湖南省衡阳市2026-2027学年高三上学期期中自编模拟试卷

湖南省衡阳市2026-2027学年高三上学期期中自编模拟试卷 数学试题 注意事项： 1. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。 2. 请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。 3. 作答选择题必须用 2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。作答非选择题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。 4. 本试卷共 4 页，满分 150 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1.已知集合，，且，则（） A.-1 B.1 C.2 D.0 【答案】C 【解析】由得或. 当时，得，此时，集合出现重复元素，不符合要求，舍去. 当时， 解得或，时，集合同样出现重复元素，舍去. 时，，，满足， 故. 故选：C. 2.已知复数满足，且，则（） A. B. C.2 D. 【答案】D 【解析】设，，则， 代入已知等式得，. 展开化简得，， 解得，， 故. 由复数模长计算公式得. 故选：D. 3.自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数，为时刻的种群个体数量.当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍.若，则（） A.300 B.450 C.600 D.750 【答案】C 【解析】由及时,得,故. 由,得. 因为,且,故. 故选:C. 4.已知是不共线的向量，且，则（） A.三点共线 B.三点共线 C.三点共线 D.三点共线 【答案】C 【解析】假设存在实数使得，代入得， 由不共线得，方程组无解，故选项A错误. 假设存在实数使得，代入得， 由不共线得，方程组无解，故选项B错误. 计算得，假设存在实数使得，代入得， 由不共线得，解得， 故三点共线，选项C正确. 计算得，假设存在实数使得，代入得， 由不共线得，方程组无解， 故选项D错误. 故选：C. 5.已知数列满足，，且，，记为的前项和，则（） A.41 B.42 C.43 D.44 【答案】C 【解析】由，，，， 依次计算得，， ，，. ，，， 由此可得从第项开始，是周期为的周期数列，一个周期内的项为. ， 故， 由此得. 故选：C. 6.已知随机事件，，发生的概率均为，且两两独立，那么这三个事件同时发生的概率可能为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由两两独立得，设. 由概率加法公式得， 由概率取值范围得，解得. 又， 由概率非负性得，解得. 结合两个范围得，选项中只有落在该区间内. 故选：C. 7.若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】的最小正周期，相邻对称中心间隔为，故相邻对称中心间隔也为. 由此得的最小正周期，结合，解得，即. 由，，得对称中心横坐标为，. 由，，得对称中心横坐标为，. 结合两函数对称中心完全一致，且，故，解得. 故选：D. 8.在四棱锥中，，，若该四棱锥的所有顶点均在同一个球的球面上，则该球的半径为（） A.1 B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意四边形有外接圆，结合余弦定理得， 代入，化简得， 由此可得. 因为，， 故，取的中点，得为四边形外接圆的圆心，外接圆半径. 由得在底面上的投影为，即底面， 计算得.外接球的球心在上， 设球心为，球的半径为， 由勾股定理得，展开整理得. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.天道酬勤，主动学习方能追求卓越.高三年级的小艾同学决定对函数、三角、数列、立几这四个内容的复习效果进行一次自我检测，每个内容各准备了道典型题目.做完后对照答案记录每道题的失分（均为非负整数）情况，若某内容每道题失分都不超过分，则认定该内容为“复习效果达标内容”，已知四个内容失分情况的相关数据信息如下，则一定为“复习效果达标内容”的是（） A.函数内容的道题失分记录的中位数为，极差为 B.三角内容的道题失分记录的平均数为，众数为 C.数列内容的道题失分记录的平均数为，方差为 D.立几内容的道题失分记录的平均数为，第65百分位数为 【答案】AC 【解析】对于A选项，设函数内容道题失分从小到大排序为. 因为极差为，若存在一道题失分， 那么，此时中位数，矛盾， 所以函数内容每道题失分都不超过分，是“复习效果达标内容”. 对于B选项，设三角内容失分记录为， 取，，，，， 满足平均数为，众数为，但有题失分超过分，不是“复习效果达标内容”. 对于C选项，设数列内容失分记录为， 由方差公式为平均数）， 已知，，，则. 若，则，，矛盾， 所以数列内容每道题失分都不超过分，是“复习效果达标内容”. 对于D选项，设立几内容失分记录为， 取，，， 满足平均数为，第65百分位数为，但有题失分超过分，不是“复习效果达标内容”. 所以一定为“复习效果达标内容”的是AC选项. 10.在正方体中，点为线段上的动点，则下列结论正确的是（） A. B.平面与平面所成角的正弦值是 C.当时，的值最小 D.若平面上的动点满足，则点的轨迹是椭圆 【答案】ACD 【解析】设正方体棱长，建立空间直角坐标系，得各点坐标为. ，， 设，，计算得， 故A正确. 因为平面，且平面，所以平面平面， 由此可得平面与平面所成角的正弦值为， 故B错误. 由得，进而得，， 计算得， 故当，即时，的值最小，C正确. 设动点，得，， 由得，整理得， 故点的轨迹是椭圆，D正确. 故选：ACD. 11.已知函数有三个不同的零点，，，其中，则（） A. B.存在实数，使得，，成等差数列 C.的取值范围为 D. 【答案】ABD 【解析】，令， 解得或. 时，，单调递增，时，，单调递减，时，，单调递增. 由有三个不同零点，得极大值，极小值， 化简得. 将因式分解为，展开得，对比的系数得. 对于A，， 故A正确. 对于B， 若成等差数列，得，联立方程组解得，，，此时，满足条件， 故B正确. 对于C， 由单调性得， 故，结合得， 从而， 故C错误. 对于D，，， 所以， 由得， 故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若实数，满足，则的最小值为                   ． 【答案】. 【解析】由，得成等比数列， 设公比为，得.两边平方整理得， 解得.由此得， 代入目标式得. 故答案为：. 13.的展开式中常数项为                   . 【答案】240 【解析】展开式的通项为，其中，. 令，解得， 计算得展开式常数项为. 故答案为：. 14.如何度量样本间的相似性是人工智能核心领域的基础问题，通常通过计算样本间的“距离”来解决．镜像距离是一种基础且重要的工具．定义两点，的镜像距离为．若，，则的最小值为                   ． 【答案】 【解析】由题意得， 设，求导得，其中. 当时，，当时，，故在上单调递减， 在上单调递增.的最小值为， 由此可得，故. 令，整理得， 当时，，求导得. 令，得，令，得，故在上单调递减， 在上单调递增， 因此时，的最小值为. 当时，，求导得. 因为恒成立， 所以在上恒成立，在上单调递减， 故在的最小值为. 作差比较得. 因为，所以，即，故， 可得.故的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.为了普及足球知识，某市开展了“滇超知识竞赛”活动.现从参加该竞赛的学生中随机抽取了名，统计了他们的成绩（满分分），并绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求这组数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中间值为代表）； (2)当成绩不低于分的学生被评为“滇超达人”，以频率估计概率，从本市参加该竞赛的学生中随机抽取人，随机变量表示抽取学生为“滇超达人”的人数，求的分布列及数学期望； (3)某市参与竞赛的学生中，甲校学生占，乙校学生占，丙校学生占，三校学生在活动中“滇超达人”所占比例为::.从参与该竞赛的学生中随机抽取一人，求这名学生是“滇超达人”的概率. 【答案】解：(1)由频率分布直方图得平均值为. (2)成绩不低于分的频率为，以频率估计概率得随机抽取人是”滇超达人”的概率为，由此可得. 计算得，， ，. 的分布列为： 故的数学期望为. (3)设表示事件”抽取的学生为’滇超达人’“，分别表示抽取学生来自甲校、乙校、丙校， 由已知得，，，三校”滇超达人”所占比例比为， 故，，， 由全概率公式得. 16.已知等差数列的前项和为，． (1)求数列的通项以及前项和； (2)数列中，前项和为，求满足的的最大值． 【答案】解：(1)设等差数列的公差为， 由得，化简得， 解得. ，. (2)由(1)得， 故. . 由得，整理得， 故满足条件的的最大值为. 17.如图，在三棱锥中，点在上，，，. (1)证明：平面平面； (2)若，，，，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明：由，，平面，，得平面，又平面， 故. 因为，，平面， 所以平面，结合平面，得平面平面. (2)解：以为原点，分别以平行于的直线为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 由已知条件得各点坐标为，，，，. 得，， 设平面的法向量为，得，取，得平面的一个法向量. 得， 设平面的法向量为，得，取，得平面的一个法向量. 设平面与平面夹角为，则， 故平面与平面夹角的余弦值为. 18.已知抛物线，为坐标原点，过点作斜率的直线交抛物线于两点，其中在第一象限，直线交抛物线于另一点，其中，直线与直线交于点． (1) 求抛物线的方程； (2) 记与的面积分别为，． （ⅰ）当，，，四点共圆时，求直线的方程； （ⅱ）求的取值范围． 【答案】(1) 解：由得，结合得， 即， 代入抛物线得， 解得， 故抛物线的方程为. (2) 解：(ⅰ)直线的方程为， 设，，联立，消得， 由韦达定理得，. 四点共圆时， 可得， 计算得，，，， 代入得， 化简得， 即，结合得， 故直线的方程为. (ⅱ)由，得直线， 由，得，直线，联立直线与的方程， 解得. 结合韦达定理结果整理得， 代入得. ， 代入化简得， 由，在第一象限可得， 故， 即的取值范围为. 19.已知函数与其导数的定义域均为，，且对任意，恒成立，其中为常数． (1)比较与的大小； (2)证明：； (3)若，函数总存在最小值，证明：． 【答案】(1)解：设，求导得，结合已知和恒成立，得， 故在上单调递增. 由得， 即， 整理得. (2)证明：设，则， 由(1)知， 故对任意，有， 从而， 即对恒成立. 设，求导得， 故在上单调递增， 从而. 代入表达式整理得， 即， 代入表达式化简得，得证. (3)证明：由和，得. 展开得，结合，，得. 假设，则存在使得且， 由得， 故也是极小值点， 即，依此类推得对任意，都有. 设， 由得，结合得， 整理得， 故. 令， 由得， 即，与恒成立矛盾， 故假设不成立，，得证. 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省衡阳市2026-2027学年高三上学期期中自编模拟试卷 数学试题 注意事项： 1. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。 2. 请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。 3. 作答选择题必须用 2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。作答非选择题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。 4. 本试卷共 4 页，满分 150 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1.已知集合，，且，则（） A.-1 B.1 C.2 D.0 2.已知复数满足，且，则（） A. B. C.2 D. 3.自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数，为时刻的种群个体数量.当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍.若，则（） A.300 B.450 C.600 D.750 4.已知是不共线的向量，且，则（） A.三点共线 B.三点共线 C.三点共线 D.三点共线 5.已知数列满足，，且，，记为的前项和，则（） A.41 B.42 C.43 D.44 6.已知随机事件，，发生的概率均为，且两两独立，那么这三个事件同时发生的概率可能为（） A. B. C. D. 7.若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（） A. B. C. D. 8.在四棱锥中，，，若该四棱锥的所有顶点均在同一个球的球面上，则该球的半径为（） A.1 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.天道酬勤，主动学习方能追求卓越.高三年级的小艾同学决定对函数、三角、数列、立几这四个内容的复习效果进行一次自我检测，每个内容各准备了道典型题目.做完后对照答案记录每道题的失分（均为非负整数）情况，若某内容每道题失分都不超过分，则认定该内容为“复习效果达标内容”，已知四个内容失分情况的相关数据信息如下，则一定为“复习效果达标内容”的是（） A.函数内容的道题失分记录的中位数为，极差为 B.三角内容的道题失分记录的平均数为，众数为 C.数列内容的道题失分记录的平均数为，方差为 D.立几内容的道题失分记录的平均数为，第65百分位数为 10.在正方体中，点为线段上的动点，则下列结论正确的是（） A. B.平面与平面所成角的正弦值是 C.当时，的值最小 D.若平面上的动点满足，则点的轨迹是椭圆 11.已知函数有三个不同的零点，，，其中，则（） A. B.存在实数，使得，，成等差数列 C.的取值范围为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若实数，满足，则的最小值为                   ． 13.的展开式中常数项为                   . 14.如何度量样本间的相似性是人工智能核心领域的基础问题，通常通过计算样本间的“距离”来解决．镜像距离是一种基础且重要的工具．定义两点，的镜像距离为．若，，则的最小值为                   ． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.为了普及足球知识，某市开展了“滇超知识竞赛”活动.现从参加该竞赛的学生中随机抽取了名，统计了他们的成绩（满分分），并绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求这组数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中间值为代表）； (2)当成绩不低于分的学生被评为“滇超达人”，以频率估计概率，从本市参加该竞赛的学生中随机抽取人，随机变量表示抽取学生为“滇超达人”的人数，求的分布列及数学期望； (3)某市参与竞赛的学生中，甲校学生占，乙校学生占，丙校学生占，三校学生在活动中“滇超达人”所占比例为::.从参与该竞赛的学生中随机抽取一人，求这名学生是“滇超达人”的概率. 16.已知等差数列的前项和为，． (1)求数列的通项以及前项和； (2)数列中，前项和为，求满足的的最大值． 17.如图，在三棱锥中，点在上，，，. (1)证明：平面平面； (2)若，，，，求平面与平面夹角的余弦值. 18.已知抛物线，为坐标原点，过点作斜率的直线交抛物线于两点，其中在第一象限，直线交抛物线于另一点，其中，直线与直线交于点． (1) 求抛物线的方程； (2) 记与的面积分别为，． （ⅰ）当，，，四点共圆时，求直线的方程； （ⅱ）求的取值范围． 19.已知函数与其导数的定义域均为，，且对任意，恒成立，其中为常数． (1)比较与的大小； (2)证明：； (3)若，函数总存在最小值，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $