湖南省长沙市2026-2027学年高三数学上学期期中模拟测试（三）

湖南省长沙市2026-2027学年高三数学上学期期中模拟测试（三） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集，，，则（    ） A． B． C． D． 2．命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 3．已知集合，集合，求（   ） A． B． C． D． 4．设，则“”是“”的（     ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知幂函数在上单调递减，若正数，满足，则的最小值为（   ） A．8 B．16 C． D． 6．定义在上的奇函数，当时，，设函数，则下列说法错误的是（    ） A．函数所有零点之和为0. B．若函数有三个零点，则 C．当时， D．函数在上为增函数 7．已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①，②，③，④，其中正确的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 8．已知函数的定义域为，若对于定义域内给定的任意 ，，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 10．若为上的奇函数，为上的偶函数，则（    ） A． B． C． D． 11．已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（     ） A．若，则且 B．若，则关于的不等式的解集也为 C．若，则关于的不等式的解集为或 D．若为常数，且，则的最小值为8 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数（，且），则函数的图象恒过定点______． 13．已知函数的极小值点为，则的解集为____________ 14．已知函数，若方程有4个根，，，，且，则实数的取值范围是____，的取值范围是______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．计算： 16．已知集合． (1)当时，求与 (2)若，求实数a的取值范围． 17．某商场经营一批进价为20元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x(单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下表所示的关系，其中.    x … 15 20 30 35 y 50 40 20 10 (1)根据表中提供的数据在直角坐标系中描出实数对的对应点，根据画出的点猜想y与x 之间的函数关系，并写出一个函数解析式； (2)设经营此商品的日销售利润为 P(单位：元)，根据上述关系，写出 P 关于x 的函数解析式，并求销售单价为多少元时，才能获得最大日销售利润. 18．已知二次函数． (1)若，，求函数的值域： (2)若关于的不等式的解集中恰有3个整数，求实数的取值范围； (3)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围 19．对于定义在上的函数，若存在实数，使得，则称为的一个二阶不动点；若还满足，则称为的一个真二阶不动点. (1)已知函数，求的所有二阶不动点，并指出其中真二阶不动点的个数； (2)已知函数，证明：没有真二阶不动点； (3)设，若存在真二阶不动点，求实数的取值范围. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市2026-2027学年高三数学上学期期中模拟测试（三）参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A A A A C B A AD BC 题号 11 答案 ACD 1．B 【详解】因为，，所以， 又，则. 2．A 【详解】因为带量词的命题的否定只需改变量词，否定结论， 所以命题“”的否定是“”. 3．A 【分析】根据二次根式大于等于零求解集合A，再根据交集的运算即可得答案. 【详解】因为集合，， 所以. 故选：A. 4．A 【分析】先求出两个不等式的解集，然后判断充分性和必要性即可. 【详解】解分式不等式得， 而的解集为， 设集合，集合，可得是的真子集. 如果，一定能推出，充分性成立；如果不一定推出，必要性不成立， 由此可知，“”是“”的充分而不必要条件. 5．A 【分析】根据幂函数的定义及单调性，可得m值，根据基本不等式“1”的代换，即可得答案. 【详解】因为为幂函数，所以，解得或， 因为在 上单调递减，所以，则， 所以，则，且， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为8. 6．C 【分析】利用函数的奇偶性，分段函数图象与性质函数的零点以及函数单调性逐项分析即可. 【详解】选项A， 当时，， ①当时，令 ，解得：或，均满足题意， ②当时，令 ，解得：，均满足题意， 由奇函数的对称性知，当时，函数的零点为， 所以函数所有零点之和为 ，故 A正确； 选项B，若函数有三个零点，则令 ， 问题等价于函数与的图象有三个不同交点， 因为函数为上的奇函数，所以， 由题意得函数图象如图所示： 由图可知，若函数有三个零点，则，故B正确； 选项C，当时，， 此时，又函数为奇函数， 所以，所以 ，故C错误； 选项D，由图可知，函数在连续且单调递增，又函数与函数的单调性一致， 故函数在上单调递增，故D正确. 7．B 【分析】根据二次函数图象开口方向、对称轴方程以及、处的函数值符号可判断①②③④的正误，即可得出结论. 【详解】二次函数的图象开口向下，则， 对称轴为直线，可得， 当时，，所以，，①错；，②对； 当时，，③对；，④错. 所以，①④错误，②③正确. 故选：B. 8．A 【分析】先根据题目条件化简可知函数在上单调递增，再利用单调性求解不等式即可. 【详解】因为函数满足对任意的，，，都有， 设，则，所以，即， 所以，令， 因为当时，都有， 所以函数在上单调递增. 又不等式两边同乘以， 得，即， 即，所以， 故，解得，即. 9．AD 【分析】由不等式的基本性质判断各个选项. 【详解】A选项，当时，，A选项正确； B选项，当，时，则，B选项错； C选项，当，时，则，此时，C选项错误； D选项，当，时，则，则，所以，即，D选项正确. 10．BC 【分析】根据奇偶性的定义结合赋值法求解. 【详解】选项AB，为上的奇函数，则，，，所以，A错；B正确； 选项C，由B，得，又为上的偶函数，则，，所以，，C正确； 选项D，由为上的偶函数，得，所以，D错. 11．ACD 【分析】A项，利用二次函数的图象可知A正确；B项，令()，当时，不等式的解集不为，B不正确；C项，根据将用表示，代入所求不等式求出解集，可知C正确；D项，根据得到，代入所求式，然后换元利用基本不等式可求出最小值可得. 【详解】A选项，若，即一元二次不等式无解，则一元二次不等式恒成立，且，A正确； B选项，令，则、、， ∴不等式可转化为，当时，得，其解集不等于原来的，故B错误； C选项，若，则，且和是一元二次方程的两根,且，， 所以，, 把代入可得， 因为,所以不等式的解集为或，C正确； D选项，因为，所以开口向上且，即， 又，得,把代入得, 令，则， ，当且仅当等号成立， 所以的最小值为，D正确. 12． 【分析】直接代入即可得到定点坐标. 【详解】令，可得， 因为，所以函数过定点为. 故答案为：. 13． 【详解】 求导得，， 若极小值点为，则应有， 则，解得， 故，经验证此时极小值点为， 则等价于，而， 故上述不等式等价于且，解得. 14． 【分析】根据题设作出函数的图象，结合图象可判断实数的取值范围与方程的4个根，，，的取值范围，，，然后得到，最后利用的范围即可求解. 【详解】依题意，，作出函数的图象，如图所示，    因为方程有4个根，，，，且， 由图象可知，且，，可得； 因为，，所以，； 所以， 因为，所以，即的取值范围是. 故答案为：；的取值范围是. 15． 【分析】由特殊角三角函数值和指数幂的运算即可求解. 【详解】原式 . 16．(1)，或； (2). 【分析】（1）解一元二次不等式求解集合，再根据集合的运算求解即可； （2）由，得，从而可求解. 【详解】（1）由，得，解得， 故. 又， 当时，， 所以. 又或， 所以或. （2）因为，所以. 因为，， 所以, 故实数a的取值范围为. 17．(1)  ；， (2)，，当销售单价为30元时，才能获得最大日销售利润 【分析】（1）根据题中表格描点，可知y与x 之间的函数关系为一次函数，利用待定系数法运算求解； （2）根据题意结合（1）中的函数解析式求P 关于x 的函数解析式，并利用基本不等式求最值. 【详解】（1）描出实数对的对应点，如图所示：    根据画出的点猜想y与x 之间的函数关系为一次函数，设为， 代入点可得，解得， 则，代入点依然成立， 所以y与x 之间的函数关系为，. （2）由（1）可知：，， 则经营此商品的日销售利润为 ，， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当销售单价为30元时，才能获得最大日销售利润. 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）代入，确定的解析式，通过配方法求得值域. （2）分，和三种情况解不等式，然后根据解集中有3个整数列出关于的不等式，求解的范围即可. （3）将不等式恒成立问题转化成在上恒成立问题，然后利用换元法求得的最大值即可. 【详解】（1），， ，，即函数的值域为. （2）， ①当时，不等式的解集为，要使解集中恰有3个整数， 则，得. ②时，不等式的解集为，要使解集中恰有3个整数， 则，解得. ③时，的解集为，不符合题意. 综上，实数的取值范围是. （3），恒成立，整理可得 对恒成立， 又， 可得对恒成立. 令，则， ， ，当且仅当，即时等号成立， . 即，故实数的取值范围是. 19．(1)二阶不动点为；真二阶不动点个数为 (2)，， ， 令，解得， 即或， 解， 解得 ，即， 因为，所以. 所以方程的实数解只有. 检验：，满足. 即所有二阶不动点都满足，不存在满足的真二阶不动点. 即没有真二阶不动点. (3) 【分析】（1）利用定义求解，求出的解就是所有二阶不动点，解出的解，则在二阶不动点中去掉满足的解，剩下的就是真二阶不动点，通过计算得到结论. （2）计算，得到或，解出的解为，求出，满足.根据定义得到结论. （3）由存在真二阶不动点得到，通过计算得到或，要存在真二阶不动点，即方程要有实数根，并且它的根不是方程的根，通过计算得到结论. 【详解】（1），， 则， 即， 即， 解得. ，解也是. 也就是所有二阶不动点都满足，不满足，没有真二阶不动点. 则二阶不动点为；真二阶不动点个数为. （2）略 （3）因为存在真二阶不动点， 所以， 则， 方程：， 解得， 即， 解得或， 要存在真二阶不动点，即方程要有实数根， 并且它的根不是方程的根. ① 方程有实根，则判别式， ， 解得， ②联立， 两式相减得到， 将代入， 得到， 当时，，根，这个根同时也是不动点方程的根. 此时方程的根就是不动点，不能作为真二阶不动点， 因此要舍去. 综上，实数的取值范围是. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $