专题10 代数式求值的几种综合应用计算（重难点培优讲义）2026-2027学年人教版七年级数学上册

专题10 代数式求值的几种综合应用计算 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型01 已知字母的值 ，求代数式的值 题型02 已知式子的值，求代数式的值 题型03 程序流程图与代数式求值 题型04 代数式的新定义计算 题型05 代数求值的阅读理解问题 题型06 代数式求值含参计算 题型07 代数式求值的规律问题 题型08 代数式求值的实际综合应用 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点一　代数式的值 1. 代数式的值：一般地，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值。 2. 求代数式的值的步骤：①代入数值；②计算结果。 💡 拓展延伸 1、代入数值时要注意符号问题，如果字母给出的取值是负数，代入的时候必须给负数加上括号；如果字母给出的取值是分数，计算乘方的时候也要给分数加上括号，避免运算符号错误。 2、代数式中原省略的乘号，代入数值后要重新添上，比如2x代入x=3后，要明确为2×3，不能直接写作23，避免误读。 3、计算过程中要严格遵循运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内部的运算，不要跳步导致计算错误。 【针对训练】 1．已知，，且，则（） A． B．6 C．2或 D．或 【答案】D 【分析】先根据绝对值的定义求出、的所有可能值，结合的条件筛选符合的取值，再计算． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 当时，且，均不满足条件， ∴舍去，即， 当时，； 当时，； ∴的值为或． 2．若，，代数式的值是________． 【答案】 【详解】解：将，代入得，． 3．若 ， ，且．则的值为____________． 【答案】 【分析】先根据平方根的定义求出的值，再根据绝对值的定义求出的值，结合，得到与异号，分情况计算，即可得到结果． 【详解】解：由 ，可得； 由 ，可得． ， 与 异号，故分两种情况讨论： 当 时， ，； 当 时， ，， 综上，的值为． 4．已知，，且，，求的值． 【答案】 【分析】先根据绝对值的意义，结合已知求得x、y值，再代值求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． 知识点二：数字与图形探究规律 1．探究规律 （1）探究图形的规律：主要探究相邻两个图形的变化规律； （2）探究数字的规律：主要探究相邻两个数的变化规律，可以通过作差、作商、平方或立方来探索． 2．常见的规律模型 规律模型 运用策略 示例 循环模型 确定循环节和对应的结果 的末尾数字是___________； 等差模型 确定相邻两数的差 2，6，10，14，18，，第100个数是___________； 等比模型 确定相邻两数的比值 1，3，9，27，，第100个数是___________； 差等变模型 计算相邻两数的差，再确定相邻的差的差 1，3，7，13，21，，第10个数是___________； 正负交替模型 确定是“奇正偶负”还是“奇负偶正”，再用的奇偶次幂表示 1，-2，3，-4，5，-6，第100个数是___________； 平方数、立方数相关模型 确定与相近平方数和立方数的差值 2，5，10，17，26，第10个数是___________； 【针对训练】 1．按一定规律排列的一列数依次为：、、、、……，按此规律，这列数中的第7个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将数列中各分数的分子统一为4，观察分母的变化规律． 【详解】解：把数列中各分数的分子统一为4，得，，，，．观察可得分母依次增加3． ∴第个数的分母为． 即第个数为． 当时，． 2．下图给出的各组数字中，空白处应该填写的数字依次是（     ） A．7，8，12，18 B．7，13，12，17 C．13，8，12，15 D．7，13，14，17 【答案】B 【分析】由第一个图得，上面一行数字是下面所对应数字的3倍；再由第二个图得，上一行数字分别比下一行数字大7；由第三个图得，上面一行数字是下面所对应数字的2倍；由第四个图得，下面一行数字比上面所对应数字分别大3、6、9；最后选出答案． 【详解】解：由第一个图得，上面一行数字是下面所对应数字的3倍， ∴第一个图空白处的数字为； 由第二个图得，上一行数字分别比下一行数字大7， ∴第二个图空白处的数字为； 由第三个图得，上面一行数字是下面所对应数字的2倍， ∴第三个图空白处的数字为； 由第四个图得，下面一行数字比上面所对应数字分别大3、6、9， ∴第四个图空白处的数字为； ∴空白处应该填写的数字依次是7，13，12，17． 3．已知，，，，那么________________________． 【答案】 【分析】观察式子可以得出规律：从开始连续个奇数相加的和等于，先确定算式里一共有多少个奇数，再套用规律计算． 【详解】解：观察已知式子： （个奇数）， （个奇数）， （个奇数）， （个奇数）， 总结规律：从开始，连续个奇数相加，结果等于． 最后一个奇数是，奇数的个数：， ． 4．把整数代入得到，称为第一次操作，再将作为的值代入得到，称为第二次操作，以此类推，若，经过第次操作后得到的结果是_________． 【答案】 【分析】先观察数字，再找出数字变化规律，最后按照规律写出数字． 【详解】解：根据题意，将代入中， ， ， ， ， ， ， 观察数据可知，从第二次开始和不断循环出现， ∵， ∴经过第次操作后得到的结果是． 知识点三：程序流程图与代数式求值 1. 翻译框图：把流程图的运算规则转化为固定代数式，明确输入、输出关系； 2. 分支判断：严格依据判断条件（大小、正负）选择对应运算路径； 3. 循环运算：单次计算结果不满足终止条件时，再次代入运算，直至符合终止要求； 4. 分步记录：每一步结果单独书写，避免混乱，最后输出最终答案。 【针对训练】 1．观察如图所示的程序，若输入x为2，则输出的结果为（     ） A．0 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】按照程序图代入左边代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 2．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为，我们发现第次输出结果为，第次输出结果为，…请你探索第次输出的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出前十次的输出结果，可得从第七次开始，依次以4，2，1循环出现，由此求解即可． 【详解】解：由题意可得，当开始输入的值为22，第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， 第六次输出的结果为， 第七次输出的结果为， 第八次输出的结果为， 第九次输出的结果为， 第十次输出的结果为， ， 由上可得，从第七次开始，依次以4，2，1循环出现， ， ， ， 第2020次输出的结果为4． 3．如图是一个运算程序示意图，若开始输入x的值是，则输出的y值为______． 【答案】 【详解】解：开始输入x的值是， 由，得． 4．按如图所示程序运算，当输入值时，输出值__． 【答案】8 【分析】本题考查程序流程图与代数式求值，将代入，根据流程图，进行计算，直至结果为偶数，输出即可． 【详解】解：当时，为奇数，继续输入， 当时，为偶数，输出； 故答案为：8 典例精析 题型1 已知字母的值 ，求代数式的值 【例1】当时，代数式的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了代数式求值，将代入代数式进行计算即可求解． 【详解】解：当时，， 故选：D． 【变式训练】先化简，再求值： ，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算的运算顺序和运算法则，完全平方公式和平方差公式． 先根据整式混合运算的运算顺序和运算法则进行化简，再将x和y的值代入进行计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 题型2 已知式子的值，求代数式的值 【例2】换元是一种重要的数学方法，通过引入新的字母（称为元）替换原式中的部分表达式，简化问题结构．若，则代数式可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题考查了整体代入法，通过换元法将原代数式中的替换为，并将剩余部分用表示． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故选：B． 【变式训练】我国春秋时期的《大戴礼》，记载了世界上最早的“幻方”如图（1），该幻方中每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图（2）所示的“幻方”，其中正方形顶点上有两个数和2，则与的乘积为（   ） A．4 B．16 C． D． 【答案】B 【分析】利用幻方“每个三角形的三个顶点数字之和与中间正方形四个顶点数字之和相等”这一条件，列出等式，通过等式变形求出和的值，进而计算乘积．本题主要考查等式性质与代数式求值，利用幻方条件列等式，通过移项变形求、是解题关键． 【详解】解：由含、、相关的三角形与正方形得， , ； 由含、、相关的三角形与正方形得， ， ； ∴. 故选： ． 题型3 程序流程图与代数式求值 【例3】学习情境·程序框图 如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是则第2024次输出的结果是（   ） A． B．3 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，根据题意和运算程序可以计算出前几次的输出结果，从而可以发现结果的变化特点，从而可以得到第2024次输出的结果，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得， 第一次输出的结果为1， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， 第六次输出的结果为， 第七次输出的结果为， 第八次输出的结果为， 第九次输出的结果为， …， 由上可得，从第二次输出结果开始，以依次循环出现， ∵， ∴第2024次输出的结果是， 故选：A． 【变式训练】如图是一个计算程序，若输入的值为，则输出的结果应为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了代数式求值，根据图表列出代数式，再按照有理数混合运算的顺序，先乘方后乘除最后算加减，有括号的先算括号里面的． 【详解】解：依题意，当时，所求代数式为 ． 故答案为：7． 题型4 代数式的新定义计算 【例4】用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数x和y，（m，n为常数）．例如：．若，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】先根据新定义得出，计算出的值，再按新定义计算，将的值代入计算即可． 【详解】解：由题意知，， 解得， 因此． 故选C． 【点睛】本题考查新定义运算、代数式求值，掌握整体代入法是解题的关键． 【变式训练】定义新运算“@”与“”：，．则的值是（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，根据，．可以求得所求式子的值． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故选：C． 题型5 代数求值的阅读理解问题 【例5】阅读理解：已知，求的值． 解：令代入上式得：即 根据上面解法，回答下列问题 (1)填空：________，________ (2)求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查求代数式的值，合理的取值是解题关键． （1）令，即可求解；令，即可求解； （2）令可求，结合（1）中结论可得，进而即可求解． 【详解】（1）解：令代入上式得： ， 即； 令代入上式得： ， 即 故答案为：； （2）解：令代入上式得： ， 即； ∵， ∴ ∴ 【变式训练】阅读理解 小明在做作业时，遇到如下一道题目： 若代数式的值为7，则代数式的值为 ． 他的做法如下：由题意，得，则，所以．故答案为5． 【方法运用】 (1)若代数式的值为15，求代数式的值； (2)当时，代数式的值为11，当时，求代数式的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了代数式求值，理解题中给出的方法，仿照其方法求值是解题的关键． （1）由题意得，则有，然后把变形为，再整体代入求值即可； （2）把代入代数式，根据其值为11得出，再把代入代数式中，得到，变形为，最后把的值代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，则有， ∴ ． ∴代数式的值为． （2）解：当时，代数式的值为11， ∴， 则有， 当时， ． 题型6 代数式求值含参计算 【例6】当时，代数式的值为2021，则当时，的值为（    ） A．2021 B． C． D．2019 【答案】C 【分析】本题考查代数式求值，把代入，得到，把，代入中，进行计算求值即可． 【详解】解：把代入，得：， ∴， 把，代入，得：； 故选C． 2．（24-25七年级上·全国·期末）当时，代数式的值为2012．则当时，代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式的求值，添括号的应用．整体代入是解决本题的关键． 先把代入代数式中，求出的值，再把代入代数式，整体代入即可得出答案． 【详解】解：时，代数式为，即， 当时，代数式为． 故答案为：． 题型7 代数式求值的规律问题 【例7】如图，公元1261年，我国南宋数学家杨辉用下图解释二项和的乘方规律，比欧洲的发现要早三百多年，我们把这个三角形称为“杨辉三角”，观察图形可知，，，，若，则的值为（   ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了定义新运算，数字规律，根据前几个展开式中第几项的系数，总结出规律，确定出的值即可求解，理解题目中数字规律是解题的关键． 【详解】根据规律可得，， ∴， 故选：． 【变式训练】如图，用棋子摆成英文字母“H”字样，按这样的规律摆下去，摆成第5个“H”字需要 个棋子；摆成第n个“H”字需要 个棋子（用含n的式子表示） 【答案】 23 【分析】本题考查了图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先根据前3个“H”字所用棋子的个数可得摆成后一个“H”字比前一个“H”字多用4个棋子，由此归纳类推出一般规律即可得． 【详解】解：解：由图可知，摆成第1个“H”字需要的棋子的个数为（个）， 摆成第2个“H”字需要的棋子的个数为（个）， 摆成第3个“H”字需要的棋子的个数为（个）， …… 归纳类推得：摆成第n个“H”字需要的棋子的个数为个， 当时， 故答案为：23，． 题型8 代数式求值的实际综合应用 【例8】小机灵编制了一个计算小程序（如下表），输入一个数后，小程序通过计算会输出另一个数．请根据发现的规律解决问题． ①输入3，输出14． ②输入7，输出30． ③输入15，输出62． （1）输入 ，会输出182． （2）如果输入a，会输出 【答案】 45 【分析】本题考查数字规律型，根据表格中的数据总结归纳出输入n，输出，进而求解即可． 【详解】解：由表可得，①， ②， ③，⋯， ∴输入n，输出， （1）， ∴， 故答案为：45； （2）输入a，会输出， 故答案为：． 【变式训练】如图，阴影部分是一个商标图案，其中为半圆的圆心，是长方形的对角线，，． (1)用关于，的式子表示商标图案的面积；(结果保留) (2)当，时，求的值．(结果保留) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列代数式解决几何问题．正确地识图，将阴影部分的面积转化为规则图形的面积是解题的关键． （1）利用商标图案的面积S等于半圆的面积加上直角三角形的面积，进行求解即可； （2）将的值代入（1）中的代数式，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形， ∴，， ∴； （2）解：，时： ． 1．若，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将代入中，求值即可． 【详解】解：将代入， 得． 故选：D． 【点睛】本题考查代数式求值．熟练掌握有理数的运算法则是解答本题的关键． 2．当，时，代数式的值是（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】把，代入进行计算即可． 【详解】解：当，时， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查的是求解代数式的值，熟练的代入再进行计算是解本题的关键． 3．若，，则等于（　　） A．8 B． C．8或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查绝对值，代数式求值，掌握根据一个数的绝对值，求这个数是解题的关键． 根据绝对值意义求出a的值，再代入计算即可． 【详解】解：， ． 又， 则或． 故选：C． 4．已知，则代数式的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查已知式子的值求代数式的值，将原式变形为，再将整体代入即可求解． 【详解】解：， 故选D． 5．在地球某地，温度与海拔的关系可以近似的用来表示，根据这个关系式，当海拔时的温度为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查代数式求值，将的值代入关系式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， 故选B． 6．如图是一个运算程序的示意图，如果第一次输入x的值为1024；那么第2024次输出的结果为（    ） A．64 B．16 C．4 D．1 【答案】C 【分析】本题考查程序流程图与代数式计算，计算出前8次的输出结果，找出规律，利用规律求解． 【详解】解：由题意知，第1次输入x的值为1024时， 第1次输出的结果为：， 第2次输出的结果为：， 第3次输出的结果为：， 第4次输出的结果为：， 第5次输出的结果为：， 第6次输出的结果为：， 第7次输出的结果为：， 第8次输出的结果为：， …… 以此类推可知，从第5次输出结果开始，奇数次输出结果为1，偶数次输出结果为4， 因此第2024次输出的结果为4， 故选C． 7．若，则___________． 【答案】6 【分析】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零，掌握常见的非负数是解题的关键； 根据非负数的性质可求出m、n的值，再将它们代入中求解即可． 【详解】，，， ，， 解得，， ． 故答案为：6． 8．已知：，则__________． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值．由已知条件可得，将原式变形后代入数值计算即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 9．若，则________． 【答案】4 【分析】本题考查代数式求值，整体代入是解题关键．把所求式子提取2，再整体代入计算即可得答案． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为： 10．已知是最小正整数，，是有理数，且有，解答下列问题： (1)求，，的值； (2)求的值． 【答案】(1)，， (2) 【知识点】绝对值非负性、有理数的加减混合运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】（1）由最小的正整数为即可得出的值，根据非负数的性质计算即可得出和的值； （2）将（1）中，，的值代入式子计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，， ∵是最小正整数， ∴； （2）解：由（1）可得，，， ∴． 11．已知，则的值为（     ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】令，代入等式后等式右边恰好等于所求代数式，计算左边即可得到结果． 【详解】解：令，代入等式， ∴左边， 右边， ∴ ， 故选：B． 12．当时，代数式的值为2026，当时，这个代数式的值为（     ） A． B． C． D．2019 【答案】B 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】先将代入代数式求出的值，再将代入代数式，利用整体代入法计算求值． 【详解】解：当时，代数式的值为， ， 当时，， 把代入，则， ∴当时，这个代数式的值为． 13．如图，这是一个对于正整数x的循环迭代的计算程序．根据该程序指令，若第一次输入x的值是5时，那么第一次输出的值是16；把第一次输出的值再次输入，那么第二次输出的值是4；重复这个过程，则第2026次输出的值是（     ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【知识点】数字类规律探索、程序流程图与代数式求值 【分析】根据题意找出规律，进而解题． 【详解】解：第三次输入4，输出的数为； 第四次输入1，输出的数为； 第五次输入4，输出的数为； ...... ∴输出的数分别为， 即从第二次输出开始，偶数次输出的数为4， ∴第2026次输出的值是． 14．符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1），，，，… （2），… 利用以上规律计算结果是（     ） A． B．0 C．1 D．不能确定 【答案】A 【知识点】有理数的加减混合运算、数字类规律探索 【分析】通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．由（1）得到，由（2）得到，可得，再进一步计算即可． 【详解】解：∵，，，，…； ，，，，… ∴，， ∴， ∴ 15．如图，已知等边三角形的边长为，按图中所示的规律摆放，用个这样的三角形拼接而成的四边形的周长是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】图形类规律探索 【分析】通过观察所给图形，找出用不同数量等边三角形拼接而成的四边形周长规律，进而根据规律求解． 【详解】解：根据题图可知， 用个这样的三角形拼接而成的四边形的周长为：， 用个这样的三角形拼接而成的四边形的周长为：， 用个这样的三角形拼接而成的四边形的周长为：， 则用个这样的三角形拼接而成的四边形的周长为， 当时，， 用个这样的三角形拼接而成的四边形的周长为． 16．某厂的某生产合作小组每天平均组装个某型号电子产品（每周工作五天），而实际产量与计划产量相比有出入，下表记录了某周的五个工作日每天实际产量情况（超过计划产量记为正，少于计划产量记为负）． 日期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 实际生产量 (1)用含的代数式表示合作小组本周五天生产电子产品的总量为________个； (2)该厂实行每日计件工资制，每组装生产一个电子产品可得元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖元，少生产一个扣元，当时，请求出该小组这一周的工资总额； (3)若将上面第（2）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，当时，在此方式下这一周此小组的工资总额与按日计件的工资哪个多？请说明理由． 【答案】(1) (2)元 (3)， ， ∵， ∴实行每周计件工资制此小组的工资总额更多 【知识点】列代数式、有理数四则混合运算的实际应用、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】（1）根据正负数的意义分别表示出5天的生产电子产品的数量，再求和即可； （2）天的生产电子产品的总数元超出部分的奖励罚款，可得工人这一周的工资总额； （3）计算出一周的工资，然后与（2）中数据进行比较即可． 【详解】（1）解：， ∴本周天生产电子产品的总量为个； （2）解：当时，， ， ∴该厂工人这一周的工资总额是9250元； （3）略 17．已知x，y互为相反数，m，n互为负倒数，a的倒数是它本身，求的值． 【答案】当时，原式的值为；当时，原式的值为 【知识点】相反数的定义、倒数、已知式子的值，求代数式的值、有理数的乘方运算 【分析】根据相反数、负倒数、倒数的定义，求出相关代数式的值与a的取值，再分情况代入计算． 【详解】解： x，y互为相反数， ，， m，n互为负倒数， ， 原式， a的倒数是它本身， 或， 当时，原式， 当时，原式． 18．某公园的门票价格如下：成人20元，学生10元，满40人可以购买团体票（8折），设一个旅游团共有x人，其中学生有y人． (1)用含x，y的整式表示该旅游团购买团体票应付的门票费． (2)如果该旅游团有46个成人，12个学生，那么他们购买团体票需付的门票费是多少？ 【答案】(1)元 (2)他们购买团体票需付的门票费是832元 【分析】（1）根据（学生总门票费+成人总门票费）得出代数式； （2）代入相关数据求解，即可得出答案． 【详解】（1）解：成人门票费为元，学生门票费为元， 所以旅游团应付的总费用为元； （2）解：旅游团有46个成人，12个学生， 所以（元）． 答：他们购买团体票需付的门票费是832元． 19．我们把按一定规律排列的一列数，称为数列，若对于一个数列中依次排列的相邻的三个数，，，总满足，则称这个数列为理想数列． (1)若数列，，，，，，是理想数列，则 ， ； (2)若数列，，，，是理想数列，求代数式的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据理想数列的定义计算出、的值即可； （2）根据理想数列的定义可知，再利用整体代入法求出代数式的值． 【详解】（1）解：由题意可知，， 又， 相邻的三个数，，符合规律， ； （2）解：数列，，，，是理想数列， ， 即， ． 20．数学兴趣小组开展探究活动，研究了“一组有规律的数据和相关问题”的问题． (1)【规律特殊化】给出一列数据：依次把这列数据记为，则，则___________，___________（填“>”“<”或“=”）； (2)【规律一般化】这列数据的第（均大于1）个数据分别为，且，探究与之间的关系． 思路探究：， 同理___________，___________， ___________，___________． ___________ (3)【思想一般化】已知个正实数满足，其中．则___________（填“>”“<”或“=”）． 【答案】(1)23；= (2) (3) 【分析】（1）由提供的数据可知后一个数比前一个数大3，由此得第n个数为，代入相关数据可得结论； （2）根据（1）得出的规律进行解答即可； （3）根据提供的规律进行解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴可得后一个数比前一个数大3， ∴， ∴； ∴，， ∴； （2）解：， 同理，， ，． （3）解： ， ． 是不为1的正数，， ． ． 21．用长度相同的小棒按图所示的方式摆正方形，从上往下数，第2层起，每层比上一层多一个正方形，第1个图形需要4根小棒，第2个图形需要10根小棒，第3个图形需要18根小棒． 【特例感知】（1）第4个图形比第3个图形多_____根小棒； 【探索规律】（2）第个图形需要的小棒根数比第个图形多100根，求的值； 【拓展运用】（3）若第个图形竖放小棒根数是其序号的倍，请用含的代数式表示． 【答案】（1）10；（2）49；（3） 【分析】本题考查图形类规律探索，找出图形变化规律是解题的关键． （1）根据前3组数据找出变化规律，利用规律求解； （2）第个图形需要的小棒根数比第个图形多根小棒，由此列方程求解； （3）第n个图形有n层，每层竖放小棒数为 【详解】解：（1）由题意知，第2个图形比第1个图形多6根小棒，， 第3个图形比第2个图形多8根小棒，， 以此类推，第4个图形比第3个图形多：根小棒， 故答案为：10； （2）由（1）知第个图形需要的小棒根数比第个图形多根小棒， 令， 解得； （3）由题意得，第n个图形竖放小棒根数为， 解得． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 代数式求值的几种综合应用计算 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型01 已知字母的值 ，求代数式的值 题型02 已知式子的值，求代数式的值 题型03 程序流程图与代数式求值 题型04 代数式的新定义计算 题型05 代数求值的阅读理解问题 题型06 代数式求值含参计算 题型07 代数式求值的规律问题 题型08 代数式求值的实际综合应用 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点一　代数式的值 1. 代数式的值：一般地，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值。 2. 求代数式的值的步骤：①代入数值；②计算结果。 💡 拓展延伸 1、代入数值时要注意符号问题，如果字母给出的取值是负数，代入的时候必须给负数加上括号；如果字母给出的取值是分数，计算乘方的时候也要给分数加上括号，避免运算符号错误。 2、代数式中原省略的乘号，代入数值后要重新添上，比如2x代入x=3后，要明确为2×3，不能直接写作23，避免误读。 3、计算过程中要严格遵循运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内部的运算，不要跳步导致计算错误。 【针对训练】 1．已知，，且，则（） A． B．6 C．2或 D．或 2．若，，代数式的值是________． 3．若 ， ，且．则的值为____________． 4．已知，，且，，求的值． 知识点二：数字与图形探究规律 1．探究规律 （1）探究图形的规律：主要探究相邻两个图形的变化规律； （2）探究数字的规律：主要探究相邻两个数的变化规律，可以通过作差、作商、平方或立方来探索． 2．常见的规律模型 规律模型 运用策略 示例 循环模型 确定循环节和对应的结果 的末尾数字是___________； 等差模型 确定相邻两数的差 2，6，10，14，18，，第100个数是___________； 等比模型 确定相邻两数的比值 1，3，9，27，，第100个数是___________； 差等变模型 计算相邻两数的差，再确定相邻的差的差 1，3，7，13，21，，第10个数是___________； 正负交替模型 确定是“奇正偶负”还是“奇负偶正”，再用的奇偶次幂表示 1，-2，3，-4，5，-6，第100个数是___________； 平方数、立方数相关模型 确定与相近平方数和立方数的差值 2，5，10，17，26，第10个数是___________； 【针对训练】 1．按一定规律排列的一列数依次为：、、、、……，按此规律，这列数中的第7个数为（    ） A． B． C． D． 2．下图给出的各组数字中，空白处应该填写的数字依次是（     ） A．7，8，12，18 B．7，13，12，17 C．13，8，12，15 D．7，13，14，17 3．已知，，，，那么________________________． 4．把整数代入得到，称为第一次操作，再将作为的值代入得到，称为第二次操作，以此类推，若，经过第次操作后得到的结果是_________． 知识点三：程序流程图与代数式求值 1. 翻译框图：把流程图的运算规则转化为固定代数式，明确输入、输出关系； 2. 分支判断：严格依据判断条件（大小、正负）选择对应运算路径； 3. 循环运算：单次计算结果不满足终止条件时，再次代入运算，直至符合终止要求； 4. 分步记录：每一步结果单独书写，避免混乱，最后输出最终答案。 【针对训练】 1．观察如图所示的程序，若输入x为2，则输出的结果为（     ） A．0 B．3 C．4 D．5 2．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为，我们发现第次输出结果为，第次输出结果为，…请你探索第次输出的结果为（     ） A． B． C． D． 3．如图是一个运算程序示意图，若开始输入x的值是，则输出的y值为______． 4．按如图所示程序运算，当输入值时，输出值__． 典例精析 题型1 已知字母的值 ，求代数式的值 【例1】当时，代数式的值为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】先化简，再求值： ，其中，． 题型2 已知式子的值，求代数式的值 【例2】换元是一种重要的数学方法，通过引入新的字母（称为元）替换原式中的部分表达式，简化问题结构．若，则代数式可以表示为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】我国春秋时期的《大戴礼》，记载了世界上最早的“幻方”如图（1），该幻方中每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图（2）所示的“幻方”，其中正方形顶点上有两个数和2，则与的乘积为（   ） A．4 B．16 C． D． 题型3 程序流程图与代数式求值 【例3】学习情境·程序框图 如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是则第2024次输出的结果是（   ） A． B．3 C．6 D．8 【变式训练】如图是一个计算程序，若输入的值为，则输出的结果应为 ． 题型4 代数式的新定义计算 【例4】用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数x和y，（m，n为常数）．例如：．若，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式训练】定义新运算“@”与“”：，．则的值是（   ） A． B． C． D．1 题型5 代数求值的阅读理解问题 【例5】阅读理解：已知，求的值． 解：令代入上式得：即 根据上面解法，回答下列问题 (1)填空：________，________ (2)求的值． 【变式训练】阅读理解 小明在做作业时，遇到如下一道题目： 若代数式的值为7，则代数式的值为 ． 他的做法如下：由题意，得，则，所以．故答案为5． 【方法运用】 (1)若代数式的值为15，求代数式的值； (2)当时，代数式的值为11，当时，求代数式的值； 题型6 代数式求值含参计算 【例6】当时，代数式的值为2021，则当时，的值为（    ） A．2021 B． C． D．2019 【变式训练】当时，代数式的值为2012．则当时，代数式的值为 ． 题型7 代数式求值的规律问题 【例7】如图，公元1261年，我国南宋数学家杨辉用下图解释二项和的乘方规律，比欧洲的发现要早三百多年，我们把这个三角形称为“杨辉三角”，观察图形可知，，，，若，则的值为（   ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【变式训练】如图，用棋子摆成英文字母“H”字样，按这样的规律摆下去，摆成第5个“H”字需要 个棋子；摆成第n个“H”字需要 个棋子（用含n的式子表示） 题型8 代数式求值的实际综合应用 【例8】小机灵编制了一个计算小程序（如下表），输入一个数后，小程序通过计算会输出另一个数．请根据发现的规律解决问题． ①输入3，输出14． ②输入7，输出30． ③输入15，输出62． （1）输入 ，会输出182． （2）如果输入a，会输出 【变式训练】如图，阴影部分是一个商标图案，其中为半圆的圆心，是长方形的对角线，，． (1)用关于，的式子表示商标图案的面积；(结果保留) (2)当，时，求的值．(结果保留) 1．若，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 2．当，时，代数式的值是（    ） A． B．2 C． D．4 3．若，，则等于（　　） A．8 B． C．8或 D．或 4．已知，则代数式的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．在地球某地，温度与海拔的关系可以近似的用来表示，根据这个关系式，当海拔时的温度为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．如图是一个运算程序的示意图，如果第一次输入x的值为1024；那么第2024次输出的结果为（    ） A．64 B．16 C．4 D．1 7．若，则___________． 8．已知：，则__________． 9．若，则________． 10．已知是最小正整数，，是有理数，且有，解答下列问题： (1)求，，的值； (2)求的值． 11．已知，则的值为（     ） A．1 B． C． D． 12．当时，代数式的值为2026，当时，这个代数式的值为（     ） A． B． C． D．2019 13．如图，这是一个对于正整数x的循环迭代的计算程序．根据该程序指令，若第一次输入x的值是5时，那么第一次输出的值是16；把第一次输出的值再次输入，那么第二次输出的值是4；重复这个过程，则第2026次输出的值是（     ） A．1 B．2 C．4 D．8 14．符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1），，，，… （2），… 利用以上规律计算结果是（     ） A． B．0 C．1 D．不能确定 15．如图，已知等边三角形的边长为，按图中所示的规律摆放，用个这样的三角形拼接而成的四边形的周长是（     ） A． B． C． D． 16．某厂的某生产合作小组每天平均组装个某型号电子产品（每周工作五天），而实际产量与计划产量相比有出入，下表记录了某周的五个工作日每天实际产量情况（超过计划产量记为正，少于计划产量记为负）． 日期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 实际生产量 (1)用含的代数式表示合作小组本周五天生产电子产品的总量为________个； (2)该厂实行每日计件工资制，每组装生产一个电子产品可得元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖元，少生产一个扣元，当时，请求出该小组这一周的工资总额； (3)若将上面第（2）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，当时，在此方式下这一周此小组的工资总额与按日计件的工资哪个多？请说明理由． 17．已知x，y互为相反数，m，n互为负倒数，a的倒数是它本身，求的值． 18．某公园的门票价格如下：成人20元，学生10元，满40人可以购买团体票（8折），设一个旅游团共有x人，其中学生有y人． (1)用含x，y的整式表示该旅游团购买团体票应付的门票费． (2)如果该旅游团有46个成人，12个学生，那么他们购买团体票需付的门票费是多少？ 19．我们把按一定规律排列的一列数，称为数列，若对于一个数列中依次排列的相邻的三个数，，，总满足，则称这个数列为理想数列． (1)若数列，，，，，，是理想数列，则 ， ； (2)若数列，，，，是理想数列，求代数式的值． 20．数学兴趣小组开展探究活动，研究了“一组有规律的数据和相关问题”的问题． (1)【规律特殊化】给出一列数据：依次把这列数据记为，则，则___________，___________（填“>”“<”或“=”）； (2)【规律一般化】这列数据的第（均大于1）个数据分别为，且，探究与之间的关系． 思路探究：， 同理___________，___________， ___________，___________． ___________ (3)【思想一般化】已知个正实数满足，其中．则___________（填“>”“<”或“=”）． 21．用长度相同的小棒按图所示的方式摆正方形，从上往下数，第2层起，每层比上一层多一个正方形，第1个图形需要4根小棒，第2个图形需要10根小棒，第3个图形需要18根小棒． 【特例感知】（1）第4个图形比第3个图形多_____根小棒； 【探索规律】（2）第个图形需要的小棒根数比第个图形多100根，求的值； 【拓展运用】（3）若第个图形竖放小棒根数是其序号的倍，请用含的代数式表示． 试卷第1页（共2页） 试卷第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $