则有，C选项符合题意； 故选：C． 7．某县农业园养殖了许多的黄牛，黄牛品种优良，肉质鲜美．农业园中养殖牛的排泄物是制作有机肥的主要材料．农业园响应“绿色环保”号召建设了有机肥生产线．有机肥生产线原计划每天生产吨，天完成，实际前天就完成了吨．照这样的效率，完成这批任务只需多少天？ 【答案】完成这批任务只需天 【分析】设按照实际效率完成这批任务只需天，由生产有机肥总量不变，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：实际前天就完成了吨， 这样的效率为（吨/天）， 设按照实际效率完成这批任务只需天，则， 解得， 答：完成这批任务只需天． 8．常德市为迎接湘超联赛，计划对市体育馆进行升级改造，甲、乙两个工程队共同承包这个工程．若甲队独做需要天完成，乙队独做需要天完成． (1)若甲、乙两队同时施工天，余下的工程由乙队完成，则乙队还需要几天能够完成任务? (2)在（）的条件下，已知甲队单独施工每天需费用万元，乙队单独施工每天需费用万元．问：完成该项工程总共需要花费多少万元？ 【答案】(1)乙队还需要天完成任务； (2)完成该项工程总共需要花费万元． 【分析】本题考查的知识点是工程问题(一元一次方程的应用)、 有理数的混合运算法则，解题关键是结合题意建立一元一次方程． （1）设乙队还需要天完成任务，结合题意建立一元一次方程后求解即可； （2）结合题意，利用有理数的混合运算法则计算即可得解． 【详解】（1）解：设乙队还需要天完成任务， 则依题意得， 解得， 故乙队还需要天完成任务； （2）解：完成该项工程总共需要花费（万元）， 故完成该项工程总共需要花费万元． 题型三、销售盈亏 9．一家商店因换季将某种服装打折进行销售，如果每件服装按标价的5折出售将亏20元，而按标价的8折出售将赚40元，则每件服装的标价是____________元． 【答案】 【分析】根据服装进价不变的等量关系，设标价为元，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设每件服装的标价是元，根据题意，得 ， 解得：， 即每件服装的标价是元． 10．某商店将一批服装按成本价提高后标价，又以 8 折优惠卖出，结果每件仍获利 20 元，设每件服装的成本价为 x 元，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意，成本价为元，提高后标价为元，再打8折出售，实际售价为，获利20元即实际售价等于成本价加利润，因此可列方程，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设每件服装的成本价为 x 元，则标价为元， 由题意可得：， 即， 故选：A． 11．A、B两校决定联合购买一批篮球运动装备．市场调查发现，甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的篮球队服和篮球，已知每套队服比每个篮球多60元，两套队服与三个篮球的费用相等．经洽谈，甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个篮球；乙商场优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买的篮球打八折． (1)每套队服的价格为________元和每个篮球的价格为________元． (2)若联合购买120套队服和个篮球，请用含的式子分别表示到甲商场和乙商场购买装备所花的费用； (3)在（2）的条件下，若，假如你是本次购买任务的负责人，你认为到甲、乙哪家商场购买比较合算？ 【答案】(1)180，120 (2)甲商场费用为元，乙商场费用为元 (3)到甲商场购买比较合算 【分析】（1）设未知数，根据题干给出的等量关系列一元一次方程求解； （2）根据甲、乙商场各自的优惠方案，分别计算总费用，整理得到含的代数式； （3）将代入两个代数式求值，比较大小即可判断哪家更合算． 【详解】（1）解：设每个篮球的价格是元，则每套队服的价格是元， 根据题意得， 解得， 则， 答：每套队服180元，每个篮球120元； （2）解：到甲商场购买，购买120套队服赠送 个篮球， 总费用为： 元； 到乙商场购买，队服超过80套，篮球打八折， 总费用为： 元； （3）解：将代入两个代数式， 甲商场费用： (元)， 乙商场费用： (元)， ， 到甲商场购买比较合算． 12．“丰收1号”油菜籽的平均每公顷产量为，含油率为．“丰收2号”油菜籽比“丰收1号”的平均每公顷产量提高了，含油率提高了10个百分点．某村去年种植“丰收1号”油菜，今年改种“丰收2号”油菜，虽然种植面积比去年减少2公顷，但是所产油菜籽的总产油量比去年提高了． (1)这个村去年和今年种植油菜的面积各是多少公顷？ (2)去年和今年该村将所产的油全部制作成压榨菜籽油，然后以每千克15元的价格被批发商收购，批发商去年将菜籽油按收购价提高定价，且全部售出．由于销售火爆，批发商今年每千克再提高2元定价，也全部售出，且今年比去年多盈利63900元，求a的值． 【答案】(1)这个村去年和今年种植油菜的面积分别为20公顷，18公顷 (2)a的值是20 【分析】（1）设去年该村种植油菜x公顷，则今年该村种植油菜公顷，根据含油率和总产油量的变化情况，列一元一次方程求解即可； （2）先求出去年和今年该村所产油菜籽的总产油量，以及去年和今年每千克盈利，再结合今年比去年多盈利63900元，列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设去年该村种植油菜x公顷，则今年该村种植油菜公顷， 由题意得，， 解得：， 则今年种植面积为：（公顷）， 答：这个村去年和今年种植油菜的面积分别为20公顷，18公顷． （2）解：由题意可知，去年该村所产油菜籽的总产油量为， 今年该村所产油菜籽的总产油量为， 批发商去年每千克盈利（元）， 批发商今年每千克盈利（元）， 则， 解得： ∴a的值是20． 题型四、比赛积分 13．足球比赛的记分规则为：胜一场得3分，负一场得0分，平一场得1分．一个队打了8场比赛，只输了1场，共得17分，那么这个足球队胜了（    ） A．3场 B．4场 C．5场 D．6场 【答案】C 【分析】解题关键是找准总得分的等量关系，即胜场得分平场得分负场得分总得分，设未知数后列方程求解即可． 【详解】解：设这个足球队胜了场， ∵该队共打8场比赛，只输了1场， ∴平的场数为， 根据总得分列方程得： 整理得 ， 解得 ， 因此这个足球队胜了5场． 14．某市中学生足球联赛共8轮（即每队需要比赛8场），胜一场得3分，平一场得1分，负一场不得分．某校中学生足球代表队的平场数是负场数的2倍，共得17分，则该队胜了___________场 【答案】5 【分析】本题考查了一元一次方程的应用. 设负的场数为x，表示出该队胜的和平的场数，根据总分找到等量关系求解即可． 【详解】解：设负的场数为x，则平的场数为，则胜的场数为， 由题意，得， 解得， 则． 故答案为：5． 15．为提升学生身体素质，落实教育部门有关“中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时”的文件精神，肥东某中学利用课后服务时间，开展班级篮球赛，共16个班级参加．比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分，某班在15场比赛中获得总积分为37分，求该班胜、负场数分别是多少场？ 【答案】该班胜场数是11场，负场数为4场 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设该班胜场数是x场，则负场数为场，利用总积分胜场数负场数，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即胜场数），再将其代入中，即可求出负场数． 【详解】解：设该班胜场数是x场，则负场数为场， 根据题意得：， 解得：， ∴（场）． 答：该班胜场数是11场，负场数为4场． 16．在足球联赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某队9场比赛保持不败． (1)设这支球队胜了x场比赛． ① 根据信息填表（用含有x的式子表示）； 场次（场） 每场得分（分） 积分（分） 胜 3 平 1 ②若这支球队9场比赛得到的总积分是21分，请列一元一次方程，并求出这支球队的胜场数和平场数； (2)这支球队9场比赛的胜场总积分能等于它的平场总积分吗？（请列一元一次方程，说明你的结论．） 【答案】(1)① 场次（场） 每场得分（分） 积分（分） 胜 3 平 1 ②，胜6场，平3场 (2)解：设这支球队胜场，则平场， 由题意得， 解得， 因为场数不是整数，故不符合题意， 所以这支球队9场比赛的胜场总积分不能等于它的平场总积分． 【分析】（1）①根据胜场加平场等于总场数列代数式即可； ②根据胜场得分加平场得分为21分建立方程求解； （2）设胜y场，则平场，根据胜场总积分等于平场总积分建立方程求解判断． 【详解】（1）解：①略 ②由题意得， 解得， ∴ 所以胜6场，平3场； （2）略 题型五、方案选择 17．某学校需要购买一批电脑，有两种方案．方案1：到商家直接购买，每台需要7000元；方案2：学校买零部件组装，每台需要6000元，另外需要支付安装费等其他费用合计3000元，学校添置____台电脑时，两种方案的费用相同． 【答案】3 【分析】该题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找出等量关系式． 设学校添置x台电脑，根据“两种方案的费用相同”列出方程并解答． 【详解】解：设学校添置x台电脑， 由题意，得， 解得：， 答：当学校添置3台电脑时，两种方案的费用相同； 故答案为：3． 18．某景区单独购票为每人元，团体购票为每人元．某旅游团按团体购票比单独购票总共节省费用元，则该旅游团人数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设该旅游团人数为人，根据“单独购票总费用减去团体购票总费用等于节省的费用”列方程求解即可． 【详解】解：设该旅游团人数为人， ， 解得． 故选：C． 19．七年级1班和七年级2班两个班的同学到公园开展社会大课堂活动，公园门票每人40元，超过30人可以购买团体票．公园购票处张贴着团体优惠购票的方案表格如下： 人数优惠方案 30人以上 方案一 八折优惠 方案二 4人免票，其他人九折优惠 (1)若1班有35名学生，他们该选择哪个方案更省钱，说明理由； (2)若2班（30人以上）无论选择哪种方案付的钱是一样多，求2班有多少人． 【答案】(1) 解：选择方案二更省钱，理由如下： 方案一：（元）， 方案二：（元）， ∵， ∴选择方案二更省钱． (2)二班有36人 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算以及一元一次方程的应用，正确掌握相关内容是解题的关键． （1）分别计算出方案一和方案二的费用，再进行比较，即可作答； （2）先设二班有人，再列出方程，然后解方程，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：设二班有人， 根据题意得，， 解得， 答：二班有36人． 20．每年五月，世界级月季名园——大兴世界月季主题园迎来花海盛宴，景致怡人．某学校组织师生到该园区开展综合实践活动．经了解，园区门票原价为60元/人，网络平台购票按原价八折优惠．此次参与活动的学生人数比教师人数的10倍多4人，全体师生按原价购票比按网络平台购票多花费972元． (1)此次参加活动的教师与学生各有多少人？ (2)若网络平台另有双人票88元的优惠方式，相比全部按门票原价八折购票，最多能节省______元． 【答案】(1) 此次参加活动的教师有7人，学生有74人. (2) 320 【分析】（1）设参加活动的教师有人，根据“全体师生按原价购票比按网络平台购票多花费972元”列方程求解即可； （2）分别计算出两种方式的费用，然后求出差额即可； 【详解】（1）解：设参加活动的教师有人，则参加活动的学生有人， 根据题意，得， 解得， ∴， 答：此次参加活动的教师有7人，学生有74人； （2）解：采用双人票与单人票组合的购买方式，总费用为（元）， 全部按门票原价八折购票需要（元）， ∴网络平台另有双人票88元的优惠方式，相比全部按门票原价八折购票，最多能节省（元）． 题型六、数字问题 21．将连续的正整数1，2，3，…排成如图1所示的数表，现在用如图2所示的方框在图1中框出5个数字，分别为、、、、，若，则的值为（   ） A．1001 B．1000 C．999 D．998 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，先根据图形得出，，，，再求出，，根据列出关于a的方程，解方程即可． 【详解】解：根据题意得：，，，， ∴， ， ∵， ∴， 解得：． 故选：D． 22．一个三位数，十位上的数是百位上的数的2倍，百位上的数的3倍减去个位上的数等于十位上的数的，且各数位上数的和为14，则这个三位数是________． 【答案】 【分析】设百位上的数字为，则十位上的数字为，再根据各数位数字和表示出个位数字，根据题目给出的等量关系列出一元一次方程，求解即可得到各数位数字，进而得到三位数． 【详解】解：设百位上的数字为，则十位上的数字为， 各数位上的数的和为， 个位上的数字为， 根据题意得：， 解得：， 百位上的数字为，十位上的数字为，个位上的数字为， 这个三位数为． 23．将连续的偶数2，4，6，8．．．．．．排列成如下的数表，用十字框框出5个数． 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 ．．．．．． (1)将十字框上下左右平移，但一定要框住数列中的5个数，若设中间的数为a，用含a的代数式表示十字框中五个数之和； (2)十字框中五个数之和能等于2025吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) 解：不能等于2025，理由如下： 设十字框中五个数之和等于2025，则， 解得：，此时a不是偶数，不符合题意，舍去； ∴十字框中五个数之和不能等于2025． 【分析】本题主要考查了整式加减的运算，解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握整式加减运算法则． （1）根据题意列出代数式，再相加即可； （2）根据求出，再根据a为偶数，即可得出答案． 【详解】（1）解：设中间的数为a， 则十字框中五个数之和为： ， ∴十字框中五个数之和为； （2）略 24．将连续的奇数1，3，5，7，……，排成如图的数表，用图中所示的十字框可任意框出5个数． (1)图中十字框中的五个数之和与中间数17有什么关系？说明理由； (2)落在十字框中间且又是第三列的奇数是17，29，41，53，……，则这一列数可以用代数式表示为（m为正整数），同样，落在十字框中间且又是第五列可表示为______； (3)已知被十字框框中的五个奇数之和为2025，则十字框中间的奇数是多少？这个奇数落在从左往右第几列？ 【答案】(1) 解：十字框中的五个数之和是17的5倍，理由如下： ； (2) (3)十字框中间的奇数是；这个奇数落在从左往右第列 【分析】（1）求出5个数的和即可得出结论； （2）若为第三列的奇数，起始数为5，每相邻2个数之间的数相隔12，那么这列的数是在5的基础上增加几个12；同理可得其余列数中的奇数与各列起始数之间的关系即可； （3）设中间的奇数是，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：第三列的奇数，起始数为5，每相邻2个数之间的数相隔12，则这一列数可以用代数式表示为（m为正整数）； 第五列的奇数，起始数为9，每相邻2个数之间的数相隔12，则这一列数可以用代数式表示为（m为正整数）； （3）解：设中间的奇数是，则中间数上面和下面的数分别为，前面和后面的数分别为，则这个数的和为 ， 依题意 解得：， ；则在第列； 答：十字框中间的奇数是；这个奇数落在从左往右第列． 题型七、几何问题 25．一个长方形的宽为厘米，长比宽的倍少厘米，长方形的周长为厘米，则可列方程为______． 【答案】 【分析】由一个长方形的宽为厘米，长比宽的倍少厘米，则长为厘米，然后通过长方形周长公式即可求解． 【详解】解：由一个长方形的宽为厘米，长比宽的倍少厘米， 所以长为厘米， 所以列方程为． 26．如图，将一个长为，宽为的长方形沿虚线剪开，拼接成为一个缺角（也是一个小正方形）的大正方形，则缺少的这个小正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据大正方形的边长都相等，，列出，再整理，即可作答． 【详解】解：依题意，得 设去掉的小正方形的边长为， ∵大正方形的边长都相等， 则， 解得：， 27．数学活动课上同学们用一种正方形纸板制作图1所示的长方体盒子，每个盒子需4个长方形侧面和2个正方形底面．纸板有图2所示的两种裁剪方法： A方法：每张纸板裁成6个侧面； B方法：每张纸板裁成9个底面． 同学们一共领取了9张纸板，设其中张用A方法裁剪，其余的用B方法． (1)一共可裁剪出侧面___________个，底面___________个（用含的代数式表示）； (2)若同学们裁出的侧面还剩6个，底面全部用完，求的值和制成的盒子个数． 【答案】(1)， (2)的值为7时，可以制作9个盒子 【分析】此题考查了列代数式，一元一次方程的应用， （1）根据题意列代数式即可； （2）根据题意列出一元一次方程求出，然后列式求解即可． 【详解】（1）解：∵一共领取了9张纸板，其中张用A方法裁剪，每张纸板裁成6个侧面，每张纸板裁成9个底面， ∴一共可裁剪出侧面个，底面个； （2）解：根据题意得， 解得 ∴ 答：的值为7时，可以制作9个盒子． 28．如图1、某小区的平面图是一个占地长500米、宽400米的矩形，正中央的建筑区是与整个小区长、宽比例相同的矩形，如果要使四周的空地所占面积是小区面积的，南北空地等宽，东西空地等宽． (1)求该小区四周的空地的宽度； (2)如图2，该小区在东、西、南三块空地上作如图所示的矩形绿化带，绿化带与建筑区之间为小区道路、小区道路宽度一致．已知东、西两侧绿化带完全相同，其长均为200米，南侧绿化带的长为300米、绿化面积为5500平方米，请算出小区道路的宽度． 【答案】(1)东西空地宽25米，南北的空地宽米 (2)小区道路的宽度为米 【分析】（1）设正中央的建筑区的长度为米，则宽为米，根据题意列方程，解得，再进行计算即可求出该小区南北空地的宽度； （2）由（1）可知，南北的空地宽米，东西空地宽米，设小区道路的宽度为，根据题意列方程，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵某小区的平面图是一个占地长500米、宽400米的矩形， ∴整个小区长宽比例为， 正中央的建筑区是与整个小区长宽比例相同的矩形， 设正中央的建筑区的长为米，宽为米， 由题意得：， 整理得， 解得，或（长度不能取负数，舍去）， 则东西空地宽：（米）， 南北空地宽：（米）． 答：东西空地宽25米，南北的空地宽米； （2）解：由（1）可知，东西空地宽25米，南北的空地宽米， 设小区道路的宽度为米， 由题意得：， 解得：， 答：小区道路的宽度为米． 题型八、动点问题 29．如图，是数轴上的两点，点表示，点表示10．若动点，同时分别从两点出发，沿数轴正方向移动，它们的速度分别为5个单位/秒和3个单位/秒．设，的运动时间为，则当它们相遇时，___________秒． 【答案】 【分析】本题考查了数轴和一元一次方程的应用，根据路程、速度和时间的关系，结合所走的路程来建立方程求解． 【详解】解：动点，的速度分别为5个单位/秒和3个单位/秒， 当它们相遇时，，运动的路程分别为和， 点表示，点表示10， 之间的距离为， 动点，同时分别从两点出发，沿数轴正方向移动， 比多走的路程就是， ， 解得． 故答案为：． 30．如图，已知，两点在数轴上，点表示的数为，，点以每秒个单位长度的速度从点向右运动，点以每秒个单位长度的速度从点向左运动（点、点同时出发），经过几秒，点、点分别到原点的距离相等（   ） A．秒 B．秒或秒或秒 C．秒或秒 D．秒 【答案】C 【分析】先由题意得出，，点表示的数为，设经过秒，点、点分别到原点的距离相等，此时点表示的数为，点表示的数为，根据题意得出，分情况求解即可． 【详解】解：点表示的数为，， ，，点表示的数为， 设经过秒，点、点分别到原点的距离相等， 此时点表示的数为，点表示的数为， 则有， ①， ， ； ②， ， ， 综上，经过秒或秒，点、点分别到原点的距离相等， 选项符合题意． 31．如图，数轴上点表示的数为是数轴上点左侧的一点，且两点间的距离为10，动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点表示的数是___________； (2)动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点，同时出发． ①当为何值时，点表示的数相同？ ②当点与点之间的距离为6时，求点所表示的数． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）根据两点间距离公式可得到B点表示的数； （2）后点表示的数为，点表示的数为，再由两点之间距离公式建立方程求解①②． 【详解】（1）解：因为数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10， 则， 所以B点表示的数为， （2）解：①根据题意得，后点表示的数为，点表示的数为 则， 解得， 所以当时，点表示的数相同； ②根据题意得， 解得或 当时，点表示的数为， 当时，点表示的数为 所以当点与点之间的距离为6时，点所表示的数为或． 32．数轴上点表示数，点在点左侧，两点相距个单位长度． (1)点表示的数是_____； (2)动点从点出发，沿数轴正方向以每秒个单位长度运动，经过几秒，点与点相距个单位长度？ (3)在（2）的基础上，出发同时，动点从点出发，沿数轴负方向以每秒个单位长度运动，经过几秒，点到点的距离是点到点距离的倍？ 【答案】(1) (2)秒或秒 (3)秒或秒 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离列式即可求解； （2）设经过秒，根据题意分两种情况列方程求解； （3）设经过秒，得到点到点距离为，点到点距离为，然后根据题意列方程求解． 【详解】（1）解：点表示的数是； （2）解：设经过秒， ①当在左侧相距3个单位时， 根据题意得，， 解得； ②当在右侧相距3个单位时， 根据题意得，， 解得， 答：经过秒或秒，点与点相距个单位长度． （3）解：设经过秒，点到点距离为，点到点距离为， 由题意得，， 解得：或， 答：经过秒或秒，点到点的距离是点到点距离的倍． 题型九、和差倍分问题 33．临港新城作为一个“年轻的城，年轻人的城”，全力推进文旅项目升级，据官方统计2025年临港新城的游客人数达到2000万人，比2024年游客人数增加，那么2024年游客人数是________万人． 【答案】 【分析】利用一元一次方程解决实际问题，关键要找到题目中的等量关系：2024年游客人数2025年游客人数． 【详解】解：设2024年游客人数是万人． 由题意知，， 解得，， 答：2024年游客人数是1600万人． 34．学校为六年级购买科技书和文艺书共1200本，其中文艺书比科技书的2倍少60本，买来科技书多少本？如果设买来科技书x本，那么下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设买来科技书本，则文艺书有本， ∵ 两种书共1200本， ∴ ． 35．赛龙舟是中国端午节的传统习俗，也是国家级非物质文化遗产．某校手工社团准备制作一件木制龙舟模型（如图所示），该模型由“龙头”、“船身”、“龙尾”三部分整体排成一条直线组成．已知龙头的长度与龙尾的长度之比是，船身的长度比龙尾长度的4倍还多．为了还原真实感，模型还配备了一根主桅杆和若干船桨．已知单根船桨的长度比龙尾的2倍少．在拼装时同学们发现，这艘龙舟模型的总长（龙头、船身与龙尾的长度之和．恰好比单根船桨长度的4倍多．则该龙舟模型的总长度是多少？ 【答案】 【分析】根据题意设龙尾的长度为，则龙头的长度为，船身的长度为，船桨的长度为，列出方程求解x的值，再代入x的值到原方程即可求得龙舟模型的总长度． 【详解】解：设龙尾的长度为，则龙头的长度为，船身的长度为，船桨的长度为， 根据题意，可列出方程：， 解得， 将代入可得：， ∴该龙舟模型的总长度是． 36．魔方和数独棋等益智玩具近年来深受青少年的喜爱，它们不仅能给人带来乐趣，还能有效锻炼人的逻辑思维和问题解决能力．为了满足市场需求，某商店决定用1480元购进魔方、数独棋这两种益智玩具进行销售，其中购进魔方的数量是数独棋数量的2倍，魔方、数独棋的进价和标价如下表： 魔方 数独棋 进价（元/个） 6 25 标价（元/个） 10 40 (1)该商店购进魔方、数独棋各多少个？ (2)如果魔方按标价的七折出售，数独棋按标价的八折出售，那么这两种益智玩具全部售完后，该商店共获利多少元？ 【答案】(1)该商店购进魔方80个，数独棋40个 (2)该商店共获利360元 【分析】（1）设该商店购进数独棋x个，则购进魔方个，利用进货总价进货单价购进数量，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即该商店购进数独棋的个数），再将其代入中，即可求出该商店购进魔方的个数； （2）利用总利润每个魔方的销售利润购进魔方的个数每个数独棋的销售利润购进数独棋的个数，即可求出结论． 【详解】（1）解：设数独棋x个，则商店购进魔方个， 根据题意得， 解得：， ∴商店购进魔方（个）， 答：该商店购进魔方80个，数独棋40个； （2）解：由题意得，商店共获利： （元）， 答：该商店共获利360元． 题型十、电费和水费问题 37．为提倡人们节约用水，自来水公司分段收费标准如下：每户每月用水5吨以下（包含5吨）缴水费12.5元；超过5吨的部分，每吨3.2元．小强家4月份的应缴水费34.9元，则4月份的用水量为_____________吨． 【答案】12 【分析】本题考查了一元一次方程的运用，理解数量关系正确列式是关键，根据题意得到小强家4月份的用水量超过5吨，设小强家4月份的用水量为吨，由此列式求解即可． 【详解】解：∵， ∴小强家4月份的用水量超过5吨， ∴设小强家4月份的用水量为吨， ∴， 解得，， ∴小强家4月份的用水量为吨， 故答案为：12 ． 38．收费标准如下：每月用水不超过，按0.8元/收费，如果超过，超过部分按1.2元/收费．已知某用户某月的水费平均0.88元/，那么这个用户这个月应交水费为（     ）． A．6.6元 B．7.5元 C．7.8元 D．7.2元 【答案】A 【分析】首先由平均水费高于0.8元/判断用水量超过，再根据总水费的等量关系列方程求解即可． 【详解】， 该用户这个月用水量超过， 设该用户这个月用水量为，根据总水费相等列方程： ， 化简得 ， 移项合并得 ， 解得 ， 这个月应交水费为 元． 39．为了节约用水，某市决定调整居民用水收费方法，规定：如果每户每月用水不超过20吨，每吨水收费3元，如果每户每月用水超过20吨，则超过部分每吨水收费4元． (1)如果小红家每月用水18吨，水费是多少？如果每月用水25吨，水费是多少？ (2)如果用字母表示小红家每月用水的吨数，那么小红家每月的水费该用怎样的代数式表示呢？ (3)如果某月小红家缴水费100元，那么该月小红家用了多少吨水？ 【答案】(1)用水18吨，水费是54元；用水25吨，水费是80元 (2)水费用代数式表示为元 (3)该月小红家用了30吨水 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，根据不超过20吨，每吨水收费3元，如果每户每月用水超过20吨，则超过部分每吨水收费4元，进行列式计算，即可作答． （2）结合收费情况以及用字母表示小红家每月用水的吨数，进行分析列式化简，即可作答． （3）先得出，故设该月小红家用了吨水（），得，解得，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，（元）， （元）， 即用水18吨，水费是54元；用水25吨，水费是80元； （2）解：依题意，， ∴水费用代数式表示为元， （3）解：依题意，， ∴设该月小红家用了吨水（） ∴， 解得， 即该月小红家用了30吨水． 40．武汉市城镇居民生活用电电费以年为周期，实行梯度收费，具体标准如下表： 年用电量（单位：千瓦时） 单价（单位：元） 2160以内（含2160） 0.5 超过2160但不超过4800的部分（含4800） 0.6 4800以上（不含4800）的部分 (1)若年用电量为1000千瓦时，应交电费___________元；若年用电量为3060千瓦时，应交电费___________元． (2)若某用户2024年应交电费2280元，该用户2024年的用电量是多少千瓦时？ (3)若某用户2024年度用电量为4850千瓦时，应交电费2704元，则___________． 【答案】(1)500；1620 (2)4160千瓦时 (3)0.8 【分析】本题考查了有理数四则运算的应用、一元一次方程的应用，正确列出运算式子和建立方程是解题关键． （1）根据电费标准表格列出式子，计算有理数的乘法与加减法即可得； （2）该用户2024年的用电量是千瓦时，先求出的取值范围，再根据用户2024年应交电费2280元，建立方程，解方程即可得； （3）根据电费标准表格列出方程，再解方程即可． 【详解】（1）解：年用电量为1000千瓦时，应交电费（元）； 年用电量为3060千瓦时，应交电费（元）； 故答案为：500；1620； （2）设该用户2024年的用电量是千瓦时， 当年用电量为3060千瓦时，应交电费1620元， 当年用电量为4800千瓦时，应交电费元， ， ， ， 整理得， 解得； 答：该用户2024年的用电量是4160千瓦时； （3）若用户2024年度用电量为4850千瓦时， 则应交电费， 整理得， 解得． 故答案为：0.8． 题型十一、行程问题 41．A，B两地相距，甲、乙两车分别从A，B两地同时向同一方向行驶，甲车在前，每小时行驶，乙车在后，要在行驶后追上甲车，乙车每小时应行驶________km． 【答案】51 【分析】本题考查一元一次方程的应用．根据“追及路程=速度差×追及时间”的等量关系，设乙车速度为未知数，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设乙车每小时应行驶， 根据题意得：， 解得， ∴乙车每小时应行驶； 故答案为：51． 42．《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲乃发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问多久后甲乙相逢？设乙出发日，甲乙相逢，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，将总路程设为单位1，得到甲乙的速度，理清两人行走时间，根据相遇时路程和等于总路程即可列方程． 【详解】解：设长安到齐国的总路程为单位， ∵甲走完全程需日，乙走完全程需日， ∴甲的速度为，乙的速度为， ∵设乙出发日后甲乙相逢， ∴乙行走时间为日，甲行走时间为日， 相遇时两人路程和等于总路程， 故可列方程：． 43．有甲、乙、丙三辆小轿车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一辆大卡车，这三辆车分别用6分、8分、10分追上大卡车，现在已知甲轿车的速度为每小时120千米，乙轿车每小时100千米，那么丙轿车和大卡车每小时多少千米？ 【答案】丙轿车每小时88千米；大卡车每小时40千米 【分析】设大卡车每小时行驶千米，甲、乙两车从同一点出发追赶同一辆卡车，出发时两车与卡车的初始距离是同一个固定值，因此甲车的追及路程与乙车的追及路程相等，据此列方程，求出，此时已求出卡车速度与固定的初始距离，然后设丙轿车每小时行驶千米，丙车的追及过程对应同一段初始路程，以此建立方程求解丙车速度． 【详解】解：6分小时，8分小时，10分小时 设大卡车每小时行驶千米， 初始距离：（千米） 设丙轿车每小时行驶千米， 答：丙轿车每小时88千米，大卡车每小时40千米． 44．如图是某公园部分景区的旅游路线示意图，其中B、C、D为风景点，A、E为路的交叉点，图中所有的连线路段为双向通行的游览路线，可沿任意方向行走．图中标注的数据为相应两点间的路程（单位：千米）．小丽从A点出发，沿着路线方向，以2千米/小时的速度游览，每个风景点的逗留时间均为小时，游览回到A处时，共用小时． (1)求路线（按顺时针方向）的路程； (2)若小丽出发小时后，小杰从A处出发，以3千米/小时的速度把照相机送给小丽（小杰在景点不逗留），那么小杰最快用多长时间能遇到小丽，他走的路线是怎样的？ 【答案】(1)千米 (2)小杰应选择的方向，最快用小时遇到小丽 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意列出方程是解题的关键． （1）设路线（按顺时针方向）的路程为x千米，根据时间等于路程除以速度建立方程求解即可； （2）设小杰用t小时遇到小丽，根据题意可求出小丽出发小时后，刚到达B点，分两种情况：选择路线的方向和选择路线的方向，分别建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设路线（按顺时针方向）的路程为x千米， 由题意得，， 解得， 答：路线（按顺时针方向）的路程为千米； （2）解：设小杰用t小时遇到小丽， 因为小时， 所以小丽出发小时后，刚到达B点， 所以小杰有两种路线选择： ①选择路线的方向， 则                      解得， 因为，且，小杰在从B到E的路上 ，小丽在从B到E的路上 所以本路线合适． ②选择路线的方向， 则 解得， 因为，，小丽在从B到E的路上 ，小杰在E到B的路上 所以本路线合适． 因为， 所以小杰应选择的方向，最快用小时遇到小丽． 题型十二、比例分配 45．甲煤场有煤432吨，乙煤场有煤96吨，现从别的煤场调煤240吨，要使甲煤场的存煤数是乙煤场的存煤数的2倍，设调配到甲煤厂x吨，依题意，列出的方程是_______________ 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，根据甲煤场的存煤数是乙煤场的存煤数的2倍列方程即可． 【详解】解：设调配到甲煤厂x吨，则调配到乙煤厂吨， 依题意，得， 故答案为：． 46．如果甲、乙、丙三村合修一条公路，计划出工84人，按出工，求各村出工的人数． ①设甲、乙、丙三村分别出工人、人、人，依题意，得； ②设甲村出工人，依题意，得； ③设乙村出工人，依题意，得； ④设丙村出工人，依题意，得． 上面所列方程中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，由甲、乙、丙三村按出工，可得出工人数之间的关系，再根据计划出工84人列出方程，注意所设未知数不同时，所列方程也不同． 【详解】解：①正确， ②应得方程， ③应得， ④应得． 故选：A． 47．2025年红五月校园文化艺术节现场书法比赛即将开启，学校决定将综合实践活动教室布置为比赛场地，如图，这是该教室第一排5张课桌的布置示意图．布置说明：桌子与桌子、桌子与墙之间的距离均相等，课桌的桌宽均相等，且间距：桌宽，现测得该教室内南墙到北墙之间的距离是6米，请计算出该教室布置的间距与桌宽． 【答案】0.5米，0.6米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意正确列方程是解题关键．设间距为米，则桌宽为米，根据课桌的布置示意图列方程求解即可． 【详解】解：设间距为米，则桌宽为米， 由题意得：， 解得， ， 答：该教室布置的间距为0.5米，桌宽为0.6米． 48．春节，即农历新年，是一年之岁首、传统意义上的年节．春节历史悠久，由上古时代岁首祈年祭祀演变而来．为了喜迎新春，某工厂计划生产A、B两种喜迎新春产品共140件，其中A种产品的件数比B种产品件数的3倍少20件． (1)求工厂计划生产A、B两种新春产品各多少件？ (2)现在工厂需要购买甲、乙两种材料生产新春产品．甲种材料的单价为每千克5元，乙种材料的单价为每千克3元，采购员小李分两次购买完所需的材料，第一次购买两种材料共200千克，受市场价格影响，第二次购买时甲材料的单价为每千克4元，乙材料的单价不变． ①设采购员第一次购买甲种材料千克，完成下列表格： 第一次购买数量 （千克） 第二次购买数量 （千克） 总共需要购买数量 （千克） 甲材料 380 乙材料 180 ②若第二次购买材料所支付的费用比第一次购买材料的费用多500元，求采购员第一次购买甲种材料多少千克？ 【答案】(1)工厂计划生产B种产品40件，则工厂计划生产A种产品100件 (2) ①补充表格如下表： 第一次购买数量 （千克） 第二次购买数量 （千克） 总共需要购买数量 （千克） 甲材料 乙材料 ②采购员第一次购买甲种材料120千克 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，列代数式，理解题意，确定相等关系是解本题的关键． （1）设工厂计划生产B种产品件，则工厂计划生产A种产品件，利用“某工厂计划生产A、B两种喜迎新春产品共140件”，再建立方程求解即可； （2）①用两次购买的数量减去第一次的数量可得表格第二次购买的数量；②先表示两次购买的费用，再利用“第二次购买材料所支付的费用比第一次购买材料的费用多500元”，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设工厂计划生产B种产品件，则工厂计划生产A种产品件， 根据题意得：， 解得：， ， 工厂计划生产B种产品40件，则工厂计划生产A种产品100件； （2）①略 ②第一次购买材料的费用为：（元）， 第二次购买材料的费用为：（元）， ，解得：， 答：采购员第一次购买甲种材料120千克． 题型十三、日历问题 49．如图是2026年7月的日历表，任意选取“十”字形状中的五个数（如图阴影部分），若移动“十”字形状后所得五个数之和为，那么该“十”字形状中正中间的数为_____． 【答案】 【分析】设正中间的数为，依次表示出其他四个数，构造方程并求解即可． 【详解】解：设正中间的数为， 观察日历可得，上下两个数分别为和，左右两个数分别为和， 根据题意，可列方程：， 解得． 50．如图是年月份的日历表，用形如的框架框住日历表中的五个数（例如图中框住的五个数分别为、、、、），对于框架框住的五个数字之和，计算结果不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设框中最小数为，推出其他四个数从小到大依次为，，，，求和得总和，将四个选项数值分别代入总和求出对应的，得出每组五个数中有不在内的就不可能是框架框住的五个数字之和． 【详解】解：设框住的五个数中最小的数为，则其他四个数从小到大依次为，，，， 这五个数字之和为， A、，解得，这五个数分别为，，，，； B、，解得，这五个数分别为，，，，； C、，解得，这五个数分别为，，，，； D、，解得，这五个数分别为，，，，，因为不可能出现在年月份的日历表中，故选D． 51．课本再现，如图，是某月的月历，请仔细观察并思考下列问题： (1)图1中，用一个的正方形框围住相邻三列三行中的9个数字，设正方形框内最中心的数字为，则它左边的数是，它上面表示的数是___________，它右下角表示的数是___________．（都用含的式子表示） (2)图1中，用正方形框围住的9个数字的和是最中心数字的___________倍． (3)在图2中，若“+”字框围住5个数字的和是65，那么最中心的数字是多少？ (4)在图2中，“+”字框围住5个数字的和能否为120，如果能，请求出这5个数，若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2)9 (3)13 (4) 不能，理由如下： 设“+”框内最中心的数字为， 根据题意，列方程得： 解得 由框可知，24的右边没有数字， 所以“+”字框围住5个数字的和不能为120． 【分析】本题考查了列代数式、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据月历的特点列出代数式即可； （2）设正方形框内最中心的数字为，则它左边的数是，右边的数是，它上面表示的数是，左上角表示的数是，右上角表示的数为，下面表示的数为，左下角表示的数为，它右下角表示的数是，再求出用正方形框围住的9个数字的和，即可得出结果； （3）设“+”框内最中心的数字为y，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出结果； （4）设“+”框内最中心的数字为，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得：设正方形框内最中心的数字为，则它左边的数是，它上面表示的数是，它右下角表示的数是； （2）解：设正方形框内最中心的数字为，则它左边的数是，右边的数是，它上面表示的数是，左上角表示的数是，右上角表示的数为，下面表示的数为，左下角表示的数为，它右下角表示的数是， 故用正方形框围住的9个数字的和为， 故用正方形框围住的9个数字的和是最中心数字的倍； （3）解：设“+”框内最中心的数字为y， 根据题意，列方程得：， 解得， 答：“+”字框最中心的数字为13； （4）略 52．如图1是某年7月的日历，用一平行四边形框在表中任意框住4个数． (1)若框住4个数的和为74，求出框住4个数中最大数； (2)能否用平行四边形框在该日历中框出这样的4个数，它们的和等于94？若能，则求框出的最小数，若不能，说明理由． (3)如图2，用平行四边形框在该日历中框出这样的4个数为a、b、c、d，平行四边形在不同的位置时，代数式的值是否发生变化，若变化说明变化规律，若不变化求出该值． 【答案】(1)框住4个数中最大数为 (2)不能，理由： 假设框出的4个数中最小的数为x，则另外三个数分别为， ， 解得：， ∵数20已经在该行的最左边， 则它的左下角不存在数， 故不能框出这样的4个数，它们的和等于94； (3)代数式的值不发生变化，始终为 【分析】本题考查了一元一次方程的应用及整式加减的应用； （1）观察图形，根据各数之间的关系，设框出的4个数中最小的数为x，用含x的代数式表示出另外三个数，得出方程，进而解方程即可； （2）设框出的4个数中最小的数为x，用含的代数式表示出另外三个数，得出方程，进而解方程即可； （3）先求出，代入代数式求出结果，即可得出结论． 【详解】（1）解：设框出的4个数中最小的数为x，则另外三个数分别为， ， 解得：， 则框住4个数中最大数为． （2）略 （3）解：代数式的值不发生变化，始终为，理由如下： 如图2，用平行四边形框在该日历中框出这样的4个数为a、b、c、d， 则， ， 则代数式的值不发生变化，始终为． 题型十四、古代问题 53．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作之一，奠定了中国古代数学的部分基础，其中记载了一道题，大意为：“今有墙高尺，瓜生在墙的上方，瓜蔓每天向下长寸；葫芦生在墙的下方，葫芦蔓每天向上长尺．问经过多少日两蔓相逢？”其中尺寸．若设经过日两蔓相逢，根据题意，的值为___________． 【答案】 【分析】先统一长度单位，再根据两蔓生长的总长度等于墙高列出方程，求解即可． 【详解】解：寸尺， 设经过日两蔓相逢， 根据题意可得， 解得． 54．我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”大意为：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺？设木头长尺，则可列一元一次方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以绳长固定不变为等量关系，分别表示两种量法下的绳长即可列方程． 【详解】解：∵ 用整根绳子量木头，绳子剩余4.5尺， ∴ 绳长为尺． ∵ 将绳子对折后量木头，木头剩余1尺，即对折后绳长比木长短1尺， ∴ 对折后绳长为尺，整根绳长为尺． ∵ 绳长固定不变， ∴ ． 55．小颖同学在学习了方程的内容后，用学习方程时积累的经验解决我国古代数学著作《九章算术》中的“燕雀问题”：“五只雀六只燕，共重十六两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问雀燕各几两？”尝试解决： (1)如果设每只雀重x两，用表格梳理出数量关系如下： 每只质量/两 数量/只 总质量/两 雀 5 燕 6 相互关系 互换1只一样重 共16 (2)列方程解决此题． 【答案】(1)x，，， (2)每只雀重两，每只燕重两 【分析】（1）利用雀的总质量每只雀的质量雀的只数，可用含x的代数式表示出雀的总质量，结合雀和燕共重16两，可求出燕的总质量，再除以6，即可用含x的代数式表示出每只燕的质量； （2）根据“互换其中一只，恰好一样重”，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即每只雀的质量），再将其代入中，即可求出每只燕的质量． 【详解】（1）解：∵五只雀六只燕，共重十六两，且每只雀重x两， ∴雀的总质量为两， ∴燕的总质量为两，每只燕重两． 故答案为：x，，，； （2）解：根据题意得：， 解得：， ∴． 答：每只雀重两，每只燕重两． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及数学常识，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出各数量；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 56．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？ 译文：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，问木长多少尺？ 请解答上述问题． 【答案】木长尺 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系，列出方程是解题的关键． 设木长尺，则绳子长为尺，再由将绳子对折再量长木，长木还剩余尺列出方程求解即可． 【详解】解：设木长尺，则绳子长为尺， 由题意得， 解得． 答：木长尺． 题型十五、其他问题 57．在福州，肉燕（俗称太平燕）不仅是一道名小吃，更是喜庆习俗中的重要菜品．某传统肉燕店制作肉燕，熟练工每小时比学徒多包300粒，学徒3小时与熟练工2小时制作的肉燕粒数相同．设学徒每小时包x粒肉燕，则下列方程中符合题意的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，先根据设出的学徒每小时工作量，表示出熟练工每小时工作量，再根据二者总工作量相等的等量关系列方程即可． 【详解】设学徒每小时包粒肉燕， ∵熟练工每小时比学徒多包粒， ∴熟练工每小时包粒， ∵学徒小时制作的总粒数与熟练工小时制作的总粒数相同， 且学徒小时总粒数为，熟练工小时总粒数为， ∴可列方程． 58．学校门口的蜜雪冰城推出两款500毫升的冰鲜柠檬水：A款为“3分糖”（糖浓度为），B款为“7分糖”（糖浓度为）．小明想用这两款柠檬水混合调配成“4分糖”（糖浓度为）的柠檬水．若他购买了3杯A款，则还需要购买______杯B款． 【答案】 【分析】设还需要购买x杯B款，根据A款含糖量款含糖量混合后“4分糖”（糖浓度为）的柠檬水含糖量，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设还需要购买x杯B款，根据题意得： ， 解得：， 即还需要购买1杯B款． 59．团扇，是我国传统工艺品与艺术品．如图①是一把六瓣花瓣型团扇的骨架示意图，主要包括扇面轮廓骨架和扇柄，如图②，其中扇面轮廓骨架由两条等长的扇面轮廓竹条，分别三等分后烤弯粘接在一起，扇柄由一根扇柄竹条制成，段为扇面部分，段为手持部分，已知扇柄竹条的长度比单根扇面轮廓竹条长，扇柄扇面部分的长度是扇柄竹条的，扇柄手持部分的长度比一个花瓣轮廓的长度长，求这把团扇的单根扇面轮廓竹条的长度． 【答案】这把团扇的单根扇面轮廓竹条的长度为 【分析】设单根扇面轮廓竹条的长度为，则扇柄竹条的长度为，花瓣轮廓的长度为，扇柄扇面部分的长度，扇柄手持部分的长度为，结合题意列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】解：设单根扇面轮廓竹条的长度为，则扇柄竹条的长度为， ∵扇面轮廓竹条被三等分， ∴花瓣轮廓的长度为， ∵扇柄扇面部分的长度是扇柄竹条的， ∴扇柄扇面部分的长度， ∵扇柄手持部分的长度比一个花瓣轮廓的长度长， ∴扇柄手持部分的长度为， 由题意得， 解得， ∴这把团扇的单根扇面轮廓竹条的长度为． 60．花生油是从花生中提取的油脂．普通花生平均每公顷的产量为；出油率为，高油花生平均每公顷的产量比普通花生平均每公顷的产量高，出油率为．某农场去年种植了普通花生，今年改种高油花生，虽然种植面积比去年减少了2公顷，但是产油量比去年提高了．求今年种植高油花生的面积（出油率）． 【答案】公顷 【分析】先设今年种植高油花生的面积，再根据出油率公式得到两年的总产油量，最后根据“今年产油量比去年提高”的等量关系列一元一次方程，求解得到结果． 【详解】解：设今年种植高油花生的面积为公顷，则去年种植普通花生的面积为公顷， 根据题意，高油花生每公顷产量为， ∴， 整理得 ， 解得：， 答：今年种植高油花生的面积为公顷． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11一元一次方程的应用知题通关讲义 知识点01：列一元一次方程解应用题通用步骤（必考标准流程） ①审：审题，分析题中的已知量、未知量，理清各个数量之间的等量关系 ②设：设未知数（直接设元：求什么设什么；复杂题目可间接设元） ③找：找准可以完整表达题意的等量关系式 ④列：依据等量关系写出代数式，列出一元一次方程 ⑤解：解方程，算出未知数的数值 ⑥答：检验解是否符合实际题意，规范写出答案，带上对应单位 关键核心：等量关系寻找技巧 关键词法： 相等、等于、和、共、多、少、倍、几分之几、剩余、还差、比…… 大 / 小； 公式法：路程、价格、工程、浓度、周长面积固定公式； 不变量法：总量不变、路程不变、容器体积不变、年龄差不变。 知识点 02 两种设元方法对比 知识点 03 分析问题中的等量关系 1.逐步列式法：例如，x+2的 2 倍比3x-6大 5。首先写出 “x+2的 2 倍”，即2(x+2)，它比3x-6大 5，那么 “大-小=5”，即2(x+2)-(3x-6)=5。 2.列表分析法：用行（或列）表示不同的项目或种类，用列（或行）表示相应的数量。 3.画图分析法：用图形表示题目中的数量关系。例如，行程问题中常用线段示意图帮助分析相等关系。 知识点04常见问题中的等量关系 （1）核心文字等量翻译 A 比 B 多m：A=B+m A 比 B 少m：A=B-m A 是 B 的k倍：A=k·B A、B 总和为S：A+B=S （2）解题思路 一般设较小量为x，大量用含x代数式表示，根据 “和” 列方程。 （3）易错点 “甲比乙多 3 倍”≠甲 = 3 乙，而是甲 = 4 乙。 （1）基本相等关系：工作量=工作效率 工作时间，工作时间=，工作效率=； （2）当问题中总工作量未知而又不求总工作量时，要把总工作量看作整1； （3）常见的相等关系为总工作量=各部分工作量之和。 （1）相等关系：①利润=售价-进价；②利润率= 100%；③售价=进价 (1+利润率)。 （2）打折：n折即标价的，如 7 折即标价的（或 70%），其中n叫折数实际售价=标价 基本相等关系：路程=速度 时间；速度=路程时间；时间=路程速度。 （1）直线形相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=两地之间的路程。 甲、乙分别从A、B两地出发，相向而行 （2）直线形追及问题：快者走的路程 = 慢者走的路程 + 两人初始路程差； 快者走的路程 = 慢者先走的路程 + 慢者后走的路程 （3）环形相遇问题：同起点、同时间、背向出发，首次相遇时，等量关系是二者合走了1圈；从出发到相遇所用时间=；第n次相遇时，二者合走了n圈。 （4）环形追及问题：同起点、同时间、同向出发，首次相遇时，等量关系是快者比慢者多走1圈；追及所用时间=；第n次相遇时，快者比慢者多走n圈。 基础公式 利息 = 本金 × 年利率 × 存款年数 本息和 = 本金 + 利息 两位数表示：十位数字a，个位数字b，两位数写作10a+b；不能直接写成ab； 日历规律：上下相邻数字相差 7，左右相邻数字相差 1。 核心原理：形状改变，体积（面积）不变 等量关系：变形前体积（面积）= 变形后体积（面积） 常用公式：长方体体积、圆柱体积；长方形、圆形面积。 核心等量关系 配套比例关系：加工出的两种部件数量之比 = 题目给定配套比 举例：1 个产品需要 2 个 A 零件、1 个 B 零件 A零件总数∶B零件总数=2∶1，转化为：A零件总数=2×B零件总数} 解题要点 （1）分配工人 / 原材料，一部分生产甲部件，一部分生产乙部件； （2）根据配套比例列出等式； （3）算出人数后必须检验：人数一般取非负整数。 解题通用思路 （1）先设自变量x，分别写出每种方案费用（总量）的代数式； （2）列方程求出费用相等时的临界值； （3）分区间讨论：大于临界值、小于临界值分别选择最优方案。 核心模板 方案①：y1=.... 方案②：y2=..... 令y1=y2，求出临界点x=a x>a，选择其中一种方案； x<a，选择另一种方案； x=a，两种方案费用相同。 ⚠️注意：结合实际，x不能为负数，部分场景x只能取整数。 知识点 05 寻找等量关系的 4 种方法 1.抓关键词：一共、比… 多、比… 少、是几倍、剩余、相等； 2.画图辅助：行程画线段图、几何等积画示意图； 3.列表梳理：多组数量用表格整理，直观找等式； 4.套用固定公式：行程、工程、销售直接用公式建立等量。 1. 审题提取等量关系错误 提醒：误读文字条件；混淆“多、少、增加、增加到”，颠倒数量逻辑。 2. 设未知数书写不规范 提醒：设未知数需标注单位；方程内部不再重复书写单位。 3. 列式时单位未统一 提醒：方程内所有量单位必须统一，不同单位量不可直接列式。 4. 配套问题比例关系列写颠倒 提醒：依据配套比例建立等式，分清部件间倍数关系，防止比例左右倒置。 5. 工程问题概念误用 提醒：未给出总工作量时，常设总工作量为1；工作效率=工作量÷工作时间。 6. 销售问题概念混淆 提醒：区分进价、标价、售价、利润、利润率；利润率基准为进价，不以售价计算。 7. 行程问题等量关系错乱 提醒：相遇问题：路程之和等于总路程；追及问题：路程之差等于初始间距，区分同向、相向。 8. 忽略方程解的实际检验 提醒：方程的解必须贴合现实情境，舍去不符合实际意义的解。 题型 考察方向 难度 题型一 配套问题 ★★ 题型二 工程问题 ★★★ 题型三 销售盈亏 ★★★ 题型四 比赛积分 ★★★ 题型五 方案选择 ★★★ 题型六 数字问题 ★★ 题型七 几何问题 ★★ 题型八 动点问题 ★★★★ 题型九 和差倍分问题 ★★ 题型十 电费和水费问题 ★★★ 题型十一 行程问题 ★★★ 题型十二 比例分配 ★★ 题型十三 日历问题 ★★ 题型十四 古代问题 ★★★ 题型十五 其他问题 ★★★ 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★压轴 题型一、配套问题 1．某工厂有技术人员20人，平均每人每天可加工甲种零件12个或乙种零件10个，已知2个甲种零件和5个乙种零件可以配成一套，每天生产的甲、乙两种零件刚好配套．若设安排生产甲种零件的技术人员人，则可列方程为_____． 2．【新课标·应用意识】“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶，作为中国传统文化的重要组成部分，承载着深厚的历史与文化底蕴．在品茶的过程中，茶具的选择对茶汤的口感、香气、色泽以及品饮的体验有显著影响．某茶具厂共有个工人，每个工人一天能做个茶杯或个茶壶，如果8个茶杯和1个茶壶为一套，问如何安排生产可使每天生产的产品配套？设生产茶杯的工人有x人，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 3．如图，长方体盒子是用大长方形硬纸片裁剪制作的，每个盒子由4个小长方形侧面和上下2个正方形底面组成，大长方形硬纸片按两种方法裁剪：方法剪4个侧面；方法剪6个底面．现有80张大长方形硬纸片全部用于裁剪制作长方体盒子，设裁剪时张用方法，其余用方法． (1)请用含的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面个数，侧面：______，底面：_____． (2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问：方法、方法各裁剪几张？ 4．某班共有学生48人，其中男生人数比女生人数的2倍少9． (1)求该班女生的人数． (2)劳动课上，老师组织同学们动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身13个或盒底22个．所有女生负责做盒身，一部分男生也负责做盒身，另一部分男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底．问有多少名男生负责做盒身，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 题型二、工程问题 5．一项工程，甲单独完成需要9天，乙单独完成需15天，若甲、乙先做3天后，甲因故离开，剩下的工程由乙独做，问还需______天能完成这项工程． 6．某项工作由甲、乙两人单独完成分别需要和．如果让甲、乙两人一起工作，再由乙单独完成剩余部分，完成这项工作一共需要多长时间？若依据相等关系“前1小时工作量后一段时间工作量”解决该问题，则下列设元与列方程正确的是（    ） A．设一共需要完工，则 B．设一共需要完工，则 C．设乙单独工作，则 D．设乙单独工作，则 7．某县农业园养殖了许多的黄牛，黄牛品种优良，肉质鲜美．农业园中养殖牛的排泄物是制作有机肥的主要材料．农业园响应“绿色环保”号召建设了有机肥生产线．有机肥生产线原计划每天生产吨，天完成，实际前天就完成了吨．照这样的效率，完成这批任务只需多少天？ 8．常德市为迎接湘超联赛，计划对市体育馆进行升级改造，甲、乙两个工程队共同承包这个工程．若甲队独做需要天完成，乙队独做需要天完成． (1)若甲、乙两队同时施工天，余下的工程由乙队完成，则乙队还需要几天能够完成任务? (2)在（）的条件下，已知甲队单独施工每天需费用万元，乙队单独施工每天需费用万元．问：完成该项工程总共需要花费多少万元？ 题型三、销售盈亏 9．一家商店因换季将某种服装打折进行销售，如果每件服装按标价的5折出售将亏20元，而按标价的8折出售将赚40元，则每件服装的标价是____________元． 10．某商店将一批服装按成本价提高后标价，又以 8 折优惠卖出，结果每件仍获利 20 元，设每件服装的成本价为 x 元，可列方程为（    ） A． B． C． D． 11．A、B两校决定联合购买一批篮球运动装备．市场调查发现，甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的篮球队服和篮球，已知每套队服比每个篮球多60元，两套队服与三个篮球的费用相等．经洽谈，甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个篮球；乙商场优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买的篮球打八折． (1)每套队服的价格为________元和每个篮球的价格为________元． (2)若联合购买120套队服和个篮球，请用含的式子分别表示到甲商场和乙商场购买装备所花的费用； (3)在（2）的条件下，若，假如你是本次购买任务的负责人，你认为到甲、乙哪家商场购买比较合算？ 12．“丰收1号”油菜籽的平均每公顷产量为，含油率为．“丰收2号”油菜籽比“丰收1号”的平均每公顷产量提高了，含油率提高了10个百分点．某村去年种植“丰收1号”油菜，今年改种“丰收2号”油菜，虽然种植面积比去年减少2公顷，但是所产油菜籽的总产油量比去年提高了． (1)这个村去年和今年种植油菜的面积各是多少公顷？ (2)去年和今年该村将所产的油全部制作成压榨菜籽油，然后以每千克15元的价格被批发商收购，批发商去年将菜籽油按收购价提高定价，且全部售出．由于销售火爆，批发商今年每千克再提高2元定价，也全部售出，且今年比去年多盈利63900元，求a的值． 题型四、比赛积分 13．足球比赛的记分规则为：胜一场得3分，负一场得0分，平一场得1分．一个队打了8场比赛，只输了1场，共得17分，那么这个足球队胜了（    ） A．3场 B．4场 C．5场 D．6场 14．某市中学生足球联赛共8轮（即每队需要比赛8场），胜一场得3分，平一场得1分，负一场不得分．某校中学生足球代表队的平场数是负场数的2倍，共得17分，则该队胜了___________场 15．为提升学生身体素质，落实教育部门有关“中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时”的文件精神，肥东某中学利用课后服务时间，开展班级篮球赛，共16个班级参加．比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分，某班在15场比赛中获得总积分为37分，求该班胜、负场数分别是多少场？ 16．在足球联赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某队9场比赛保持不败． (1)设这支球队胜了x场比赛． ① 根据信息填表（用含有x的式子表示）； 场次（场） 每场得分（分） 积分（分） 胜 3 平 1 ②若这支球队9场比赛得到的总积分是21分，请列一元一次方程，并求出这支球队的胜场数和平场数； (2)这支球队9场比赛的胜场总积分能等于它的平场总积分吗？（请列一元一次方程，说明你的结论．） 题型五、方案选择 17．某学校需要购买一批电脑，有两种方案．方案1：到商家直接购买，每台需要7000元；方案2：学校买零部件组装，每台需要6000元，另外需要支付安装费等其他费用合计3000元，学校添置____台电脑时，两种方案的费用相同． 18．某景区单独购票为每人元，团体购票为每人元．某旅游团按团体购票比单独购票总共节省费用元，则该旅游团人数为（   ） A． B． C． D． 19．七年级1班和七年级2班两个班的同学到公园开展社会大课堂活动，公园门票每人40元，超过30人可以购买团体票．公园购票处张贴着团体优惠购票的方案表格如下： 人数优惠方案 30人以上 方案一 八折优惠 方案二 4人免票，其他人九折优惠 (1)若1班有35名学生，他们该选择哪个方案更省钱，说明理由； (2)若2班（30人以上）无论选择哪种方案付的钱是一样多，求2班有多少人． 20．每年五月，世界级月季名园——大兴世界月季主题园迎来花海盛宴，景致怡人．某学校组织师生到该园区开展综合实践活动．经了解，园区门票原价为60元/人，网络平台购票按原价八折优惠．此次参与活动的学生人数比教师人数的10倍多4人，全体师生按原价购票比按网络平台购票多花费972元． (1)此次参加活动的教师与学生各有多少人？ (2)若网络平台另有双人票88元的优惠方式，相比全部按门票原价八折购票，最多能节省______元． 题型六、数字问题 21．将连续的正整数1，2，3，…排成如图1所示的数表，现在用如图2所示的方框在图1中框出5个数字，分别为、、、、，若，则的值为（   ） A．1001 B．1000 C．999 D．998 22．一个三位数，十位上的数是百位上的数的2倍，百位上的数的3倍减去个位上的数等于十位上的数的，且各数位上数的和为14，则这个三位数是________． 23．将连续的偶数2，4，6，8．．．．．．排列成如下的数表，用十字框框出5个数． 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 ．．．．．． (1)将十字框上下左右平移，但一定要框住数列中的5个数，若设中间的数为a，用含a的代数式表示十字框中五个数之和； (2)十字框中五个数之和能等于2025吗？请说明理由． 24．将连续的奇数1，3，5，7，……，排成如图的数表，用图中所示的十字框可任意框出5个数． (1)图中十字框中的五个数之和与中间数17有什么关系？说明理由； (2)落在十字框中间且又是第三列的奇数是17，29，41，53，……，则这一列数可以用代数式表示为（m为正整数），同样，落在十字框中间且又是第五列可表示为______； (3)已知被十字框框中的五个奇数之和为2025，则十字框中间的奇数是多少？这个奇数落在从左往右第几列？ 题型七、几何问题 25．一个长方形的宽为厘米，长比宽的倍少厘米，长方形的周长为厘米，则可列方程为______． 26．如图，将一个长为，宽为的长方形沿虚线剪开，拼接成为一个缺角（也是一个小正方形）的大正方形，则缺少的这个小正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 27．数学活动课上同学们用一种正方形纸板制作图1所示的长方体盒子，每个盒子需4个长方形侧面和2个正方形底面．纸板有图2所示的两种裁剪方法： A方法：每张纸板裁成6个侧面； B方法：每张纸板裁成9个底面． 同学们一共领取了9张纸板，设其中张用A方法裁剪，其余的用B方法． (1)一共可裁剪出侧面___________个，底面___________个（用含的代数式表示）； (2)若同学们裁出的侧面还剩6个，底面全部用完，求的值和制成的盒子个数． 28．如图1、某小区的平面图是一个占地长500米、宽400米的矩形，正中央的建筑区是与整个小区长、宽比例相同的矩形，如果要使四周的空地所占面积是小区面积的，南北空地等宽，东西空地等宽． (1)求该小区四周的空地的宽度； (2)如图2，该小区在东、西、南三块空地上作如图所示的矩形绿化带，绿化带与建筑区之间为小区道路、小区道路宽度一致．已知东、西两侧绿化带完全相同，其长均为200米，南侧绿化带的长为300米、绿化面积为5500平方米，请算出小区道路的宽度． 题型八、动点问题 29．如图，是数轴上的两点，点表示，点表示10．若动点，同时分别从两点出发，沿数轴正方向移动，它们的速度分别为5个单位/秒和3个单位/秒．设，的运动时间为，则当它们相遇时，___________秒． 30．如图，已知，两点在数轴上，点表示的数为，，点以每秒个单位长度的速度从点向右运动，点以每秒个单位长度的速度从点向左运动（点、点同时出发），经过几秒，点、点分别到原点的距离相等（   ） A．秒 B．秒或秒或秒 C．秒或秒 D．秒 31．如图，数轴上点表示的数为是数轴上点左侧的一点，且两点间的距离为10，动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点表示的数是___________； (2)动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点，同时出发． ①当为何值时，点表示的数相同？ ②当点与点之间的距离为6时，求点所表示的数． 32．数轴上点表示数，点在点左侧，两点相距个单位长度． (1)点表示的数是_____； (2)动点从点出发，沿数轴正方向以每秒个单位长度运动，经过几秒，点与点相距个单位长度？ (3)在（2）的基础上，出发同时，动点从点出发，沿数轴负方向以每秒个单位长度运动，经过几秒，点到点的距离是点到点距离的倍？ 题型九、和差倍分问题 33．临港新城作为一个“年轻的城，年轻人的城”，全力推进文旅项目升级，据官方统计2025年临港新城的游客人数达到2000万人，比2024年游客人数增加，那么2024年游客人数是________万人． 34．学校为六年级购买科技书和文艺书共1200本，其中文艺书比科技书的2倍少60本，买来科技书多少本？如果设买来科技书x本，那么下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 35．赛龙舟是中国端午节的传统习俗，也是国家级非物质文化遗产．某校手工社团准备制作一件木制龙舟模型（如图所示），该模型由“龙头”、“船身”、“龙尾”三部分整体排成一条直线组成．已知龙头的长度与龙尾的长度之比是，船身的长度比龙尾长度的4倍还多．为了还原真实感，模型还配备了一根主桅杆和若干船桨．已知单根船桨的长度比龙尾的2倍少．在拼装时同学们发现，这艘龙舟模型的总长（龙头、船身与龙尾的长度之和．恰好比单根船桨长度的4倍多．则该龙舟模型的总长度是多少？ 36．魔方和数独棋等益智玩具近年来深受青少年的喜爱，它们不仅能给人带来乐趣，还能有效锻炼人的逻辑思维和问题解决能力．为了满足市场需求，某商店决定用1480元购进魔方、数独棋这两种益智玩具进行销售，其中购进魔方的数量是数独棋数量的2倍，魔方、数独棋的进价和标价如下表： 魔方 数独棋 进价（元/个） 6 25 标价（元/个） 10 40 (1)该商店购进魔方、数独棋各多少个？ (2)如果魔方按标价的七折出售，数独棋按标价的八折出售，那么这两种益智玩具全部售完后，该商店共获利多少元？ 题型十、电费和水费问题 37．为提倡人们节约用水，自来水公司分段收费标准如下：每户每月用水5吨以下（包含5吨）缴水费12.5元；超过5吨的部分，每吨3.2元．小强家4月份的应缴水费34.9元，则4月份的用水量为_____________吨． 38．收费标准如下：每月用水不超过，按0.8元/收费，如果超过，超过部分按1.2元/收费．已知某用户某月的水费平均0.88元/，那么这个用户这个月应交水费为（     ）． A．6.6元 B．7.5元 C．7.8元 D．7.2元 39．为了节约用水，某市决定调整居民用水收费方法，规定：如果每户每月用水不超过20吨，每吨水收费3元，如果每户每月用水超过20吨，则超过部分每吨水收费4元． (1)如果小红家每月用水18吨，水费是多少？如果每月用水25吨，水费是多少？ (2)如果用字母表示小红家每月用水的吨数，那么小红家每月的水费该用怎样的代数式表示呢？ (3)如果某月小红家缴水费100元，那么该月小红家用了多少吨水？ 40．武汉市城镇居民生活用电电费以年为周期，实行梯度收费，具体标准如下表： 年用电量（单位：千瓦时） 单价（单位：元） 2160以内（含2160） 0.5 超过2160但不超过4800的部分（含4800） 0.6 4800以上（不含4800）的部分 (1)若年用电量为1000千瓦时，应交电费___________元；若年用电量为3060千瓦时，应交电费___________元． (2)若某用户2024年应交电费2280元，该用户2024年的用电量是多少千瓦时？ (3)若某用户2024年度用电量为4850千瓦时，应交电费2704元，则___________． 题型十一、行程问题 41．A，B两地相距，甲、乙两车分别从A，B两地同时向同一方向行驶，甲车在前，每小时行驶，乙车在后，要在行驶后追上甲车，乙车每小时应行驶________km． 42．《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲乃发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问多久后甲乙相逢？设乙出发日，甲乙相逢，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 43．有甲、乙、丙三辆小轿车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一辆大卡车，这三辆车分别用6分、8分、10分追上大卡车，现在已知甲轿车的速度为每小时120千米，乙轿车每小时100千米，那么丙轿车和大卡车每小时多少千米？ 44．如图是某公园部分景区的旅游路线示意图，其中B、C、D为风景点，A、E为路的交叉点，图中所有的连线路段为双向通行的游览路线，可沿任意方向行走．图中标注的数据为相应两点间的路程（单位：千米）．小丽从A点出发，沿着路线方向，以2千米/小时的速度游览，每个风景点的逗留时间均为小时，游览回到A处时，共用小时． (1)求路线（按顺时针方向）的路程； (2)若小丽出发小时后，小杰从A处出发，以3千米/小时的速度把照相机送给小丽（小杰在景点不逗留），那么小杰最快用多长时间能遇到小丽，他走的路线是怎样的？ 题型十二、比例分配 45．甲煤场有煤432吨，乙煤场有煤96吨，现从别的煤场调煤240吨，要使甲煤场的存煤数是乙煤场的存煤数的2倍，设调配到甲煤厂x吨，依题意，列出的方程是_______________ 46．如果甲、乙、丙三村合修一条公路，计划出工84人，按出工，求各村出工的人数． ①设甲、乙、丙三村分别出工人、人、人，依题意，得； ②设甲村出工人，依题意，得； ③设乙村出工人，依题意，得； ④设丙村出工人，依题意，得． 上面所列方程中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 47．2025年红五月校园文化艺术节现场书法比赛即将开启，学校决定将综合实践活动教室布置为比赛场地，如图，这是该教室第一排5张课桌的布置示意图．布置说明：桌子与桌子、桌子与墙之间的距离均相等，课桌的桌宽均相等，且间距：桌宽，现测得该教室内南墙到北墙之间的距离是6米，请计算出该教室布置的间距与桌宽． 48．春节，即农历新年，是一年之岁首、传统意义上的年节．春节历史悠久，由上古时代岁首祈年祭祀演变而来．为了喜迎新春，某工厂计划生产A、B两种喜迎新春产品共140件，其中A种产品的件数比B种产品件数的3倍少20件． (1)求工厂计划生产A、B两种新春产品各多少件？ (2)现在工厂需要购买甲、乙两种材料生产新春产品．甲种材料的单价为每千克5元，乙种材料的单价为每千克3元，采购员小李分两次购买完所需的材料，第一次购买两种材料共200千克，受市场价格影响，第二次购买时甲材料的单价为每千克4元，乙材料的单价不变． ①设采购员第一次购买甲种材料千克，完成下列表格： 第一次购买数量 （千克） 第二次购买数量 （千克） 总共需要购买数量 （千克） 甲材料 380 乙材料 180 ②若第二次购买材料所支付的费用比第一次购买材料的费用多500元，求采购员第一次购买甲种材料多少千克？ 题型十三、日历问题 49．如图是2026年7月的日历表，任意选取“十”字形状中的五个数（如图阴影部分），若移动“十”字形状后所得五个数之和为，那么该“十”字形状中正中间的数为_____． 50．如图是年月份的日历表，用形如的框架框住日历表中的五个数（例如图中框住的五个数分别为、、、、），对于框架框住的五个数字之和，计算结果不可能是（     ） A． B． C． D． 51．课本再现，如图，是某月的月历，请仔细观察并思考下列问题： (1)图1中，用一个的正方形框围住相邻三列三行中的9个数字，设正方形框内最中心的数字为，则它左边的数是，它上面表示的数是___________，它右下角表示的数是___________．（都用含的式子表示） (2)图1中，用正方形框围住的9个数字的和是最中心数字的___________倍． (3)在图2中，若“+”字框围住5个数字的和是65，那么最中心的数字是多少？ (4)在图2中，“+”字框围住5个数字的和能否为120，如果能，请求出这5个数，若不能，请说明理由． 52．如图1是某年7月的日历，用一平行四边形框在表中任意框住4个数． (1)若框住4个数的和为74，求出框住4个数中最大数； (2)能否用平行四边形框在该日历中框出这样的4个数，它们的和等于94？若能，则求框出的最小数，若不能，说明理由． (3)如图2，用平行四边形框在该日历中框出这样的4个数为a、b、c、d，平行四边形在不同的位置时，代数式的值是否发生变化，若变化说明变化规律，若不变化求出该值． 题型十四、古代问题 53．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作之一，奠定了中国古代数学的部分基础，其中记载了一道题，大意为：“今有墙高尺，瓜生在墙的上方，瓜蔓每天向下长寸；葫芦生在墙的下方，葫芦蔓每天向上长尺．问经过多少日两蔓相逢？”其中尺寸．若设经过日两蔓相逢，根据题意，的值为___________． 54．我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”大意为：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺？设木头长尺，则可列一元一次方程为（     ） A． B． C． D． 55．小颖同学在学习了方程的内容后，用学习方程时积累的经验解决我国古代数学著作《九章算术》中的“燕雀问题”：“五只雀六只燕，共重十六两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问雀燕各几两？”尝试解决： (1)如果设每只雀重x两，用表格梳理出数量关系如下： 每只质量/两 数量/只 总质量/两 雀 5 燕 6 相互关系 互换1只一样重 共16 (2)列方程解决此题． 56．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？ 译文：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，问木长多少尺？ 请解答上述问题． 题型十五、其他问题 57．在福州，肉燕（俗称太平燕）不仅是一道名小吃，更是喜庆习俗中的重要菜品．某传统肉燕店制作肉燕，熟练工每小时比学徒多包300粒，学徒3小时与熟练工2小时制作的肉燕粒数相同．设学徒每小时包x粒肉燕，则下列方程中符合题意的是（   ） A． B． C． D． 58．学校门口的蜜雪冰城推出两款500毫升的冰鲜柠檬水：A款为“3分糖”（糖浓度为），B款为“7分糖”（糖浓度为）．小明想用这两款柠檬水混合调配成“4分糖”（糖浓度为）的柠檬水．若他购买了3杯A款，则还需要购买______杯B款． 59．团扇，是我国传统工艺品与艺术品．如图①是一把六瓣花瓣型团扇的骨架示意图，主要包括扇面轮廓骨架和扇柄，如图②，其中扇面轮廓骨架由两条等长的扇面轮廓竹条，分别三等分后烤弯粘接在一起，扇柄由一根扇柄竹条制成，段为扇面部分，段为手持部分，已知扇柄竹条的长度比单根扇面轮廓竹条长，扇柄扇面部分的长度是扇柄竹条的，扇柄手持部分的长度比一个花瓣轮廓的长度长，求这把团扇的单根扇面轮廓竹条的长度． 60．花生油是从花生中提取的油脂．普通花生平均每公顷的产量为；出油率为，高油花生平均每公顷的产量比普通花生平均每公顷的产量高，出油率为．某农场去年种植了普通花生，今年改种高油花生，虽然种植面积比去年减少了2公顷，但是产油量比去年提高了．求今年种植高油花生的面积（出油率）． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $