江苏省苏州市2026-2027学年苏科版九年级上学期数学期中模拟卷（12）

苏州市2026-2027学年第一学期初三数学期中模拟卷（12) 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，恰有 一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡相应位置上) 1.五位裁判对某个体操运动员的打分数据是：9.0,8.9,8.8,8.8,9.1，这组数据的众数是() A8.8 B 89 c9.0 D9.1 2.一元二次方程 x2-x-1=0 的根的情况为() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 3.如图，△ABC中，∠C=90°，AB=3,AC=1,则tanA的值为() B 1 √2 B.3 C.4 D.2√2 4.已知(-2，)，(1，)都在函数y=(x-3)+0的图象上，则片，乃的大小关系为() A片<h B.=y3 C片>3 D.不能确定 5.如图，AB是⊙O的直径，C,D是⊙O上的两点，若∠ABC=70°，则∠BDC的度数为() A.50° B.40° C.30° D.209 B 0 D 第5题图 第6题图 6.一年一度的校园体育节来临，学校组织活动，体育节每个人都要从两个选项中选择一个，己知小明与小 华在篮球和足球之间选择，则他们选择球类相同的概率估计值大约是() A.1 B.0.33 c.0.5 D.0.75 7.苏州的古桥众多，形态各异，有单孔和多孔的，有半圆孔和椭圆孔的，也有长方孔的、抛物线孔的，富 有韵味，每一座古桥都诉说着苏州千百年来的古老文化.如图1是某公园的一座抛物线形拱桥，按如图2 所示建立平面直角坐标系，得函数的表达式为y=6,在正常水位时，水面宽4B)6米，当水位上 16 升3米后，则水面宽CD等于() C D B (图1) (图2) A.4米 B.8米 c45米 D.8V2 米 8.如图， Rt△ABC斜边AB的两端恰好在抛物线'=-r+4上，点C在y轴上，且AC=BC,若A, B两点的横坐标分别为”，0<n<m ,则下列结论一定正确的是（) A. m+n=1 B. m-n=1 C. mn=1 D.m-1 n 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把答案直接填 写在答题卡相应位置上) 度 10如果函数y=(m+x+2是二次函数，那么m一 11.一组数据-1,0,1,2,3的方差是一 12.如图，一块飞镖游戏板由除颜色外都相同的9个小正方形构成.假设飞镖击中每1块小正方形是等可 能的（击中小正方形的边界或没有击中游戏板，则重投一次）·任意投掷飞镖一次，击中黑色区域的概率 是 13.低空经济是苏州近年来重点发展的战略性新兴产业之一.据统计，今年第1季度低空飞机航线安全运 行了420架次，预计第3季度低空飞机航线安全运行将达到630架次.设第2，第3两个季度安全运行架 次的平均增长率为x,则可列方程为 14.如图①是我市某广场音乐喷泉，出水口A处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度（单位：米）与 水平距离x(单位：米)之间的关系如图②所示，点B为该水流的最高点，点C为该水流的落地点，且 BD⊥OC 垂足为D,若BD=5米，0D=2米，0C=604 米， “米， 米，则“的长是米。 ① ② 15如图，P是抛物线y=-r+x+3 第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为 A,B,则四边形OAPB周长的最大值为一 A D B M 第15题图 第16题图 16在平面直角坐标系中，4(，）和B(,)是抛物线y=r-20x(a≠0)上的两点.若对于 x1=3a2≤x2≤4 都有<片，则“的取值范围为 三、解答题（本大题共11小题，共82分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤) 17.解方程： 1)x2+4x=-3 (2) 5x(x-1)=3(x-1) 18计算：2sin60°+V2cos450-tan30° 19.在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，∠B=60°，a=4,解这个直 角三角形. 6 20.如图，在平面直角坐标系中，A(0,4)、B(4,4)、C(6,2). C (1)经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为一： (2)这个圆的半径为一： (3)直接判断点D(5,-2)与⊙M位置关系，点D(5,-2)在⊙M(填内、外、上). 21.某种零件的标准直径为l0mm,从甲、乙两台机床加工的这种零件中各抽取5件， 对其直径进行检测，结果如下（单位：mm)： 甲机床：10.05,10.02,9.97,9.96,10.00： 乙机床：10.00,10.01,10.02,9.97,10.00 (1)分别求这两个样本的方差： (2)估计哪一台机床的产品质量比较稳定. 22.甲、乙两名学生进行射击练习，在相同条件下各射击10次，结果如下： 命中的 67 9 10 环数/环 甲命中 3 14 2 01 次数 乙命中 1 42 1 1 1 次数 (1)甲同学10次射击命中环数的中位数是 环，乙同学10次射击命中环数的众数是 环； (2)求甲同学10次射击命中环数的平均数和方差： (3)经过计算可知，乙同学10次射击的平均数是7环，方差是22环.根据所学的统计知识，从集中趋 势和稳定性两个方面来考查两人的成绩，请你对甲、乙两名学生的射击水平给出评价 23.苏州是一座拥有4000多年历史的文化名城，苏州古城坐落在水网之中，街道依河而建，水陆并行；建 筑临水而造，前巷后河，形成“小桥、流水、人家”的独特风貌.如图，某座苏州古桥的桥拱可看作一段 圆弧，现测得桥下水面AB宽度16m时，拱顶高出水平面4m. C (1)求此圆弧形拱桥的半径： (2)若有一艘宽12m船准备从桥下穿过，船舱顶部为矩形并高出水面3m,请通过计算判断，该船能 否安全穿过桥洞，并说明理由. 24.某商品零售店预售2025年亚洲冬季运动会吉祥物.该吉祥物每个进价为30元，规定售价不低于进价. 现在售价为每个50元，每天可销售100个.经市场调查发现，若售价每降价1元，则每天的销售量将增加 10个.设每个吉祥物降价x元，每天销售吉祥物的利润为W元。 (1)求出W与x的函数关系式： (2)该零售店如何定价，才能使得每天的利润W最大，并求出最大利润： 25.某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元.规定每件售价不低于进货价，经市场调查， 每月的销售量y(件)与每件的售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价x(元/件) 60 65 70 销售量y(件) 1400 1300 1200 (1)求出y与x之间的函数表达式；（不需要求自变量x的取值范围） (2)该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？ (3)物价部门规定，该衬衫每件利润不允许高于进货价的50%，设销售这种衬衫每月的总利润为w (元)，求w与x之间的函数关系式，x为多少时，w有最大值，最大利润是多少？ 26.某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价为30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价为40元 时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具.不妨设该种品牌玩具的实际销售单价 为x元（r>40 ,销售该品牌玩具获得的利润为”元。 (1)求出W与x之间的函数关系式： (2)若商场只获得了6000元的销售利润，求该玩具销售单价为多少元？ (3)若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于500件的销售任务，求商场销 售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 27.在平面直角坐标系0中，二次函数)=ar-ar-6aa≠0)的图像与x轴交于4，B两点，点A在 点B的左侧. H\B E O x N -M 图1 备用图 (1)求点A,点B的坐标： (2)如图1，直线y=+b≠0)与二次函数'=-r-60的图像交于A,D两点，点D的坐标是 (4,-3) 点P是x轴上方的抛物线上的一个动点，过点P作P上x 轴，交x轴于点B,交直线AD于点 3 L=EH+÷EQ O,过点P作PF⊥AD于点F,直线PF交x轴于点H.若 2 设点P的横坐标是点七，求 L关于t的函数关系式，并求L的最大值： (3)已知点M的坐标是 5,-3) ,过点M作y轴的垂线，垂足为点N,若二次函数 y=ar-r-6a(a≠0)的图像与线段MN只有一个交点，则a的取值范国是 苏州市2026-2027学年第一学期初三数学期中模拟卷（12） 答案与解析 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡相应位置上） 1. 五位裁判对某个体操运动员的打分数据是：，这组数据的众数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了众数，一组数据中出现次数最多的数，根据众数概念即可求解． 【详解】解：在数据中出现的次数最多，故众数为； 故选：A． 2. 一元二次方程的根的情况为（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】先求出的值，再判断出其符号即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 3. 如图，中，，，，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，先根据勾股定理求得，再利用正切定义求解即可． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∴， 故选：D． 4. 已知，都在函数的图象上，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据二次函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵，都在函数的图象上，且， ∴； 故选C． 5. 如图，AB是⊙O的直径，C,D是⊙O上的两点，若∠ABC=70°，则∠BDC的度数为（ ） A. 50° B. 40° C. 30° D. 20° 【答案】D 【解析】 【分析】由AB是⊙O的直径，据直径所对的圆周角是直角，即可得∠ACB=90°，又由∠ABC=70°，即可求得∠A的度数，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠BDC的度数． 【详解】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠ABC=70°， ∴∠BAC=90°-∠ABC=20°， ∴∠BDC=∠BAC=20°． 故选D． 【点睛】此题考查了圆周角定理．此题难度不大，注意掌握直径所对的圆周角是直角与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用是解此题的关键. 6. 一年一度校园体育节来临，学校组织活动，体育节每个人都要从两个选项中选择一个，已知小明与小华在篮球和足球之间选择，则他们选择球类相同的概率估计值大约是（ ） A. 1 B. 0.33 C. 0.5 D. 0.75 【答案】C 【解析】 【分析】画树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出小聪和小明同时选考“足球”的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了概率公式：随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数． 【详解】解：依题意，画树状图为： 共有4种等可能的结果数，其中小明与小华同时选择球类相同的结果数为2， 所以小明与小华同时选择球类相同的概率． 故选：C 7. 苏州的古桥众多，形态各异，有单孔和多孔的，有半圆孔和椭圆孔的，也有长方孔的、抛物线孔的，富有韵味，每一座古桥都诉说着苏州千百年来的古老文化．如图1是某公园的一座抛物线形拱桥，按如图2所示建立平面直角坐标系，得函数的表达式为，在正常水位时，水面宽米，当水位上升3米后，则水面宽等于（　　） A. 4米 B. 8米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，理解题意，确定水位上升后的水面高度的是解题关键．根据题意，正常水位时，水面宽米，可求出当时可有，再根据水位上升3米后可知，将其代入二次函数解析式并求出的值，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，， ∴当时，可有， 当水位上升3米后，可有， 将代入， 可得，解得， ∴米． 故选：B． 8. 如图，斜边的两端恰好在抛物线上，点C在y轴上，且．若A，B两点的横坐标分别为，，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以灵活运用是解题的关键． 依据题意，过点作轴于点，过点作轴于点，先证明，于是可得，，再根据，得出得出c，，然后根据列出、的关系式即可得解． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ， ， 在中， ，， ∴， ， ， ，， 点、的横坐标分别为、，且， ，，，， ∴，， ∵， ∴， ， ， ， ， 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 在中，若，，则__________度． 【答案】90 【解析】 【分析】用非负数的性质和特殊角的三角函数值解答． 【详解】∵， ∴，, ，， ∠B=30°，∠A=60°， ∠C=180-（∠A+∠B）=90°． 故答案为90． 【点睛】本题考查了非负数性质和特殊角的三角函数，熟练掌握非负数的性质和特殊角的三角函数值，是解决此类问题的关键． 10. 如果函数是二次函数，那么m=____． 【答案】2． 【解析】 【分析】直接利用二次函数的定义得出m的值． 【详解】∵函数是二次函数， ∴m2−m＝2，（m−2）（m＋1）＝0， 解得：m1＝2，m2＝−1， ∵m＋1≠0， ∴m≠−1， 故m＝2． 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，正确得出m的方程是解题关键． 11. 一组数据﹣1，0，1，2，3的方差是_____． 【答案】2 【解析】 【详解】这组数据的平均数为：（-1+1+0+2+3）÷5=1，所以方差=[（-1-1）2+（0-1）2+（1-1）2+（2-1）2+（3-1）2]=2． 12. 如图，一块飞镖游戏板由除颜色外都相同的9个小正方形构成．假设飞镖击中每1块小正方形是等可能的（击中小正方形的边界或没有击中游戏板，则重投一次）．任意投掷飞镖一次，击中黑色区域的概率是 ___． 【答案】 【解析】 【分析】用黑色小正方形的个数除以小正方形的总个数可得． 【详解】解：∵共有9种小正方形，其中黑色正方形的有3个， ∴小刚任意投掷飞镖一次，刚好击中黑色区域的的概率是=， 故答案为：． 【点睛】本题考查简单概率的计算，解决本题的关键是要知道黑色区域的面积和整个大正方形面积的比值. 13. 低空经济是苏州近年来重点发展的战略性新兴产业之一．据统计，今年第季度低空飞机航线安全运行了架次，预计第季度低空飞机航线安全运行将达到架次．设第，第两个季度安全运行架次的平均增长率为，则可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设第、第两个季度安全运行架次的平均增长率为，则第二季度低空飞行航线安全运行了架次，第三季度低空飞行航线安全运行了架次，且第季度低空飞机航线安全运行将达到架次，据此列出方程即可． 【详解】解：设第，第两个季度安全运行架次的平均增长率为， 根据题意可得：， 故答案为：． 14. 如图①是我市某广场音乐喷泉，出水口处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度（单位：米）与水平距离（单位：米）之间的关系如图②所示，点为该水流的最高点，点为该水流的落地点，且，垂足为，若米，米，米，则的长是______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，解题关键是利用待定系数法求出抛物线解析式． 本题根据最高点B点的坐标，设出抛物线的顶点式解析式后代入C点坐标，求出解析式，最后令即可求出． 【详解】解：设该抛物线的解析式为， ∵在该抛物线上， ∴ ∴， ∴， 当时，， ∴的长是． 故答案为： ． 15. 如图，P是抛物线在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形周长的最大值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值及二次函数的图像上点的坐标特征，最后根据二次函数的性质求最值是解题的关键． 设点P的坐标为，，根据四边形的周长得到：，再由二次函数的性质即可求得最大值． 【详解】解：当，则， 解得：， 设点P的坐标为，， 由题意可知：四边形的周长， ∴， ∵， 当时，C有最大值8． 故答案为：8． 16. 在平面直角坐标系中，和是抛物线上的两点．若对于，，都有，则的取值范围为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，先由和是抛物线上的两点，且，得，然后分当时当时两种情况分析即可，掌握二次函数的性质及分类讨论思想是解题的关键 【详解】解：∵和是抛物线上的两点，且， ∴，， ∵， ∴， ∴， 当时， ∴或， 解得：或， ∵， ∴或， ∴或， ∵， ∴； 当时， ∴或， 解得：， ∵， ∴， ∴， 综上的取值范围为或 故答案为：或． 三、解答题（本大题共11小题，共82分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查的是解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解即可； （2）先移项得，然后利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解： ， ， 或， 即，； 【小问2详解】 解：， ， ， 或， ，． 18. 计算:. 【答案】 【解析】 【分析】把特殊锐角三角函数值代入计算即可. 【详解】 【点睛】熟记特殊锐角三角函数值. 19. 在中，，a、b、c分别是的对边，，，解这个直角三角形． 【答案】，， 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，含60度角的直角三角形，熟练掌握直角三角形的边角关系是解题的关键． 先利用直角三角形锐角互余求出，再用的正切求出b，再用的余弦求出c． 【详解】解：∵， ． 由知：， 由知，． ∴，，． 20. 如图，在平面直角坐标系中，A(0，4)、B(4，4)、C(6，2)． （1）经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为　　； （2）这个圆的半径为　　； （3）直接判断点D(5，﹣2)与⊙M的位置关系，点D(5，﹣2)在⊙M　　（填内、外、上）． 【答案】（1）（2，0）；（2）；（3）内 【解析】 【分析】（1）利用网格特点，作和垂直平分线，它们的交点为点，从而得到点的坐标； （2）利用两点间的距离公式计算出即可； （3）先计算出，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点与的位置关系． 【详解】解：（1）如图，圆心的坐标为； （2），， ， 即的半径为； （3），， ， ， 点在内． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了垂径定理和点与圆的位置关系． 21. 某种零件的标准直径为，从甲、乙两台机床加工的这种零件中各抽取件， 对其直径进行检测，结果如下（单位：）： 甲机床：，，，，； 乙机床：，，，，； （1）分别求这两个样本的方差； （2）估计哪一台机床的产品质量比较稳定． 【答案】（1）甲机床的方差为，乙机床的方差为 （2）乙机床的产品质量比较稳定 【解析】 【分析】（）先求出甲、乙机床的平均数，然后根据方差公式即可求解； （）比较方差即可； 本题考查了平均数和方差，解题的关键是正确理解方差是反映一组数据波动大小的特征数，方差越大，数据的波动性越大，方差越小，稳定性越好． 【小问1详解】 解：根据平均数的计算公式可得， 甲机床的平均数为：， 则甲机床的方差为： 根据平均数的计算公式可得， 乙机床的平均数为：， 则乙机床的方差为： 【小问2详解】 解：由（）得，甲机床方差为，乙机床的方差为 ∵， ∴乙机床的产品质量比较稳定． 22. 甲、乙两名学生进行射击练习，在相同条件下各射击10次，结果如下： 命中的环数/环 5 6 7 8 9 10 甲命中次数 2 1 4 2 0 1 乙命中次数 1 4 2 1 1 1 （1）甲同学10次射击命中环数的中位数是________环，乙同学10次射击命中环数的众数是________环； （2）求甲同学10次射击命中环数的平均数和方差； （3）经过计算可知，乙同学10次射击的平均数是7环，方差是环．根据所学的统计知识，从集中趋势和稳定性两个方面来考查两人的成绩，请你对甲、乙两名学生的射击水平给出评价． 【答案】（1）7，6 （2）7，2 （3）甲稳定 【解析】 【分析】（1）根据中位数、众数的定义即可得出答案； （2）根据平均数、方差公式计算即可得出答案； （3）从集中趋势和稳定性两个方面来考查两人的成绩． 此题主要考查了平均数，众数，方差，加权平均数，掌握相应的定义是关键． 【小问1详解】 解：根据题意，把甲学生10次射击命中的环数从小到大排列后，第5个和第6个数据都是7， ∴甲同学10次射击命中环数的中位数是， 从表格得乙同学10次射击命中环数最多的是6环， ∴众数是6； 故答案为：7；6； 【小问2详解】 解：甲同学10次射击命中环数的平均数为：， 甲同学10次射击命中环数的方差为： ； 【小问3详解】 解：∵乙同学10次射击的平均数是7环，方差是环，甲同学10次射击的平均数是7环，方差是2环， ∴从平均水平看，甲、乙两名学生射击的环数平均数均为7环，成绩一样； 则从离散程度看，甲的成绩比乙更加稳定；乙的众数是6，甲的众数是7，甲的众数比乙大， ∴甲的射击水平更好一些． 23. 苏州是一座拥有多年历史的文化名城，苏州古城坐落在水网之中，街道依河而建，水陆并行；建筑临水而造，前巷后河，形成“小桥、流水、人家”的独特风貌．如图，某座苏州古桥的桥拱可看作一段圆弧，现测得桥下水面宽度时，拱顶高出水平面． （1）求此圆弧形拱桥的半径； （2）若有一艘宽的船准备从桥下穿过，船舱顶部为矩形并高出水面，请通过计算判断，该船能否安全穿过桥洞，并说明理由． 【答案】（1）此圆弧形拱桥的半径为 （2）该船不能安全穿过桥洞，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识并理解题意． （1）连接，设与交于点，由题意可得：，，，根据垂径定理求出，设半径为，则，在中，根据勾股定理列方程求解即可； （2）根据垂径定理和勾股定理求出当船宽时允许通过的最大高度，再与比较即可得出结论． 【小问1详解】 解：如图，连接，设与交于点， 由题意可得：，，， ， 设半径为，则， 在中，根据勾股定理得：，即， 解得：， 即此圆弧形拱桥的半径为； 【小问2详解】 该船不能安全穿过桥洞，理由如下： 如图，在矩形中，、交于点，，连接， ， ， 在中，根据勾股定理得：， ， ， ， 该船不能安全穿过桥洞． 24. 某商品零售店预售2025年亚洲冬季运动会吉祥物．该吉祥物每个进价为30元，规定售价不低于进价．现在售价为每个50元，每天可销售100个．经市场调查发现，若售价每降价1元，则每天的销售量将增加10个．设每个吉祥物降价x元，每天销售吉祥物的利润为W元． （1）求出W与x的函数关系式； （2）该零售店如何定价，才能使得每天的利润W最大，并求出最大利润； 【答案】（1） （2）定价为45元，能使得每天利润W最大，最大利润为2250 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用——销售问题． （1）根据售价为每个50元，每天可销售100个．售价每降价1元，每天的销售量将增加10个，再根据总利润等于每个利润乘数量列出函数关系式； （2）根据，，得到时，W有最大值2250，定价为45元． 【小问1详解】 解：由题意，∵售价为每个50元，每天可销售100个．售价每降价1元，每天的销售量将增加10个， ∴每天销售吉祥物的利润为； 【小问2详解】 解：由题意，∵，且， ∴当时，W有最大值，且最大值为2250， 此时定价为：（元）， 答：定价为45元，能使得每天的利润W最大，最大利润为2250． 25. 某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价x（元/件） 60 65 70 销售量y（件） 1400 1300 1200 （1）求出y与x之间的函数表达式；（不需要求自变量x的取值范围） （2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？ （3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的50%，设销售这种衬衫每月的总利润为w（元），求w与x之间的函数关系式，x为多少时，w有最大值，最大利润是多少？ 【答案】（1）y＝﹣20x＋2600；（2）每件定价为70元；（3）w＝﹣20x2＋3600x﹣130000，x＝75时，w取得最大值，此时w＝27500 【解析】 【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以得到y与x之间的函数表达式； （2）根据题意，可以得到相应的方程，从而可以得到如何给这种衬衫定价，可以给客户最大优惠； （3）根据题意，可以得到w与x之间的函数关系式，再根据二次函数的性质，即可得到售价定为多少元可获得最大利润，最大利润是多少． 【详解】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，由题意得 ， 解得，， 即y与x之间的函数表达式是y＝﹣20x＋2600； （2）由题意得 (x﹣50)(﹣20x＋2600)＝24000， 解得，x1＝70，x2＝110， ∵尽量给客户优惠， ∴这种衬衫定价为70元； （3）由题意可得， w＝(x﹣50)(﹣20x＋2600) ＝﹣20x2＋3600x﹣130000 ＝﹣20(x﹣90)2＋32000， ∵该衬衫的每件利润不允许高于进货价的50%，每件售价不低于进货价， ∴x≥50，x﹣50≤50×50%， 解得，50≤x≤75， ∵a＝－20＜0，抛物线开口向下 ∴当x＝75时，w取得最大值，此时w＝27500， 答：售价定为75元时，可获得最大利润，最大利润是27500元． 【点睛】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和方程的知识解答． 26. 某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价为30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价为40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．不妨设该种品牌玩具的实际销售单价为元，销售该品牌玩具获得的利润为元． （1）求出与之间的函数关系式； （2）若商场只获得了6000元的销售利润，求该玩具销售单价为多少元？ （3）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于500件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）销售单价为90元 （3）最大利润是10000元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，不等式组的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及利用二次函数最值求解． （1）一件的利润为元，涨价后的销售量为元，根据一件的利润与销售数量的积，即可表示出函数关系式； （2）由所得函数关系式，求出当函数值为6000时，解一元二次方程即可求出自变量的值； （3）由题意解不等式组，可求得x的范围，再由二次函数的性质即可求得最大利润． 【小问1详解】 解：由题意得：， 整理得：； 答：与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：由题意得：， 整理，得：， 解得：（舍去）， 答：该玩具销售单价为90元； 【小问3详解】 解：由题意得：， 解得：； ∵，， ∴当时，函数取得最大值，且最大值为10000； 答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润是10000元． 27. 在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧． （1）求点A，点B的坐标； （2）如图1，直线与二次函数的图像交于A，D两点，点D的坐标是．点P是x轴上方的抛物线上的一个动点，过点P作轴，交x轴于点E，交直线于点Q，过点P作于点F，直线交x轴于点H．若，设点P的横坐标是点t，求L关于t的函数关系式，并求L的最大值； （3）已知点M的坐标是，过点M作y轴的垂线，垂足为点N，若二次函数的图像与线段只有一个交点，则a的取值范围是________． 【答案】（1）， （2），最大值为 （3）或或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合运用，涉及求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，二次函数与直线交点问题； （1）令得，解方程即可得到点A，点B坐标； （2）先求出一次函数和二次函数的解析式，设直线与轴交于点，则， 再证明，得到，，最后根据，，代入计算即可； （3）分三种情况：当时，当时，二次函数与直线唯一交点，分别画出图形，结合图形计算即可． 【小问1详解】 解：令得， 整理得， 解得， ∵二次函数的图像与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧， ∴，； 【小问2详解】 解：∵直线与二次函数的图像交于A，D两点，点D的坐标是 ∴把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为：， 把，代入得， 解得， ∴直线解析式为， 设直线与轴交于点，则， ∴，， ∵点P是x轴上方的抛物线上的一个动点，过点P作轴，交x轴于点E，交直线于点Q，点P的横坐标是点t， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时有最大值，最大值为； 【小问3详解】 解：∵点M的坐标是，过点M作y轴的垂线，垂足为点N， ∴， ∵二次函数的图像与线段只有一个交点， ∴当时， 时，解得； 当时， 时，解得； 当二次函数与直线唯一交点时，只有一个解， ∴，解得（舍去）或， 此时，，即二次函数与直线唯一交点在线段上， 综上所述，a的取值范围是或或． 学科网（北京）股份有限公司 $